朱志明, 符平坡, 夏铸亮, 程世佳
清华大学 机械工程系, 先进成形制造教育部重点实验室, 北京 100084

收稿日期：2018-07-04
基金项目：国家自然科学基金面上项目（51775301）
作者简介：朱志明(1964-), 男, 教授。E-mail:zzmdme@tsinghua.edu.cn


摘要：最小拍控制律应用于基于全桥功率变换电路的逆变焊接电源恒流输出控制，具有良好的动态性能，然而最小拍控制对焊接回路的电感值变化较为敏感，系统的稳定鲁棒性较差。电源输出电缆会给焊接回路带来额外寄生电感，并将有可能导致最小拍控制失稳。采用极点配置法对最小拍控制律进行改进，能够有效提升控制系统对电感值变化的适应能力。实验结果和研究表明：系统的鲁棒性随着配置极点的个数和极点与原点间距离的增加而增强，但动态性能会受到一定影响。通过调整配置极点的个数和位置，能够实现控制系统稳定鲁棒性和快速性的折中和平衡，满足实际焊接电源输出特性控制的要求。
关键词：逆变焊接电源最小拍控制极点配置稳定鲁棒性系统动态
Pole-assignment based deadbeat control and its stability robustness in an inverter welding power source
ZHU Zhiming, FU Pingpo, XIA Zhuliang, CHENG Shijia
Key Laboratory for Advanced Materials Processing Technology of Ministry of Education, Department of Mechanical Engineering, Tsinghua University, Beijing 100084, China


Abstract: The deadbeat control law was used to control the constant current output of an inverter welding power source based on a full-bridge power converter topology. The controller has good dynamics; however, it is sensitive to changes of the inductance in the output welding loop and is not stable. The cable in the output welding loop of the power source provides an extra parasitic inductance, which leads to instabilities of the deadbeat control system. The pole assignment method was used to improve the deadbeat control and the control system adaptability to inductance variations. Tests show that the control system stability is enhanced by increasing the number of poles as well as the distance between the poles and the origin, but these changes slow the system dynamic response. The compromise between the stability and the response speed is balanced by adjusting the pole locations and the number of poles to provide the desired control characteristics of the welding power source.
Key words: inverter welding power sourcedeadbeat controlpole assignmentstability robustnesssystem dynamics
逆变电源电能变换效率高、控制灵活、输出动态性能优良，已成为焊接电源发展和应用的主流^[1-3]。数字化控制相对于模拟控制不仅更加灵活方便，且具有更高的可靠性和控制精度，也已在逆变焊接电源的控制中获得广泛应用^[4-6]。逆变焊接电源广泛采用全桥或半桥式功率变换电路，它们均可等效为Buck变换器^[7]。当逆变焊接电源用于熔化极、脉冲或变极性电弧焊接时，电弧负载会持续发生动态变化，这对控制系统的稳定性和快速性提出了特殊要求，而最小拍控制以其优良的动态响应速度，常用于逆变器的输出控制^[8]。以Buck变换器为基础，将焊接电弧等效为电阻和恒压源串联负载，采用最小拍控制律对逆变焊接电源进行控制，在电弧负载（电阻和恒压源）参数与最小拍控制模型参数匹配时，可以实现无稳态误差的恒电流输出，当两者参数相差较大时，仍具有良好的控制效果^[9]。
然而，在实施焊接时，除了电弧负载波动会导致电源—负载系统的参数发生变化外，在一些特殊焊接场合，常常需要电源具有较长输出电缆，这不仅使电源的输出回路电感值有较大增加，且电缆盘曲形状也不确定，从而导致电源的输出回路电感值也会产生较大改变，这都会造成电源—负载系统的实际电感值与最小拍控制模型中的设定电感值存在较大差异。最小拍控制律对电感值的变化敏感^[9]，当实际电感值与最小拍控制模型中的设定电感值差异较大时，往往无法实现最小拍控制，甚至影响控制系统的稳定性。
为了改善逆变焊接电源最小拍控制的稳定鲁棒性，本文采取极点配置的方法对最小拍控制律进行了改进，以降低最小拍控制律对实际焊接回路电感值变化的敏感性，并深入分析了极点的选择对控制系统稳定鲁棒性和电源输出响应速度的影响规律，以期为焊接电源数字化控制系统的控制律选定和参数优化提供理论依据和重要参考。
1 逆变焊接电源的最小拍控制建模应用于焊接电源的一次逆变电路拓扑如图 1所示，采用移相控制全桥软开关电路^[10-11]，产生的功率脉冲通过变压器Trans输出，经二次整流、滤波后输出，通过焊接电缆给电弧负载供电。

