清华大学 电子工程系, 清华信息科学与技术国家实验室, 北京 100084
收稿日期：2016-11-14
基金项目：国家“八六三”高技术项目（2015AA01A701）；清华大学自主科研项目（2016ZH02-3）；国家科技重大专项（2016ZX03001002-002）
作者简介：刘羽(1995-), 男, 博士研究生
通信作者：周世东, 教授, E-mail:zhousd@tsinghua.edu.cn
摘要：在时分双工大规模多输入多输出（multiple-input multiple-output，MIMO）系统中，上下行通道的互易性校准是非常关键的。在相对校准方案中，系统仅需获得天线之间的信道响应，无需增加额外的硬件电路，其中最小二乘（least square，LS）校准表现出了较高的精度。然而，LS校准导致算法复杂度过高。该文提出了一种局部校准方案，利用若干组局部天线间的通道测量，使校准精确度得到保证，并且通过限制局部天线的规模降低校准复杂度。仿真结果表明：该方案可在大幅度降低计算复杂度的前提下保证校准精度损失很小。
关键词：大规模多输入多输出(MIMO)互易性校准最小二乘(LS)校准局部校准
Reciprocity calibration of a massive MIMO based on a local calibration
LIU Yu, ZHANG Xiujun, ZHOU Shidong
Tsinghua National Laboratory for Information Science and Technology, Department of Electronic Engineering, Tsinghua University, Beijing 100084, China
Abstract: Reciprocity calibrations between the uplink and downlink channels are very important in time division duplex (TDD) massive multiple-input multiple-output (MIMO) systems. When the calibration has no additional radio frequency (RF) chain, the calibration was sounding between different antenna elements. The least squares (LS) method is then used to analyze the data, but the analysis is very complex. This paper describes a calibration method based on a local calibration. The method is accurate since the local calibration only uses results between nearby antennas and simpler due to limited size of each local calibration. Simulations show that the complexity is reduced without significant accuracy loss.
Key words: massive multiple-input multiple-output (MIMO)reciprocity calibrationleast square calibrationlocal calibration
大规模MIMO系统具有高频谱利用效率、高能量利用率、高鲁棒性和安全性[1-2]等特点。为了实现大规模MIMO系统的性能，获取信道状态信息(channel state information, CSI)是极其重要的[3]。在时分双工的MIMO系统中，利用上下行信道之间的互易性，可以很容易地通过上行信道测量获得下行CSI。然而，由于射频链路模块收发通道之间的非对称性，合成后的上行和下行信道之间不再具有互易性[4]。因此，需要对发射和接收天线的射频链路模块进行互易性校准。
由于不需要额外的硬件开销，相对校准方案获得了广泛的采用[5]。一些校准方案利用基站天线和多用户之间的信道响应，其中比较典型的校准方案称之为TLS (total least square)校准[6]，它需要来自上行信道的大量反馈。当基站天线数目增多时，时间开销将变得很大。因此，文[7]提出了一种改进的TLS算法，只需要少量来自用户的反馈。文[8]提出了一个名为Argos的大规模MIMO系统，所使用的校准算法无需信道状态信息的反馈，适用于集中式天线场景。在分布式天线场景中，一种名为最小二乘(least square, LS)校准的算法可以实现更高的精度[9]。文[10]证明了扩展到自校准领域的TLS算法与LS算法是等价的。
已有的校准方案都将所有天线视为一个整体，全局校准方案的时间开销通常很大。以LS算法为例，它需要对一个M×M(M是基站天线数目)的矩阵进行特征值分解，算法复杂度高达O(M3)。Argos系统校准算法过程简单，但天线数目增多时，天线之间的距离增大，导致算法的校准精度严重恶化。为解决校准精度和校准复杂度之间的冲突，本文提出了一种局部校准方法，将相邻的天线视为一个整体，校准时涉及到的天线之间的距离较小，路径损耗小，接收信噪比(SNR)较高，算法的精度得以保证。除此之外，通过设置局部校准区域的大小，算法的复杂度被控制在合理的范围之内。仿真结果表明，在保证校准精度不受严重影响的前提下，校准复杂度大大降低。
