, 毛飞龙 清华大学 机械工程系, 北京 100084
收稿日期：2018-08-03
基金项目：国家自然科学基金资助项目（51275257）
作者简介：荣海(1993-), 男, 博士研究生
通信作者：周凯, 教授, E-mail:zhoukai@tsinghua.edu.cn
摘要：磁悬浮系统在偏置电流控制策略下会产生高功耗，造成温升、热变形以及传感器的温漂等，影响转子的悬浮精度。此外，由于动不平衡力、传感器测量失真以及电机偏心磁拉力等因素影响，会引起转速的同频和倍频振动。该文在传统的零偏置电流控制基础上，提出了基于多频率陷波器的动不平衡力抑制策略。首先，利用零偏置电流控制策略来降低磁轴承功耗，针对零偏置电流策略带来的系统非线性，将电流到位移的非线性系统转化为电磁力到位移的线性系统，再采用线性控制策略设计位移控制器。其次，在零偏置电流策略的基础上，引入多频率陷波器来抑制转子的同频与倍频振动。通过实验对比了不开启同频陷波器控制、仅开启同频陷波器控制以及开启多频率陷波器控制3种情况，验证了所提出的多频率陷波器策略能够有效抑制转子的同频与倍频振动。该方法不仅有效地抑制了转子的周期性振动，还大大降低了磁轴承功耗。
关键词：磁悬浮电主轴零偏置电流多频率陷波器动不平衡力抑制
Suppression of imbalance vibrations in magnetically suspended spindles based on zero-bias current control
RONG Hai, ZHOU Kai
, MAO FeilongDepartment of Mechanical Engineering, Tsinghua University, Beijing 100084, China
Abstract: Biased current control consumes large amounts of power which increases system temperatures and causes temperature drift in sensors which then affects the levitation accuracy. The rotor suspension is also affected by unbalanced forces, sensor runout and other effects which lead to vibrations. This paper presents a zero-bias current strategy based on a multiple frequency notch filter. The zero-bias current control algorithm reduces the power consumption, handles the nonlinearities in the zero-bias current strategy, and translates the nonlinear relationship between the current and the displacement into a linear relationship between the magnetic force and the displacement so that a linear control strategy can be used. The multiple frequency notch filter then suppresses the vibrations. Three controllers are analyzed in tests with no unbalanced control, only single frequency notch filter control and multiple frequency notch filter control to verify the system effectiveness. The method not only suppresses the vibrations, but also significantly reduces the power consumption.
Key words: magnetically suspended spindlezero-bias currentmultiple frequencies notch filterimbalance vibration suppression
磁悬浮轴承具有零接触、无摩擦磨损等优点，在飞轮、机床等领域具有广阔的应用前景[1]。
由于磁轴承的电磁力与位移、电流间存在着非线性关系，常常利用偏置电流将电磁力进行线性化，并将偏置电流设定为线性区域的中点，以提高磁轴承的刚度与悬浮精度。但是，大偏置电流会带来高功耗问题，引起电主轴发热和热变形。同时为了便于真实反映磁轴承转子的实时位置，位移传感器通常安装在靠近磁轴承处，系统温升也会导致传感器产生温漂现象。在热变形以及传感器温漂的共同作用下，控制精度大大降低。卞斌[2]对主轴温升引起的位移传感器温漂进行了研究；吴华春等[3]分析了磁悬浮主轴的温升来源，指出电动机及前、后和轴向磁力轴承产生的温升是影响磁悬浮主轴温升的主要原因；张亮[4]也对磁轴承定子发热引起的温升问题进行了实验研究。因此，为了解决轴承发热问题，需要降低其功耗。Charara等[5]提出了零偏置电流控制策略来降低功耗；Sivrioglu等[6]和张剀等[7]利用零偏置控制策略来控制磁悬浮飞轮，Jastrzebski等[8]用该策略来控制燃料电池。但是零偏置控制存在扰动抑制能力差等问题，相比有偏电流控制，其悬浮效果往往较差。同时，电流与位移间的非线性关系也增加了位移控制器的设计难度。因此，需要采取合适的控制策略来提高转子的悬浮精度。
