北京大学 工学院, 力学与工程科学系, 北京 100871
收稿日期：2018-12-24
基金项目：国家重点研发计划项目（2018YFC0809700，2017YFC0803300）
作者简介：黄君豪(1993-), 男, 硕士研究生
通信作者：陈永强, 副教授, E-mail:chenyq@pku.edu.cn
摘要：该文提出基于几何指标来评估边界元法单元积分精度并对其进行修正来改善求解精度的方法。奇异性几何指标定义为源点到被积单元的最短距离与单元长度的比值。对于离散后的边界元法网格，利用求积误差上界公式得到各单元奇异性几何指标与积分精度的关系，通过该网格节点几何信息估算出全部单元的积分精度。通过矩阵的误差传递公式估算代数方程组求解结果的最大相对误差，将其作为全局精度指标。若该指标大于指定值，说明存在局部单元积分精度不足而影响结果精度的情况，必须对单元积分精度进行修正和提高。提出采用sinh变换法对精度不满足要求的单元积分进行修正。数值结果表明：该方法可以仅基于网格的几何信息，在不改变原计算流程和几乎不增加计算量的条件下，保证边界元法整体刚度矩阵系数精度和最终求解精度，且易于数值实施。
关键词：边界元法单元积分精度几何指标精度修正sinh变换
Accuracy evaluation and correction of the element integration based on a geometric index in the boundary element method
HUANG Junhao, CHEN Yongqiang
Department of Mechanics and Engineering Science, College of Engineering, Peking University, Beijing 100871, China
Abstract: This paper presents a scheme to evaluate the element integration accuracy for the boundary element method based on a singular geometric index to improve the accuracy of the final solution. The singular geometric index is defined as the ratio of the shortest distance from the source point to the integral element to the element length. For a discretized boundary mesh, the upper bound of the quadrature error is used to obtain the relationship between the singular geometric index and the element integration accuracy with the integrated accuracies of all the elements estimated from the node geometries. Furthermore, the maximum relative error of the solution which is a global precision index is estimated from the matrix error transfer formula. If the index is larger than a threshold, some of the element integrals are not accurate and should be corrected to improve the solution accuracy. This method uses the sinh transformation method to correct the element integrals of low accuracy elements. Numerical results show that this method can guarantee the accuracy of the overall stiffness matrix coefficient of the boundary element method and the final solution accuracy using only the geometric node information. This scheme does not need to change the original calculation, requires little additional computational cost, and can be easily implemented.
