, 井元伟21. 东北大学 计算机科学与工程学院, 辽宁 沈阳 110169;
2. 东北大学 信息科学与工程学院, 辽宁 沈阳 110819
收稿日期：2016-08-04
基金项目：国家自然科学基金资助项目(51305073, 51305074)。
作者简介：李海燕(1979-), 女, 河北承德人, 东北大学副教授;
井元伟(1956-), 男, 辽宁西丰人, 东北大学教授, 博士生导师。
摘要：针对多学科可靠性优化问题计算过程具有复杂性的特点, 从简化计算复杂性的角度, 研究协同优化可靠性优化方法.鉴于序列优化与可靠性评估(SORA)方法采用可靠性分析与优化过程相分离的方式, 提出了基于SORA的协同优化可靠性优化方法.该方法将具有三层嵌套循环的协同优化可靠性优化问题, 转变为顺序地执行确定性协同优化和可靠性分析过程.因而, 该可靠性优化模型维持了协同优化的两级优化结构, 降低了计算复杂性.最后, 利用工程算例对该方法的有效性进行了验证.
关键词：多学科设计优化协同优化序列优化与可靠性评估可靠性优化可靠性分析
SORA-Based Reliability Optimization Method for Multidisciplinary Collaborative Optimization
LI Hai-yan1
, JING Yuan-wei21. School of Computer Science & Engineering, Northeastern University, Shenyang 110169, China;
2. School of Information Science & Engineering, Northeastern University, Shenyang 110819, China
Corresponding author: LI Hai-yan, E-mail: lihaiyan@mail.neu.edu.cn
Abstract: Aimed at the computation complexity of multidisciplinary reliability optimization, reliability-based collaborative optimization method was studied to simplify the computation process. Considering that the sequential optimization and reliability assessment (SORA) carries out reliability analysis and deterministic optimization with the sequential cycle mode, the SORA-based collaborative optimization was presented. The presented method converts the 3-layer nested reliability optimization structure into sequential deterministic collaborative optimization and reliability analysis, which maintains the two-level structure of collaborative optimization and simplifies the computation process. At last, an engineering example is used to demonstrate the effectiveness of the presented method.
Key Words: multidisciplinary design optimizationcollaborative optimizationsequential optimization and reliability assessmentreliability optimizationreliability analysis
复杂产品的设计过程往往涉及多个学科知识, 为解决该问题而产生的多学科设计优化(multidisciplinary design optimization, MDO)方法, 受到了航空航天等领域众多学者的青睐.针对多学科可靠性设计优化(reliability based MDO, RBMDO)问题, 在关于单级MDO算法的可靠性优化方面, Du等[1-2]和Agarwal等[3]均做出了一定贡献.关于多级MDO算法的可靠性优化问题的相关研究较少, 在Padmanabhan等[4]所给出的RBMDO问题研究中, 采用并行子空间方法求解最可能点(most probable point, MPP). Meng等[5]采用一阶马鞍点近似方法求解协同优化(collaborative optimization, CO)可靠性优化问题, 该方法需在马鞍点对可靠性约束进行线性化处理, 不适合处理非线性化程度高和离散性问题.正如Park等[6]所描述, 对于MDO问题中的可靠性优化问题, 相比于其他MDO算法, CO算法具有明显的优越性.
将可靠性分析与优化过程相分离, 是简化计算过程和提高计算效率的有效方式.在Sues等[7]所给出的RBMDO框架中, 采用了将可靠性分析从MDO优化中分离出来的策略, 将最可能失效点的计算移出优化过程, 并根据每次优化结果更新最可能失效点. Ahn等[8]则提出将可靠性分析从多学科分析中解耦出来, 采用顺序循环的方式分别进行可靠性分析和多学科分析. Du等[1]对序列解耦执行策略做了进一步的完善, 提出了序列优化与可靠性评估(sequential optimization and reliability assessment, SORA)方法, SORA采用序列的方式, 分别执行可靠性分析和优化过程, 从而将可靠性分析从优化过程中分离开来, 避免了传统的两重循环方式.同时, Du等[2]将SORA方法应用于单学科可行方法和多学科可行方法两种单级MDO方法, 将可靠性分析与单级MDO算法的优化过程分割开来, 显著地降低了RBMDO的计算复杂性.由于SORA方法具有形式简洁和计算效率较高的特点, 得到了学者们的青睐.如Zhang等[9]分别针对离散连续混合设计变量以及随机和认知混合不确定性因素, 基于SORA方法, 在单级MDO算法中开展RBMDO问题的研究.
相关研究者在通过分离可靠性分析和优化过程来提高RBMDO计算效率方面, 已做出了一定的工作, 尤其以Du等[1-2]所提出的SORA方法具有代表性.为了提高CO可靠性优化方法的计算效率, 本文研究基于SORA方法的CO可靠性优化方法.
1 可靠性分析在可靠性优化过程中, 对于每个优化点, 在分析可靠性约束g(z)的可靠性时, 均需计算性能函数g(z)的概率密度fz(z)的积分:
 | (1) |
 | (2) |
 | (3) |
 | (4) |
首先, 需将随机量转换到标准正态空间.对于服从正态分布的随机变量zi ~ N(μi, σi), 转换为标准正态空间变量的公式为
 | (5) |
最终, 可靠性分析优化模型(1)将变为如下形式:
 | (6) |
2.1 SORA-CO模型表示形式系统级优化:
 | (7) |
第i个子学科优化:
确定性优化为
 | (8) |
第m个可靠性约束分析:
 | (9) |
 | (10) |
在第k次循环, 根据所得MPP点的结果计算第k + 1次循环转移量simk+1:
 | (11) |
2.2 实现步骤优化实现过程的流程图如图 1所示.