由于动不平衡力、传感器测量失真以及电机偏心磁拉力等作用，转子会形成明显的同频和倍频振动[9]。常见不平衡力抑制策略有零电流控制和零位移控制[10-11]。零电流控制是通过消除控制电流中的同频成分，从而抑制动不平衡力，由于降低了对电流环响应带宽的需求，有利于转子在高速下运行[11]。然而，常规单频率抑制策略仅抑制了与转速同频的振动[9]。Cui等[12]和Darbandi等[13]分别采用了多频率陷波器来抑制动不平衡力等引起的同频与倍频振动。以上对动不平衡力抑制策略的研究均是在有偏置电流情况下开展的，而没有考虑基于零偏置电流的动不平衡力抑制策略。
本文利用零偏置电流控制策略的低功耗优点，同时针对零偏置电流控制策略带来的系统非线性问题，将电流到位移的非线性关系转化为电磁力到位移的线性关系，然后利用电磁力到电流的转换公式计算得出所需的控制电流。进而采用线性控制策略来设计位移控制器，简化了控制器的设计难度。此外，在零偏置电流控制策略下，提出了基于多频率陷波器的动不平衡力控制策略来抑制同频和倍频振动，并在不同转速下开展了实验验证，实验结果表明，所提出的控制策略在降低磁轴承功耗的同时，还有效地抑制了转子同频与倍频振动。
1 零偏置电流下磁轴承数学模型磁悬浮电主轴的径向支撑由前后2个径向磁轴承组成，由于转子轴向与径向间的运动可以近似解耦，因此可以忽略轴向运动对径向运动控制的影响。磁悬浮电主轴的径向支撑系统简图如图 1所示，其4自由度数学模型如式(1)所示。
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| 图 1 径向4自由度磁轴承系统工作原理简图 |
| 图选项 |
| $\left\{ \begin{array}{l}\mathit{\boldsymbol{M\ddot q}} + \mathit{\boldsymbol{G\dot q}} = \mathit{\boldsymbol{B}}{\mathit{\boldsymbol{u}}_{\rm{f}}} + {\mathit{\boldsymbol{f}}_{\rm{d}}},\\\mathit{\boldsymbol{y}} = \mathit{\boldsymbol{Cq}}.\end{array} \right.$ | (1) |
| $\mathit{\boldsymbol{M}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{I_y}}&0&0&0\\0&m&0&0\\0&0&{{I_x}}&0\\0&0&0&m\end{array}} \right],\mathit{\boldsymbol{B}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}a&b&0&0\\1&1&0&0\\0&0&a&b\\0&0&1&1\end{array}} \right],$ |
| $\mathit{\boldsymbol{G}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}0&0&{{I_z}\omega }&0\\0&0&0&0\\{ - {I_z}\omega }&0&0&0\\0&0&0&0\end{array}} \right],\mathit{\boldsymbol{q}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}\beta \\x\\{ - \alpha }\\y\end{array}} \right],$ |
| $\mathit{\boldsymbol{y}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_{sA}}}\\{{x_{sB}}}\\{{y_{sA}}}\\{{y_{sB}}}\end{array}} \right],\mathit{\boldsymbol{C}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}c&1&0&0\\d&1&0&0\\0&0&c&1\\0&0&d&1\end{array}} \right],$ |