Key words: boundary element methodelement integral accuracygeometric indexaccuracy correctionsinh transformation
边界元法在固体与结构数值分析领域是有限元法的一种重要补充[1-3]。边界元法在计算中利用了基本解，因而比有限元等区域解法有着降低维数的优势，且便于模拟复杂的几何模型。在实施过程中，边界单元的类型和离散方式对计算结果的精度有重要影响。例如，为了减小离散带来的误差，得到收敛的高精度边界元解，在局部应力集中或梯度变化剧烈的区域往往要划分更密的边界网格来准确反映该处物理场的变化[4]。为此，很多****研究和提出了不同的网格划分和细化方式，并根据相关误差准则来提高计算精度的方法[5-7]。此类方法的目的在于用一定的误差准则来指导单元的细化，采用较少单元获得更高精度的解，提高计算效率，也被称为高精度边界元法[4, 8-9]。然而，在复杂的模型中，采用某一准则对单元进行划分时，往往会忽略另外一个问题：部分单元积分的源点离单元过近，导致单元积分的精度不足，并进一步影响代数方程组求解的精度。这类问题被称为近奇异问题或边界层效应(boundary layer effect)[10-13]。通常来说，近奇异积分主要存在于以下几种情况[14]：
1) 薄壁结构、涂层结构[12, 15-18]和裂纹问题[19-20]。此类问题通常出现在不同边界相距很近的情况。若不对该处的单元进行细化和相关处理，则很容易出现由于近奇异性而导致的精度下降，但细化会导致计算量增加，采用坐标变换方式处理近奇异问题是一个有效手段。
2) 近边界点物理量的计算[21]。力学问题通常比较关注边界上的物理量，因为最大应力通常发生在边界上。当内部节点非常接近边界时，内点应力计算则涉及近奇异问题。
3) 网格尺寸变化较大处[22]。当采用一种离散准则去划分边界单元时，往往容易忽略由于单元长度相差较大而导致的近奇异问题。
有效地处理近奇异积分是保证边界元法获得良好数值结果的前提之一，也是国内外****研究的一个重要问题。目前处理的方法主要有：单元细分法[22-25]、坐标变换法[26-32]、解析半解析算法[21, 33-35]等。单元细分法主要是通过细化单元的方式来减小单元积分的近奇异性，例如Mustoe[25]提出的自适应Gauss积分方法，根据误差上界公式细化单元，保证结果满足指定精度。坐标变换法则是通过变量代换来降低单元积分的近奇异性，主要有三次多项式变换[26-27]、Sigmoidal变换[28-30]、sinh坐标变换[31-32]等。解析半解析算法是将近奇异积分转化为单元首末节点的解析函数，而弱近奇异积分采用非线性变换后用常规Gauss求积方法计算[34]，强近奇异积分和超近奇异积分则采用复平面正则化方法处理，其中规则化部分采用常规Gauss数值积分计算，形式简单的奇异积分部分则进行解析求解[35]。
对于近奇异积分，通常只关注上述第1种情况，即两个边界相近的情况，而忽视了复杂模型中其他可能存在的源点距被积单元很近而导致的近奇异问题，也就是第3种情况。针对这个问题，本文以位势问题为例，提出基于几何指标的方法对边界法中所有单元积分的精度进行监测，并对由于源点离单元过近而导致单元积分精度不足的情况利用修正近奇异积分精度的方法对其进行修正，从而保证单元积分和最终求解结果的精度。
1 位势问题边界元法的基本理论以二维位势问题为例，其边界积分方程表达式为
| $\begin{array}{*{20}{c}}{c\left( p \right)\phi \left( p \right) = }\\{\int_\mathit{\Gamma } {\left[ {{\phi ^{\rm{S}}}\left( {p;q} \right)\frac{{\partial \phi \left( q \right)}}{{\partial n\left( q \right)}} - \frac{{\partial {\phi ^{\rm{S}}}\left( {p;q} \right)}}{{\partial n\left( q \right)}}\phi \left( q \right)} \right]{\rm{d}}\mathit{\Gamma }\left( q \right)} }.\end{array}$ | (1) |
将边界Γ离散为Ne个边界单元，引入形函数Nl(m)(ξ)，则离散后的边界积分方程表示为
