梁松, 张义民
东北大学 机械工程与自动化学院, 辽宁 沈阳 110819
收稿日期：2016-08-09
基金项目：国家重点基础研究发展计划项目(2014CB046303)；“高档数控机床与基础制造装备”科技重大专项(2013ZX04011-011)；国家自然科学基金资助项目(51575094, 51575095)。
作者简介：梁松(1986-)，男，辽宁沈阳人，东北大学博士研究生;
张义民(1958-), 男，吉林长春人，东北大学教授，博士生导师，教育部“****奖励计划”特聘教授。

摘要：提出一种基于多项式变异粒子群优化技术的齿轮根切量计算方法.将多项式变异算子与标准粒子群优化方法相结合, 构造出PMOPSO算法.以渐开线齿轮齿廓参数方程为基础建立齿轮根切量的计算模型, 并讨论了模型的解的情况与根切点位置的关系.计算动力刀塔中关键齿轮的根切量, 并分析模数和变位系数对根切量的影响.计算结果表明, 本文方法可以快速确定齿轮根切量, 并根据设计要求灵活调整计算精度.利用本文方法可以精确分析关键齿轮的根切情况, 有助于提升动力刀塔中齿轮副的传动性能.
关键词：根切多项式变异算子粒子群优化动力刀塔齿轮变位
An Evaluating Method for Transmission Gear Undercutting in a Power Tool Turret
LIANG Song, ZHANG Yi-min
School of Mechanical Engineering & Automation, Northeastern University, Shenyang 110819, China
Corresponding author: ZHANG Yi-min, E-mail: ymzhang@mail.neu.edu.cn
Abstract: A brief evaluating method for transmission gear undercutting is proposed. The method is based on the technology of polynomial mutation operator and particle swarm optimization (PMOPSO). The undercutting model is established based on the parametric equations for involute gear profiles and the relationship between model solutions and undercutting points is investigated. The as-proposed method is used for evaluating undercutting of key gears in a power turret. The effects of modules and modification coefficients on undercutting are studied. The results imply that the proposed method is able to calculate gear undercutting rapidly. Meanwhile, the accuracy is geared to design requirements flexibly. The situation of key gear undercutting can be analyzed accurately by the proposed way, which may contribute to improve the transmission performance of turrets.
Key Words: undercuttingpolynomial mutation operatorparticle swarm optimizationpower tool turretgear modification
在某型动力伺服刀塔的传动系统设计中, 合理调整系统中传动齿轮的变位系数和根切量, 能够显著改善齿轮啮合对的传动性能, 进而降低换刀过程中刀盘的残余振动; 因而准确建立根切量和根切点位置与齿轮设计参数的对应关系, 并计算变位齿轮的根切量, 成为动力刀塔传动系统设计研究中的重要问题.本文给出一种较为简便的动力刀塔传动齿轮根切量的计算方法.
众多学者对齿轮根切量的计算问题进行过深入研究.陈奇等^[1]在建立变位齿轮的齿根过渡曲线方程的基础上, 通过程序完成变位齿轮的全齿廓数据的精确计算, 并利用宏命令接口将数据输入到三维设计软件中, 但文中并未具体说明齿面渐开线与齿根过渡曲线交点的确定方法.齿轮根切量及根切点位置的确定方式主要有间接法和直接法.间接方法是先计算根切量, 再根据参数方程确定根切点位置.间接方法计算量较小, 但涉及变量较多, 求解精度不易控制.直接方法是计算参数曲线的交点得到根切点的位置坐标, 进而计算根切量.直接方法计算量较大, 便于模块化计算, 容易控制求解精度.本文采用直接方式计算齿轮根切量及根切点位置.
本文给出一种基于多项式变异粒子群优化的齿轮根切量计算方法.给出多项式变异粒子群优化(PMOPSO)算法的基本公式及算法参数的选取原则; 建立根切点位置和根切量的计算模型; 讨论计算模型解的情况与根切点位置的关系, 以及变位系数和模数对根切量的影响情况.
1 根切量的常用计算方法齿轮的根切量h_u是齿轮齿廓根切点到基圆的径向距离.由图 1所示的几何关系, 给出关于θ和φ的方程, 其中M是根切点.
图 1(Fig. 1)

