林超, 顾思家
重庆大学 机械传动国家重点实验室，重庆 400044
收稿日期: 2015-04-14
基金项目: 国家自然科学基金资助项目(51275537).

摘要: 为了研究线接触端曲面齿轮副的齿面接触特性，建立了端曲面齿轮副的传动坐标系，推导出齿轮副的瞬时回转轴及瞬轴面.应用齿廓啮合基本定理，从几何学的角度提出了线接触端曲面齿轮副齿面接触算法，求解出齿轮副的齿面接触印痕与齿廓点.根据齿轮副齿面接触分析结果，确定了端曲面齿轮齿面的修形位置.通过齿轮副对滚实验，验证了线接触端曲面齿轮齿面接触算法的正确性.
关键词：端曲面齿轮齿面接触瞬轴面变传动比线接触
Tooth Contact Algorithm of Line Contact Curve-Face Gear
LIN Chao, GU Si-jia
The State Key Laboratory of Mechanical Transmission, Chongqing University, Chongqing 400044, China
Corresponding author: LIN Chao, E-mail: linchao@cqu.edu.cn
Abstract: To study contact characteristics of the curve-face gears, a transmission coordinate of curve-face gears was established. The instantaneous rotation axis and the axode of the curve-face gear were derived. The calculation method of meshing point of line contact curve-face gear was obtained based on the fundamental theorem of meshing tooth profile. The tooth contact prints and the tooth profile points were obtained in the view of geometry. The results of tooth contact analysis of the curve-face gear show that the positions of profile modification are determined. The calculation method of meshing point of line contact curve-face gear pair was verified via rolling experiments.
Key Words: curve-face geartooth contactaxodevariable transmission ratioline contact
面齿轮传动系统具有重合度高、传动平稳、对安装误差不敏感等优点，因而在航空工业、船舶工业、车辆工程等领域具有很广阔的应用前景.国内外学者对面齿轮的理论研究及工程应用进行了大量的探讨，Litvin等对面齿轮的齿面建模、接触分析、传动特性分析等基础理论的研究与应用进行了探讨并取得众多科研成果^[1-3], Zanzi等对面齿轮副中的圆柱齿轮进行了修型并对其做了齿面接触分析及齿根弯曲应力分析^[4]，Barone、Guingand等对面齿轮进行了有限元分析，得到了面齿轮的接触应力、弯曲应力等性能参数^[5-6].国内学者对面齿轮的研究工作主要集中在面齿轮的加工制造、啮合理论研究、接触分析及有限元仿真分析等研究工作上^[7-8].
端曲面齿轮(亦称为正交非圆面齿轮、正交变传动比面齿轮)是与非圆柱齿轮实现空间正交啮合传动的面齿轮.当用非圆柱齿轮在Solidworks中通过展成运动仿真加工出端曲面齿轮三维实体模型后，在三轴数控铣床上导入其模型则可加工出端曲面齿轮，将非圆柱齿轮与端曲面齿轮啮合传动时，该齿轮副能实现线接触传动.与非圆锥齿轮副相比，线接触端曲面齿轮副具有高重合度、高承载力、非圆柱齿轮不受轴向力作用等优点，且可利用现有机床和刀具加工，因而在一些特殊场合如纺织机械、农用机械、工程机械、汽车等领域有着广阔的应用前景.针对该新型面齿轮副，林超等学者对其进行了齿轮副的理论设计、三维建模、加工制造等研究与实验，对端曲面齿轮副的齿面接触进行了一定的理论推导和ANSYS仿真，但并未在线接触端曲面齿轮副齿面接触算法研究方面进行深入探讨^[9].
本文利用齿廓啮合基本定理，结合空间坐标变换原理，从几何学的角度提出一种线接触端曲面齿轮齿面接触算法，用于研究该齿轮副的齿面接触特性，为该新型面齿轮的进一步理论分析与工程应用提供理论支撑.
1 齿轮副的传动原理1.1 齿轮副传动坐标系在线接触端曲面齿轮副的传动过程中，端曲面齿轮与非圆柱齿轮的啮合传动具体表现为端曲面齿轮的瞬轴面与非圆柱齿轮的瞬轴面之间的纯滚动，其变传动比由端曲面齿轮副的节曲线确定.齿轮副瞬轴面可以看作是由无数对满足齿轮副传动比运动规律的节曲线构成的曲面，齿轮副瞬轴面的对滚过程可以看作无数对满足齿轮副传动比运动规律的节曲线的对滚过程.根据齿轮副的啮合运动规律，可建立如图 1所示坐标系.
图 1(Fig. 1)