| $\begin{array}{*{20}{c}}{c\left( {{p_i}} \right)\phi \left( {{p_i}} \right) = }\\{\sum\limits_{j = 1}^{{N_{\rm{e}}}} {\sum\limits_{l = 1}^m {\frac{{\partial \phi }}{{\partial n}}} } \left( {{q_{jl}}} \right)\int_{{\mathit{\Gamma }_j}} {N_l^{\left( m \right)}\left( \xi \right){\phi ^{\rm{S}}}\left( {{p_i};q\left( \xi \right)} \right){\rm{d}}\mathit{\Gamma }\left( \xi \right)} - }\\{\sum\limits_{j = 1}^{{N_{\rm{e}}}} {\sum\limits_{l = 1}^m \phi } \left( {{q_{jl}}} \right)\int_{{\mathit{\Gamma }_j}} {N_l^{\left( m \right)}\left( \xi \right)\frac{{\partial {\phi ^{\rm{S}}}\left( {{p_i};q\left( \xi \right)} \right)}}{{\partial n\left( q \right)}}{\rm{d}}\mathit{\Gamma }\left( \xi \right)} .}\end{array}$ | (2) |
| $\begin{array}{*{20}{c}}{h_{{p_i}{q_j}}^l = \int_{{\mathit{\Gamma }_j}} {N_l^{\left( m \right)}} \left( \xi \right){\phi ^{\rm{S}}}\left( {{p_i};q\left( \xi \right)} \right){\rm{d}}\mathit{\Gamma }\left( \xi \right),}\\{g_{{p_i}{q_j}}^l = \int_{{\mathit{\Gamma }_j}} {N_l^{\left( m \right)}\left( \xi \right)\frac{{\partial {\phi ^{\rm{S}}}\left( {{p_i};q\left( \xi \right)} \right)}}{{\partial n\left( q \right)}}{\rm{d}}\mathit{\Gamma }\left( \xi \right)} .}\end{array}$ | (3) |
2 单元与源点几何关系的指标λ本文采用几何指标λ反映单元积分精度。λ为源点到被积单元最短距离与单元长度的比值，
| $\lambda = \frac{s}{l}.$ | (4) |
单元长度l的表达为
| $l = \int {\rm{d}} l = \int_{ - 1}^1 {\sqrt {{{\left( {\frac{{{\rm{d}}{x_1}}}{{{\rm{d}}\xi }}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{{\rm{d}}{x_2}}}{{{\rm{d}}\xi }}} \right)}^2}} {\rm{d}}\xi } .$ | (5) |
 |
| 图 1 不同情况下源点到单元的绝对距离 |
| 图选项 |
若源点在单元上投影的位置不在单元内(包括投影点在单元的延长线上)(图 1a、图 1b、图 1c)，s取源点到单元两端距离的较小者；若源点的投影在单元上(图 1d)，则s的表达式为
| $s\left( \xi \right) = \sqrt {{{\left( {\sum\limits_{i = 1}^k {{x_i}} {\varphi _i}\left( \xi \right) - {x_p}} \right)}^2} + {{\left( {\sum\limits_{i = 1}^k {{y_i}} {\varphi _i}\left( \xi \right) - {y_p}} \right)}^2}} .$ | (6) |
3 指标λ与单元积分精度的关系式(3)所示的单元积分的计算通常采用Gauss求积公式，
| $I = \int_a^b f (x){\rm{d}}x = \frac{{b - a}}{2}\sum\limits_{k = 1}^n {{w_k}} f\left( {{x_k}} \right) + {E_n}.$ |