图 1(Fig. 1)
 | 图 1 优化过程流程图Fig.1 Flowchart of optimization process |
步骤1 ?设置系统级优化的起始值.首先, 需要为SORA-CO的系统级优化设置各设计变量的初始值, 并将其值分配给相关子学科, 作为设计变量优化结果的目标值.
步骤2 ?子学科级确定性优化.第1次循环时, 各设计变量的移动量设为0, 从第2次循环开始, 若收敛性条件未满足, 子学科则根据第k-1次循环所计算出的MPP点, 通过移动量simk修改可靠性约束, 求解确定性优化问题.
步骤3 ?子学科级可靠性分析.对于各子学科的每个可靠性约束, 均需按照确定性优化结果, 进行可靠性分析.首先, 依据式(5), 将各不确定性变量转化到标准正态空间, 然后依此计算各子学科的所有可靠性分析.以子学科i的第m个可靠性分析为例, 根据确定性优化结果计算gimr的值, 即目标函数式(9)的最优值.同时, 需利用式(9)的优化结果u*, 通过式(10)计算各相应随机变量的MPP点, 进而利用式(11), 为k + 1次循环计算出随机向量的移动量simk-1.
步骤4 ?检查收敛性.收敛性检查包括三个方面:其一, 各子学科间的一致性是否满足; 其二, 目标函数是否收敛; 其三, 各可靠性约束是否满足gR≤0, 即所有可靠性约束是否均满足.如果三方面的收敛条件均满足, 则停止, 输出结果; 否则, k = k + 1, 将各子学科的优化结果返回给系统级.
步骤5 ?系统级优化.根据各子学科返回的优化结果, 构造系统级一致性约束, 对式(7)进行求解, 同时把优化结果返回给各相关子学科, 进入步骤2.
3 减速器设计优化问题减速器问题是典型的MDO问题测试算例, 来自于NASA (national aeronautics and space administration)的MDO评估算法性能的10个标准算例[5, 11], 优化目标为体积最小:
 | (12) |
 |
系统级优化:
 | (13) |
 | (14) |
 | (15) |
 | (16) |
表 1(Table 1)
 表 1 可靠性优化结果Table 1 Optimization results of reliability
| 表 1 可靠性优化结果 Table 1 Optimization results of reliability |
因此, 当β = 0时, 可靠性优化问题即变为确定性优化问题, 而本文β = 0所得出的SORA -CO优化结果, 与文献[11]所给出的确定性优化结果相同.这一点, 可进一步验证了所提出的SORA-CO方法在维持CO优化特性方面的有效性. 表 2为可靠性优化结果指标.
表 2(Table 2)
表 2 可靠性优化结果指标Table 2 Reliability indexes of optimization results
| 表 2 可靠性优化结果指标 Table 2 Reliability indexes of optimization results |
在表 2中, GR1, GR2, GR3, GR4, GR5和GR6分别表示g4, g6, g11, g3, g5和g10的约束可靠性指标的值.当其值等于0时, 说明恰好满足所设定的可靠性要求R值; 当其值小于0时, 说明可靠性约束的优化结果好于所设定的可靠性要求R值.从表 2中的结果可知, 部分可靠性指标的值等于0, 其余部分小于0, 说明所有可靠性约束均恰好满足或好于所设定的可靠性要求.由此可见, SORA-CO方法的优化结果可以满足可靠性要求.
该问题所涉及的3个子学科具有不同的设计变量, 所采用的学科间不一致性信息值的计算式为
 | (17) |
从表 2中结果数据可知, 在这几种可靠性要求R值下, 所产生的学科间不一致信息值非常小, 均近似为0, 即满足了学科间一致性要求, 说明了SORA-CO方法在维持MDO问题学科间一致性方面具有有效性.
图 2和图 3给出了系统级优化目标和学科间不一致信息随迭代过程的变化曲线. 图 2中4条曲线分别给出了R的取值为0.982 1, 0.919 2, 0.758 0, 0.5时, 系统级目标函数值随迭代过程的收敛情况, 均得到了满意值. 图 3给出了不同可靠性指标时, 各子学科间一致性的收敛情况, 式(17)所给出的各学科间不一致信息的定义值逐渐趋于0, 达到了各学科间的一致性需求.
图 2(Fig. 2)
 | 图 2 目标函数变化曲线Fig.2 Curves for objective function |
图 3(Fig. 3)
 | 图 3 学科间不一致信息曲线Fig.3 Curves for interdisciplinary inconsistency |
4 结论以RBMDO问题为研究对象, 在协同优化框架下, 提出了基于SORA的协同优化可靠性优化方法.在算例验证部分, 针对不同的可靠性要求的R值进行了计算, 优化结果的可靠性指标以及学科间一致性均得到满足.同时, 优化结果表明, 满足较大的可靠性指标R, 是以牺牲一定的目标函数值为代价的.当R = 0.5时, 优化结果与确定性优化结果相同, 从而进一步验证了该方法在维持CO优化特性方面的有效性.所给出的SORA -CO方法, 由于以顺序执行的方式进行确定性协同优化计算和可靠性分析计算, 即变为两层循环问题, 而传统的可靠性CO方法需采用三层循环计算方式, 因而SORA-CO方法的计算效率会明显提高.减速器工程算例作为评估MDO算法的标准算例, 常用来测试各类CO算法的性能, 具有典型的代表性, 本文方法可适用于计算量更大的其他RBMDO问题.
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