清华大学 机械工程系, 北京 100084
收稿日期：2017-08-06
基金项目：国家自然科学基金项目（51275257）
作者简介：吕江伟(1989-), 男, 博士研究生
通信作者：周凯, 教授, E-mail:zhoukai@mail.tsinghua.edu.cn
摘要：双凸极作为直线开关磁阻电机（LSRM）的特征结构对于电机的出力性能有着较大的影响。由于极宽是双凸极结构的关键尺寸，因此该文从理论定性分析、有限元定量分析和实验测量3个方面探究了提升LSRM力密度的最佳定动子极宽比。利用磁链线性模型定性地分析了定动子极宽如何影响电机平均输出力，从机理上揭示了定子和动子极宽分别存在使得平均输出力最大的极值点。利用参数化建模方法建立了有限元分析模型，定量地验证了理论分析的推断并给出了最大平均输出力所对应的最佳定动子极宽比范围。通过实验测量了不同定动子极宽的力曲线，实验测量结果和有限元计算结果相一致，从而验证了有限元分析的准确性。有限元分析和实验结果表明：对于提升LSRM力密度的最佳定子极宽比范围为0.4~0.45，最佳动子极宽比范围为0.45~0.5，且最佳定动子极宽比范围基本不受气隙、槽深的影响。
关键词：直线开关磁阻电机力密度有限元分析极宽
Optimal pole width ratio for high force density linear switched reluctance motors
Lü Jiangwei, ZHOU Kai
Department of Mechanical Engineering, Tsinghua University, Beijing 100084, China
Abstract: The double salient structure significantly reduces the forces in a linear switched reluctance motor (LSRM). The structure is then optimized for high force densities. The pole width is the key parameter in the double salient structure with this paper focusing on the optimal pole width ratio for a high force density LSRM using qualitative and quantitative analyses and experimental measurements. The qualitative analysis based on a linear flux linkage model shows a maximum average force for various translator and stator pole widths. Then, a finite element analysis (FEA) based parametric modeling method is used to validate the results and to calculate the optimal pole width range. Force measurements then agree well with the FEA results. They both show that the optimal stator pole width ratio is 0.4 to 0.45 and the optimal translator pole width ratio is 0.45 to 0.5 for a high force density in the LSRM. The optimal width ratio does not change with the air gap or slot depth.
Key words: linear switched reluctance motorforce densityfinite element analysispole width
直线电机由于取消了传动链，具有高速、高加速度、高刚性和高精度等性能，可达到“旋转电机+滚珠丝杠驱动方式”无法达到的性能指标，但直线电机由于安装空间的限制，其推力指标逊色于“旋转电机+滚珠丝杠”。因此，提高直线电机力密度对其在工业领域的应用有着重大的促进作用。在直线驱动系统中，永磁同步直线电机以其优良的伺服性能在直线驱动系统中得到了大量应用[1]，但永磁体的存在不仅增大了成本，也给安装维护提出了很高要求，尤其是在机械加工领域。直线开关磁阻电机(linear switched reluctance motor，LSRM)不采用永磁体且结构简单坚固，是一种新型的直线驱动电机[2]。