图 1 焊接电源的一次逆变电路拓扑

图选项

为了建立最小拍控制模型并分析其特性，将逆变焊接电源简化为如图 2所示的Buck变换器，其中L_f为输出回路电感，包括滤波电感和焊接电缆等效电感，R_o和V_o为电弧等效负载，通过控制功率器件（insulated gate bipolar transistor，IGBT）的开关占空比D，实现电源的恒流输出。

图 2 逆变电路简化后的Buck变换器

图选项

全桥逆变周期为T_s，包含正负2个脉冲电压输出，如图 3所示，占空比D为每一个电压脉冲输出时间与逆变半周期（T_s/2）的比值，调控范围为0~1.0。为避免图 1中变压器Trans的偏磁饱和，并在全负载范围内和电弧动态变化过程中稳定实现IGBT的软开关，逆变焊接电源采用“1-2-1”余弦模式的移相脉冲（pulse width modulation，PWM）对IGBT的占空比进行控制，即Q₁和Q₄的导通占空比为当前半周期和前一个半周期脉冲占空比的平均值，Q₂和Q₃的导通占空比取当前半周期的占空比^[12]。电流采样周期为T_s，采样点如图 3所示。

图 3 逆变电源的采样与控制原理

图选项

根据图 2和3，逆变焊接电源功率变换电路的离散传递函数为

$\begin{array}{*{20}{c}}{2{f_{\rm{s}}}{L_{\rm{f}}}\left( {{I_{\rm{n}}} - {I_{n - 1}}} \right) = }\\{\frac{{{V_{\rm{g}}}}}{M}\left( {{D_{n - 2}} + \frac{{{D_{n - 3}} + {D_{n - 2}}}}{2}} \right) - 2{V_{\rm{o}}} - {R_{\rm{o}}}\left( {{I_{n - 1}} + {I_n}} \right)}\end{array}$

(1)

其中：f_s为一次逆变的频率，V_g为一次逆变输入直流电压，M为变压器Trans的变比，I_n和I_n-1为输出电流采样值，D_n-2和D_n-3为PWM控制脉冲的占空比。为实现无稳态误差和控制波纹的最小拍控制，在电源离散传递函数的基础上，添加控制约束方程，构建完整的最小拍控制方程组表示如下：

$\left\{ \begin{array}{l}2{f_{\rm{s}}}{L_{\rm{f}}}\left( {{I_{\rm{n}}} - {I_{n - 1}}} \right) = \frac{{{V_{\rm{g}}}}}{M}\left( {{D_{n - 2}} + \frac{{{D_{n - 3}} + {D_{n - 2}}}}{2}} \right) - \\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;2{V_{\rm{o}}} - {R_{\rm{o}}}\left( {{I_{n - 1}} + {I_n}} \right),\\2{f_{\rm{s}}}{L_{\rm{f}}}\left( {{I_{n + 1}} - {I_n}} \right) = \frac{{{V_{\rm{g}}}}}{M}\left( {{D_{n - 1}} + \frac{{{D_{n - 2}} + {D_{n - 1}}}}{2}} \right) - \\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;2{V_{\rm{o}}} - {R_{\rm{o}}}\left( {{I_n} + {I_{n + 1}}} \right),\\2{f_{\rm{s}}}{L_{\rm{f}}}\left( {{I_{n + 2}} - {I_{n + 1}}} \right) = \frac{{{V_{\rm{g}}}}}{M}\left( {{D_n} + \frac{{{D_{n - 1}} + {D_n}}}{2}} \right) - \\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;2{V_{\rm{o}}} - {R_{\rm{o}}}\left( {{I_{n + 1}} + {I_{n + 2}}} \right),\\2{f_{\rm{s}}}{L_{\rm{f}}}\left( {{I_{n + 3}} - {I_{n + 2}}} \right) = \frac{{{V_{\rm{g}}}}}{M}\left( {{D_{n + 1}} + \frac{{{D_n} + {D_{n + 1}}}}{2}} \right) - \\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;2{V_{\rm{o}}} - {R_{\rm{o}}}\left( {{I_{n + 2}} + {I_{n + 3}}} \right),\\2{f_{\rm{s}}}{L_{\rm{f}}}\left( {{I_{n + 4}} - {I_{n + 3}}} \right) = \frac{{{V_{\rm{g}}}}}{M}\left( {{D_{n + 2}} + \frac{{{D_{n + 1}} + {D_{n + 2}}}}{2}} \right) - \\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;2{V_{\rm{o}}} - {R_{\rm{o}}}\left( {{I_{n + 3}} + {I_{n + 4}}} \right),\\{I_{{\rm{set}}}} = {I_{n + 3}},{I_{{\rm{net}}}} = {I_{n + 4}},{D_{n + 2}} = {D_{n + 1}}.\end{array} \right.$