图 1 根切量的计算公式和齿条型刀具直线切削刃Fig.1 Undercutting and edge of rack-type tool

(1)

如图 1所示, 计算根切点的初始切入量u：
式中:刀具直线切削刃齿顶高h_s=m(h_α^*－χ), 这里一般有变位系数χ＜0;m是模数; h_α^*是齿顶高系数; r_b是基圆半径; α是分度圆压力角; λ是中间变量.
求解式(1) 中的方程可得到φ^*, 但式(1) 中的超越方程求解困难.叶松林^[2]给出了一种处理方法, 由式(1) 得
于是将式(1) 的方程转化为关于θ的一元非线性方程：

(2)

其中, 常数.求解得到θ^*, 进而得到
于是计算齿轮的根切量h_u：
会田俊夫^[3]还给出了h_u的近似计算公式:

(3)

其中λ由式(1) 确定.
由h_u可得根切点到基圆圆心距离r_M和根切点的压力角α_M:

(4)

于是由式(6) 得到根切点M的位置坐标.
叶松林方法(式(2))和会田俊夫公式(式(3))是传统的齿轮根切量计算方法, 其仅能确定齿轮根切量的值, 并不能给出根切点的位置坐标, 这显然无法满足动力刀塔传动齿轮设计中需要精确分析根切情况的需求.
2 PMOPSO算法多项式变异粒子群优化(PMOPSO)方法的基本思想是, 在粒子群演化过程中, 利用多项式变异算法对当前粒子进行扰动, 并以一定的概率接受劣化解.随着时间的推移, 劣化解的接受概率逐渐趋于零, PMOPSO算法也逐渐收敛于最优解.在搜索后期, 多项式变异算子产生的新点逐渐逼近当前点, 因而可提升PMOPSO算法的局部搜索精度.PMOPSO算法是对标准粒子群优化^[4-5]方法的改进, 适用于含有复杂非线性约束的连续型变量的数学优化问题.
本文采用含有固定边界约束的多项式变异算子^[6].已知当前点p和变异新点x满足x, p∈[x_l, x_u], 则定义扰动因子
于是得到扰动因子δ的计算公式^[7]：
其中随机数u~U(0, 1), v=0.5(1－β)^η+1, 常数β的计算公式是分布常数是一般取η_max∈[30, 50].于是得到变异新点x的计算公式是x=p+δ(x_u－x_l).图 2是含有固定边界的多项式变异算子产生变异新点相对于当前点的概率密度函数, 图中给出了样本量为10⁴的多项式变异算子在各区间的样本频率, 其中f(x)是概率密度函数.
图 2(Fig. 2)

图 2 多项式变异算子的概率密度函数曲线Fig.2 Probability density function of PMO

粒子群优化算法设计中, 这里采用带有惯性权重ω_t和收缩因子χ₀的粒子群进化方程：
其中, 惯性权重采用线性递减的计算公式:
式中:t是进化时间; ω_t是t时刻惯性权重的值; ω_min和ω_max是惯性权重的取值范围; t_max是进化时间的最大值.
PMOPSO方法中的算法参数和种群拓扑结构对优化设计问题的求解精度和计算复杂度的影响很大.在满足计算精度要求的条件下, 尽量降低种群规模和最大进化次数, 以降低计算复杂度.这里采用环形邻域拓扑结构, 个体的邻域半径约为种群规模的1/5.
3 数学模型如图 3所示, 以齿轮圆心为原点O, 齿轮轮齿中心线为y轴建立直角坐标系xOy.齿廓包含4段曲线:齿根圆弧曲线AB, 齿根过渡曲线BM, 齿面渐开线MD和齿顶圆弧曲线DE.齿根过渡曲线与齿面渐开线的交点是根切点, 并记作M.M点是齿根过渡曲线与齿面渐开线的过渡点.当齿根过渡曲线与齿面渐开线相交于M点时, 范成产生的渐开线齿面的一部分被刀具切去, 产生根切现象.当齿根过渡曲线与齿面渐开线相切时, M是切点, 而且无根切.M点又可称为过渡点.
图 3(Fig. 3)