对于直线开关磁阻电机，现有研究多是通过设计不同的电机结构来提升力密度，如双动子LSRM[3-4]、双边定子分段式LSRM[5]和双边动子分段式LSRM[6-7]等。不管采用什么样的拓扑结构，LSRM都离不开其特征结构——双凸极，因此通过优化双凸极结构来提升LSRM力密度具有普适性。极宽作为双凸极结构的关键尺寸参数，对电机的出力性能有着显著影响[8-9]。对于开关磁阻电机，许多研究人员通过使用不同的先进算法实现了对定转子极弧的多目标优化[10-12]，其目标函数多以高转矩、低转矩脉动或者高效率为目标。然而，对于直线开关磁阻电机，鲜有研究探索定动子极宽是如何影响电机出力性能的。
针对现有研究存在的问题，本文以提升LSRM力密度为目标，首先对LSRM极宽进行了理论定性分析，从机理上解释了定动子极宽对LSRM出力性能的影响，并推断出定动子极宽分别存在使得平均输出力最大的极值点。其次，基于参数化建模方法，利用有限元方法对定动子极宽进行了定量分析，验证了定性分析的推论并求出了最大平均输出力所对应的定动子极宽比。随后，通过实验测量验证了有限元分析的正确性，并利用有限元探究了气隙、槽深对最佳定动子极宽比的影响以及定动子极宽对力脉动的影响。最后，根据有限元分析和测量结果，总结了如何选取定动子极宽以提升LSRM力密度，为高力密度LSRM的设计提出了可靠的建议。
1 理论定性分析1.1 LSRM平均输出力数学模型如图 1所示，LSRM定动子采用双凸极结构。图 1中：wt为动子极宽，ws为定子极宽，wp为极距。线圈可绕在定子上也可绕在动子上。LSRM遵循“磁阻最小原理”，自身的电磁关系极其复杂，且常常工作在饱和状态，其电磁推力不仅与电流有关，还与动子所处的位置有关。现有研究多是通过对磁共能求位置的偏导得到其电磁推力，
| ${F_{\rm{e}}}\left( {x, i} \right) = \frac{{\partial {W_{{\rm{co}}}}\left( {x, i} \right)}}{{\partial x}}\left| {_{i = {\rm{const}}}} \right. = \frac{{\partial \int_0^i {\psi \left( {x, i} \right){\rm{d}}i} }}{{\partial x}}\left| {_{i = {\rm{const}}}} \right..$ | (1) |
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| 图 1 直线开关磁阻电机结构示意图 |
| 图选项 |
其中：Fe为电磁推力，Wco为磁共能，ψ为磁链，i为相电流，x为位置。
在LSRM中，磁链是关于电流和位置的双元函数，因此常需获取不同位置下磁链关于电流的曲线以建立LSRM数学模型。如图 2所示，在LSRM中，通常有3种磁链数学模型：线性模型、准线性模型和非线性模型。线性模型没有考虑铁磁材料的饱和特性，准线性模型利用分段线性法逼近实际铁磁材料的饱和特性，而非线性模型则考虑了铁磁材料的实际磁化曲线。图 2中阴影面积即为从不对齐位置到对齐位置所产生的磁共能。因而，从式(1)中可推导出电机从不对齐位置到对齐位置的平均输出力Favg为
| ${F_{{\rm{avg}}}} = \frac{{2{W_{{\rm{co}}}}}}{{{w_{\rm{p}}}}}.$ | (2) |
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| 图 2 直线开关磁阻电机磁链模型 |
| 图选项 |
在LSRM中，当定动子极宽发生变化时，其外观尺寸基本不发生变化，因此可直接选取平均输出力作为评价电机力密度的指标。在对定动子极宽进行理论定性分析时，暂可不利用最准确的计算模型获知平均输出力，因此可采用线性或者准线性模型。如图 2所示，在线性模型或者准线性模型中，阴影面积的求解需要获知不对齐电感Lu、对齐不饱和电感Lau和对齐饱和电感Las，而电感与磁阻之间又满足如下关系：
| $L = \frac{{{N^2}}}{R}.$ | (3) |
1.2 动子极宽的定性分析为了探究动子极宽对LSRM平均输出力的影响，建立了如图 3a所示的模型。该模型保持定子极宽不变，动子极宽以步长Δwt进行变化。求解图 2a的阴影面积，即可获得最小动子极宽所产生的平均输出力Ft_base为
| ${F_{{\rm{t\_base}}}} = \frac{{2W_{{\rm{co}}}^{\rm{t}}}}{{{w_{\rm{p}}}}} = \frac{{L_{\rm{a}}^{{\rm{ ut}}}-L_{\rm{u}}^{\rm{t}}}}{{{w_{\rm{p}}}}}{i^2}.$ | (4) |
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| 图 3 极宽变化示意图 |
| 图选项 |