1 系统模型为了更加清楚地描述校准算法，把宽带系统分成若干窄带系统，算法可以很方便地扩展到宽带领域中去。一个有M根基站天线和K个用户、每个用户单根天线的大规模MIMO系统建模如图 1所示。其中ti和ri表示第i根基站天线的射频发射模块和射频接收模块的等效基带增益，
 |
| 图 1 大规模MIMO信道 |
| 图选项 |
若X表示发射天线所发送的信号，HT表示信道增益，则最终在接收天线处接收到的信号为Y=HTX+N, 其中N为信号传输过程中叠加的噪声。基于此信道模型，可以获得上下行信道之间的关系。
用HDL表示等效基带的下行物理信道增益(从基站天线到终端天线之间)，则级联了射频收发模块之后的综合下行信道G和上行信道H，表示如下：
| $\mathit{\boldsymbol{G = \tilde R}} \cdot {\mathit{\boldsymbol{H}}_{{\rm{DL}}}} \cdot \mathit{\boldsymbol{T}},$ | (1) |
| $\mathit{\boldsymbol{H = R}} \cdot \mathit{\boldsymbol{H}}_{{\rm{DL}}}^{\rm{T}} \cdot \mathit{\boldsymbol{\tilde T}}.$ | (2) |
从式(1) 和(2) 中，可以得到
| $\mathit{\boldsymbol{G = }}{\mathit{\boldsymbol{C}}_\text{B}} \cdot {\mathit{\boldsymbol{H}}^{\rm{T}}} \cdot \mathit{\boldsymbol{C}}_{\rm{A}}^{ - 1}.$ | (3) |
忽略不同天线之间的耦合，T、R、
| $\mathit{\boldsymbol{T = }}{\rm{diag}}\left( {{t_1},{t_2}, \cdots ,{t_M}} \right),$ | (4) |
| $\mathit{\boldsymbol{R = }}{\rm{diag}}\left( {{r_1},{r_2}, \cdots ,{\mathit{r}_M}} \right).$ | (5) |
| ${\mathit{\boldsymbol{C}}_{\rm{A}}} = {\mathit{\boldsymbol{T}}^{ - 1}}\mathit{\boldsymbol{R = }}{\rm{diag}}\left( {{c_1},{c_2}, \cdots ,{\mathit{c}_M}} \right),$ |
| ${c_i} = {r_i}/{t_i}\;\;\left( {i = 1,2, \cdots ,M} \right).$ |
在相对校准时，并不需要CA的绝对取值。考虑到CA乘以一个常数并不会影响预编码，获得归一化的校准系数C'A=CA/|c|便可完成预编码，其中c=diag(c1, c2, …, cM)。相对校准的目标便是得到C'A。
2 LS校准算法本文的局部校准可以与多种校准算法结合，考虑到LS算法是目前具有很好校准精度的算法，本文将以此为基础提出结合局部校准的算法。
文[9]提出了LS校准算法，基本的理论描述如下。从基站天线i到基站天线j的上行和下行信道为
| ${{\hat h}_{i \to j}} = {t_i} \cdot {h_{i \to j}} \cdot {r_j},$ | (6) |
| ${{\hat h}_{j \to i}} = {t_j} \cdot {h_{j \to i}} \cdot {r_i}.$ | (7) |
通过式(6) 和(7)，很容易得到ci
| $J\left( \mathit{\boldsymbol{c}} \right) = {\sum\limits_{i \ne j} {\left| {{c_j}{{\tilde h}_{j \to i}} - {c_i}{{\tilde h}_{i \to j}}} \right|} ^2}.$ | (8) |
最小化目标函数的解就是如下矩阵W的最小特征值所对应得特征向量
| $\mathit{\boldsymbol{W = }}\left[ {{w_{i,j}}} \right]$ |
| ${w_{i,j}} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sum\limits_{m,m \ne i} {{{\left| {{{\tilde h}_{i \to m}}} \right|}^2},\;} }&{{\rm{for}}\;\mathit{i = j;}}\\{ - {{\tilde h}_{j \to i}}\tilde h_{i \to j}^ * ,\;}&{{\rm{for}}\;\mathit{i} \ne \mathit{j}\mathit{.}}\end{array}} \right.$ | (9) |
步骤1??获得任意两根基站天线之间的双向的级联信道增益。
步骤2??构造矩阵W，进行特征值分解获得校准向量c。
