张明 ¹ , 郑双凌 ¹ , 马吉明 ¹ , 齐文彪 ²
1. 清华大学 水沙科学与水利水电工程国家重点实验室, 北京 100084;
2. 吉林省水利水电勘测设计研究院, 长春 130021

收稿日期：2017-02-16
基金项目：国家自然科学基金面上资助项目（51379099）；清华大学水沙科学与水利水电工程国家重点实验室开放基金资助项目（sklhse-2017-C-02）
作者简介：张明(1965-), 男, 副教授。E-mail:mzhang@tsinghua.edu.cn


摘要：简单管路的水击分析是水电站设计的重要部分。该文对目前设计中采用的阀门开度匀速变化时水击的解析计算中存在的问题进行研究，详细推导和分析水击计算的区域划分，给出了正确的负水击区域划分图；通过以直线代替曲线的方式，提出足够精确的简化水击区域划分图；通过与精确水击区域划分图的比较，阐明了简化水击计算中可能出现的类型误判；基于直接求取水击最大值的考虑，提出第一相水击和末相水击类型的后验判别方法。此外，还给出了直接水击和第一相水击的直接计算公式。算例分析表明：该文给出的水击区域划分、提出的水击类型后验判别方法以及推导的水击直接计算公式正确可行。
关键词：水电站简单管路水击解析方法开度
Effect of errors in predicting the water hammer types and pressures in a simple pipeline
ZHANG Ming¹, ZHENG Shuangling¹, MA Jiming¹, QI Wenbiao²
1.State Key Laboratory of Hydroscience and Engineering, Tsinghua University, Beijing 100084, China;
2.Jilin Province Water Resource and Hydropower Consultative Company, Changchun 130021, China


Abstract: The analysis of water hammer in a simple pipeline is a fundamental problem in hydropower station designs. The type and evaluation of maximum water hammer in simple pipeline during the uniform closure or opening of a hydraulic turbine is studied. In particular, the type prediction is rectified for negative water hammer. The accurate simplified models for the prediction of positive and negative indirect water hammers are proposed to replace curves in the indirect water hammer domains with straight lines. With these models, possible errors due to inaccurate predictions of the water hammer in the simplified water hammer evaluation model currently adopted in the hydroelectric engineering are illustrated comparatively. A method is given for directly determining the maximum indirect water hammer pressure, no longer needing the prior prediction of first-phase or end-phase water hammer. In addition, formulas are given for the indirect water hammer without solving all the equations. The validity and applicability of the water hammer prediction and evaluation, including the method and formulas for indirect water hammer, are verified by examples.
Key words: hydropower stationsimple pipelinewater hammeranalytical methodopening degree
水击，即在有压管路内，由于流速急剧改变，引起管内压强的大幅变化并在整个管长范围传播的现象，是一种常见的有压管道非恒定流现象。水电站停机甩荷、水泵站断电停泵、输油管启闭阀门、自来水阀门突然关闭等都伴有水击发生。水击压力是水电站设计中必须考虑的主要荷载之一^[1-3]。
目前关于水击的研究大多是长输水管道中水击的数值计算^[4]及实验研究^[5-6]，而对于水击理论及计算方法的研究相对较少。文[7-12]等对经典水击理论及其应用中存在的不合理和不完善问题，在理论分析和数值计算方面进行了研究分析。如Ghidaoui等^[7]探讨了一维和二维问题的连续方程和动量方程以及相应的求解方法，着重考察了水击控制方程的假设及其限制；杨玲霞等^[9]指出了当前用于水击计算的数学模型中的连续性方程在恒定流时不成立的问题，研究得出新的连续方程。
水击是水电站的基本问题，水击计算的主要方法有特征线法^{[3, 13-14]}和解析法^[15-18]。前者适用于复杂管路系统，后者适用于简单管路即管径和材质均保持不变的单一长直管路。解析法考虑了水击的关键影响因素，可直接给出水轮机开度变化过程中的最大水击压力，无须考虑水击的历时过程，仅需事先根据一定的条件进行水击类型的判别，具有方法简单、概念清晰的优点，广泛用于水电站的初步设计。然而，目前通用的解析法理论和图表存在错误之处，如阀门直线开启时，负水击类型的分区图^{[1, 16-17]}。对于应用最广的阀门开度匀速直线规律变化情形，除必须纠正常用的水击类型分区中存在的偏差和错误外，对水击压力计算公式和应用条件进行探讨研究也是必要的。
本文旨在纠正简单管阀门开度匀速变化时水击解析计算存在的错误，给出正确的负水击区域划分，对正、负水击区域划分作合理、精确的简化，阐明目前简化水击解析计算中存在的类型误判及精度不足，探讨无须判断而直接求取最大间接水击值的可能性。
1 水击类型的偏误分析及水击值的解析计算1.1 水电站水击的解析计算当水电站负荷发生变化，水轮机需相应调节开度，此时压力水道中为有压非恒定流，并出现水击现象。当水轮机的调节时间小于水击波在水道中传播一相(一个来回)的时间时，水道中的水击为直接水击，否则为间接水击。
直接水击正比于流速的改变量。但水电站通常已知阀门或导叶的开度而非水道中的流速，将流速用相应的开度表示会给水击包括直接和间接水击的解析计算带来方便。
在一维有压非恒定流的动量方程中忽略摩阻并且不计包含流速v沿水道变化的项，运动方程中不计流速项及包含测压管水头H沿水道变化的项，则可得到水击解析计算的基本方程^[7]，即动量方程和连续方程分别为

