宋叔尼¹, 范凯²
1. 东北大学 理学院, 辽宁 沈阳 110819;
2. 太原科技大学 应用科学学院, 山西 太原 030024
收稿日期：2016-05-11
基金项目：辽宁省自然科学基金资助项目（201602259）。
作者简介：宋叔尼(1962-), 男, 湖南澧县人, 东北大学教授。

摘要：对带流体动力学阻尼的IBq方程进行了研究，发现虽然对Bq方程精确解的研究很多，但对IBq方程解的研究结果却很少.介绍了求解非线性演化方程的Tanh法与扩展Tanh函数法，使用符号计算软件Maple和Tanh函数法获得带流体动力学阻尼的IBq方程的大量双曲函数精确解，主要为扭结和反扭结孤立子解.对精确解中未知参数进行赋值，图解表示了部分精确解，这对于数值解的准确性和稳定性的核对是有用的.获得的结果证实该方法用于分析求解数学物理中各种非线性偏微分方程是有效的.
关键词：Tanh函数法扩展Tanh函数法双曲函数精确解IBq方程流体动力学阻尼
Exact Solutions for IBq Equation with Fluid Dynamic Damping
SONG Shu-ni¹, FAN Kai²
1. School of Sciences, Northeastern University, Shenyang 110819, China;
2. School of Applied Science, Taiyuan University of Science and Technology, Taiyuan 030024, China
Corresponding author: FAN Kai, E-mail:neufankai@126.com
Abstract: The IBq equation with fluid dynamic damping was studied. Many studies of exact solutions for Bq equation were found, but the study results of the IBq equations were very few. The standard Tanh method and the extended Tanh method were introduced to solve nonlinear evolution equation, and the standard Tanh method and symbolic computation system Maple were used to obtain a large number of exact hyperbolic function solutions of IBq equation with fluid dynamic damping, mainly for the kink and the antikink soliton solutions. Assignment of exact solutions was done for the unknown parameters, and figures showed some exact solutions, which were useful for verifying the accuracy and stability of numerical solution. The obtained results confirm that the proposed methods are efficient techniques for analytic treatment of a wide variety of nonlinear partial differential equations in mathematical physics.
Key Words: Tanh methodextended Tanh methodexact hyperbolic function solutionsIBq equationfluid dynamic damping
非线性演化方程被广泛用于描述许多重要的现象和动态过程, 比如流体力学、等离子体、生物学、光纤和其他工程领域.理论物理和非线性科学的进步使得可以构造这些非线性方程的精确行波解, 借助于数学符号软件Maple或者Mathematica可以直接寻找这些非线性方程的精确解.近年来, 许多对非线性物理现象感兴趣的学者研究了非线性演化方程的精确解的解决方案, 并提出许多有效的方法, 例如, 逆散射法^[1]、Tanh函数法^[2]、sine-cosine方法^[3]、扩展Tanh函数法^[4-6]、齐次平衡法^[7]、F-expansion法^[8]、首次积分法^[9]及(G’/G)-函数展开法^{[5, 10]}等.
Boussinesq^[11]研究长波在浅水波表面传播的问题时, 首次导出Boussinesq方程, 简称Bq方程.它的行波解被Wazwaz^[12]用Tanh函数法求得.如果Bq中4阶导数项的系数δ > 0, 则是线性稳定的, 用于描述微小的非线性弹性梁的横向振动^[13], 被称为‘好的’Bq方程, 它的行波解被Mohyud等^[14]用Exp-function法求得.当δ < 0时, 由于它的线性不稳定性, 被称为‘坏的’Bq方程^[15], 一个2维的坏的Bq方程被提出用来描述表面重力波的传播, 特别是斜向波的正面碰撞^[16], 它的行波解被Forozani等^[17]用扩展Tanh函数法求得.Makhankov^[18]从等离子体的流体动力学方程组中获得IBq方程, 该方程不仅可以用来近似描述长波在浅水水波中传播, 还可用于描述非谐单原子和双原子链的动力学与热力学特性^[19].在真实的过程中，内部摩擦(流体类型的摩擦)同样扮演着重要的角色, 它产生于系统内部的不可逆过程中, 内部摩擦产生耗散, 耗散函数依赖于相对位移的时间导数, 因此, 有必要探究带流体阻尼(耗散项)的IBq方程^[17].文献[20-21]都有涉及IBq方程柯西问题解存在性的研究, 但未见文章给出IBq方程的精确行波解.本文将使用标准Tanh和扩展Tanh法, 结合Maple符号计算软件分别得到它的精确行波解.
1 Tanh函数法与扩展Tanh函数法概述1) 首先, 考虑一个一般形式的非线性偏微分方程:

(1)

式中:u(x, t)表示未知函数; 下标t和x表示u(x, t对t和x的偏导数.为了找方程(1) 的行波解, 作行波变换:

(2)

式中, c为参数.结合下面的一些变化:
把方程(1) 变换为非线性常微分方程:

(3)

2) 如果得到的常微分方程每一项都含有ξ的导数, 则可把这个常微分方程先关于ξ积分, 令积分常数为零得到一个更为简单的方程.
3) 假设一个新的独立变量y(ξ)=tanh(kξ), 会引出如下的导数变换式:
则标准Tanh函数展开法解可拟设为一个关于y(ξ)的有限形式:

(4)

扩展Tanh函数展开法解的形式可拟设为

(5)

4) 参数m一般都为正整数, 为了确定m的数值, 平衡方程(3) 中的线性最高阶和最高阶非线性项的幂次.当m被确定后, 收集方程(3) 关于y(ξ)的系数, 令这些系数方程都为零, 当使用方程(4) 形式的拟设解时, 得到关于a_i(i=0, 1, …, m)和k, c的方程组; 使用方程(5) 形式的拟设解时, 得到关于a_i(i=0, 1, …, m), b_i(i=1, 2, …, m)和k, c的方程组.使用Maple求解, 把求解结果代入方程(4) 或者(5), 就可得到拟设形式的行波解.
2 使用Tanh函数法求解带流体动力学阻尼的IBq方程带耗散项的IBq方程为

(6)

式中, v为非零常实数.把方程(6) 行波变换ξ=x－ct后, 关于ξ连续积分两次, 积分常数全设为零, 得

(7)

平衡U″和U²的幂次有
引入独立变量y(ξ)=tanh(kξ), 标准Tanh函数法有限形式的拟设解为

(8)

把方程(8) 代入方程(7), 整理收集y^j(0≤j≤4) 的系数, 并设置为零, 得到关于未知系数的非线性方程组:
运用吴方法, 结合Maple求解这个方程组, 得到如下形式的4组8个解, 其中, v为非零常数.
把这4组8个解分别代入方程(7), 结合独立变量y(ξ)=tanh(kξ), 得到原方程的双曲行波解, 依次为
式中, u_{1, 2}(x, t)分别表示扭结孤立子和反扭结孤立子.当c取正, k取负时为反扭结孤立子, v=2, 用Maple作解的图像如图 1a所示; 当c取负, k取正时为扭结孤立子, v=2, 用Maple作解的图像如图 1b所示.
图 1(Fig. 1)

图 1 当v=2时, 解u1, 2(x, t)的三维图Fig.1 3D plots of u1, 2(x, t) when v=2 (a)—反扭结孤立子；(b)—扭结孤立子.

3 使用扩展Tanh函数法求解带流体动力学阻尼的IBq方程带耗散项的IBq方程为

(9)

扩展Tanh函数法有限形式的拟设解为

(10)

把方程(10) 代入方程(7), 整理收集y^j(－4≤j≤4) 的系数, 并设置为零, 得到关于未知系数a₀, a₁, a₂, b₁, b₂, k, c的非线性方程组:
运用吴方法, 结合Maple求解这个方程组, 得到如下形式的4组8个解, 其中, v为非零常数.
把这4组8个解分别代入方程(10), 结合独立变量y(ξ)=tanh(kξ), 得到原方程的行波解, 依次为
4 结论通过对带流体动力学阻尼的IBq方程进行研究发现:虽然对Bq方程精确解的研究很多, 但IBq方程解的研究结果却很少.在本文中, 使用Tanh与扩展Tanh函数法分别得到了带流体动力学阻尼的IBq方程的精确解, 在Maple的帮助下, 过程简单、直接.带流体动力学阻尼的IBq方程行波精确解的获得, 为该类方程数值解的进一步研究提供了一定的参考.这两种方法非常简单, 可以应用于许多其他非线性偏微分方程.
参考文献