| ${\mathit{\boldsymbol{f}}_{\rm{d}}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{T_{{\rm{d}}\beta }}}\\{{f_{{\rm{d}}x}}}\\{{T_{{\rm{d}}\alpha }}}\\{{f_{{\rm{d}}y}}}\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {{I_z} - {I_y}} \right)\tau {\omega ^2}\cos \left( {\mathit{\Omega }t + \gamma } \right)}\\{m\eta {\omega ^2}\sin \left( {\mathit{\Omega }t + \lambda } \right)}\\{ - \left( {{I_z} - {I_y}} \right)\tau {\omega ^2}\sin \left( {\mathit{\Omega }t + \gamma } \right)}\\{m\eta {\omega ^2}\cos \left( {\mathit{\Omega }t + \lambda } \right) - mg}\end{array}} \right],$ |
| ${\mathit{\boldsymbol{u}}_{\rm{f}}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{f_{xA}}}\\{{f_{xB}}}\\{{f_{yA}}}\\{{f_{yB}}}\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{k_{xA}}\left[ {\frac{{{i_{x{A_1}}}^2}}{{{{\left( {{g_0} - {x_{bA}}} \right)}^2}}} - \frac{{{i_{x{A_2}}}^2}}{{{{\left( {{g_0} - {x_{bA}}} \right)}^2}}}} \right]}\\{{k_{xB}}\left[ {\frac{{{i_{x{B_1}}}^2}}{{{{\left( {{g_0} - {x_{bB}}} \right)}^2}}} - \frac{{{i_{x{B_2}}}^2}}{{{{\left( {{g_0} - {x_{bB}}} \right)}^2}}}} \right]}\\{{k_{yA}}\left[ {\frac{{{i_{y{A_1}}}^2}}{{{{\left( {{g_0} - {y_{bA}}} \right)}^2}}} - \frac{{{i_{y{A_2}}}^2}}{{{{\left( {{g_0} - {y_{bA}}} \right)}^2}}}} \right]}\\{{k_{yB}}\left[ {\frac{{{i_{y{B_1}}}^2}}{{{{\left( {{g_0} - {y_{bB}}} \right)}^2}}} - \frac{{{i_{y{B_2}}}^2}}{{{{\left( {{g_0} - {y_{bB}}} \right)}^2}}}} \right]}\end{array}} \right].$ |
由于转子通常工作在刚性频率范围内，且传感器与磁轴承距离较近，可以近似认为磁轴承位移与传感器位移相等。因此，式(1)可写为
| $\mathit{\boldsymbol{M}}{\mathit{\boldsymbol{C}}^{ - 1}}\mathit{\boldsymbol{\ddot y}} + \mathit{\boldsymbol{G}}{\mathit{\boldsymbol{C}}^{ - 1}}\mathit{\boldsymbol{\dot y}} = {\mathit{\boldsymbol{C}}^{\rm{T}}}{\mathit{\boldsymbol{u}}_{\rm{f}}} + {\mathit{\boldsymbol{f}}_{\rm{d}}}.$ | (2) |
| $\left\{ \begin{array}{l}{{\dot x}_1} = {x_2}.\\{{\dot x}_2} = \left( {\left[ {{k_{{y_1}}}{\alpha _1}\left( {{x_1}} \right) - {k_{{y_1}}}{\alpha _2}\left( {{x_1}} \right)} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{I_1}}\\{{I_2}}\end{array}} \right] + {{F'}_{\rm{d}}}} \right)/m,\\y = {x_1},\\{\alpha _1}\left( {{x_1}} \right) = \frac{1}{{{{\left( {{g_0} - {x_1}} \right)}^2}}},\\{\alpha _2}\left( {{x_1}} \right) = \frac{1}{{{{\left( {{g_0} + {x_1}} \right)}^2}}}.\end{array} \right.$ | (3) |
从设计控制器的角度考虑，零偏置电流策略下的磁悬浮系统数学模型可写为
| $\left\{ \begin{array}{l}{{\dot x}_1} = {x_2},\\{{\dot x}_2} = \left[ {{k_{{y_1}}}\alpha \left( {{x_1}} \right)I + {{F'}_{\rm{d}}}} \right]/m.\end{array} \right.$ | (4) |