$\frac{{\partial v}}{{\partial t}}-g\frac{{\partial H}}{{\partial x}} = 0, $

(1)

$\frac{{\partial H}}{{\partial t}}-\frac{{{a^2}}}{g}\frac{{\partial v}}{{\partial x}} = 0.$

(2)

其中：t为时间；x为管轴方向的坐标，指向上游为正；a为水击波速；g为重力加速度。
基于式(1) 和(2)，可用解析方式逐相计算各相末的水击，为此定义一个无因次数，即

$\rho = \frac{{a{v_{\rm{m}}}}}{{2g{H_0}}}.$

(3)

其中：v_m为水道中的最大流速，相当于水轮机开度全开时的流速；H₀为阀门断面的静水头。
在开度匀速变化情况下不必逐相计算，而能直接得到间接水击的最大值，此时又会引入以下无因次数：

$\sigma = \frac{{L{v_{\rm{m}}}}}{{g{H_0}{T_{\rm{s}}}}}.$

(4)

其中：L为水道长度；T_s为水轮机的有效关闭(或开启)时间，相当于开度匀速地从全开到全关(或从全关到全开)的时间。
引入参数ρ和σ也是为了便于水击的类型判别和解析计算。低水头水电站的ρ和σ值可能较大，通常可达2~3。
1.2 正水击情形当水电站丢弃负荷时，水轮机阀门关闭，相对开度从某一起始开度τ₀减至某一瞬时开度τ≥0。在此过程中阀门处产生正水击，压力水头从H₀增至H，相对升高值为
ξ= (H-H₀)/H₀.
当阀门关闭时间短于水击的相长T_r=2L/a时即发生直接水击，否则为间接水击。直接水击ξ_d的计算式为

$\tau \sqrt {1 + {\xi _{\rm{d}}}} = {\tau _0}-\frac{{{\xi _{\rm{d}}}}}{{2\rho }}.$

(5)

假设开度的减小是匀速的，最大间接水击可能出现在第一相时间末即一相水击ξ₁，也可能出现在比较靠后的时间如接近阀门停止关闭时或第3、4相之后的某一相，即末相水击ξ_e。计算公式分别为

$\left( {{\tau _0}-\frac{\sigma }{\rho }} \right)\sqrt {1 + {\xi _1}} = {\tau _0}-\frac{{{\xi _1}}}{{2\rho }}, $

(6)

${\xi _{\rm{e}}} = \frac{1}{2}\sigma \left( {\sqrt {4 + {\sigma ^2}} + \sigma } \right).$

(7)

