, 郑枫川1, 杨宇晨1, 邓兆宇1 1. 中国农业大学 水利与土木工程学院, 北京 100083;
2. 中国农业大学 北京市供水管网系统安全与节能工程技术研究中心, 北京 100083
收稿日期：2019-03-15
基金项目：国家自然科学基金项目（51809268）；北京市大学生创新性实验计划（2018bj103）
作者简介：钟强(1985-), 男, 副教授。E-mail:qzhong@cau.edu.cn
摘要：明渠水力学的传统观点认为，明渠湍流平均流速分布的对数律是与Reynolds数和Froude数无关的普适律。由于Karman常数与摩阻流速难以分离，且平均流速分布与对数律的偏离是一个渐进过程，因此导致目前对对数区的范围以及Karman常数的取值存在较大争议。该文引入诊断函数分析了高频粒子图像测速系统（PIV）测量所得光滑明渠恒定均匀湍流数据。当平均流速分布严格满足对数律时，诊断函数为常数。分析结果表明，在该实验的Reynolds数条件下，诊断函数在全水深都不存在水平段，即平均流速分布没有严格意义的对数区。根据实验和直接数值模拟的结果趋势推测，随着Reynolds数增加，流速分布将会出现严格意义的对数区，并且其范围会逐渐增大。当Reynolds数足够大时，明渠湍流的Karman常数将落在0.334和0.415之间，对数区范围将小于76<y+ < 0.5 Reτ。
关键词：明渠湍流Reynolds数对数律诊断函数
Diagnostic function analysis of the logarithmic law in open channel turbulence
ZHONG Qiang1,2
, ZHENG Fengchuan1, YANG Yuchen1, DENG Zhaoyu11.College of Water Resources and Civil Engineering, China Agricultural University, Beijing 100083, China;
2.Beijing Engineering Research Center of Safety and Energy Saving Technology for Water Supply Network System, China Agricultural University, Beijing 100083, China
Abstract: The logarithmic law is generally accepted to be a universal law for turbulent open channel flows independent of the Reynolds number and Froude number. However, the thickness of the logarithmic area and the value of the Karman constant are still being debated due to the inseparability of the Karman constant and the friction velocity and the gradual changes in the relationship between the mean velocity distribution and the logarithmic law. A diagnostic function is developed in this study to separate the Karman constant and the friction velocity in particle image velocimetry (PIV) data for open channel flows. The diagnostic function for the experimental data shows that the mean velocity distributions have no strict logarithmic region. According to the results of experiments and direct numerical simulation (DNS), the logarithmic region appears only when the Reynolds number is large enough and is within 76<y+ < 0.5 Reτ. The Karman constant is then between 0.334 and 0.415.
Key words: open channelturbulent flowReynolds numberlogarithmic lawdiagnostic function
