华南理工大学2014年博士3476数值分析考试大纲

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华南理工大学免费考研网/2014-04-25

3476数值分析考试大纲

一、误差与数值算法设计若干原则
误差的基本概念：误差来源与分类，截断误差，舍入误差，绝对误差、相对误差和误差限，有效数字。
函数计算误差分析：一元函数误差估计，四则运算误差估计。
数值算法设计应遵循的若干原则：简化计算步骤以节省计算量（秦九韶算法），减少有效数字的损失（避免相近数相减），选择数值稳定的算法。

二、插值方法
插值问题的基本概念：插值问题的提法，插值多项式的存在唯一性，
Lagrange插值：线性插值与抛物插值，n次Lagrange插值，插值余项公式。
Newton插值：均差的概念与性质，Newton插值公式及其余项，差分的概念与性质，等距节点的Newton插值公式。
Hermite插值：两点三次Hermite插值及其余项，n点Hermite插值，非标准Hermite插值及其余项。
分段低次插值：Runge现象，分段线性插值，分段三次Hermite插值。
三次样条插值：三次样条函数与三次样条插值，构造三次样条插值的三弯矩方法。

三、曲线拟合与函数逼近
正交多项式：函数内积、欧几里德范数，正交函数序列，正交多项式，Legendre多项式。
曲线拟合的最小二乘法：最小二乘拟合问题的提法，最小二乘拟合问题的解法，非线性拟合问题（指数模型、双曲线模型），最小二乘法的其他应用（算术平均、超定方程组）。
连续函数的最佳平方逼近：最佳平方逼近问题的提法，最佳平方逼近的解法，基于正交函数的最佳平方逼近，利用Legendre多项式作最佳平方逼近。

四、数值积分与数值微分
数值求积基本概念：数值求积公式基本形式，插值型求积公式，代数精度。
Newton-Cotes求积公式：Newton-Cotes公式一般形式，梯形公式和Simpson公式及其余项，数值稳定性。
复化求积公式：复化梯形公式，复化Simpson公式，复化公式的余项，复化公式的收敛性。
Gauss型求积公式：Gauss型求积公式的概念（最高代数精度、插值型），Gauss点的特性，Gauss-Legendre求积公式，Gauss公式的余项、稳定性。
Romberg算法：二等分过程梯形公式的递推关系，Richardson外推加速法，Romberg算法。
数值微分公式：基于Taylor展开的数值微分公式，基于插值的数值微分公式。

五、线性代数方程组的直接解法
三角形方程组的解法：前推、回代过程。
Gauss消去法：顺序Gauss消去法，列主元Gauss消去法。
直接三角分解法：矩阵三角分解，直接三角分解法。
追赶法与平方根法：解三对角方程组的追赶法，解对称正定方程组的平方根法。
向量和矩阵的范数与谱半径：向量范数，矩阵范数，矩阵谱半径。
扰动误差分析：条件数，病态方程组。

六、线性代数方程组的迭代解法
迭代法的基本思想：迭代法的基本概念，基本型迭代公式。
Jacobi迭代与Gauss-Seidel迭代：Jacobi迭代，G-S迭代。
迭代法收敛性分析：收敛性充要条件，收敛性充分条件，收敛速度。
SOR法：SOR法迭代公式，SOR法收敛性条件。

七、方程求根
基本概念与二分法：基本概念，求根的主要思想，二分法。
不动点迭代法:不动点迭代法，不动点迭代法的收敛性定理，局部收敛性，收敛速度与收敛阶。
Newton迭代法：Newton迭代法，Newton迭代法的收敛性，重根的处理，应用举例（如求方根、应用于代数方程等特殊方程）。
迭代过程的加速方法：Aitken加速方案，Steffensen迭代法。

八、常微分方程初值问题数值解法
数值解的概念：数值解的概念，数值解法的特点（步进式）。
Euler方法与局部截断误差：Euler公式，隐式Euler公式，梯形公式，改进的Euler公式，局部截断误差与方法的阶。
Runge-Kutta方法：2阶Runge-Kutta公式，3阶、4阶Runge-Kutta公式（经典4阶Runge-Kutta公式）。
单步法的收敛性与稳定性：单步法的收敛性，单步法的绝对稳定性。
线性多步法：线性多步法一般形式，线性多步法的构造，几个重要的线性多步法。