并以此为比较参考，当动子极宽发生变化时，平均输出力的变化量ΔFt为
| $\Delta {F_{\rm{t}}} = \frac{{\Delta L_{\rm{a}}^{{\rm{ ut}}}-L_{\rm{u}}^{\rm{t}}}}{{{w_{\rm{p}}}}}{i^2}.$ | (5) |
动子极宽变化后所产生的平均输出力Ft为
| ${{F}_{\text{t}}}=\text{ }{{F}_{\text{t }\!\!\_\!\!\text{ base}}}\text{+}\Delta {{F}_{\text{t}}}.$ | (6) |
1.3 定子极宽的定性分析如图 3b所示的模型，动子极宽保持不变，定子极宽以Δws发生变化，同样基于图 2a的线性模型，可得到最小定子极宽所产生的平均输出力Fs_base为
| ${F_{{\rm s}\_{\rm{base}}}}{\rm{ = }}\frac{{2W_{{\rm{co}}}^{\rm{s}}}}{{{w_{\rm{p}}}}} = \frac{{L_{\rm{a}}^{{\rm{us}}}-L_{\rm{u}}^{\rm{s}}}}{{{w_{\rm{p}}}}}{i^2}.$ | (7) |
| $\Delta {F_{\rm s}}{\rm{ = }}\frac{{\Delta L_{\rm{a}}^{{\rm{us}}}-\Delta L_{\rm{u}}^{\rm{s}}}}{{{w_{\rm{p}}}}}{i^2}.$ | (8) |
定子极宽变化后所产生的平均输出力Fs为
| ${F_{\rm{s}}} = {F_{{\rm s}\_{\rm{base}}}} + \Delta {F_{\rm{s}}}.$ | (9) |
2 有限元定量分析第1节的理论定性分析推断出对于定动子极宽分别存在使得平均输出力最大的极值点，但LSRM自身电磁关系极其复杂，且具有强非线性，而定性分析基于简单的线性模型，其推论的正确性有待验证。因此，需要通过基于图 2c所示的非线性模型对定动子极宽进行定量分析以验证定性分析的准确性，并计算出最大平均输出力所对应的定动子极宽。
为了探究定动子极宽的最佳值，对LSRM的定动子极宽进行了有限元参数化建模，而电机的其他参数保持不变。建立的有限元模型具体参数如表 1所示，其中定义了定子极宽与极距的比值αs为定子极宽比，动子极宽与极距的比值αt为动子极宽比。定子极宽比αs和动子极宽比αt变化范围均为0.3~0.6，参数化建模的步长设定为0.05。
表 1 有限元模型参数
| 参数名 | 符号 | 单位 | 数值 |
| 极距 | wp | mm | 48 |
| 气隙 | g | mm | 0.5 |
| 匝数 | N | mm | 250 |
| 叠片厚度 | l | mm | 50 |
| 动子槽深 | wts | mm | 30 |
| 动子轭厚 | wty | mm | 30 |
| 定子槽深 | wss | mm | 16 |
| 定子轭厚 | wsy | mm | 30 |
| 动子极宽与极距比值 | αt | 0.3~0.6 | |
| 定子极宽与极距比值 | αs | 0.3~0.6 |
表选项
从图 2c可看出，当电机饱和程度不同时，由对齐和不对齐磁链所围成的面积有所不同。当励磁电流较小时，电机未饱和，此时磁链所围成的阴影区域近似为三角形，而当励磁电流增大时，电机进入饱和阶段，磁链围成的阴影区域呈现不规则图形。因此，当电机处于不同的饱和状态时，定动子极宽对平均输出力的影响将发生变化。为了全面定量分析定动子极宽对平均输出力的影响，选择了相电流6 A和12 A，这两个电流值分别对应电机的低饱和状态和高饱和状态。
2.1 动子极宽定量分析结果通过有限元计算得到的电机平均输出力随动子极宽比变化曲线如图 4所示。随着动子极宽比的增加，平均输出力先增加后减少，存在最大值，这和第1.2节动子极宽定性分析的结论是一致的。但不管电流是6 A或者12 A，电机处于何种饱和状态，最大平均输出力所对应的动子极宽比是一致的，在大多数情况下，最大平均输出力所对应的动子极宽比处于0.45~0.5。
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| 图 4 不同电流下平均输出力随动子极宽比变化 |
| 图选项 |
1.2和1.3节关于定动子极宽的定性分析基于线性模型，是利用不对齐和对齐电感进行推断的，为了验证这个推断的正确性，利用有限元计算了当电流为6 A时的不对齐电感和对齐电感随动子极宽比变化情况。之所以选择此电流，是因为在小电流下，电机未饱和，磁链模型可近似为线性模型。如图 5所示，当动子极宽比从小变大时，对齐电感的变化趋势有所减少，而不对齐电感的变化趋势有所增加，这就使得两者之间的差值存在最大值，因此平均输出力才会存在最大值。
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| 图 5 电流为6 A时的电感随动子极宽比变化 |
