, 喻强1, 李强3 1. 电子科技大学 机械与电气工程学院, 成都 611731;
2. 清华大学 机械工程系, 北京 100084;
3. 武昌理工学院 信息工程学院, 武汉 430223
收稿日期：2018-09-29
基金项目：国家科技重大专项资助项目（2015ZX02104003）；湖北省自然科学基金资助项目（2018CFC889）
作者简介：管高峰(1988-), 男, 博士研究生
通信作者：朱煜, 教授, E-mail:zhuyu@tsinghua.edu.cn
摘要：以往将滚动机构用于微幅隔振领域时，其建模通常是基于刚性接触和纯滚动运动的假设，理论与实测固有频率存在较大偏差。为了解决上述问题，该文在弹性接触前提下，考虑接触面弹性变形和微观滑动的影响，根据Lagrange方程建立新的保守系统运动微分方程，进而得到固有频率表达式。以往结果仅包含结构参数，该文表达式还包含了相关材料参数。理论结果表明：接触面之间弹性变形储存的弹性势能是以往研究中固有频率偏差的主要来源；实验结果表明：该文所提出的理论比以往模型更接近实测结果，相较于以往模型70%的偏差，该文所提模型的偏差下降到25%。
关键词：微幅隔振滚动机构固有频率弹性接触
Rolling-type micro-vibration isolation mechanisms based on elastic contact
GUAN Gaofeng1, XU Dengfeng2, ZHU Yu1,2
, YU Qiang1, LI Qiang31.School of Mechanical and Electrical Engineering, University of Electronic Science and Technology of China, Chengdu 611731, China;
2.Department of Mechanical Engineering, Tsinghua University, Beijing 100084, China;
3.School of Engineering Information, Wuchang University of Technology, Wuhan 430223, China
Abstract: Modeling of rolling-type mechanisms for micro-vibration isolation is usually based on the assumption of rigid contact and pure rolling motion that leads to large errors in the measured and theoretical natural frequencies. This study presents a model using elastic contact with elastic deformation and micro-sliding between the contact surfaces that leads to a differential equation for the system motion based on Lagrange's equation to predict the natural frequency. Previous models have only contained structural parameters while this one also includes related material parameters. The analysis predicts natural frequencies that are larger than those in previous models because the elastic potential energy stored in the contact interfaces increases the total potential energy. The theoretical results agree much better with measurements with errors of less than 25% compared to previous models that had errors of 70%.
Key words: micro-vibration isolationrolling-type mechanismnatural frequencyelastic contact
随着精密/超精密设备对水平振动环境的要求日益严苛，滚动隔振机构由于造价低廉和结构紧凑等原因，在微幅振动隔离应用中引起了国内外****的广泛关注，各种不同形式的滚动隔振机构被相继提出。Lin等[1]于1993年提出自由滚动机构，即将球体放置于2个平面之间，该机构能依靠滚动摩擦消耗地面传递的能量，但其无法自主恢复至初始位置，且不能限制水平位移。为解决上述问题，Zhou等[2]在1998年提出把滚球放置于2个弧面之间。另一位****Jangid[3]也对Lin所提机构进行了改进，他提出把球体换成椭圆体，该机构同样具有自主恢复初始位置的能力。2000年Jangid[4]又提出用弹簧或悬臂梁提供恢复力，克服自由滚动机构不能恢复到原始位置的问题。Yasuda[5]也对Lin所提机构进行了改进，其把球体本身换成上下部半径不同的摆球，该机构也能依靠重力恢复至初始位置。2003年Kemeny[6]提出一种机构，该机构水平方向依靠钢球在2个圆环钢槽之间滚动，依靠重力产生恢复力，达到水平方向隔振的目的。Butterworth[7]于2006年提出一种可变刚度的机构，即将上下半径不等的偏心球放置于2个平面之间。Chung等[8]于2009年提出一种偏心滚球机构，其可以依靠重力恢复至初始位置。Gang等[9]也在2015年对一种将球放置于2个上下半径不等的球窝中的机构进行了建模分析和实验研究。