图 3 渐开线齿廓几何模型Fig.3 Geometric model of involute tooth profile

文献[8]给出了图 3中齿根过渡曲线和齿面渐开线的参数方程.关于参数α′的齿根过渡曲线的参数方程是

(5)

式中:x₁和y₁是齿根过渡曲线上点的坐标；φ是中间变量并与α′相关.齿根过渡曲线参数的取值范围是其中α′_min为过渡曲线参数α′的最小值.齿轮存在根切时, α′_min小于α.a₁, r₀和r均是常数, 其计算公式如下：
关于参数α_k的齿面渐开线的参数方程是

(6)

其中x₂和y₂是齿面渐开线上点的坐标.齿面渐开线参数的取值范围是α_k∈[α_M, α_a].α_M是根切点M处的齿面渐开线压力角, α_a是齿顶圆压力角.
式中:δ, r_b是常数; γ=tanα_k.
如图 3所示, M点是过渡曲线与齿面渐开线的交点.计算根切点M位置的问题可以转化为求齿根过渡曲线与齿面渐开线上最小距离点的问题, 这里采用PMOPSO算法求解.建立确定根切点M位置的数学模型：

(7)

其中和y₁(α′)由式(5) 确定; x₂(α_k)和y₂(α_k)由式(6) 确定.式(7) 中优化模型的理论解满足目标函数f(α′^*, α_k^*)=0, 即两条曲线上的最小距离点是相交点.式(7) 的求解精度可根据设计要求灵活调整.在得到根切点M的坐标(x_M, y_M)后, 由式(4) 可确定齿轮的根切量.
以下讨论式(7) 中优化模型的解的数量与根切点位置的关系.定义根切临界齿数z₀^*：
基圆临界齿数z₁^*是
一般地, 对于h_a^*=1.0和c^*=0.25可以得到z₀^*, z₁^*和变位系数χ的函数关系, 如图 4所示, 其中满足z≥z₁^*>z₀^*.如图 5所示, 根切量h_u是根切点M到基圆的距离.根据齿轮齿数和临界齿数的关系, 可以分三种情况讨论.
图 4(Fig. 4)

图 4 临界齿数z0*, z1*与变位系数χ的关系Fig.4 Critical number z0*, z1* vs. modification coefficient χ

图 5(Fig. 5)

图 5 过渡曲线与齿面渐开线的交点位置Fig.5 Crossover point of transmit curve and involute curve (a)—z < z0*; (b)—z0*≤z < z1*; (c)-z1*≤z.

当z＜z₀^*时, 有r_b>r_f.如图 5a所示, 过渡曲线与齿面渐开线只有一个交点, 存在根切.此时式(7) 存在唯一解, 过渡点M是根切点.
当z₀^*≤z＜z₁^*时, 有r_b>r_f.如图 5b所示, 过渡曲线与齿面渐开线相切, 无根切.过渡点M是切点, 其对应的过渡曲线参数是α′_M=α.
当z≥z₁^*时, 有r_b＜r_f.如图 5c所示, 过渡曲线与齿面渐开线相切, 无根切.过渡点M是切点, 其对应的过渡曲线参数是α′_M=α.
式(7) 中, 若z＜z₀^*则存在根切点, 且存在唯一解; 若z≥z₀^*，则不存在根切, 过渡点M是切点, 且有α_M′=α.
综上所述, 当齿数小于根切临界齿数时, 式(7) 的解是唯一的, 过渡曲线与齿面渐开线有唯一交点; 否则, 两曲线相切, 且切点处的压力角等于齿轮分度圆压力角.因而, 式(7) 中的优化模型总是存在唯一解, 这给问题的求解提供了很大的便利.
4 计算实例本节以动力伺服刀塔传动系统中的某关键齿轮为研究对象, 其基本设计参数和PMOPSO算法参数如表 1所示.PMOPSO算法采用了较小的种群规模.根切点位置与齿面渐开线的起始位置较为接近, 选取计算初值时可以认为根切点与齿面渐开线的起始位置重合.在本文的计算方法基础上开发了动力刀塔传动齿轮的辅助设计程序^[9].
表 1(Table 1)