图 1 齿轮副的坐标系Fig.1 Coordinate system of curve-face gear pair

图 1中O_s－X_sY_sZ_s和O′_s－X′_sY′_sZ′_s分别为非圆柱齿轮静坐标系与随动坐标系，O_f－X_fY_fZ_f和O′_f－X′_fY′_fZ′_f分别为端曲面齿轮的静坐标系与随动坐标系.非圆柱齿轮为主动齿轮并绕Z_s轴顺时针转动，转角为θ₁，端曲面齿轮为从动齿轮并绕Z_f轴转动，转角为θ₂，平面X_sY_s到Z_f轴的距离为R，平面X_fY_f到Z_s轴的距离为r(0)，Z_f轴与Z_s轴垂直相交.如图 1所示，在截面O_s－X_sY_s内的非圆柱齿轮的节曲线与在半径为R的圆柱面上的端曲面齿轮的节曲线为齿轮副的一对节曲线，此对节曲线为齿轮副的基本节曲线.
1.2 齿轮副的节曲线表示在所有新型齿轮传动中，节曲线为高阶椭圆的非圆齿轮应用最广，因此选择端曲面齿轮副中非圆柱齿轮的节曲线为高阶椭圆.非圆柱齿轮的基本节曲线在随动坐标系O′_s－X′_sY′_s中用极坐标方程表示为

(1)

式中：θ₁，a，k，n₁分别为非圆柱齿轮的转角、长半轴、偏心率、阶数.
由式(1)可得非圆柱齿轮的基本节曲线在非圆柱齿轮的随动坐标系O′_s－X′_sY′_sZ′_s中表示为

(2)

根据图 1所示齿轮副的相互运动关系，非圆柱齿轮的随动坐标系O′_s－X′_sY′_sZ′_s到端曲面齿轮的随动坐标系O′_f－X′_fY′_fZ′_f的坐标变换矩阵为^[9]

(3)

式中：，n₂为端曲面齿轮的阶数；则端曲面齿轮的基本节曲线在其随动坐标系O′_f－X′_fY′_fZ′_f中表示为

(4)

由式(4)可看出端曲面齿轮的基本节曲线为分布在半径为R的圆柱面上一条呈周期性变化的空间曲线.
1.3 齿轮副节点及瞬轴面如图 1所示，过非圆柱齿轮的节曲线与非圆柱齿轮和端曲面齿轮回转轴的交点O形成的非圆锥曲面为非圆柱齿轮的瞬轴面，过端曲面齿轮的节曲线与回转轴交点O形成的非圆锥曲面为端曲面齿轮的瞬轴面，两非圆锥曲面的切触线为齿轮副的瞬时回转轴.非圆柱齿轮的瞬轴面是由瞬时回转轴在非圆柱齿轮的随动坐标系中形成的直线簇.瞬时回转轴在固定坐标系O_s－X_sY_sZ_s中表示为

(5)

式中u_k为标记沿非圆柱齿轮轴向变化的变量.当u_k为一定值时，r^(O_s)(θ₁, u_k)表示齿轮副的1个节点.
由坐标变换原理可得非圆柱齿轮的瞬轴面为

(6)

端曲面齿轮的瞬轴面是由瞬时回转轴在端曲面齿轮的随动坐标系中形成的直线簇，则端曲面齿轮的瞬轴面为

(7)

由式(6)、式(7)可知，当u_k为一定值时，齿轮副的瞬轴面方程表示齿轮副的一对节曲线，且非圆柱齿轮节曲线分布在Z_s=u_k截面内，端曲面齿轮的节曲线分布在半径为R+u_k的圆柱面上.
1.4 刀具齿轮齿面方程及相关矩阵变换非圆柱齿轮的齿廓由渐开线圆柱刀具齿轮通过内包络形成，且齿轮副在啮合传动时，刀具齿轮与非圆柱齿轮均顺时针转动.非圆柱齿轮齿面的形成与刀具齿轮齿面(Z_s=u_k截面)示意图如图 2所示.
图 2(Fig. 2)

图 2 刀具齿轮齿面表示Fig.2 Tooth profile of cutter gear (a)—内啮合示意图；(b)—刀具齿面示意图.