[1]	郭玉翠. 非线性偏微分方程引论[M]. 北京: 清华大学出版社, 2007: 46-53. ( Guo Yu-cui. An introduction to nonlinear partial differential equation[M]. Beijing: Tsinghua University Press, 2007: 46-53.)
[2]	Wazwaz A M. The Tanh method for travelling wave solutions of nonlinear equations[J].Applied Mathematics & Computation, 2004, 154(3): 713–723.
[3]	Yusufoglu E, Bekir A. The Tanh and the sine-cosine methods for exact solutions of the MBBM and the Vakhnenko equations[J].Chaos Solitons Fractals, 2008, 38(4): 1126–1133.DOI:10.1016/j.chaos.2007.02.004
[4]	Abdel-All N H, Abdel-Razek M A. Expanding the Tanh-function method for solving nonlinear equations[J].Applied Mathematics and Computation, 2011, 2(9): 1096–1104.
[5]	Akbar M A, Norhashidah H M, Syed T D. Assessment of the further improved (G'/G)-expansion method and the extended Tanh-method in probing exact solutions of nonlinear PDEs[J].Springer Plus, 2013, 2(1): 2–9.DOI:10.1186/2193-1801-2-2
[6]	?mer F G, Samil A. The Tanh-coth method for some nonlinear pseudo parabolic equations with exact solutions[J].Advances in Difference Equations, 2013, 143(1): 2–18.
[7]	Abdel A S, Osman E S. The homogeneous balance method and its application to the Benjamin-Bona-Mahoney(BBM) equation[J].Applied Mathematics and Computation, 2010, 217(4): 1385–1390.DOI:10.1016/j.amc.2009.05.027
[8]	Abdou M A. Further improved F-expansion and new exact solutions for nonlinear evolution equations[J].Nonlinear Dynamics, 2008, 52(3): 277–288.DOI:10.1007/s11071-007-9277-3
[9]	Taghizadeh N, Mirzazadeh M. The first integral method to some complex nonlinear partial differential equations[J].Applied Mathematics & Computation, 2011, 235(16): 4871–4877.
[10]	Elsayed M E, Abdul-Ghani A N. Solitons and other exact solutions for variant nonlinear Boussinesq equations[J].Optik-International Journal for Light and Electron Optics, 2017, 139: 166–177.DOI:10.1016/j.ijleo.2017.03.092
[11]	Boussinesq J. Théorie des ondes et des remous qui se propagent le long d'un canal rectangulaire horizontal en communiquant au liquide contenu dans ce canal des vitesses sensiblement pareilles de la surface au fond[J].Journal De Mathématiques Pures Et Appliqués, 1872, 17(2): 55–108.
[12]	Wazwaz A M. Compactions and solitary wave solutions for the Boussinesq wave equation and its generalized form[J].Applied Mathematics & Computation, 2006, 182(3): 529–535.
[13]	Varlamov V V. Eigen function expansion method and the long-time asymptotics for the damped Boussinesq equation[J].Discrete & Continuous Dynamical Systems-Series A, 2001, 7(4): 675–702.
[14]	Mohyud S T, Noor M A. Exp-function method for generalized traveling solutions of good Boussinesq equations[J].Journal of Applied Mathematics and Computing, 2009, 30(1/2): 439–445.
[15]	Hatice T. Global existence and decay of solutions for the generalized bad Boussinesq equation[J].Applied Mathematics A:Journal of Chinese Universities, 2013, 28(3): 253–268.DOI:10.1007/s11766-013-2998-9
[16]	Johnson R S. A two dimensional Boussinesq equation for water waves and some of its solutions[J].Journal of Fluid Mechanics, 1996, 323: 65–78.DOI:10.1017/S0022112096000845
[17]	Forozani G H, Ghorveei N M. Solitary solution of modified bad and good Boussinesq equation by using of Tanh and extended Tanh methods[J].Indian Journal of Pure and Applied Mathematics, 2013, 44(4): 497–510.DOI:10.1007/s13226-013-0026-7
[18]	Makhankov V. Dynamics of classical solution[J].Physical Review Letters, 1978, 35C: 1–128.
[19]	Rosenau P. Dynamics of nonlinear mass-spring chains near continuum limit[J].Physics Letters A, 1986, 118(5): 222–227.DOI:10.1016/0375-9601(86)90170-2
[20]	Wang S B, Xu H Y. On the asymptotic behavior of solution for the generalized IBq equation with hydrodynamical damped term[J].Journal of Differential Equations, 2012, 252(7): 4243–4258.DOI:10.1016/j.jde.2011.12.016
[21]	陈翔英. 具有弱阻尼项的广义IMBq方程初值问题解的整体存在性[J].数学物理学报, 2015, 35(1): 68–72. ( Chen Xiang-ying. Global existence of solution of Cauchy problem for a generalized IMBq equation with weak damping[J].Acta Mathematica Scientia, 2015, 35(1): 68–72.)