| $\left\{ \begin{array}{l}{I_2} = I,{I_1} = 0,\alpha \left( {{x_1}} \right) = - {\alpha _2}\left( {{x_1}} \right),I \ge 0;\\{I_1} = I,{I_2} = 0,\alpha \left( {{x_1}} \right) = {\alpha _1}\left( {{x_1}} \right),I < 0.\end{array} \right.$ | (5) |
| $\left\{ \begin{array}{l}{{\dot x}_1} = {x_2},\\{{\dot x}_2} = \left( {{f_{{y_1}}} + {{F'}_{\rm{d}}}} \right)/m.\end{array} \right.$ | (6) |
| $\left\{ \begin{array}{l}{i_1} = 0,{i_2} = \sqrt {\frac{{ - {f_{{y_1}}}}}{{{k_{{y_1}}}\alpha \left( {{x_1}} \right)}}} ,{f_{{y_1}}} \ge 0;\\{i_1} = \sqrt {\frac{{ - {f_{{y_1}}}}}{{{k_{{y_1}}}\alpha \left( {{x_1}} \right)}}} ,{i_2} = 0,{f_{{y_1}}} < 0.\end{array} \right.$ | (7) |
 |
| 图 2 电磁力作为位移控制器输出时的控制系统框图 |
| 图选项 |
当不考虑外界干扰时，以电磁力为位移控制输出时的零偏置电流磁悬浮系统的传递函数以及以PID为位移控制器时的传递函数分别为：
| $P\left( s \right) = \frac{1}{{{s^2}}},$ | (8) |
| $C\left( s \right) = {k_{\rm{p}}} + {k_i}\frac{1}{s} + {k_{\rm{d}}}s.$ | (9) |
 |
| 图 3 采用同频陷波器抑制的控制系统框图 |
| 图选项 |
设ys(t)为陷波反馈环节的输入，yω(t)为其输出，则有
| ${y_\omega }\left( t \right) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin \omega t}&{\cos \omega t}\end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\int {{y_s}\left( t \right)\sin \omega t{\rm{d}}t} }\\{\int {{y_s}\left( t \right)\cos \omega t{\rm{d}}t} }\end{array}} \right].$ | (10) |
| ${N_{\rm{f}}}\left( s \right) = \frac{{{y_\omega }\left( t \right)}}{{{y_s}\left( t \right)}} = \frac{{\varepsilon s}}{{{s^2} + {\omega ^2}}}.$ | (11) |
| $N\left( s \right) = \frac{{{y_s}\left( t \right)}}{{y\left( t \right)}} = \frac{{{s^2} + {\omega ^2}}}{{{s^2} + \varepsilon s + {\omega ^2}}}.$ | (12) |
| $\left\{ \begin{array}{l}N\left( {{\rm{j}}{\omega _{\rm{r}}}} \right) \approx 1,\;\;\;{\omega _{\rm{r}}} \in \left( {0,\omega - \Delta \omega } \right) \cup \left( {\omega + \Delta \omega ,\infty } \right);\\N\left( {{\rm{j}}{\omega _{\rm{r}}}} \right) = 0,\;\;\;{\omega _{\rm{r}}} \in \left( {\omega - \Delta \omega ,\omega + \Delta \omega } \right).\end{array} \right.$ | (13) |
2.3 多频率陷波器抑制由于采用与转速同频的单频率陷波器仅能抑制转速同频振动，而由于传感器失真等因素的存在，转速的倍频点处容易引起倍频振动，因此除了抑制转速同频振动外，还需要对倍频振动进行抑制。本文通过引入多频率陷波器，来抑制转速同频振动以及倍频振动。采用多频率陷波器抑制的控制系统框图如图 4所示。
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| 图 4 采用多频率陷波器抑制的控制系统框图 |
| 图选项 |
从输入y(t)到陷波器N(s)输出的传递函数可写为