其中τ₀-σ/ρ = τ₀-T_r/T_s为阀门在第一相末T_r时的相对开度。
由式(5)—(7) 可知，水击类型及其值仅取决于参数ρ、σ和τ₀。在选择计算公式时需事先判别水击类型，亦即确定函数ξ_i(ρ, σ, τ₀)或ξ_i(ρτ₀, σ) (i=d, 1, e)的定义域。定义域在本文均以其函数名代表。
令ξ_d = ξ₁，τ=0，由式(5) 和(6) 可得

${\sigma _1} = \rho {\tau _0}.$

(8)

直线σ₁把第一象限ρτ₀>0和σ>0平分为直接水击和间接水击2个区域(见图 1)。由式(3) 和(4) 知，式(8) 意即

图 1 水击类型的区域分界线

图选项

τ₀T_s =2L/a =T_r，
说明直接水击与间接水击衔接的时间点T_r恰好是阀门从开度τ₀完全关闭的时间τ₀T_s。
再令ξ₁ = ξ_e，由式(6) 和(7) 可解得σ>0的解为

${\sigma _2} = \frac{{4\rho {\tau _0}\left( {1-\rho {\tau _0}} \right)}}{{1-2\rho {\tau _0}}}.$

(9)

曲线σ₂(见图 1，其中ρτ₀=0.5是曲线σ₂的渐近线)将间接水击区又划分为第一相水击和末相水击2个区域。
值得指出的是，第一相水击和末相水击在时间上一般并不衔接，量值也不一定相等，令ξ₁ = ξ_e只是出于求解第一相水击区与末相水击区的分界线的目的。直接水击式(5) 在阀门瞬时开度τ等于第一相末的开度时，即变成第一相水击式(6)，令ξ_d = ξ₁求解直接水击区和间接水击区分界线是合理的。式(7) 是假定在阀门关闭过程中最大水击出现在第一相水击之后的某一相而推导出来的，通常要求相数较多，如大于3或4相。令ξ₁ = ξ_e虽不够自然，但却是在利用式(6) 和(7) 最终估计最大水击时所必须的。
解析方法的目的是求最大水击。对于间接水击，在第一相水击区有ξ₁ > ξ_e，在末相水击区则恰好相反。对于σ₁和σ₂在间接水击区划出的2个区域，还应当考察其水击值的相对大小。在由横轴、σ₁和σ₂划出的区域中任取一点，如点(0.5, 0.4)，由式(6) 得ξ₁=0.736 5，由式(7) 得ξ_e=0.640 4，由此断定该区为第一相水击区，其右侧区域必定为末相水击区。
由以上分析，可给出直线σ₁、曲线σ₂和σ₃所确定的水击类型分区如图 2所示。

图 2 正水击的类型区域划分

图选项

在进行正水击类型判断时，图 2中若将曲线σ₁代以通过点(1, 0) 和点(1.5, 1.5) 的直线段，如虚线所示，所造成的误差是很小的。
一些研究^{[1-2, 16-17]}按照小水击的要求，如ξ < 0.5的要求对间接水击计算公式进行了简化处理，得到的计算公式分别为

${\xi _{\rm{d}}} = \frac{{2\rho \left( {{\tau _0}-\tau } \right)}}{{1 + \rho \tau }}, $

(10)

${\xi _1} = \frac{{2\sigma }}{{1 + \rho {\tau _0}-\sigma }}, $

(11)

${\xi _{\rm{e}}} = \frac{{2\sigma }}{{2-\sigma }}.$

(12)

令τ = 0，ξ_d = ξ₁，由式(10) 和(11) 解出σ的解仍为式(8)。根据式(11) 和(12)，当ρτ₀ = 1时有ξ₁ = ξ_e。由此得到简化水击计算时实际使用的分区图(见图 3)。

图 3 正水击简化计算的类型区域划分

图选项

图 3中以直线ρτ₀ = 1代替图 2中的曲线σ₂对间接水击区作再划分，不考虑σ的值，仅通过初始开度τ₀与1/ρ的比较来判别第一相水击和末相水击，这样会出现误判，而且简化水击公式也存在较大的计算误差。鉴于计算精度不高和类型判别条件不准确两方面的原因，简化水击计算公式需谨慎使用。
对于广泛使用的精确公式，末相水击可直接运算，而直接水击和第一相水击则需要求解方程。解式(5)，得直接水击为