表 1 齿轮设计参数和PMOPSO算法参数Table 1 Gear design parameters and PMOPSO algorithm parameters 参数 符号 值 模数 m 2.5/3.0/3.5 齿数 z 12 分度圆压力角 α 变位系数 χ -0.5~0.0 齿高系数 ha* 1.0 顶隙系数 c* 0.25 种群规模 Npopsize 5 最大进化次数 Nmaxgen 200 邻域半径 Rn 4

表 1 齿轮设计参数和PMOPSO算法参数 Table 1 Gear design parameters and PMOPSO algorithm parameters

图 6a是粒子种群中最佳个体在解空间中的运动轨迹.图 6b是粒子种群中最佳个体所对应的目标函数值的演化曲线.在搜索初期, 种群最佳个体与理论最优解的距离较远, 种群中个体的目标函数值较大.随着搜索的推进, 最佳个体的运动轨迹迅速逼近理论最优解, 种群中个体的目标函数值迅速下降, 种群整体性能逐步提升.当时间t>20时, 种群中最佳个体对应的目标函数值已逐渐收敛于零, 种群演化接近尾声时, 种群性能也已逐渐稳定.
图 6(Fig. 6)

图 6 PMOPSO算法中种群的演化过程Fig.6 Evolution of population in PMOPSO (a)—当前最优点x运动轨迹；(b)—目标函数f(x)的演化曲线.

图 7是m=3.0、变位系数不同时, 齿面渐开线轮廓与根切点位置的演化情况.当χ=－0.5时, 齿根过渡曲线已深入齿廓内部, 齿面渐开线长度缩短, 齿根过渡曲线逐渐伸长.相比于χ=0的情形, 根切点的位置略有升高, 根切量增大.同时, 齿廓顶部的厚度增加.这里可以根据设计要求灵活地调整根切点位置的计算精度.
图 7(Fig. 7)

图 7 根切点位置与变位系数的关系Fig.7 Undercutting point and modification coefficient

如图 8所示, 分别采用叶松林方法^[2]、会田俊夫公式^[3]和本文提出的方法计算齿轮的根切量, 得到根切量h_u随变位系数χ的变化曲线.图 8中, χ=0附近, 齿轮的根切量较小, 不同方法的根切量计算结果一致性最佳; 在χ=－0.5附近, 根切量较大, 不同方法的计算值存在微小差异, 其中本文方法得到的值略高于其他方法.会田俊夫公式是一个近似计算公式, 当变位量增大时, 根切量的计算精度有所下降.相比之下叶松林方法和本文方法的计算结果一致性较好, 稳定性较高.
图 8(Fig. 8)

图 8 不同计算方法的根切量变化曲线Fig.8 Undercutting curves using different methods

图 9是在模数m和变位系数χ取不同的值时, 采用本文提出的方法得到的根切量变化曲线.模数m一定时, 根切量h_u与变位系数χ的变化关系接近于线性.随着变位系数χ的增大, 根切量h_u逐渐减小.变位系数χ一定时, 随着模数m的增大, 根切量h_u逐渐增大.变位系数χ值较小时, 模数m的变化对根切量h_u的影响较大.
图 9(Fig. 9)

图 9 根切量的变化规律Fig.9 Undercutting addendum

图 10是动力刀塔传动齿轮辅助设计程序的图形界面.用户通过图形界面输入设计参数, 本程序输出相应的齿轮几何模型.程序支持含有根切和几何偏心的齿轮模型.本文中提出的计算方法应用于该程序中的根切点位置计算模块.
图 10(Fig. 10)

图 10 动力刀塔传动齿轮辅助设计程序的图形界面Fig.10 Aided design program GUI for transmission gears in a power tool turret

5 结语本文给出了一种基于PMOPSO技术的齿轮根切量的计算方法.首先, 以渐开线齿轮齿廓参数方程为基础, 建立根切点的计算模型并确定齿轮根切量.然后, 以动力刀塔中关键齿轮为研究对象并计算其根切量, 同时分析变位系数和模数对根切量的影响规律.最后由分析结果可知, 相比于已有的计算方法, 本文提出的方法在应用灵活性和计算精度上具有显著优势.本文方法可以准确分析关键齿轮的根切情况, 这有助于提升动力刀塔中齿轮副的传动性能.
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