O_k－X_kY_kZ_k和O′_k－X′_kY′_kZ′_k分别为刀具齿轮的静坐标系与随动坐标系.考虑刀具齿轮与非圆柱齿轮在内啮合过程中，为刀具齿轮的左齿廓Σ₁与非圆柱齿轮的左齿面Σ₂啮合，则本文需要推导刀具齿轮的左齿廓，则在O′_k－X′_kY′_kZ′_k中刀具齿轮第n_i齿的左齿廓Σ₁上K点的方程^[9]为

(8)

式中：r_bk=r_kcosα₀; ；，r_a为刀具齿轮的齿顶圆半径；r_k为刀具齿轮的节曲线半径；r_bk为刀具齿轮的基圆半径；z_k为刀具齿轮的齿数；α₀为刀具齿轮的压力角.
在图 2a中，非圆柱齿轮与刀具齿轮的位置关系及其转动角度关系如图 3所示.
图 3(Fig. 3)

图 3 非圆柱齿轮与刀具齿轮的关系Fig.3 Position relationship between non-cylindrical gear and cutter gear

由图 3可知，刀具随动坐标系到非圆齿轮的随动坐标系的坐标变换为

(9)

式中:
由图 1可知，非圆柱齿轮随动坐标系到其静坐标系的坐标变换方程为

(10)

2 齿面接触线方程由齿廓啮合基本原理^[1]可知，齿轮副啮合传动时，啮合点处的法线经过齿轮副此时的节点，则线接触端曲面齿轮的齿面接触线的形成原理为：齿轮副的瞬时回转轴由齿轮副的节点组成，组成齿轮副瞬轴面的每对节曲线均对应瞬时回转轴上的一个节点，且齿轮副齿面上必存在一啮合点，其法线经过此瞬时回转轴上对应的节点.由于齿轮副有无数对节曲线，每对节曲线均对应一个齿面接触点，则可得所有齿面接触点组成齿轮副的接触线.
取线接触端曲面齿轮副瞬轴面上的任意一对节曲线，在端曲面齿轮副传动过程中，齿轮副此对节曲线对应的啮合点M及其法线MP与节点P的相互关系如图 4所示.
图 4(Fig. 4)

图 4 啮合原理示意图Fig.4 Meshing point of curve-face gear pair

图 4中，O_m－X_mY_mZ_m与O′_m－X′_mY′_mZ′_m为非圆柱齿轮的静坐标系与随动坐标系，且平面O_m－X_mY_m平行于平面O_s－X_sY_s，两平面间距离为u_k.因非圆柱齿轮由刀具齿轮通过内啮合加工而来，则由啮合原理可知，当非圆柱齿轮与端曲面齿轮在非圆柱齿轮齿面上M点啮合时，在M点处，刀具齿轮、非圆柱齿轮、端曲面齿轮同时在圆柱齿轮齿面上M处啮合，且在啮合点处有刀具齿轮的齿面法线与非圆柱齿轮的齿面法线重合.
由图 3可得，刀具随动坐标系到非圆柱齿轮静坐标系的坐标变换方程为

(11)

则刀具齿轮的齿面Σ₁在非圆柱齿轮的固定坐标系中表示为

(12)

式中：φ_s=ξ+θ₁－θ_ok－θ_k.
啮合点M处的刀具齿轮齿面法线在非圆柱齿轮的固定坐标系中表示为

(13)

式(13)即表示非圆柱齿轮在啮合点M处的法线.则如图 4所示，在啮合点M处有以下表达式：

(14)