明渠二维恒定均匀湍流中，一般认为根据黏性力、惯性力以及水面作用力的消涨关系，从床面到水面可按图 1进行分区。图中：h为水深, 是壁面湍流外尺度中的长度尺度；y+=y/y*(y*=ν/u*，y*是内尺度中的长度尺度，ν为运动黏滞系数，u*为摩阻流速)。床面附近的内区主要受黏性力控制，外区的主导因素是外尺度h所代表的惯性力。黏性力作用从床面向水面逐渐减小，惯性力的作用从水面向床面逐渐减小。内外区的重叠区域即为交叠区，交叠区内黏性力和惯性力的作用均较小。据此可推导得到床面附近存在一个黏性底层[1]，其平均流速为
 |
| 图 1 明渠湍流恒定均匀流分区 |
| 图选项 |
| $U^{+}\left(y^{+}\right)=y^{+}.$ | (1) |
| $y^{+}=\frac{y}{y^*}, \quad U^{+}=\frac{U}{u^*}.$ |
随着y的增加，黏性力对平均流速分布的影响越来越小，惯性力作用逐渐开始显现。因此，应当存在这样一个区域，外尺度h的影响尚不显著，而黏性力的作用趋于消失。据此可推导得到对数区的平均流速分布为[1]
| $U^{+}=\frac{1}{\kappa} \ln y^{+}+A.$ | (2) |
大量****研究了明渠湍流的测量结果后认为，平均流速分布存在满足式(2)的对数区，其Karman常数是一个不随Reynolds数和Froude数变化的普适常数，即对数律是一个与Reynolds数和Froude数无关的普适律[3-7]。但是，对于对数律的适用范围以及Karman常数的具体数值仍无定论。封闭槽道、管道和边界层的研究者传统上认为对数区范围为30 < y+ < 0.15Reτ(Reτ为摩阻Reynolds数，Reτ=u*h/ν)，即从y+>30到y/h < 0.15[1]。Nezu等[3]利用激光流速仪测量了明渠湍流的流速，在拟合测量数据时使用的对数区范围为30 < y+ < 0.2Reτ，并认为在这一区间内Karman常数为κ=0.412±0.011，同时指出对数区范围实际上可延伸至30 < y+ < 0.6Reτ，此时Karman常数应为κ=0.393±0.012。Cardoso等[4]在拟合对数律时使用的对数区范围为30 < y+ < 0.3Reτ，并得到Karman常数为κ=0.4±0.017，但Cardoso等认为对数律实际上可应用于全水深。王殿常等[8]分析了对数律与尾流律后认为，在实际应用中，尾流律不存在明显优势，对数区的上边界可拓展到水面。刘春晶等[6]同时分析了将0.2h、0.6h和h作为对数区上边界时所得的Karman常数，认为拟合所得Karman常数与所取对数区的范围紧密相关。Roussinova等[9]认为对数区上边界为y+=0.3Reτ。由此可见，有关对数区范围和Karman常数取值, 研究者们尚未达成共识。部分研究者甚至在全水深使用对数律。当选用不同的对数区范围拟合对数律公式得到Karman常数、摩阻流速等重要参数时，所得参数的可比性和可重复性均存在问题。
对数律的研究难点主要在于流速分布与对数律的分离是一个渐进过程，并且直到水面二者分离的程度都不大，很难准确判断流速分布与对数律完全吻合的范围。针对这一问题，本文引入诊断函数对粒子图像测速(particle image velocimetry，PIV)技术所得不同Reynolds数的明渠恒定均匀湍流的平均流速分布进行分析，尝试从实验和理论上严格检验对数区范围。
1 实验和方法1.1 实验系统和实验条件实验在清华大学泥沙实验室高精度可变坡明渠水槽中进行，水槽长20 m、宽0.3 m，玻璃实验段长17 m。自循环水流由立式轴流泵驱动，由水箱流经管道进入水槽进口。水流条件由水位流量自动测控系统控制。实验段安装8支超声水位计实时测量水位，过流管道上安装的电磁流量计连续监测流量过程，水泵由变频器控制调整流量。实验用自主研发的高频PIV系统进行测量，PIV装置距离水槽进口12 m，保证明渠湍流充分发展，同时避免尾门对实验段产生影响。实验系统的详细描述参见文[10-11]。
实验水流条件如表 1所示。表中：S为坡降，B/h为宽深比，u*为摩阻流速(根据式(5)由0.15h以上总应力分布拟合得到)，Um为断面平均流速；Fr为Froude数(Fr=Um/(gh)0.5)，Re为Reynolds数(Re=Umh/ν)。从表 1中可见，实验条件从低Reynolds数的5 387到中等Reynolds数的27 632，覆盖缓流和急流两种条件。各测次的PIV参数见表 2。综合考虑粒子拖尾和图片亮度，曝光时间设定为150~200 μs。为了保证样本之间相互独立，流场采样频率设定为1 Hz。结合不同的图像分辨率和流速大小，调整帧间的时间间隔以满足PIV测量的“1/4法则”[12]。
表 1 实验水流条件
| 测次 | S | h | ν | B/h | Um | u* | Fr | Re | Reτ | ||
| cm | mm2·s-1 | cm·s-1 | cm·s-1 | ||||||||