步骤3??通过校准向量c获得相对校准矩阵C'A。
3 局部校准在LS校准中，基站天线阵列被视为一个整体，由于涉及特征值分解，算法的复杂度达到O(M3)，校准运算量会随着天线数目急剧增加。当M很大时，校准计算量变得很大。
为了减小校准复杂度，本文设计了局部校准方案：将基站天线分为不同的天线组，每组天线之间相距较近且数目较小，然后对各天线使用LS校准算法，降低了校准复杂度。
3.1 最简单的局部校准方案：每组一根天线为了简化起见，LS算法被作用在线阵中。
为了降低复杂度，本文将基站天线分为不同的天线组。考虑最简单的一种分组情况：每组一根天线。此时，天线组内无需校准，仅需进行组间天线校准，即可得到归一化的校准向量。对于第m1组和第m2组基站天线，组间校准只涉及2根基站天线，此时通过式(10) 可以获得WA。
| ${\mathit{\boldsymbol{W}}_{\rm{A}}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\tilde h}_{m_1 \to m_2}}\tilde h_{m_1 \to m_2}^ * }&{ - {{\tilde h}_{m_2 \to m_1}}\tilde h_{m_1 \to m_2}^ * }\\{ - {{\tilde h}_{m_1 \to m_2}}\tilde h_{m_2 \to m_1}^ * }&{{{\tilde h}_{m_2 \to m_1}}\tilde h_{m_2 \to m_1}^ * }\end{array}} \right].$ | (10) |
组间校准的具体方案有很多种。Argos系统[8]的校准算法就是其中一个特例，本文中称之为单参考天线校准。在单参考天线校准中，仅仅选用某根天线作为参考天线，其他天线直接与参考天线进行组间校准，最终获得归一化的校准矩阵。单参考天线校准方案如图 2所示。
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| 图 2 组间单参考天线校准 |
| 图选项 |
在图 2中，可通过式(11) 获得相对校准系数。
| ${c_{{ \ulcorner M/2\rceil } \to i}} = \left\{ \begin{array}{l}1,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; & {i = }{ \ulcorner M/2\rceil };\\{{\tilde h}_{{ \ulcorner M/2\rceil } \to i}}/{{\tilde h}_{i \to { \ulcorner M/2\rceil }}},\;\;\;\;\;\ & {i \ne }{ \ulcorner M/2\rceil }.\end{array} \right.$ | (11) |
| ${c_{i \to j}} = \frac{{{{\hat h}_{i \to j}}}}{{{{\hat h}_{j \to i}}}} = \frac{{{t_i} \cdot {r_j}}}{{{t_j} \cdot {r_i}}} = \frac{{{r_j}/{t_j}}}{{{r_i}/{t_i}}} = {c_j}/{c_i}.$ | (12) |
| ${{\boldsymbol{C}'}_{\rm{A}}} = {\rm{diag}}\left( {\boldsymbol{c}''} \right)/\left| {\boldsymbol{c}''} \right|.$ | (13) |
因此，本文提供了另外一种组间天线校准方案——相邻天线递推校准，如图 3所示。
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| 图 3 组间相邻天线递推校准 |
| 图选项 |
在任意两根相邻天线之间进行校准，因此路径损耗仅包括相邻天线之间的路损。由于天线接收信噪比SNR得以提高，算法的校准精度也大幅上升。相邻天线校准之后，需要得到归一化的校准系数。通过式(12)，容易得到ci→j=ci→k·ck→j。因此，归一化可以通过如下的递推算法来实现：
| ${c_{{ \ulcorner M/2\rceil } \to m}} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\prod\limits_{i = m}^{{ \ulcorner M/2\rceil } - 1} {{c_{\left( {i + 1} \right) \to \left( i \right)}},\;} }&{m < { \ulcorner M/2\rceil };}\\{\prod\limits_{i = { \ulcorner M/2\rceil } + 1}^m {{c_{\left( i \right) \to \left( {i + 1} \right)}},\;} }&{m > { \ulcorner M/2\rceil }.}\end{array}} \right.$ | (14) |
在递推过程中，校准误差会逐步累积，可能导致校准精度降低。仿真结果表明：降低的路径损耗对校准精度的影响高于累积误差的影响。