| 图选项 |
2.2 定子极宽定量分析结果利用有限元计算的电机平均输出力随定子极宽比变化曲线如图 6所示。可以看出，和动子极宽比一样，定子极宽比对电机的平均输出力的影响大体相似，电机平均输出力也存在最大值，而且在不同电流情况下，最大平均输出力所对应的定子极宽比也基本一致。但与动子极宽不同的是，最大平均输出力所对应的定子极宽比范围是0.4~0.45。之所以存在这样的差异，是因为在本研究中，动子绕有线圈，是磁场的供方，而定子没有线圈，是磁场的受方，因此两者之间的电磁关系存在差异，这种差异导致了最大平均输出力所对应极宽比的不同。
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| 图 6 不同电流下平均输出力随定子极宽比变化 |
| 图选项 |
3 实验验证下面通过实验测量验证理论推断和有限元分析结果。按照如表 1所列参数，加工了具有不同定动子极宽的LSRM，但为了节省成本并减少测量工作量，定动子极宽比分别只选择了0.3、0.4、0.5、0.6。设计了测力实验台用于测量电机输出的电磁推力，如图 7所示，该测力实验台包括微动平台、力传感器、数据采集卡以及不同极宽的定动子，其中微动平台用于将电机动子锁紧在指定位置。
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| 图 7 实验台照片 |
| 图选项 |
和有限元分析一样，利用测力实验台分别测量了6 A和12 A两种电流下的输出力随位置变化。实验中一共有16种定动子极宽比组合，图 8中展示了当定子极宽比为0.5时，动子极宽比分别为0.3、0.4、0.5、0.6时力曲线测量值和有限元分析结果的对比。实验测量值和有限元分析得到的力曲线有着较好的重合度，不同定动子极宽比组合有效地改变了力曲线形状以及最大值，从而带来不同的平均输出力。16种定动子极宽比组合下的平均输出力测量结果与有限元分析结果对比如表 2和3所示。可以看出，实验测量结果和有限元计算结果相对误差较小，基本在5%以内。
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| 图 8 定子极宽比为0.5、电流为12A时的输出力对比 |
| 图选项 |
表 2 当电流为6 A时的平均输出力对比结果
| αt | αs=0.3 | αs=0.4 | αs=0.5 | αs=0.6 | |||||||||||||||||||
| 实验值 | 有限元 | 相对误差 | 实验值 | 有限元 | 相对误差 | 实验值 | 有限元 | 相对误差 | 实验值 | 有限元 | 相对误差 | ||||||||||||
| N | N | % | N | N | % | N | N | % | N | N | % | ||||||||||||
| 0.3 | 31.10 | 30.88 | 0.69 | 31.13 | 31.71 | -1.86 | 31.27 | 31.50 | -0.74 | 30.61 | 29.87 | 2.43 | |||||||||||
| 0.4 | 32.14 | 33.09 | -2.95 | 38.36 | 39.68 | -3.46 | 36.91 | 39.18 | -6.14 | 33.35 | 34.87 | -4.55 | |||||||||||
| 0.5 | 32.25 | 33.80 | -4.81 | 39.65 | 40.94 | -3.27 | 40.12 | 42.46 | -5.83 | 33.40 | 32.83 | 1.68 | |||||||||||
| 0.6 | 32.76 | 32.57 | 0.56 | 33.33 | 36.94 | -10.84 | 31.66 | 34.09 | -7.71 | 31.20 | 29.05 | 6.92 | |||||||||||
表选项
表 3 当电流为12 A时的平均输出力对比结果
| αt | αs=0.3 | αs=0.4 | αs=0.5 | αs=0.6 | |||||||||||||||||||
| 实验值 | 有限元 | 相对误差 | 实验值 | 有限元 | 相对误差 | 实验值 | 有限元 | 相对误差 | 实验值 | 有限元 | 相对误差 | ||||||||||||
| N | N | % | N | N | % | N | N | % | N | N | % | ||||||||||||
| 0.3 | 87.14 | 89.68 | -2.91 | 87.34 | 90.79 | -3.95 | 83.29 | 88.17 | -5.85 | 79.15 | 81.61 | -3.10 | |||||||||||