Harvey等[10]于2016年对近些年的研究进行了综述，从建模方式来看，前述文献中对于不同结构形式的滚动隔振机构的研究均是基于刚性接触和纯滚动的假设，然后通过Newton第二定律或Lagrarge方程得到系统运动微分方程，进而得到固有频率表达式。在上述假设下进行建模，模型仅仅牵涉到机构的结构参数。从实验或仿真结果来看，固有频率指标是上述研究中关注的焦点，但是在地面微幅振动隔离实验中，该指标普遍存在较大偏差。文[5]中，理论固有频率0.46 Hz，实测固有频率1 Hz，偏差大于100%。文[9]中，理论固有频率0.62 Hz，实测固有频率约为1.25 Hz，偏差大于100%。文[6]所提机构理论固有频率1 Hz，实测固有频率约为3.5 Hz，偏差约为250%。
针对固有频率偏差较大的问题，部分****在文献中给出了一些可能的偏差源，主要归结为加工制造偏差以及实际使用条件的不理想。本文作者通过前期研究中的计算和分析，发现这些可能的偏差源并非是主要原因，说明以往模型基于刚性接触和纯滚动的基本假设可能存在问题。根据固体接触力学[11]，2个物体之间实际上为弹性接触，仅在满足某些条件下为了简化分析，假设为刚性接触。本文在完全弹性接触前提下，首先求解球与球接触时的弹性蠕滑率，然后考虑接触面弹性变形和滑动对势能的影响，根据Lagrarge方程建立新的包含负载质量和材料参数的运动微分方程，进而得到固有频率表达式，最后通过实验验证了本文所提理论结果比以往理论结果更加准确。
1 基于刚性接触的滚动隔振机构模型通过文献调研发现，各种不同形式的滚动隔振机构存在着共性问题，同时也具有外形相似的特点，因此可以通过对其中一种具有代表性的典型机构进行分析，以解决其他机构存在的类似问题。本文以Zhou等[2]所提出的机构为例进行研究，如图 1所示，该机构由具有球窝的上下板和球3部分组成，其中：上下板的球窝半径均为r2，球的半径为r1，上板(包括负载)质量为M。
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| 图 1 典型的滚动隔振机构 |
| 图选项 |
现有研究[2]在基于刚性接触和纯滚动的假设下，得到保守系统动力学方程如下：
| $2\left( {{r_2} - {r_1}} \right)\ddot \alpha + g\alpha = 0.$ | (1) |
| $f = \frac{1}{{2{\rm{ \mathsf{ π} }}}}\sqrt {\frac{g}{{2\left( {{r_2} - {r_1}} \right)}}} .$ | (2) |
2 基于弹性接触的滚动隔振机构建模2.1 球与球接触时的弹性蠕滑率刚性接触和纯滚动是一种理想情况，即假设球与球窝为刚体，接触形式为点接触，球心的位移等于球的周向位移。而根据轮轨蠕滑理论和齿轮传动等方面的研究成果，球与球窝实际上为弹性接触，通常滚动运动中会伴随着接触面之间的弹性变形和微观滑动，该运动状态又叫做滚滑。因此滚动中球心与周向位移会存在一个差值，该差值是由于接触面弹性变形和微观滑动引起的。如图 2所示，球心位移为L，球周向位移为L+δ，两者位移差值为δ[12-13]。
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| 图 2 弹性变形和微观滑动示意图 |
| 图选项 |
该位移差值与球心位移之比称为弹性蠕滑率ξ，根据文[14]可得到2个圆柱接触的弹性蠕滑率表达式：
| $\xi = \frac{\delta }{L} = \frac{{\mu T}}{{ - 2{r_1}{F_{\rm{n}}}}}.$ | (3) |
因为2个球接触时接触面为圆形，2个圆柱接触时接触面为矩形，导致滚动阻力矩求解与后者有所不同。
根据文[11]，球向右滚动时，接触部位右侧材料受到压缩，左侧材料逐渐从压缩状态解除，但是在压缩时所吸收的功并未能全部卸载，这是由于材料阻尼产生的。简单来说，即压缩和解除压缩不是实时同步的，于是就产生了阻止球滚动的力矩。
如图 3所示，rdθdr为接触面右侧任一微小单元的面积，p(r)为该单元上的法向压力，rcosθ为该单元与y轴的距离，上述3个分量的乘积的积分即为滚动阻力矩，表达式如下：
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| 图 3 滚动阻力矩的求解示意图 |
| 图选项 |
| $T = \int_{ - {\rm{ \mathsf{ π} }}/2}^{{\rm{ \mathsf{ π} }}/2} {\int_{ - a}^a {{r^2}\cos \theta p\left( r \right){\rm{d}}r{\rm{d}}\theta } } = {\rm{ \mathsf{ π} }}{p_0}{a^3}/8.$ | (4) |
| $p\left( r \right) = \frac{{{p_0}}}{a}{\left( {{a^2} - {r^2}} \right)^{1/2}}.$ | (5) |
| $a = {\left( {\frac{{3{F_{\rm{n}}}r}}{{4E}}} \right)^{1/3}},$ | (6) |
| ${p_0} = {\left( {\frac{{6{F_{\rm{n}}}{E^2}}}{{{{\rm{ \mathsf{ π} }}^3}{r^2}}}} \right)^{1/3}}.$ | (7) |
| $E = \frac{{{E_1}{E_2}}}{{{E_1} + {E_2}}},$ | (8) |
| $r = \frac{{{r_1}{r_2}}}{{{r_2} - {r_1}}}.$ | (9) |
把式(4)代入式(3)即可得到2个球接触的弹性蠕滑率，即
| $\xi = \frac{\delta }{L} = \frac{\mu }{{{r_1}}} \times \frac{3}{{32}}{\left( {\frac{{6r{F_{\rm{n}}}}}{E}} \right)^{1/3}}.$ | (10) |
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| 图 4 接触面中黏着区与滑动区的划分 |
| 图选项 |
| $\frac{c}{a} = {\left( {\frac{{\mu {F_{\rm{n}}} - {F_{\rm{x}}}}}{{\mu {F_{\rm{n}}}}}} \right)^{1/3}}.$ | (11) |