| ${E_n} = \frac{{{L^{2n + 1}}{{(n!)}^4}}}{{\left( {2n + 1} \right){{[(2n)!]}^3}}}{f^{(2n)}}(x).$ | (7) |
 |
| 图 2 单元积分的相对误差与λ之间的关系 |
| 图选项 |
由图 2可以看出，单元积分的源点距离单元过近时会导致单元积分精度的下降，并且ξp=0.0时的误差最大。为了使λ能准确地反映单元积分的精度，本文利用单元积分的误差上界公式，来表示单元积分相对误差与λ之间的对应关系。误差上界公式有以下几种准则：
3.1 Lachat与Watson的准则通过对式(7)的推导和近似，Mustoe[25]得到式(8)的Gauss求积误差上界公式，
| ${E_n} < 2{\left( {\frac{l}{{4s}}} \right)^{2n}}\frac{{(2n + p - 1)!}}{{(2n)!(p - 1)!}} < e.$ | (8) |
Gao和Davies[22]在此基础上，进一步提出关于Gauss积分点数的实用公式，
| $n = \frac{{{p^*}\ln \left( {e/2} \right)}}{{2\ln [l/(4s)]}}.$ | (9) |
3.2 Davies与Bu的准则Bu与Davies[23]在1995年提出了一个基于曲面积分数值实验的准则。该准则在积分精度e=10-4时，关于Gauss积分点数的表达式如下：
| $n = {\left( {\frac{{8{l_i}}}{{3s}}} \right)^{\frac{3}{4}}} + 1,\;\;\;\;\left( {\frac{1}{r}型} \right)$ | (10) |
| $n = {\left( {\frac{{4{l_i}}}{{3s}}} \right)^{\frac{3}{4}}} + 1.\;\;\;\;\left( {\frac{1}{{{r^2}}}型} \right)$ | (11) |
| $n = {p^*}\left[ { - \ln \left( {e/2} \right)10} \right]\left[ {{{\left( {\frac{{8l}}{{3s}}} \right)}^{\frac{3}{4}}} + 1} \right].$ | (12) |
3.3 误差上界准则本文基于近奇异型积分的Gauss求积最大相对误差En与源点到单元的相对距离λ在对数坐标下的近似线性关系，提出了如下误差上界表达式
| ${E_n} = {{\rm{e}}^{[(0.025p - 1.05)n + 2]4\lambda + 1.3p - 2}}$ | (13) |
| $n = \frac{{2 - \frac{{\ln {E_n} - 1.3p + 2}}{{4\lambda }}}}{{1.05 - 0.025p}}.$ | (14) |
 |
| 图 3 3种准则对计算结果精度估算的比较 |
| 图选项 |
从图 3可以看出，Lachat与Watson准则对计算结果精度的估算是非常消极的，在λ＜1的区间中，估算结果总是比实际结果大3、4个量级以上，且随着λ的变小，偏差更大，不利于对单元积分精度的估算。Bu与Davies准则并不能确保作为所有数据点的误差上界，因为该准则并未考虑到Gauss积分中精度最差的情况，导致在比较大的范围内，该准则会失效。因此，本文采用所提出的式(13)来作为几何指标与单元积分对应关系的表达式。
4 全局求解精度指标本文进一步考查单元积分的误差对最终求解结果的影响。利用矩阵误差传递公式得到计算结果的最大可能相对误差，作为一个度量全局单元积分精度的指标E。
对于代数方程组Ax=b，在考虑误差的情况下，其实际计算的结果可以表示为
| $\left( {\mathit{\boldsymbol{A}} + \delta \mathit{\boldsymbol{A}}} \right)\mathit{\boldsymbol{x'}} = \mathit{\boldsymbol{b}} + {\rm{ \mathsf{ δ} }}\mathit{\boldsymbol{b}}.$ | (15) |
方程组发生扰动时解的误差的估计式为[36]