3.2 LS分组校准方案：每组多根天线每组一根天线可以将算法的复杂度降低至O(M)，然而，它只利用了M(M-1) 信道增益中的2(M-1) 个，这导致算法的校准精度有所下降。除此之外，每组一根天线则会过分依赖某些特定天线(如参考天线)的性能，如果和参考天线相关的信道恶化，则校准误差将急剧上升。因此，算法校准性能将变得不稳定。
为了解决上述问题, 将基站天线尽可能平均地等分为m组，然后对每组天线内部实行局部LS校准，再对m组天线进行组间校准，以m=4为例，分组方案如图 4所示。
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| 图 4 单参考组校准方案 |
| 图选项 |
组内的校准可以轻易地通过LS算法来实现。然而，组间的校准方案有许多种，考虑单参考组校准和相邻组递推校准两种方案。单参考组校准方案如图 4所示。
对应于单参考组局部校准，分别对4个天线组B1、B2、B3、B4实行LS算法校准，获得局部校准向量
记Bij为进行Bi和Bj组间校准涉及到的天线集合，对Bij也进行LS校准，相应的校准向量记为
定义Bijk=Bij∩Bk, k=i, j。
记cijk?为ck?中对应于Bijk的子向量，
易知，c满足ci
| ${{\mathit{\boldsymbol{\hat c}}}_{ijk}} = {\alpha _{ijk}} \cdot {\mathit{\boldsymbol{c}}_{ijk}} + {{\mathit{\boldsymbol{\hat n}}}_{ijk}}.$ | (15) |
| $\mathop {{\mathit{\boldsymbol{c}}_{ijk}}}\limits^ \gg = {\beta _{ijk}} \cdot {\mathit{\boldsymbol{c}}_{ijk}} + \mathop {{\mathit{\boldsymbol{n}}_{ijk}}}\limits^ \gg .$ | (16) |
令
| ${{\mathit{\boldsymbol{\tilde c}}}_1} = \frac{{{d_{122}}}}{{{d_{121}}}}{{\mathit{\boldsymbol{\hat c}}}_1},$ | (17) |
| ${{\mathit{\boldsymbol{\tilde c}}}_2} = {{\mathit{\boldsymbol{\hat c}}}_2},$ | (18) |
| ${{\mathit{\boldsymbol{\tilde c}}}_3} = \frac{{{k_{232}}}}{{{k_{233}}}} \cdot {{\mathit{\boldsymbol{\hat c}}}_3},$ | (19) |
| ${{\mathit{\boldsymbol{\tilde c}}}_4} = \frac{{{k_{242}}}}{{{k_{244}}}} \cdot {{\mathit{\boldsymbol{c'}}}_4}.$ | (20) |
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| 图 5 相邻组递推校准方案 |
| 图选项 |
相应地，可以通过局部校准向量获得
| ${{\mathit{\boldsymbol{\tilde c}}}_1} = \frac{{{d_{122}}}}{{{d_{121}}}}{{\mathit{\boldsymbol{\hat c}}}_1}.$ | (21) |
| ${{\mathit{\boldsymbol{\tilde c}}}_2} = {{\mathit{\boldsymbol{\hat c}}}_2}.$ | (22) |
| ${{\mathit{\boldsymbol{\tilde c}}}_3} = \frac{{{k_{232}}}}{{{k_{233}}}} \cdot {{\mathit{\boldsymbol{\hat c}}}_3}.$ | (23) |
| ${{\mathit{\boldsymbol{\tilde c}}}_4} = \frac{{{k_{232}}}}{{{k_{233}}}}\frac{{{k_{343}}}}{{{k_{344}}}} \cdot {{\mathit{\boldsymbol{\hat c}}}_4}.$ | (24) |
现在，算法的校准复杂度为
| $O\left( {m \times {{\left( {M/m} \right)}^3}} \right) = O\left( {{M^3}/{m^2}} \right),$ |
4 仿真结果4.1 仿真场景在仿真过程中，基站天线之间的信道建模成Rician信道，路径损耗基于Winner模型[12]具体如下：
| ${P_{\rm{L}}}\left( d \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{A\lg d + B + C\lg \frac{{{f_0}}}{5} + {\rho _{{\rm{dB}}}},}&{3 \le d \le 100;}\\{{P_L}\left( 3 \right),}&{d < 3.}\end{array}} \right.$ | (25) |