黏着区中弹性变形的累积为δ1，滑动区中微观滑动的累积为δ2，如图 2所示，球周向位移与球心位移差值δ可以表示为
| $\delta = {\delta _1} + {\delta _2}.$ | (12) |
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| 图 5 非平衡位置时机构的几何关系 |
| 图选项 |
图 5中，存在如下几何关系：
| $\alpha :\beta :\gamma = L:{\delta _1}:{\delta _2}.$ | (13) |
| $x = 2\left( {{r_2} - {r_1}} \right)\sin \alpha ,$ | (14) |
| $y = 2\left( {{r_2} - {r_1}} \right)\left( {1 - \cos \alpha } \right).$ | (15) |
| $T = \frac{1}{2}M\left( {{{\dot x}^2} + {{\dot y}^2}} \right).$ | (16) |
| $\mathit{V} = {\mathit{V}_1} + {\mathit{V}_2}.$ | (17) |
| ${\mathit{V}_1} = Mgy.$ | (18) |
| ${\mathit{V}_2} = 2 \times \frac{1}{2}{k_{\rm{t}}}\delta _1^2.$ | (19) |
| ${k_{\rm{t}}} = \frac{{8Ga}}{{\left( {2 - v} \right)}}.$ | (20) |
| $G = \frac{E}{{2\left( {1 + v} \right)}}.$ | (21) |
| $\frac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}t}}\left( {\frac{{\partial \left( {T + V} \right)}}{{\partial \alpha }}} \right) - \frac{{\partial \left( {T + V} \right)}}{{\partial \alpha }} = 0.$ | (22) |
| $M\left( {{r_2} - {r_1}} \right)\ddot \alpha + \left[ {Mg + \left( {{r_2} - {r_1}} \right){k_{\rm{t}}}{{\left( {{\delta _1}/L} \right)}^2}} \right]\alpha = 0.$ | (23) |
| $f = \frac{1}{{2{\rm{ \mathsf{ π} }}}}\sqrt {\frac{{Mg + \left( {{r_2} - {r_1}} \right){k_1}{{\left( {{\delta _1}/L} \right)}^2}}}{{2M\left( {{r_2} - {r_1}} \right)}}} .$ | (24) |
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| 图 6 (网络版彩图)黏着区与接触区之比分析 |
| 图选项 |
从图 6可以看出，在一定的范围内，黏着区半径c与接触区半径a之比非常接近于1，也就是说，接触面中几乎不存在滑动区，可以近似认为全部为黏着区，则：
| $\delta \approx {\delta _1}.$ | (25) |
| $\xi \approx \frac{{{\delta _1}}}{L}.$ | (26) |
根据上述分析，式(24)可以重新写为
| $f = \frac{1}{{2{\rm{ \mathsf{ π} }}}}\sqrt {\frac{g}{{2\left( {{r_2} - {r_1}} \right)}} + \frac{{27g{r_2}{\mu ^2}}}{{512{r_1}\left( {{r_2} - {r_1}} \right)\left( {2 - v} \right)\left( {1 + v} \right)}}} .$ | (27) |
3 实验验证实验设备如图 7所示, 隔振系统由上板、底板和3个滚球型机构组成，上板和底板是2个相同的边长为0.2 m的等边三角形铝合金件。每个滚球型机构为一个类似三明治的构造，由1个球和2个球窝组成。3个滚球型机构分别放置在上板和底板之间的3个角中间。该隔振器可以衰减来自地面的微幅振动，弱化传递到上板的振动。传感器1采集来自地面的振动信号，传感器2采集经过衰减后的上板振动信号。
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| 图 7 实验装置图 |
| 图选项 |
实验中相关参数如下：r2为0.64 m，r1为0.012 5 m，E1为7.00×1011 Pa，E2为7.00×1011 Pa，负载M为10 kg，滑动摩擦因数μ为0.42，Poisson比v1和v2均取0.28。图 8为本文基于弹性接触模型的理论结果、Zhou等[2]基于刚性接触模型的理论结果和实测结果的比较。
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| 图 8 理论结果与实测结果的对比 |
| 图选项 |
从图 8可以看出，本文所提理论比以往模型更接近实测结果，Zhou等[2]的模型所得固有频率为0.44 Hz，本文的模型所得固有频率为0.60 Hz，测量的固有频率为0.75 Hz。相较于以往模型70%的偏差，本文所提模型的偏差下降到25%。
4 结论不同于以往基于刚性接触和纯滚动的假设，本文在弹性接触前提下，考虑了接触面弹性变形和微观滑动对势能的影响，对滚动隔振机构进行分析，建立了包含结构参数、负载质量和材料参数的模型。研究结果表明，接触面之间弹性变形储存的弹性势能是现有研究中固有频率偏差的主要来源。实验表明，本文所提模型准确度更高，可以为其他不同类型的滚动隔振机构的建模提供借鉴和指导，具有重要的理论价值和实用意义。
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