| P1 | 0.001 | 2.00 | 0.89 | 15 | 24.1 | 1.50 | 0.54 | 5 387 | 336 | ||
| P2 | 0.000 5 | 3.00 | 0.87 | 10 | 22.8 | 1.37 | 0.42 | 7 841 | 470 | ||
| P3 | 0.001 9 | 2.80 | 1.11 | 10.7 | 38.0 | 2.25 | 0.73 | 9 586 | 568 | ||
| P4 | 0.001 | 3.00 | 0.87 | 10 | 31.5 | 1.77 | 0.58 | 10 810 | 608 | ||
| P5 | 0.000 7 | 4.43 | 1.11 | 6.8 | 30.7 | 1.75 | 0.47 | 12 252 | 698 | ||
| P6 | 0.003 6 | 2.90 | 1.06 | 10.3 | 58.1 | 3.27 | 1.09 | 15 895 | 895 | ||
| P7 | 0.001 | 4.00 | 0.85 | 7.5 | 35.9 | 1.96 | 0.57 | 16 796 | 917 | ||
| P8 | 0.003 6 | 3.91 | 1.13 | 7.7 | 76.3 | 3.66 | 1.23 | 26 401 | 1 266 | ||
| P9 | 0.006 | 3.37 | 1.12 | 8.9 | 90.3 | 4.39 | 1.57 | 27 171 | 1 321 | ||
| P10 | 0.01 | 2.88 | 1.11 | 10.4 | 106.5 | 5.20 | 2.00 | 27 632 | 1 349 |
表选项
表 2 PIV系统参数设置
| 测次 | 曝光时间 | 帧间时间间隔 | 采样频率 | 流场数量 | 图像分辨率 |
| μs | Hz | Hz | (像素·mm-1) | ||
| P1 | 200 | 1 000 | 1 | 5 000 | 27.1 |
| P2 | 200 | 1 000 | 1 | 5 000 | 27.1 |
| P3 | 150 | 1 100 | 1 | 5 000 | 21.0 |
| P4 | 200 | 1 000 | 1 | 4 200 | 27.1 |
| P5 | 150 | 650 | 1 | 5 000 | 16.0 |
| P6 | 150 | 2 500 | 1 | 5 000 | 32.0 |
| P7 | 200 | 1 000 | 1 | 5 000 | 27.1 |
| P8 | 150 | 2 760 | 1 | 5 000 | 33.0 |
| P9 | 150 | 3 800 | 1 | 5 000 | 39.0 |
| P10 | 150 | 5 590 | 1 | 5 000 | 49.0 |
表选项
1.2 方法由于水面方向上，平均流速分布与对数律的偏离是一个渐进的过程，因此传统的直接对比二者进而判断时均流速分布是否适用对数律并确定对数区范围的方法会引入很大的误差，导致多年来关于Karman常数取值、对数区范围等关键问题一直存在争议。为了研究边界层中交叠区和对数区的尺度特征，?sterlund等[13]通过分析对数律的公式结构，提出了诊断函数，
| $\mathit{\Xi}=y^{+} \frac{{\rm{d}} U^{+}}{{\rm{d}} y^{+}}.$ | (3) |
| $\mathit{\Xi}=\frac{y u _*}{\nu} \frac{\mathrm{d}\left(\frac{1}{\kappa} \ln \frac{y u *}{\nu}+A\right)}{\mathrm{d}\left(\frac{y u_{*}}{\nu}\right)}=\\ \frac{y}{\kappa} \frac{\mathrm{d}\left(\ln y+\ln \frac{u_{*}}{\nu}+A\right)}{\mathrm{d}(y)}=\frac{1}{\kappa}.$ | (4) |
2 结果2.1 湍动统计参数本节对实验所得流场的时均流速、紊动强度与Reynolds应力3种湍流统计参数进行分析。图 2为各测次所得时均流速分布。为了清晰显示各测次的情况，图 2中每一测次时均流速均比上一测次增加5。图中空心符号为实测数据，虚线为对数律(κ=0.412，A=5.29，根据Nezu等[3])。从图 2可知，在壁面附近区域，时均流速小于对数律。约从y+=30起，各测次时均流速与对数律吻合较好。在上部流区，随着y+增加，时均流速与对数律的差异缓慢增加，至水面附近时，时均流速略大于对数律。由图 2可知，时均流速和对数律的差异增长缓慢，直接从时均流速分布图中考察精确的对数区范围非常困难。
 |
| 图 2 (网络版彩图)各测次时均流速分布 |
| 图选项 |