| ${p_{{\rm{LOS}}}}\left( \mathit{d} \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{1 - 0.9 \times {{\left( {1 - {{\left( {1.24 - 0.6\lg d} \right)}^3}} \right)}^{1/3}},}&{d > 2.5;}\\{1,}&{d \le 2.5.}\end{array}} \right.$ | (26) |
| ${P_{\rm{L}}}\left( d \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{P_{\rm{L}}}\left( {{d_0}} \right) + {n_{\rm{r}}} \times 10\lg \left( {d/{d_0}} \right),}&{d > {d_0};}\\{{P_{\rm{L}}}\left( {{d_0}} \right),}&{d \le {d_0}.}\end{array}} \right.$ | (27) |
基站天线的数目M为128，载波频率f0为5 GHz。为了仿真非互易性，发射和接收射频链路的增益为[1-ρ, 1+ρ]之间的均匀分布，ρ使得幅度的方差为0.01。射频链路的相位服从[0, 2π]的均匀分布。发射信噪比SNR定义为每根发射天线的信号功率与每根接收天线的带内噪声功率之比。校准均方误差(mean square error，MSE)定义为校准向量c的相对均方误差，具体如下：
| ${\rm{MSE = }}\frac{{E\left( {{{\left| {\mathit{\boldsymbol{c}} - \mathit{\boldsymbol{\tilde c}}} \right|}^2}} \right)}}{{E\left( {{{\left| \mathit{\boldsymbol{c}} \right|}^2}} \right)}}.$ | (28) |
天线呈均匀的线状分布(见图 6)，相邻的两根天线之间的距离d0为0.787 m。
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| 图 6 天线分布 |
| 图选项 |
4.2 最简单的局部校准方案仿真结果当采用最简单的局部校准方案时，每组只有一根天线，只需进行组间校准即可。图 7显示了3种局部校准方案(单参考天线校准、相邻天线递推校准和全局校准)的MSE。单参考天线和相邻天线递推校准的方案以损失部分校准精度的代价降低了校准复杂度，两者的复杂度均为O(M)，然而单参考天线校准的精度损失很大。由于降低了路径损耗，相邻天线递推校准的精度损失较低。因此，最简单的局部校准方案中，相邻天线递推的校准算法性能更优，表明递推校准中降低的路径损耗对校准性能的影响高于校准误差累积的影响。
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| 图 7 单参考天线校准和递推校准性能对比 |
| 图选项 |
4.3 分组局部校准方案的仿真结果图 8显示了分组校准方案的MSE。单参考组校准和相邻组递推校准都能将复杂度降低到O(M3/16)。然而，由于路径损耗的减小，相邻组递推校准方案的精确度更高。
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| 图 8 分组校准天线的性能对比 |
| 图选项 |
本文尝试更多的分组方法，对比两种不同的组间校准方案的性能优劣。如图 9所示，随着天线组数增多，校准误差增大，但是校准复杂度逐渐减小。除此之外，相邻组递推校准的精确度高于单参考组校准。因此，采用适当的分组数目，可以在精度损失较小的情况下获得更高的校准速度。
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| 图 9 不同分组方案的性能对比(SNR = 100 dB) |
| 图选项 |
4.4 面阵的局部校准将局部校准扩展到二维面阵，将面天线尽可能等分为4组，采用相邻天线递推校准的方案，天线分布如图 10所示。
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| 图 10 面阵天线的局部校准 |
| 图选项 |
天线总数M为128，面天线为16×8分布，最远两根天线之间的距离为100 m。B1、B2、B3、B4表示分组后的4组局部天线块，B12、B13、B24、B34表示进行组间校准时所用到的组间天线块。
仿真结果如图 11所示。算法的校准精度并没有受到很大的影响。LS算法利用了所有天线之间的信道增益信息，算法性能并不取决于最远两根天线的路径损耗。分组方案能降低最大的路径损耗，但并不能改变校准精度。然而，校准复杂度变为O(M3/16)，校准速度提升了16倍。
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| 图 11 面阵天线局部校准的性能 |
| 图选项 |
5 结论本文提出了针对大规模MIMO互易性自校准的局部校准方案。基于LS算法，将局部校准思想运用到3个实例中产生了针对线阵和面阵的递推校准方案。由于实现了较高的接收信噪比，在局部区域中进行校准可以保证较高的精度，同时其校准复杂度也可以很容易得到控制。
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