张义民^1,2, 林禄样¹, 吕昊¹
1. 东北大学 机械工程与自动化学院, 辽宁 沈阳 110819;
2. 沈阳化工大学 机械工程学院，辽宁 沈阳 110142
收稿日期：2016-11-14
基金项目：国家自然科学基金资助项目(51605083, U1234208);中央高校基本科研业务费专项资金资助项目(N160304005);辽宁省教育厅高等学校优秀人才支持计划项目(LJQ2015081)；辽宁省科技厅博士科研启动基金资助项目(201601166)。
作者简介：张义民(1958－), 男, 吉林长春人, 东北大学教授, 博士生导师, 教育部“****奖励计划”特聘学者。

摘要：根据实测的机车车轮磨耗数据, 利用非平稳Gamma过程, 建立机车车轮轮缘的退化模型, 运用a, b两种方法结合轮缘磨耗阈值预测95%可靠度时的镟修里程.a方法利用Bootstrap方法随机生成一组伪寿命的经验分布, 以Weibull分布拟合预测镟修里程为47.39万km.b方法利用基于最大熵值原理的二次四阶矩方法, 预测镟修里程为48.89万km.结果表明:与经验分布相比, a方法的的寿命较为保守, b方法的失效分布更吻合, 可确定镟修里程为45万km.
关键词：非平稳Gamma过程磨耗退化模型二次四阶矩Weibull分布
Prediction Method of Locomotive Wheel Degradation Based on Gamma Process
ZHANG Yi-min^1,2, LIN Lu-yang¹, LYU Hao¹
1. School of Mechanical Engineering & Automation, Northeastern University, Shenyang 110819, China;
2. School of Mechanical Engineering, Shenyang University of Chemical Technology, Shenyang 110142, China
Corresponding author: ZHANG Yi-min, professor, E-mail: ymzhang@mail.neu.edu.cn
Abstract: According to measured wheel wear data, the nonstationary Gamma process was used to establish the degradation model of locomotive wheel rim, and the repair time of 95% reliability was predicted by using the two methods a and b combined with wheel rim wear threshold. Method a uses the Bootstrap method to randomly generate a set of empirical distributions of pseudo-life, with Weibull distribution fitting forecasting repair time of 473900km. Method b uses the secondary fourth-order moment method based on the maximum entropy to predict the repair time of 488900km. The results showed that the lifetime of method a is more conservative than that of the empirical method, and the failure distribution of method b is more consistent with that of the experience distribution, and the repair time is 450000km.
Key Words: nonstationary Gamma processweardegradation modelsecondary fourth-order moment methodWeibull distribution
自铁路诞生以来, 轮轨磨耗就一直是世界铁路行业的重点难题, 各国专家开展了大量的研究.随着铁路向高速重载的趋势发展, 轮轨磨耗愈发严重.因此对机车车轮磨耗的研究具有重要的理论意义和社会价值.Jendel^[1]开发了车轮磨耗的预测模型, 并成功预测了瑞典首都铁路网的磨耗.Braghin等^[2]建立了一种基于Kalker的CONTACT算法的车轮退化分析模型.Ansari等^[3]通过对机车不同厚度的轮缘进行磨耗计算, 得到了轮缘厚度与磨耗率的关系.Ward等^[4]通过车轮的磨耗机理的数值仿真, 建立了踏面磨耗退化预测模型.Pdra等^[5]基于Winkler随机模型建立了Winkler退化模型并与车轮退化有限元仿真的结果进行了比较.
目前对于机车车轮退化的分析主要研究车轮的磨耗机理及少量对车轮的磨耗退化趋势分析.本文提出一种基于数据驱动的车轮退化可靠性分析模型.以镟修周期内的机车轮缘退化数据, 利用非平稳Gamma建立轮缘的退化模型, 结合退化阈值, 预测95%可靠度下的镟修周期.
1 Gamma过程设X(t)表示样品在t时刻的退化量, 满足以下3个性质, 则称其为Gamma过程^[6].
1) X(t)=0, 且X(t)在t=0处连续;
2) X(t)具有独立增量, 即对于任意的t₁ < t₂ < … < t_n(n≥2)有X(t₂)－X(t₁), …, X(t_n)－X(t_n－1)相互独立;
3) t>s, ΔX=X(t)－X(s)服从Gamma分布GA(α(t)－α(s), λ), 其中α(t)－α(s)是形状参数, λ是尺度参数, α(t)是关于时间t的严格单调连续函数.
Gamma分布是一种比较常用的退化寿命分布, 设两参数的Gamma分布为X~GA(α(t), λ), 则概率密度函数为

(1)

其均值和方差为

(2)

累积分布函数为

(3)

对于退化产品的失效主要涉及两个方面:一是产品退化状态的描述; 二是设定相应的失效阈值.当退化量到一定程度后, 产品发生失效.设失效阈值为D, 则有

(4)