| $\begin{array}{*{20}{c}}{N\left( s \right) = \frac{{{s^2} + {\omega ^2}}}{{{s^2} + {\varepsilon _1}s + {\omega ^2}}} + \frac{{{s^2} + {{\left( {2\omega } \right)}^2}}}{{{s^2} + {\varepsilon _2}s + {{\left( {2\omega } \right)}^2}}} + \cdots + }\\{\frac{{{s^2} + {{\left( {n\omega } \right)}^2}}}{{{s^2} + {\varepsilon _n}s + {{\left( {n\omega } \right)}^2}}}.}\end{array}$ | (14) |
| $\left\{ \begin{array}{l}N\left( {{\rm{j}}{\omega _{\rm{r}}}} \right) = 0,\;\;\;{\omega _{\rm{r}}} \in \left( {\omega - \Delta {\omega _1},\omega + \Delta {\omega _1}} \right) \cup \\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left( {2\omega - \Delta {\omega _1},2\omega + \Delta {\omega _1}} \right) \cup \\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \cup \left( {n\omega - \Delta {\omega _n},n\omega + \Delta {\omega _n}} \right);\\N\left( {{\rm{j}}{\omega _{\rm{r}}}} \right) \approx 1,\;\;\;其他.\end{array} \right.$ | (15) |
3 实验研究3.1 实验台简介图 5是5自由度磁悬浮电主轴系统。磁悬浮电主轴机械结构由前后2个径向磁轴承、轴向磁轴承和驱动电机等部分组成。磁轴承的悬浮控制采用现场可编程门阵列(FPGA)作为控制器芯片，位移控制器采用上述控制策略输出指令电磁力，再经过电流换算式(7)，可将指令电磁力转换为线圈的指令电流，然后由电流闭环控制器输出PWM信号，从而控制磁极线圈的电流。本文主要对前径向磁轴承的零偏置电流悬浮控制开展了实验分析，磁轴承参数如表 1所示。位移检测采用电涡流传感器，其分辨率为0.1 μm，位移测量范围为0.5 mm。电流检测采用Hall传感器，能够测量最大±48 A电流。
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| 图 5 5自由度磁悬浮电主轴系统 |
| 图选项 |
表 1 径向磁轴承参数
| 参数 | 符号 | 量值 |
| 转子质量 | m | 55 kg |
| 磁极面积 | A | 5.04×103 mm2 |
| 气隙 | g0 | 0.3 mm |
| 线圈匝数 | N | 40匝 |
表选项
3.2 实验测试首先，在2 400 r/min转速下采用零偏置电流策略进行了实验研究，得到了转子位移曲线，结果如图 6所示。同时，为了进行对比，取偏置电流为4 A，在有偏置电流策略下开展了同样的实验。对比有偏置和零偏置电流控制策略，可以发现2种控制策略的悬浮精度均为±10 μm左右，并且零偏置电流控制策略下磁轴承的功耗大大降低，结果如图 7所示。
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| 图 6 有偏置和零偏置电流策略下位移曲线 |
| 图选项 |
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| 图 7 不同转速下有偏置和零偏置电流策略下功耗曲线 |
| 图选项 |
然后，为了验证本研究中提出策略的有效性，分别在600和1 200 r/min转速下开展了实验研究，对比了不启动陷波器抑制、启动同频陷波器抑制以及启动多频率陷波器策略下的干扰抑制效果，并得到了转子振幅曲线，如图 8和9所示。实验结果表明，在不同转速下，在启动多频率陷波器后，同频与倍频振动均得到了有效抑制。
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| 图 8 600 r/min转速下不启动和启动同频、启动多频率陷波器振幅曲线 |
| 图选项 |
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| 图 9 1 200 r/min转速下不启动和启动同频、启动多频率陷波器振幅曲线 |
| 图选项 |
4 结论针对磁轴承在有偏置电流控制策略下会产生高功耗，继而造成电主轴发热和热变形，影响转子的悬浮精度这一问题，本文采用了零偏置电流控制策略来降低磁轴承的功耗。同时，由于加工制造存在误差，转子在旋转中会受到动不平衡力等因素影响，从而引起转子的周期性振动。本文提出了基于多频率陷波器抑制的零偏置电流控制策略来抑制动不平衡力等造成的转子同频和倍频振动。实验结果表明，相比不进行陷波器抑制以及仅采用转速同频陷波器抑制，本文方法很好地抑制了转子的同频与倍频振动。此外，本文所提出的零偏置电流控制策略还有效地降低了磁轴承的功耗。
参考文献
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