各测次纵、垂向紊动强度和Reynolds应力分布如图 3所示。图 3a中，u′/u*在床面附近急剧下降，在y/h=0.1附近降至u′/u*=2左右后，下降速度趋缓，在水面附近达到约u′/u*=1。图 3b中，ν′/u*从y/h=0开始增加，在y/h=0.1附近达到最大值后开始下降；到达水面附近时，由于受到水面对垂向脉动的抑制，ν′/u*的下降速度增加。精细对比明渠湍流水面附近数据和其他壁面湍流对应位置的数据可知，在明渠湍流水面附近垂向紊动强度下降的同时，纵向和展向紊动强度有所增加，这一现象称为水面附近的紊动能重分配[9, 19-21]，是明渠湍流相比于其他壁面湍流的特有现象。图 3中绘出了Nezu等[3]建议的明渠紊动强度分布经验公式计算结果(黑色实线)。由图 3a和3b可知，在经验公式的适用区间，各测次的结果与经验公式吻合较好，证明了本实验各测次数据的可靠性与准确性。Reynolds应力分布如图 3c所示。由Reynolds方程可推导总切应力沿垂向分布为[3]
 |
| 图 3 (网络版彩图)垂向紊动强度分布Reynolds应力分布 |
| 图选项 |
| $\frac{\tau}{\rho} \equiv-\overline{u \nu}+\nu \frac{\partial U}{\partial y}=u_{*}^{2}\left(1-\frac{y}{h}\right).$ | (5) |
| $\frac{-\overline{u \nu}}{u_{*}^{2}}=\left(1-\frac{y}{h}\right).$ | (6) |
2.2 诊断函数根据1.2节，在时均流速严格满足对数律的范围内诊断函数Ξ为常数，并且1/Ξ即为Karman常数。各测次Ξ的分布如图 4和5所示。两图中的y分别采用内尺度和外尺度进行量纲归一化，以分别展示近壁区和外区的情况。图 4和5中还绘出了封闭槽道流直接数值模拟(direct numerical simulation，DNS)的结果[18]。封闭槽道流是两块平行无限大平板间的流动，无限大明渠湍流与封闭槽道流的唯一区别在于明渠湍流的上边界是自由液面而封闭槽道流是对称的床面。由图 4可知，明渠湍流和封闭槽道流各测次除靠近床面的数个测点外，在内区数据基本重合。床面附近数据的差异是由于实验测量分辨率小于DNS网格所致。DNS数据的起始点y+ < 1，并且壁面附近网格间距均小于y*。PIV实验数据的第1个测点的y+在10左右，并且测点空间分辨率均约为10·y*，因此y+ < 20的PIV测量数据有较大误差，不适用于精细分析。不同数据经过内尺度量纲化归一之后在内区吻合良好这一事实说明，不同种类和不同Reynolds数的壁面湍流在内区均服从相同的规律，均由黏性力主导，因此其时均流速均服从相同的规律。
 |
| 图 4 (网络版彩图)诊断函数分布(y+) |
| 图选项 |
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| 图 5 (网络版彩图)诊断函数分布(y/h) |
| 图选项 |
在观测范围内，Ξ从最大值开始减小，并且减小的速度逐渐放缓。图 4中绘出了传统观点的对数律起始点y+=30，但在y+>30的区域Ξ不为常数且继续下降，在y+=76附近达到极值2.4左右，之后开始缓慢上升，趋近另一极值Ξ≈3。之后封闭槽道流数据开始迅速下降，明渠湍流数据受到水面影响也出现变化。从图 5可以看到明渠湍流各测次诊断函数Ξ在靠近水面时的情况：在y/h>0.5之后，Ξ开始缓慢下降；当y/h>0.8时，摩阻Reynolds数较小的P1、P2和P4测次诊断函数Ξ迅速增加后急剧减小，其他测次数据增加的趋势不显著，但急剧下降段为各测次所共有。图 4和5中红色水平虚线对应Nezu等[3]建议的明渠湍流的Karman常数κ=0.412。由图 4和5可知，Nezu的建议值与诊断函数Ξ在y+=76左右出现的极值接近，壁面与水面附近Ξ均大幅偏离建议值。中间段曲线虽然相对平缓，但诊断函数也不是常数。因此，通过诊断函数的细致分析可知，在本次实验的Reynolds数条件下，明渠湍流的平均流速分布不存在完全满足对数律的区域。
虽然诊断函数Ξ在全水深均不为常数，但由图 4中封闭槽道流和明渠湍流的高Reynolds数时曲线的趋势可以推测，随着Reynolds数增加，在y+=76处达到极小值之后，Ξ缓慢上升段的范围会逐渐增加，而极大值Ξ≈3基本不随Reynolds数变化，因此缓慢上升段的斜率会随Reynolds数增加而逐渐减小，最终趋于0。封闭槽道流与明渠湍流的上边界条件不同，由于上边界对水流的影响随着y/h的减小而逐渐减小，对数区的出现本身就是由于在这一区域外边界和黏性力的影响都可被忽略所致，因此槽道流和明渠湍流的外区平均流速分布会有所不同，但是内区及对数区内的平均流速分布应该满足类似规律。根据槽道流的数据可以推测，在Reynolds数足够大的明渠湍流中，平均流速分布将会存在严格意义下的对数区，并且对数区范围会随Reynolds数的增加而增大。从图 4可以看到，摩阻Reynolds数Reτ=4 200的封闭槽道流的Ξ在300 < y+ < 1 000范围内出现了一段水平段，在这一范围内平均流速分布满足对数律。