(2)

消去式（2）中的D_n+1、D_n+2、I_n+1、I_n+2、I_n+3、I_n+4和V_o，即可得到最小拍控制律。实际上，R_o远小于f_sL_f，且在R_o的实际值与模型中R_o的设定值失配的情况下，由式（2）确定的最小拍控制律仍能保证控制系统稳定，再者，本文主要研究输出回路电感L_f对控制系统稳定性的影响，因此，为简化计算，令R_o=0，此时的最小拍控制律简化为

$\begin{array}{*{20}{c}}{{D_n} = - {D_{n - 1}} + \frac{{9{D_{n - 3}}}}{{16}} + \frac{{23{D_{n - 2}}}}{{16}} + }\\{\frac{{m{f_{\rm{s}}}{L_{\rm{f}}}}}{{4{V_{\rm{g}}}}}\left[ {\left. {4{I_{{\rm{set}}}} + 9{I_{n - 1}} - 13{I_n}} \right)} \right].}\end{array}$

(3)

建立最小拍控制模型所采用的参数如表 1所示。
表 1 最小拍控制律采用的电路模型参数值

参数	参数值
Vg/V	515
M	6
Lf/μH	20
fs/kHz	15

表选项






2 最小拍控制律对电感变化的敏感性将实际焊接回路电感参数L′_f=kL_f带入离散传递函数表达式（1），模型中的电感L_f参数带入式（3）的最小拍控制律，分别进行Z变换，消去中间变量Z[I_n]，采用表 1中的电路模型参数，可得系统闭环传递函数的特征方程为

$\begin{array}{*{20}{c}}{ - 9 + 9k - 14z + 14kz + }\\{39{z^2} - 39k{z^2} + 16k{z^4} = 0.}\end{array}$

(4)

定义k为实际电路电感的匹配系数，针对式（4）采用代数稳定性判据，可确定基于最小拍控制律的控制系统稳定的k值范围为

$0.7604 < k < 1.571.$

(5)

可见，在最小拍控制律的模型参数确定后，保持采用最小拍控制律时的系统稳定性所允许的实际电路的电感量变化范围有限，即最小拍控制律对实际电感值变化敏感，稳定鲁棒性不足。
图 4给出了k取不同值时，在阶跃信号输入情况下的控制系统仿真结果，仿真时，取V_o=20 V。图 4的横坐标表示控制系统的调整时间，纵坐标表示控制系统的输出脉冲占空比，由于按照控制律计算得到的占空比可能超出0~1.0的范围，实际应用时需进行饱和处理。然而为更清晰地表示k对控制过程的影响，图中显示的脉冲占空比未经饱和处理。

图 4 (网络版彩图)电感值匹配系数k对最小拍控制稳定性的影响

图选项

由图 4可以看出，只有在k=1时，也就是当最小拍控制模型的设定电感值和实际电感值相同时，才是严格意义的最小拍控制。当k在稳定范围内取值时，虽然系统最终能够归于稳定，但响应时间增加。当k值超出式（5）给出的稳定范围时，控制系统的输出脉冲占空比发散，即系统不稳定。
实际应用中，焊接回路电感值不可避免地会随着电源输出电缆长度和形状的变化而不断改变，当k值超出稳定范围时，采用最小拍控制将会导致控制系统失稳。因此，有必要改进控制算法，降低控制系统对电感值变化的敏感性，提高其稳定鲁棒性。
3 极点配置控制律及其稳定鲁棒性对最小拍控制方法加以改进的基本思路是：将控制目标由最小拍控制，即要求误差在有限拍内消除，修改为误差按指数规律衰减。

$\left\{ \begin{array}{l}{e_{n + 3}} = a{e_{n + 2}} + b{e_{n + 1}} + c{e_n} + d{e_{n - 1}},\\{e_{n + 4}} = a{e_{n + 3}} + b{e_{n + 2}} + c{e_{n + 1}} + d{e_n},\\\Delta {D_{n + 2}} = a\Delta {D_{n + 1}} + b\Delta {D_n} + c\Delta {D_{n - 1}} + d\Delta {D_{n - 2}},\end{array} \right.$

(6)