即失效时间为退化量首次到达阈值的时间:

(5)

式中,

(6)

由于一般情况下, 运用解析法很难求得Gamma过程的失效阈值的首达分布, 可以通过Bootstrap仿真过程, 得到一定样本的仿真失效时间, 双参数的Weibull分布在拟合寿命分布时灵活性较好.双参数的Weibull累积分布函数和概率密度函数为

(7)

(8)

式中:m为形状参数; η为尺度参数.
2 结构可靠性的四阶矩法二次四阶矩方法一般先通过基本随机变量的前四阶矩求出状态方程的前四阶矩, 再利用最大熵原理或者函数逼近确定状态函数的概率密度函数^[7].若随机事件服从概率密度函数为f_X(x)的连续分布, 则Shannon熵为

(9)

将随机变量X的前n阶原点矩ν_Xi(i=1, 2, …, n)作约束条件考虑, 即熵值满足式(10)时取到最大值:

(10)

由拉格朗日乘子法可得

(11)

式中, λ₀, λ₁, …, λ_n为待定常数, 根据Jaynes最大熵原理, 在给定条件下, 在所有可能的分布中存在一种使信息熵取最大值的分布.在稳定点处有, 即

(12)

令a_i=1－λ_i/c(i=0, 1, …, n), 可得最大熵的概率密度函数为

(13)

利用Pcarson系统可以求得随机变量X的概率密度函数f_X(x)为

(14)

式中:

(15)

式(14)为Pearson曲线的一般形式, 各参数可用随机变量X的前四阶中心矩μ_Xi来表示.
将随机变量X标准化为随机变量Y：

(16)

则随机变量X和Y之间中心矩的关系式为
式中:μ_Y=0;σ_Y=1;μ_Yi=ν_Yi.标准化后的随机变量Y的前四阶矩为

(17)

式中：C_sX为偏态系数；C_kX为峰态系数.对状态函数Z=g_X(x)在x^*处Taylor展开至二次项, 得

(18)

将X标准化为, 结合式(13)、式(18)和式(10)可得

(19)

由式(10)可求出系数a_i.结构的失效概率为

(20)

3 参数估计本文利用回归方法估计Gamma过程的参数.设Gamma过程的未知参量为α(t)=at^b和λ, 有m个样品进行性能退化试验, 分别在t₁ < t₂ < … < t_n(n≥2)时测量产品的退化量并记录, 通过测量得到产品的性能退化数据X_ij:i=1, 2, …, m, j=1, 2, …, n，其中X_ij表示第i个样品的第j次测量时的累积退化量的数值.产品在t时刻的退化量X_ij服从Gamma分布, 其均值和方差见式(2), 密度分布函数见式(1).根据Gamma分布的第三个性质, 可得车轮的退化增量ΔX_ij~GA(a(t_ij^b－t_ij－1^b), λ), ΔX_ij=X_ij－X_ij－1表示第i个样本第j次测量的退化增量.
可得退化数据的似然函数^[8]式(21)和对数似然函数式(22), 对未知参数a, b和λ分别求偏导, 可得3个方程, 从而求解未知参数.

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

式中:Δt=t_ij^b－t_ij－1^b; dΔt=b(t_ij^b－1－t_ij－1^b－1).
4 实例分析4.1 建立退化模型和预测镟修里程机车车轮踏面的退化过程显然满足上述Gamma过程的要求, 因此可以通过Gamma过程对机车车轮踏面的退化过程进行退化建模.退化数据是6246号机车8个车轮分别在里程25.0682, 29.6738, 36.3764, 41.5468, 45.6600万km处测得8个车轮的轮缘磨耗量.
图 1为机车轮缘随时间的变化情形.通过对数极大似然估计, 由式(23)~式(25)可得 .
图 1(Fig. 1)

图 1 轮缘退化数据Fig.1 Wheel rim degradation data

当运行里程为一定值时, 可得此时磨耗量的概率密度函数如图 2所示.利用Bootstrap仿真过程^[9], 得到一组首达失效时间, 生成伪寿命经验分布, 利用Weibull分布拟合该数据可得 .车轮轮缘退化的状态函数为g(X)=X－D, 其中X~GA(α(t), λ), D为失效阈值.由二次四阶矩方法可得失效分布函数.利用Weibull拟合伪失效寿命和基于最大熵值的二次四阶矩方法得到的失效分布函数如图 3所示.当R=95%时, Weibull拟合得到的运行里程为47.39万km, 二次四阶矩方法得到的运行里程为48.89万km, 两者的相对误差小于5%, 结果较为相近.
图 2(Fig. 2)

图 2 磨耗量概率密度分布Fig.2 PDF of wear

图 3(Fig. 3)