| 0.4 | 100.12 | 100.90 | -0.77 | 118.10 | 115.98 | 1.80 | 113.78 | 112.61 | 1.03 | 95.42 | 95.42 | 0.00 | |||||||||||
| 0.5 | 102.04 | 101.67 | 0.36 | 120.12 | 122.33 | -1.84 | 118.23 | 119.91 | -1.42 | 91.39 | 89.37 | 2.21 | |||||||||||
| 0.6 | 95.89 | 96.68 | -0.82 | 106.14 | 107.87 | -1.63 | 96.39 | 95.31 | 1.12 | 75.00 | 72.52 | 3.30 | |||||||||||
表选项
3.1 动子极宽对平均输出力的影响实验测得平均输出力随动子极宽比变化如图 9所示。电流不管是6 A还是12 A，电机平均输出力都存在最大值，最大平均输出力对应的动子极宽比基本在0.5处，这符合2.1节有限元分析给出的0.45~0.5最佳范围。
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| 图 9 不同电流下测量的平均输出力随动子极宽比变化 |
| 图选项 |
3.2 定子极宽对平均输出力的影响实验测得平均输出力随定子极宽比变化如图 10所示。不管电机处于低饱和状态或高饱和状态，最大平均输出力对应的定子极宽比基本在0.4处，这符合2.2节有限元分析给出的0.4~0.45范围。
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| 图 10 不同电流下测量的平均输出力随定子极宽比变化 |
| 图选项 |
虽然在实验测量中，定动子极宽比只选取了0.3、0.4、0.5、0.6，但可明显看出，对于定、动子极宽都存在使得平均输出力最大的极值点，而且该极值点的范围符合第2节有限元分析的结果。以上所有的实验测量结果，有力地验证了有限元定量分析的准确性。
4 讨论4.1 气隙、槽深对最佳极宽比的影响通过理论分析、有限元分析和实验测量可得到定动子分别存在使得平均输出力最大的最佳极宽比，但该极宽比是否会受到电机其他结构尺寸的影响，如气隙和槽深等，需要进一步探究。维持电机原先尺寸不变，分别改变气隙和定子槽深为原来的一半，利用有限元分析来探究气隙和槽深对最佳极宽比的影响。尺寸改变后的电机平均输出力随动子、定子极宽比变化曲线如图 11所示。与图 4、图 6对比可以发现，当气隙变小时，在同样的磁动势下，电机平均输出力有所提升，但定动子的最佳极宽比范围未发生变化。而当槽深变小时，电机平均输出力基本未发生变化，定动子的最佳极宽比范围也未受到影响。以上结果表明，电机气隙和槽深尺寸基本不会影响定动子最佳极宽比范围。
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| 图 11 当气隙和槽深发生变化时平均输出力随动子、定子极宽比变化 |
| 图选项 |
4.2 动子、定子极宽对力脉动的影响动子、定子极宽除了对电机平均输出力产生较大的影响外，也会对力脉动造成一定的影响，而力脉动指标也是电机关键性能指标之一。因此，本文也探究了动子与定子极宽对力脉动的影响。由于探究是单个动子与定子的关系，因此定义力脉动系数c为
| $c = {F_{\max }}/{F_{{\rm{avg}}}}.$ | (10) |
当气隙为0.5 mm、槽深为16 mm时，力脉动系数随动子极宽比和定子极宽比变化曲线如图 12所示。在不同的励磁电流下，即不同电机饱和状态下，最小力脉动系数所对应的最佳动子极宽比都在0.5左右，最佳定子极宽比都在0.45左右。
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| 图 12 力脉动系数随动子、定子极宽比变化 |
| 图选项 |
5 结论本文从理论定性分析、有限元定量分析和实验测量3个方面探究了提升LSRM力密度的最佳定动子极宽。首先，在理论定性分析中，从机理上揭示了定动子极宽是如何影响电机平均输出力，并推断出对于定动子极宽分别存在使得平均输出力最大的极值点。其次，利用有限元分析验证了定性分析的推断并给出了最大平均输出力对应的最佳定动子极宽比。实验测量结果则表明：定动子极宽确实存在使得平均输出力最大的极值点，且测量的最佳定动子极宽比符合有限元计算得到的最佳范围。最后，还利用有限元分析了气隙和槽深对定动子最佳极宽比的影响以及定动子极宽对力脉动的影响。有限元分析和实验结果表明：对于提升LSRM力密度的定子最佳极宽比范围为0.4~0.45，动子最佳极宽比范围为0.45~0.5，且定动子最佳极宽比范围基本不受气隙和槽深的影响；而对于降低力脉动的最佳定子极宽比在0.45左右，最佳动子极宽比在0.5左右。这些结论对于设计具有高力密度的LSRM具有指导意义。
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