具体方法为将式（2）中的最小拍误差控制要求（后3个方程）修改为误差按式（6）的指数规律衰减。其中：e_n＝I_set－I_n，ΔD_n＝D_n－D_n-1，分别为电流和占空比误差。a、b、c和d为待定系数，称为误差衰减系数。
根据式（6），可得控制律的闭环特征方程为

${\lambda ^4} - a{\lambda ^3} - b{\lambda ^2} - c\lambda - d = 0.$

(7)

式（7）的根λ₁、λ₂、λ₃和λ₄为闭环传递函数的极点，调整极点的位置和数量，即进行极点配置，可以改变和调整系统的控制性能。
根据Vieta定理，系数a、b、c和d与根λ₁、λ₂、λ₃和λ₄之间的关系为

$\left\{ \begin{array}{l}a = {\lambda _1} + {\lambda _2} + {\lambda _3} + {\lambda _4},\\b = - \left( {{\lambda _1}{\lambda _2} + {\lambda _1}{\lambda _3} + {\lambda _1}{\lambda _4} + {\lambda _2}{\lambda _3} + {\lambda _2}{\lambda _4} + {\lambda _3}{\lambda _4}} \right),\\c = {\lambda _1}{\lambda _2}{\lambda _3} + {\lambda _1}{\lambda _3}{\lambda _4} + {\lambda _2}{\lambda _3}{\lambda _4} + {\lambda _1}{\lambda _2}{\lambda _4},\\d = - {\lambda _1}{\lambda _2}{\lambda _3}{\lambda _4}.\end{array} \right.$

(8)

可见，闭环极点λ₁、λ₂、λ₃和λ₄的位置决定了误差衰减系数a、b、c和d的值，也就是误差衰减速度，也决定了系统的动态性能。当λ₁、λ₂、λ₃和λ₄的值均为0时，a、b、c和d的值也均为0，此时即为最小拍控制。
将式（6）和（2）的前5个方程联合并求解，可得基于极点配置的控制律为

$\begin{array}{*{20}{c}}{{D_n} = \frac{{\left( {9 - 5a - b + 3c - 9d} \right)}}{{16}}{D_{n - 3}} + }\\{\frac{{\left( {23 - 11a + b - 3c + 9d} \right)}}{{16}}{D_{n - 2}} + \left( {a - 1} \right){D_{n - 1}} - }\\{\frac{{M{f_{\rm{s}}}{L_{\rm{f}}}\left( { - 1 + a + b + c + d} \right)}}{{{V_{\rm{g}}}}}{I_{{\rm{set}}}} + }\\{\frac{{M{f_{\rm{s}}}{L_{\rm{f}}}\left( {9 - 5a - b + 3c + 7d} \right)}}{{4{V_{\rm{g}}}}}{I_{n - 1}} + }\\{\frac{{M{f_{\rm{s}}}{L_{\rm{f}}}\left( { - 13 + 9a + 5b + c - 3d} \right)}}{{4{V_{\rm{g}}}}}{I_n}.}\end{array}$

(9)

为了保证系统稳定，闭环极点λ的值需位于复平面的单位圆内。控制律配置了4个极点，且取值范围较大，并将依据式（8）形成4个误差衰减系数，进而影响式（9）的基于极点配置的控制律。
直接采用解析法计算极点位置或误差衰减系数对控制系统性能的影响规律较为困难，且对实际工程应用帮助有限。本文采用试探法进行极点λ的取值对控制系统性能的影响规律的探索，即首先在系统稳定的范围内，取若干组极点λ的值，并依据式（8）计算出误差衰减系数，再带入基于极点配置的控制律，计算闭环传递函数，从而归纳出极点取不同值对控制系统性能的影响规律。

$\left( {{\lambda _1},{\lambda _2},{\lambda _3},{\lambda _4}} \right) = \eta \left( {{\delta _1},{\delta _2},{\delta _3},{\delta _4}} \right),$

(10)

${\delta _i} = \left\{ \begin{array}{l}1,\;\;\;i \le N;\\0,\;\;i > N.\end{array} \right.$

(11)

为使得极点的影响规律更加清晰，极点λ按照式（10）所示函数取值，其中：η为极点与原点之间的距离，|η| < 1。δ_i的取值由式（11）决定，其中N为配置极点的数目。
表 2所示为当λ₁、λ₂、λ₃和λ₄分别取不同值时，计算得到的系统稳定时的实际电路电感的匹配系数k的允许取值范围。
表 2 不同极点配置允许的电感匹配系数k的取值范围