| $\begin{array}{*{20}{c}}{E = \frac{{{{\left\| {\mathit{\boldsymbol{x}} - {\mathit{\boldsymbol{x}}^\prime }} \right\|}_\alpha }}}{{{{\left\| \mathit{\boldsymbol{x}} \right\|}_\alpha }}} \le }\\{\frac{{ {\rm{cond}} (\mathit{\boldsymbol{A}})}}{{1 - {\rm{cond}} (\mathit{\boldsymbol{A}})\left( {\left\| {{\rm{ \mathsf{ δ} }}\mathit{\boldsymbol{A}}} \right\|/\left\| \mathit{\boldsymbol{A}} \right\|} \right)}}\left( {\frac{{\left\| {{\rm{ \mathsf{ δ} }}\mathit{\boldsymbol{A}}} \right\|}}{{\left\| \mathit{\boldsymbol{A}} \right\|}} + \frac{{{{\left\| {{\rm{ \mathsf{ δ} }}\mathit{\boldsymbol{b}}} \right\|}_\alpha }}}{{{{\left\| \mathit{\boldsymbol{b}} \right\|}_\alpha }}}} \right).}\end{array}$ | (16) |
在边界元法的实施过程中，δA和δb是指数值积分结果和精确解的差值，可用于估算方程组解的最大可能相对误差。在实施求解之前，通过式(13)和几何指标λ估算误差值δA和δb，并通过式(16)求得E，本文称为估算全局指标；求解后用实际误差值求得的式(16)结果称为实际全局指标，记为E′。据此，本文将E(或E′)作为一个全局的求解精度指标。
5 单元积分精度修正方法对于局部的单元积分因精度不足而影响了最后结果的求解精度情况，本文利用sinh坐标变换的方法进行精度修正[32]。
sinh坐标变换方法是利用坐标变换将原本具有近奇异的积分在变换后降低其奇异性，从而可以采用常规数值积分而确保积分精度。例如，对于原积分表达式
| $g = \int_{ - 1}^1 f (\xi )\ln r(\xi ){\rm{d}}\xi ,$ | (17) |
| $\xi = a + s\sinh \left( {{k_1}\eta + {k_2}} \right).$ | (18) |
| ${k_1} = \frac{1}{2}\left( {{\rm{arcsinh}}\left( {\frac{{1 + a}}{s}} \right) + {\rm{arcsinh}}\left( {\frac{{1 - a}}{s}} \right)} \right),$ | (19) |
| ${k_2} = \frac{1}{2}\left( {{\rm{arcsinh}}\left( {\frac{{1 + a}}{s}} \right) - {\rm{arcsinh}}\left( {\frac{{1 - a}}{s}} \right)} \right).$ | (20) |
| $g = \int_{ - 1}^1 f \left( {\xi \left( \eta \right)} \right)\ln r\left( {\xi \left( \eta \right)} \right)J\left( \eta \right){\rm{d}}\eta .$ | (21) |
| $J(\eta ) = \frac{{{\rm{d}}\xi }}{{{\rm{d}}\eta }} = s{k_1}\cosh \left( {\eta {k_1} + {k_2}} \right)$ | (22) |
 |
| 图 4 坐标变换前后单元积分精度与λ之间的关系 |
| 图选项 |
由图 4可以看出，单元积分在坐标变换后的相对误差明显降低，在λ比较小时，提高精度的效果尤其明显，说明采用sinh坐标变换的方式可以提高λ较小时的单元积分精度，并且具有不改变既有计算流程和计算成本基本不增加的优点。
6 数值算例为了检验本文提出的检验单元积分并进行修正方法的有效性，对以下两种可能出现近奇异性的问题进行计算、检验和修正。
算例1??薄壁问题。如图 5所示的矩形区域，长为L=100，宽为h，逐渐减小h值使从0.1~1变化。在矩形的上下边施加流场q=
 |
| 图 5 算例1示意图 |
| 图选项 |
表 1 算例1计算结果
| λ | E | eu | eu′ |
| 1 | 8.49×10-12 | 5.88×10-16 | 5.88×10-16 |
| 0.5 | 5.11×10-7 | 1.18×10-11 | 3.67×10-16 |
| 0.2 | 1.96×10-3 | 4.18×10-8 | 2.24×10-13 |
| 0.1 | 1.35×10-1 | 2.03×10-6 | 6.13×10-12 |