式中：τ为刀具齿轮齿面法向方向的长度系数.
将式(12)、式(13)代入式(14)中，化简得

(15)

则由式(15)可求得刀具齿轮与非圆柱齿轮啮合时，刀具齿轮所转过的角度θ_k与非圆柱齿轮的转角θ₁之间的关系.对于刀具齿轮上θ_k对应的啮合点，可得到其啮合点处的X，Y坐标为(x(θ_k), y(θ_k))，又当非圆柱齿轮与端曲面齿轮啮合时，啮合点处的法线必经过节点P，即在非圆柱齿轮固定坐标系中啮合点处的Z坐标与节点P的Z坐标相同，则啮合点在刀具随动坐标系O′_k－X′_kY′_kZ′_k中表示为(x(θ_k), y(θ_k), u_k).通过坐标变换，可得在非圆柱齿轮齿面Σ₂上的啮合点M表示为

(16)

端曲面齿轮齿面Σ₃上的啮合点M表示为

(17)

式(16)、式(17)即表示非圆柱齿轮与端曲面齿轮的齿面坐标方程，将上式计算所得齿面坐标导入仿真加工的端曲面齿轮副实体模型中，如图 5所示，其啮合点分布在端曲面齿轮副齿面上.由此可验证端曲面齿轮副齿面接触算法及齿面方程的正确性.
3 端曲面齿轮线接触印痕分析根据以上理论推导，对线接触端曲面齿轮副进行接触分析所需的刀具齿轮与面齿轮的基本参数如下：刀具齿轮的模数m=4、齿数z₀=12、压力角α₀=20°、齿顶高系数h_a^*=1、齿根高系数h_f^*=1、非圆柱齿轮的偏心率k=0.1、阶数n₁=2、齿数z₁=18、面齿轮阶数n₂=4、内径R₁=70 mm、外径R₂=83 mm，节曲线半径R=71.285 3 mm.
确定线接触端曲面齿轮副的基本几何参数后，通过MATLAB软件编程计算可得端曲面齿轮副齿面接触印痕，因端曲面齿轮副的齿面变化具有周期性与对称性，因此可用端曲面齿轮副半个周期内齿面接触印痕的变化来反映整个端曲面齿轮副齿面接触印痕的变化规律，在Solidworks中将MATLAB软件计算所得的端曲面齿轮接触线坐标导入其三维实体模型，其半个周期内齿面接触印痕变化如图 5所示.
图 5(Fig. 5)

图 5 端曲面齿轮齿面接触印痕Fig.5 Tooth contact prints of curve-face gear (a)—端曲面齿轮半个周期齿面接触印痕；(b)—端曲面齿轮轮齿1齿面理论接触印痕.

图 5b中端曲面齿轮轮齿1齿面上的4条接触线分别为非圆柱齿轮转角θ₁=0.95π, 0.99π, 1.03π, 1.07π时在端曲面齿轮轮齿1齿面上所形成的接触线.
当非圆柱齿轮转角θ₁=0.99π时，端曲面齿轮轮齿1齿面上接触线的部分坐标值见表 1.
表 1(Table 1)

表 1 θ1=0.99π时接触线部分坐标Table 1 Contact line coordinate values whenθ1=0.99π 点编号 X/mm Y/mm Z/mm P1 -70.340 186 37 2.549 983 788 1.692 302 894 P2 -71.341 359 84 2.608 881 407 1.469 773 354 P3 -73.344 984 23 2.800 242 347 0.962 859 253 P4 -75.349 618 68 3.049 771 948 0.453 943 749 P5 -77.354 813 9 3.331 595 548 -0.028 779 227 P6 -79.360 310 51 3.630 775 744 -0.477 844 961 P7 -81.365 949 14 3.938 135 085 -0.892 508 08

表 1 θ1=0.99π时接触线部分坐标 Table 1 Contact line coordinate values whenθ1=0.99π

端曲面齿轮由非圆柱齿轮通过展成加工而来，因此仿真加工时端曲面齿轮齿面上的切触痕迹线即为端曲面齿轮副啮合传动时的接触线.仿真加工时端曲面齿轮齿面上的切触痕迹如图 6所示.
图 6(Fig. 6)