${\xi _{\rm{d}}} = 2\left( {\rho {\tau _0} + {\rho ^2}{\tau ^2}-\rho \tau \sqrt {1 + 2\rho {\tau _0} + {\rho ^2} {\tau ^2}} } \right), $

(13)

解式(6)，得第一相水击为

$\begin{array}{l}\;\;\;\;{\xi _1} = 2[\rho {\tau _0} + {\left( {\rho {\tau _0}-\sigma } \right)^2}-\\\left( {\rho {\tau _0}-\sigma } \right)\sqrt {1 + 2\rho {\tau _0} + {{\left( {\rho {\tau _0} - \sigma } \right)}^2}}].\end{array}$

(14)

在得到式(13) 和(14) 的过程中，均舍去了根号前取正号的较大的正根，因为此时ξ_d和ξ₁均有最小值为2ρτ₀的限制，这显然是不合理的。
1.3 负水击情形当水电站增加负荷时，水轮机阀门开启，相对开度从初始开度τ₀增至瞬时开度τ≤1。在此过程中，阀门处产生负水击，压力水头从H₀减小至H，相对降低值为ζ= (H₀-H)/H₀。当开启时间小于水击的相长T_r时即发生直接水击ζ_d，其计算式为

$\tau \sqrt {1-{\zeta _{\rm{d}}}} = {\tau _0} + \frac{{{\zeta _{\rm{d}}}}}{{2\rho }}.$

(15)

当开启时间大于T_r时，发生间接水击。若开度匀速增大，最大间接水击可发生在第一相时间末即第一相水击ζ₁，还可能出现在比较靠后的时间如接近阀门停止开启时或第3、4相之后的某一相，即末相水击ζ_e，其计算式分别为

$\left( {{\tau _0} + \frac{\sigma }{\rho }} \right)\sqrt {1-{\zeta _1}} = {\tau _0} + \frac{{{\zeta _1}}}{{2\rho }}, $

(16)

${\zeta _{\rm{e}}} = \frac{1}{2}\sigma \left( {\sqrt {4 + {\sigma ^2}}-\sigma } \right).$

(17)

其中τ₀+σ/ρ =τ₀+T_r/T_s为阀门在第一相末T_r时的相对开度。
式(15)—(17) 即将式(5)—(7) 中ξ和σ分别代以-ζ和-σ得到。
令ζ_d =ζ₁，τ =1，由式(15) 和(16) 得-σ的解为

$\sigma {'_1} = \rho {\tau _0}-\rho .$

(18)

直线σ'₁(见图 1)把竖条状区域0 < ρτ₀ < ρ和σ′ < 0分为竖条状直接水击区和三角形间接水击区。由式(3) 和(4) 可知，式(18) 意即
(1-τ₀)T_s =2L/a=T_r，
阀门从开度τ₀完全打开的时间(1-τ₀)T_s正好是水击相长T_r。
与式(3) 相比，负水击直接水击与间接水击的分区即式(18) 与ρ有关，因为其阀门完全打开最终开度为1。相反，正水击情形是阀门完全关闭开度为0。以往的文献[1-2, 16-17]不仅漏掉了式(18)，在水击分区图中缺少直线σ'₁，也未注明ρ的值。
令ζ₁=ζ_e，由式(16) 和(17) 可得-σ < 0的解为

$\sigma {'_2} = \frac{{4\rho {\tau _0}\left( {1-\rho {\tau _0}} \right)}}{{1-2\rho {\tau _0}}}.$

(19)

负水击的曲线σ'₂(见图 1)与正水击的曲线σ₂，即式(19) 与(9) 具有相似性。基于与正水击间接水击区再分区的同样理由，令ζ₁=ζ_e仅是为了区分第一相水击和末相水击。考虑到这里的解析方法是以逐相水击计算式为基础得到的，其各相水击值在时间上也无严格的时间连贯性，这样做合理且必要。
在间接水击区中取一点，如点(0.5, -0.2)，由式(16) 得ζ₁ =0.229 2，由式(17) 得ζ_e =0.181 0，因此该区靠左的区域为第一相水击区。
综合以上分析，任意ρ值的负水击的区域划分如图 4所示。图 4b中，曲线σ'₂与直线σ'₁的交点为(a, a-ρ)，其中

