物理系统的一个基本的分类方法是组成它们的粒子的自旋是整数还是半整数的。例如，自旋半整数的系统的时间反演（T）不变性会导致能谱的Kramers简并，自旋为整数的系统则没有Kramers简并。这个区别对于拓扑分类尤其关键，因为对称性代数结构的不同，会导致它们具有截然不同的拓扑分类。时空反演(PT)不变性下的拓扑物态就是一个代表性的例子，也是近年来的研究热点。整数和半整数自旋的系统分别满足PT平方等于+1和-1，导致它们可以形成不同的拓扑分类。这可以从PT对称性和子格[Sublattice(S)]对称性下的拓扑分类表（见表一）看出来[1]。拓扑分类表中的第一行, 即AI对称类，对应整数自旋或没有轨道自选耦合的PT不变系统。从表中看出，它们可以实现nodal-line半金属、2D实陈数拓扑绝缘体[2]以及3D有两重拓扑荷的新奇nodal-line半金属[2,3]，而这些拓扑相是不存在于有轨道自选耦合的电子系统中的。

表一 PT和S对称性下的拓扑分类表。其中d表示拓扑数维度
南京大学赵宇心教授及其合作者揭示了一种通过Z₂规范场下对称性的投影表示来交换自旋为整数和半整数系统物理性质的可能性，特别是可以交换PT对称性下的整数和半整数自旋系统的拓扑分类，即表一中对称类AI,BDI,CI的拓扑分类可以与AII,CII,DIII对应交换。

图一 具有规范场的格点模型在空间反演和规范变化下的演化
文章的基本想法非常简单。考虑图一中的实数跃迁格点模型，红色的边代表负跃迁，紫色代表正跃迁，如此每个方格子的磁通为pi。因为所有的跃迁都是实的，因此保持了时间反演不变性。空间反演P并不改变磁通，因此这个格点模型也具有空间反演对称性。我们直接进行空间反演P操作，原本在右边的负跃迁会变换到左边。要恢复之前的正负跃迁分布需要再做一个规范变换G, 即在格点上乘上如图所示的正负号, 因此物理的空间反演算符为P=GP。因为P操作交换了规范变换G的正负号，导致P和G反对易。我们发现在规范场下整数自旋和半整数自旋的对称性代数被交换了, 即

上述简单模型展示了一个普遍的规律：规范场下，空间反演操作后，当恢复原本的规范联络分布所需的规范变换在空间反演下取逆时，整数自旋和半整数自旋粒子的PT算符平方值会被交换。文章[4]将上述规律应用于整个拓扑分类表(表一)，并对每种情况构造了具体的格点模型, 进一步展示了上述方案的操作细节，并证明了上述方案的普适性。
此外，规范场在物理系统中广泛存在，包括晶体中的电子、自旋液体自旋子的低能有效模型、Kitaev严格可解模型。特别是近年来人工系统也被广泛应用于模拟规范场，例如光晶格中的冷原子、声子光子晶体。由此，文章[4]进一步阐述了所得到的基本理论对各种具有规范结构的物理系统的广泛适用性，探讨了文中的模型如何在物理系统中实现。
上述研究成果以“Switching spinless and spinful topological phases with projective PT symmetry”为题，以南京大学为第一作者单位和第一通讯单位发表在近期的《物理评论快报》上[Phys. Rev. Lett. 126, 196402 (2021)]。南京大学物理学院赵宇心教授为该工作的第一作者和唯一通讯作者，北京航空航天大学陈聪博士和胜献雷教授，以及新加坡科技与设计大学的杨声远教授参与了该工作。该项研究工作得到了国家自然科学基金面上项目和中央高校专项经费国际合作项目的资助。
参考文献：
1. Y. X. Zhao*, A. P. Schnyder*, and Z. D. Wang*, Phys. Rev. Lett. 116, 156402 (2016).
2. Y. X. Zhao* and Y. Lu*, Phys. Rev. Lett. 118, 056401 (2017), Editors' suggestion.
3. K. Wang^#, J. X. Dai^#, L. B. Shao*, S. A. Yang, and Y. X. Zhao*, Phys. Rev. Lett. 125, 126403 (2020), Editors’suggestion, Featured in Physics.
4. Y. X. Zhao*, C. Chen, X. L. Sheng, S. A. Yang, Phys. Rev. Lett. 126, 196402 (2021).