图 6 端曲面齿轮齿面切触印痕Fig.6 Tooth cutting prints of curve-face gear

由图 5、图 6及表 1分析可得：
1)端曲面齿轮齿面上的接触线为一条倾斜的空间曲线，其倾斜趋势为靠近端曲面齿轮小端的接触线往齿顶方向倾斜，靠近端曲面齿轮大端的接触线往齿根方向倾斜，且靠近齿顶的接触线的倾斜角度比靠近齿根的接触线的倾斜角度小.
2)端曲面齿轮从端曲面齿轮轮齿大端齿顶进入啮合，从轮齿小端齿根退出啮合，在啮合过程中，啮合线先变长后变短.
3)在端曲面齿轮轮齿大端齿顶进入啮合与轮齿小端齿根退出啮合时，啮合线较短，容易出现边缘接触.在端曲面齿轮齿面中部，接触线分布在整个齿面上，有较好的传动质量与承载力.因此加工端曲面齿轮时，可对端曲面齿轮大端齿顶与小端齿根部分进行修形，使端曲面齿轮在轮齿齿面中部进行啮合，提高齿轮副传动质量与承载力.
4 实验验证为了验证理论计算得到的接触轨迹与区域，需要对端曲面齿轮副进行对滚检测.选取理论分析中所用的端曲面齿轮副基本几何参数，利用VB和Solidworks二次开发工具，在Solidworks中用非圆柱齿轮通过展成运动仿真加工出端曲面齿轮三维实体模型后，在三轴数控铣床上导入其模型后加工出4阶的端曲面齿轮与2阶非圆柱齿轮，完成端曲面齿轮副的加工及相应的热处理后，在500 mm万能滚动检查机上做齿轮副的对滚实验，得到端曲面齿轮半个周期轮齿齿面的接触印痕，结果如表 2所示.
表 2(Table 2)

表 2 端曲面齿轮齿面接触印痕及接触质量评价Table 2 Tooth contact prints of curve-face gear and contact quality evaluation 齿序号 1 2 3 4 5 齿面接触印痕 齿面接触印痕面积分数/% 67.8 64.0 65.3 71.5 61.2

表 2 端曲面齿轮齿面接触印痕及接触质量评价 Table 2 Tooth contact prints of curve-face gear and contact quality evaluation

由表 2可得，线接触端曲面齿轮副的齿面接触印痕分布在整个轮齿齿面上，其接触印痕面积占齿面面积的61.2%~71.5%，这是因为端曲面齿轮副齿面接触印痕实验结果受齿轮副的加工误差、安装误差等的影响，端曲面齿轮齿面不完全接触.由轮齿接触印痕可知，端曲面齿轮在齿长方向上的接触质量高于轮齿在齿高方向上的接触质量，其接触印痕呈线接触，且与理论接触印痕的变化趋势一致，从而证明了线接触端曲面齿轮齿面接触算法的正确性.
端曲面齿轮在对滚过程中，轮齿的齿顶与小端磨损较为严重，验证了接触印痕理论分析的正确性.根据其理论分析，在加工端曲面齿轮过程中，可对端曲面齿轮大端齿顶与小端齿根部分进行修形，使端曲面齿轮在轮齿齿面中部进行啮合，提高齿轮副传动质量与承载力.
5 结论1)应用齿轮啮合原理，推导了线接触端曲面齿轮副的瞬时回转轴与瞬轴面，从几何学角度建立了线接触端曲面齿轮副的齿面接触算法，得到了线接触端曲面齿轮的齿面接触印痕及齿面方程.
2)端曲面齿轮齿面上的接触线为一条倾斜的空间曲线，齿轮副从轮齿大端齿顶进入啮合，从轮齿小端齿根退出啮合.根据齿面接触分析结果提出对端曲面齿轮大端齿顶与小端齿根部分进行修形，以改善接触情况，提高齿轮副传动质量与承载力.
3)线接触端曲面齿轮副的对滚实验证明了齿面接触算法与齿面接触印痕分析的正确性.
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