2.3 Karman常数在一定允许的误差范围内，可以将诊断函数斜率较小的区域近似为一条水平直线，即满足对数律。从图 4可知，诊断函数趋于平缓的范围应该在其极大值与极小值之间。各测次的诊断函数的极小值、极大值点坐标与对应的Karman常数分别见表 3和4。图 6中绘出了明渠湍流各测次极值点的坐标(y+或y/h)与对应Karman常数随摩阻Reynolds数Reτ的变化。由图 6可见，极值点的坐标是不随Reτ变化的常数。表 3与4计算了坐标与Karman常数的均值，分别为y+=76、κ=0.415与y/h=0.5、κ=0.334。因此，随着Reτ增加，极小值与极大值之间的缓慢上升段的斜率会逐渐减小，最终趋于0，越来越接近对数律。可以推测，当Reτ足够大并出现完全满足对数律的区间时，Karman常数的范围约在0.334 < κ < 0.415，对数区范围在76 < y+ < 0.5 Reτ内。例如，从图 4中Reτ=4 200的封闭槽道流数据可知，Karman常数约为0.4，对数区范围约为300 < y+ < 1 000。
表 3 诊断函数极小值数据
| 测次 | ymin+ | Ξmin | κmax | Reτ |
| P1 | 89.27 | 2.410 | 0.415 | 336 |
| P2 | 64.86 | 2.314 | 0.432 | 470 |
| P3 | 69.50 | 2.420 | 0.413 | 568 |
| P4 | 83.80 | 2.430 | 0.412 | 608 |
| P5 | 78.83 | 2.450 | 0.408 | 698 |
| P6 | 77.12 | 2.368 | 0.423 | 895 |
| P7 | 74.55 | 2.466 | 0.406 | 917 |
| P8 | 70.67 | 2.398 | 0.417 | 1 266 |
| P9 | 80.40 | 2.436 | 0.410 | 1 321 |
| P10 | 76.48 | 2.402 | 0.416 | 1 349 |
| 均值 | 76.55 | 2.409 | 0.415 |
表选项
表 4 诊断函数极大值数据
| 测次 | (y/h)max | Ξmax | κmin | Reτ |
| P1 | 0.546 6 | 2.924 | 0.342 | 336 |
| P2 | 0.482 6 | 3.058 | 0.327 | 470 |
| P3 | 0.544 2 | 3.034 | 0.330 | 568 |
| P4 | 0.492 5 | 3.054 | 0.327 | 608 |
| P5 | 0.609 5 | 2.916 | 0.343 | 698 |
| P6 | 0.500 0 | 2.963 | 0.337 | 895 |
| P7 | 0.480 1 | 3.024 | 0.331 | 917 |
| P8 | 0.452 6 | 2.975 | 0.336 | 1 266 |
| P9 | 0.426 1 | 2.980 | 0.335 | 1 321 |
| P10 | 0.476 2 | 3.051 | 0.328 | 1 349 |
| 均值 | 0.501 0 | 2.998 | 0.334 |
表选项
 |
| 图 6 诊断函数的极值位置与对应的Karman常数 |
| 图选项 |
3 结论明渠湍流研究中的传统观点认为对数律是一个与Reynolds数和Froude数无关的普适律，而由于平均流速分布与对数律的分离是一个渐进过程，导致目前对Karman常数的取值和对数区范围存在较大争议。针对对数律的普适性、对数区范围与Karman常数取值等问题，本文引入了诊断函数方法对PIV测量所得光滑明渠恒定均匀湍流的平均流速分布进行分析，得到以下结论：
1) 明渠湍流的诊断函数在y+=76附近达到极值2.41，之后缓慢上升，趋近另一极值3。在y/h>0.5之后，诊断函数值开始缓慢下降。当y/h>0.8时，Reynolds数较小的测次诊断函数值迅速增加后急剧减小，其他测次增加的趋势不显著，但急剧下降段为各测次所共有。在本次实验的Reynolds数条件下，诊断函数在全水深都不存在水平段，即平均流速分布没有严格意义的对数区。
2) 根据当前实验和封闭槽道流DNS结果的趋势推测，随着Reynolds数增加，诊断函数值在y+=76之后的缓慢上升段会逐渐增加，上升斜率会随Reynolds数增加而逐渐减小，最终趋于0。因此，在Reynolds数足够大的情况下，明渠湍流平均流速分布将会存在严格意义的对数区，其范围会随Reynolds数的增加而增大。
3) 当Reynolds数足够大时，明渠湍流的Karman常数约在0.334 < κ < 0.415，对数区范围小于76 < y+ < 0.5Reτ。
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