图 4 负水击的类型区域划分

图选项

$\begin{array}{l}a = \frac{1}{4}\left( {3-2\rho + \sqrt {9-4\rho + 4{\rho ^2}} } \right) \approx \\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\frac{1}{2} + \frac{1}{{2\rho }}, \rho > 1.\end{array}$

(20)

如果在图 4b中，用过点(1, 0) 和交点(a, a-ρ)的直线段代替曲线σ'₂，如虚线所示，所带来的区域划分误差是很小的。式(20) 的简化计算均比精确值偏小，具有足够的精度，相对误差范围为(-4.03%, 0)(当ρ=1.78时，取下限-4.03%；当ρ=1时，取上限0)，由简化式得到的交点比精确计算的交点微偏向左下，与点(1, 0) 的连线更接近曲线σ'₂。
由图 4可见，对于负水击类型的判别，不像正水击那样用一张图就已足够，而是需要根据ρ的取值将图 4a或再加上式(20) 将图 4b具体化后才能进行。
从图 4可知：在水轮机增负荷时，若初始开度τ₀ = 0，不会发生末相水击。然而水轮机存在空转开度τ_i，在该开度下水轮机出力为0。空转开度τ_i与水轮机的类型有关，混流式τ_i为0.08~0.12，转桨式τ_i为0.07~0.10，定桨式τ_i为0.20~0.25^[1]。增负荷时水轮机初始开度通常等于或大于空转开度，以图 4为依据来判别负水击类型是十分必要的。
为了计算方便，由式(15) 解得直接水击为

${\zeta _{\rm{d}}} = 2\left( {\rho \tau \sqrt {1 + 2\rho {\tau _0} + {\rho ^2}{\tau ^2}}-\rho {\tau _0}-{\rho ^2}{\tau ^2}} \right).$

(21)

由式(16) 解得第一相水击为

$\begin{array}{l}{\zeta _1} = 2[\left( {\rho {\tau _0} + \sigma } \right)\sqrt {1 + 2\rho {\tau _0} + {{\left( {\rho {\tau _0} + \sigma } \right)}^2}}-\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\rho {\tau _0}-{\left( {\rho {\tau _0} + \sigma } \right)^2}]\end{array}$

(22)

在得到式(21) 和(22) 时，均舍去了根号前取负号的较小的负根，因为根据约定负水击值应大于零。
目前简化间接负水击计算时，第一相水击和末相水击的计算式分别为

${\zeta _{\rm{d}}} = \frac{{2\rho \left( {\tau-{\tau _0}} \right)}}{{1 + \rho \tau }}, $

(23)

${\zeta _1} = \frac{{2\sigma }}{{1 + \rho {\tau _0} + \sigma }}, $

(24)

${\zeta _{\rm{e}}} = \frac{{2\sigma }}{{2 + \sigma }}.$

(25)

令τ=1，ζ_d=ζ₁，由式(23) 和(24) 解得-σ>0的解仍为式(18)，而由式(24) 和(25)，当ρτ₀=1时有ζ₁=ζ_e。因此，简化负水击计算的区域划分当ρ≤1时与图 4a相同，当ρ>1时如图 5所示。明显地，负水击简化解析计算也存在类型判别条件粗略，计算公式精度不高的问题。

图 5 当ρ>1时简化负水击简化计算的类型区域划分

图选项

1.4 水击的区域划分因负水击类型分区图与ρ的具体取值有关，正、负水击类型分区图最好如图 2和图 4那样区分开来。如果硬性将两者合并到一起，那么就必须在负水击区域中声明ρ的值。
图 6为ρ分别取1、1.5、2时的水击分区图，其特点是上部正水击部分均相同，而下部负水击部分随着ρ的取值不同会有所变化。