η	N=1	N=2	N=3	N=4
0.1	（0.74, 1.75）	（0.73, 2.01）	（0.71, 2.45）	（0.70, 3.12）
0.2	（0.73, 2.00）	（0.70, 3.25）	（0.67, 28）	（0.64, ∞）
0.5	（0.66, 5.00）	（0.56, ∞）	（0.49, ∞）	（0.46, ∞）
0.8	（0.55, ∞）	（0.31, ∞）	（0.24, ∞）	（0.30, ∞）

表选项






对比表 2的行数据可知，当极点与原点之间的距离相同时，极点数越多，则k值所允许取值的范围逐渐增大，也就是系统对电感值变化的适应性提高，鲁棒性增加；同样，对比表 2的纵向数据可以看出，在极点数相同的情况下，极点与原点之间的距离越远，则k值所允许取值的范围越大。
当极点数或极点与原点之间距离增大到一定值时，若仅需保证系统稳定，则k不存在上限值，这对实际焊接电源控制系统的鲁棒性改善非常有利。
逆变焊接电源的输出回路电感包括电路中的电感类元件（如滤波电感和励磁电感）以及电源输出电缆电感，前者在电源设计定型后即为确定值，后者为未知量且在焊接实施过程中不断变化，它的存在不仅增加了整个输出回路的电感值，而且变化范围较大。合适的极点配置使k值不存在上限，则意味着当控制律模型中的电感值取电源设计时的固定电感值时，无论实际输出电感值如何变化，控制系统总能适应其变化而始终保持稳定。
4 极点配置控制律的动态性能极点配置除了影响系统的稳定鲁棒性外，还对系统的动态性能有一定影响，当η、N、k分别取不同值时，单位阶跃输入时的控制系统调整过程的仿真结果如图 5所示。

图 5 （网络版彩图）极点配置对系统动态性能的影响

图选项

由图 5可以看出，当控制模型的设定电感值与实际电感值匹配（k=1.0）时，随着极点配置数N和极点离原点距离的增加（η值增大），系统调整时间增加，动态响应速度下降。同时，当实际电感值与模型设定电感参数值差别较大（k=2.0）时，极点配置法仍可以实现控制系统的最终稳定，但调整时间明显增大。比较图 4和5可以看出，当实际电感值与模型设定电感参数值差别不大时（k=1.2），最小拍控制与极点配置法控制的动态响应速度没有明显差别，调整时间都在0.6 ms左右。
图 6展示了逆变电源的控制系统采用不同极点配置情况下，进行基值电流为100 A，峰值电流为600 A脉冲焊接过程时的PWM控制脉冲占空比和输出电流的调整情况，控制模型采用的电感值为20 μH，电桥测量焊接回路电感为（20.6±2.4）μH。

图 6 不同极点配置时的100~600 A电流阶跃响应（DSP采样）

图选项

由图 6可以看出，当N=4时，电源输出电流和控制脉冲占空比的上升沿和下降沿斜率小于N=1时以及最小拍控制，动态响应速度受到一定影响，但控制脉冲占空比不存在明显波动，说明其较强的适应能力。当只配置一个极点（N=1）或采用最小拍控制时，控制脉冲占空比有剧烈的波动，说明其稳定鲁棒性较差。试验结果与计算和仿真规律吻合。
由图 6可以看出，在实际焊接过程中，由于电弧负载的波动、焊接回路电感值的变化等因素，不可避免地存在控制模型参数值和实际参数值不匹配的情况，最小拍控制虽然响应速度快，但对参数变化敏感。通过配置闭环极点，可以得到不同的动态特性和良好的稳定鲁棒性，从而实现两者之间的折中，满足更为广泛的控制需求。应用中，根据实际的动态特性和稳定鲁棒性要求，可根据上述研究结果，选择合适的极点配置数并进行参数优化。
5 结论逆变焊接电源采用离散化的最小拍控制律，当控制模型参数值与实际参数值匹配时，能够获得良好的动态特性，当实际电感值与控制模型中的设定电感值差异较大时，将造成控制系统失稳，即最小拍控制律存在稳定鲁棒性不足的问题。在最小拍控制律的基础上，进行闭环极点配置，虽然牺牲了一定的系统输出的动态响应性能，但可显著改善控制系统的稳定鲁棒性。且随着所配置的闭环极点数以及极点与原点间距离的增加，系统的稳定鲁棒性进一步提高，但响应速度也有所降低。应用时，可根据逆变焊接电源的控制需要，配置合适的极点数和闭环极点值，实现系统动态性能和稳定鲁棒性的折中。

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