| 0.01 | 8.98×100 | 6.73×10-4 | 1.34×10-9 |
| 0.001 | 5.43×100 | 1.86×10-3 | 1.58×10-8 |
| 注：E表示全局指标的范数取为1，eu和eu′分别表示修正前后的下边势场值的平均相对误差。 | |||
表选项
由表 1可知，在薄壁问题中，当h取值越来越小时，其全局的精度指标E将会变得越来越差。当E过小时，直接采用sinh坐标变换对其进行修正，可以使计算结果的精度得到很好的提升，且该过程实施流程简单，额外计算成本可以忽略。
算例2??网格尺寸相差较大的问题。如图 6所示，势场为
 |
| 图 6 算例2示意图 |
| 图选项 |
采用以下两种方式(单元总数均为40个线性单元)对边界进行划分：
1) 对边界上所有单元进行等长度划分，如图 7a所示；
 |
| 图 7 对边界进行等长度划分和等梯度划分示意 |
| 图选项 |
2) 根据该势函数梯度场的变化实施离散，如图 7b所示。
以图 6的B点处的流场值的相对误差作为结果进行比较(Gauss积分点数取为4)，结果见表 2。
表 2 两种划分结果的比较
| 划分方式 | E | 流场相对误差 |
| 等长度划分 | 9.88×10-8 | 4.81×10-4 |
| 等梯度划分 | 5.28×10-3 | 2.03×10-4 |
表选项
由表 2可以看出，采用相同数量的单元，等梯度划分的计算结果要好于等长度划分。等长度划分方式对应的全局指标非常小，可以认为其单元积分的精度没有对最终结果造成影响，目前的结果体现了40个单元情况下这一划分方式最好的求解精度；而等梯度划分方式尽管求解精度高于等长度划分，但它的指标E比等长度划分大，影响了计算结果精度，进一步分析可以发现这是由图 8所示的近奇异问题所导致的。
 |
| 图 8 出现近奇异积分的区域 |
| 图选项 |
采用本文提出的近奇异修正方法对等梯度划分中精度过低的单元进行修正，结果见表 3。
表 3 等梯度划分修正前后相对误差
| E | E′ | 流场相对误差 | |
| 修正前 | 5.28×10-3 | 1.35×10-4 | 2.03×10-4 |
| 修正后 | — | 4.34×10-7 | 8.79×10-5 |
| 注：由于估算的全局指标在修正后无法计算，因此采用实际全局指标来反映修正后的整体单元积分精度。 | |||
表选项
可以发现，修正后全局指标得到了改善，提高了计算结果的精度，且该过程实施流程简单，相比于增加Gauss积分点的方式，能有效减少计算量。
再对等梯度网格划分进行加密，计算结果见表 4。
表 4 加密网格前后结果的比较
| 总单元数 | E | E′ | 流场相对误差 | |||
| 修正前 | 修正后 | 修正前 | 修正后 | |||
| 40 | 5.28×10-3 | 1.35×10-4 | 4.34×10-7 | 2.03×10-4 | 8.79×10-5 | |
| 200 | 1.56×10-2 | 5.76×10-4 | 8.14×10-7 | 3.53×10-4 | 2.73×10-5 | |
| 500 | 7.13×10-2 | 1.13×10-3 | 2.51×10-7 | 3.06×10-4 | 3.97×10-6 | |
表选项
由表 4可以看出，加密后全局指标(E或E′)仍会改变，在本例中变大了，反映了单元积分精度变差。对单元积分进行修正后，全局指标和最终计算结果均得到有效改善。
可见，如果在边界元法的实施过程中，只加密单元而不关注本文提出的全局指标E，计算结果的精度可能无法得到有效提升，甚至可能会更差，而考虑全局指标，通过本文提出的精度修正方法恢复单元积分精度后，能有效解决这个问题。修正后的结果随着单元加密，精度不断提高，说明此时已不存在单元积分精度不足的问题。
7 结论本文采用了几何指标λ反映单元积分精度，进一步建立了全局精度指标E，并根据E的大小判断是否需要对单元积分进行修正。本文提出采用sinh坐标变换法修正和恢复单元积分精度。本文所提出的基于几何指标和修正边界元法求解精度的方法，无需改变原计算流程，增加的计算成本可以忽略，实施简单方便。数值算例证明了该方法可行有效，能在既有网格离散的基础上保证边界元法整体刚度矩阵的准确性和最终求解精度。本文的结果表明：
1) 对于全局精度指标E过小的划分方式，采用sinh坐标变换法进行修正，能够有效提高计算结果的精度；
2) 网格加密后，全局指标和单元精度也会改变，必须在每次加密后都监测并在必要情况下进行单元精度的修正；
3) 在边界元法实施过程中，若不关注全局指标而盲目地加密单元，计算结果的精度可能无法得到有效提升，甚至可能会更差。
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