图 6 水击的类型区域划分

图选项

根据对图 2和4b所作的分析，在图 6中可用直线代替曲线来简化第一相水击和末相水击的分界线。本文建议的从点(1.5, 1.5) 到点(1, 0)，若ρ>1再到点(a, a-ρ)(见式(20))的连线比简化水击计算所用的从点(1, 1) 到点(1, 0)，若ρ>1再到点(1, 1-ρ)的竖直线要好很多，更逼近原分界曲线，大大降低了误判的可能性。
考虑到水击的实质性分类只有直接水击和间接水击，第一相水击和末相水击是出于解析法求解间接水击的最大值而做的划分，本文提出一种第一相水击和末相水击的“后验”判别方法。首先根据阀门的关闭或开启时间与水击相长T_r的比较，作直接水击与间接水击的判定。若为直接水击，直接利用直接水击公式进行计算，计算即可结束；若为间接水击，同时计算出第一相水击值和末相水击值，若第一相水击值大于末相水击值，则为第一相水击，反之则为末相水击。
这种后验判别方法基于水击解析计算方法目的是直接求取水击的最大值，对于间接水击需要同时算出第一相水击值和末相水击值，虽然多算了一个无关的水击值，但优点在于无须依赖水击区域划分图。
2 简单算例以下算例用以说明本文给出的水击区域划分图、导出的水击直接计算公式和提出的水击类型后验判别方法的正确性和适用性。
某长L=495 m的压力管道具有不变的水击波传播速度a=1 239 m/s，稳定流速v_m=5.30 m/s。水轮机处的总水头H₀=630 m。据此可知水击相长T_r=0.799 0 s，由式(3) 可求得参数ρ=0.531 3。
1) 如果冲击式水轮机喷嘴的针阀在T_s=3.2 s的时间内完全关闭，由式(4) 可求得σ=0.132 7，也可知其间共发生水击m=ρ/σ=T_s/T_r=4.004 8相，为间接水击。根据起始开度τ₀=1而ρτ₀=0.531 3和σ=0.132 7，查图 2，可知为第一相水击。利用式(6) 可得水击ζ₁=0.192 1，舍去另一解ζ₁=2.568 5，或由式(14) 直接得ζ₁=0.192 1，即压力水头的升高值为121.022 1 m。利用式(7) 也将算出ζ_e=0.141 7，因ζ₁>ζ_e，故也可知为第一相水击。
2) 如果同一管道的阀门在T_s=4 s的时段内全部开启，由式(4) 可求得σ=0.106 1，共产生m=5.006 1相水击波，为间接水击。由ρτ₀=0和σ=0.106 1查图 4a，知为第一相水击。利用式(16) 可得水击ζ₁=0.190 9，舍去另一解ζ₁=0.236 0，或由式(22) 直接求得ζ₁=0.190 9，即压力水头降低了120.276 1 m。若同时用式(17) 算出末相水击ζ_e=0.100 6，因ζ₁>ζ_e，也可知为第一相水击。
如由起始开度τ₀=0.6起匀速开启至终了开度1，则整个过程持续Δt=(1-τ₀)T_s=1.6 s，水击波传播m为2.002 4相，为间接水击。由ρ=0.531 3、ρτ₀=0.318 8和σ=0.106 1查图 4a，知为第一相水击。利用式(16) 可得水击ζ₁=0.147 2，舍去另一解ζ₁=2.144 3，利用式(22) 也可得ζ₁=0.147 2。因ζ₁>ζ_e=0.100 6，也可知为第一相水击。
3 结论本文推导并分析了水轮机开度匀速变化时简单管路的水击解析计算的区域划分，提出了水击类型的后验判别方法，导出了直接水击和第一相水击的直接计算公式，并通过算例考察了它们的正确性和适用性。主要结论可归纳为：1) 负水击区域划分应区分不同大小的ρ，应当包含直接水击区; 2) 正、负水击区域划分理应分开表示, 若合成一张图，应在负水击区注明参数ρ的值; 3) 水击区域划分时，第一相水击与末相水击的分界曲线可代以直线, 文中建议的对正水击取线段(1, 0) 到(1.5, 1.5)，对负水击取线段(1, 0) 到(a, a-ρ) (a=0.5-0.5/ρ)已足够准确; 4) 目前水击简化计算时，存在区域划分较粗略和计算精度有限的问题; 5) 第一相水击和末相水击也可先同时计算其值，取较大者及其相应的类型; 6) 直接水击和第一相水击可采用推导的公式直接计算。

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