图 3 失效分布函数Fig.3 Failure distribution

4.2 SIMPACK模型仿真验证SIMPACK多体动力学软件是目前在轨道车辆方面应用最广泛的一款软件.本文采用该软件建立列车模型如图 4所示, 模型共有50个自由度：车体6个自由度, 两个转向架12个自由度, 4个轮对24个自由度, 8个转臂8个自由度.
图 4(Fig. 4)

图 4 车辆模型Fig.4 Car model in SIMPACK

仿真中使用的轨道不平顺为京津轨道不平顺谱, 轨道根据高速铁路设计标准, 曲线半径为5500m.分别仿真测量5种踏面下模型的动力学性能指标, 动力学性能指标选取Sperling指标、脱轨系数和轮重减载率^[10].
根据《铁道车辆动力学性能评定和试验鉴定规范》可知客车的Sperling指标小于3.0时, 平稳指标合格.由GB/T 2360—1993和GB/T 5599—1985可得脱轨系数应小于0.8, 轮重减载率应小于0.6.从试验数据可得, 随着运行里程的增加, 轮对的磨耗增加, 列车的动力学性能不断下降.列车的横向Sperling指标甚至超过了3, 见图 5和图 6.脱轨系数接近0.8, 见图 7.个别轮对的轮重减载率大于了0.6, 见图 8.而且在第五次仿真时, 列车动力学性能劣化速度明显增加.因此可以判断此时的列车需要对踏面进行镟修, 根据仿真试验结果可得镟修里程约为45.5万km.
图 5(Fig. 5)

图 5 横向Sperling指标变化图Fig.5 Change of horizontal Sperling index

图 6(Fig. 6)

图 6 垂向Sperling指标变化图Fig.6 Change of vertical Sperling index

图 7(Fig. 7)

图 7 脱轨系数变化图Fig.7 Change of derailment coefficient

图 8(Fig. 8)

图 8 轮重减载率变化图Fig.8 Change of wheel load shedding rate

综合4.1和4.2的分析结果, 在保证列车运行品质和安全的情况下, 确定镟修里程为45万km.
5 结论1) 机车踏面退化单调递增, 当退化量达到失效阈值时, 车轮产生退化失效.依据6246号机车的车轮轮缘的退化数据, 利用Gamma过程进行退化建模, 对比了目前使用的Bootstrap仿真得到Gamma分布经验分布并用Weibull拟合方法与通过基于最大熵值的二次四阶矩方法建立的可靠性分布函数, 表明基于最大熵值的二次四阶矩方法建立的可靠性分布函数是有效准确的.
2) 通过对SIMPACK仿真试验的列车动力学性能分析, 可以得到以下结果:当失效阈值为10mm时, 在保证99%可靠度的情况下, 机车运行45万km后需要检查轮缘磨损情况, 并根据磨损状态制定相应的镟修策略.目前受限于试验条件, 不能进行服役车辆的动力学性能追踪试验.
参考文献

[1]	Jendel T. Prediction of wheel profile wear—comparisons with field measurements[J].Wear, 2002, 253(1): 89–99.
[2]	Braghin F, Bruni S, Resta F. Wear of railway wheel profiles:a comparison between experimental results and a mathematical model[J].Vehicle System Dynamics, 2002, 37(sup1): 478–489.DOI:10.1080/00423114.2002.11666256
[3]	Ansari M, Hazrati I A, Esmailzadeh E, et al. Wear rate estimation of train wheels using dynamic simulations and field measurements[J].Vehicle System Dynamics, 2008, 46(8): 739–759.DOI:10.1080/00423110701586436
[4]	Ward A, Lewis R, Dwyer-Joyce R S. Incorporating a railway wheel wear model into multi-body simulations of wheelset dynamics[J].Tribology Series, 2003, 41: 367–376.DOI:10.1016/S0167-8922(03)80150-5
[5]	P?dra P, Andersson S. Wear simulation with the Winkler surface model[J].Wear, 1997, 207(1): 79–85.
[6]	van Noortwijk J M. A survey of the application of Gamma processes in maintenance[J].Reliability Engineering & System Safety, 2009, 94(1): 2–21.
[7]	张明. 结构可靠度分析:方法与程序[M]. 北京: 科学出版社, 2009. ( Zhang Ming. Structural reliability analysis:methods and procedures[M]. Beijing: Science Press, 2009.)
[8]	Nicolai R P, Dekker R, van Noortwijk J M. A comparison of models for measurable deterioration:an application to coatings on steel structures[J].Reliability Engineering & System Safety, 2007, 92(12): 1635–1650.
[9]	Efron B, Tibshirani R J. An introduction to the Bootstrap[M]. Boca Raton: CRC Press, 1994.
[10]	沈钢. 轨道车辆系统动力学[M]. 北京: 中国铁道出版社, 2014. ( Shen Gang. Railway vehicle system dynamics[M]. Beijing: China Railway Publishing House, 2014.)