张彬彬 , 王立平 , 吴军
清华大学 机械工程系, 北京 100084

收稿日期：2016-09-27
基金项目：国家自然科学基金项目（51575307，51622505）；国家科技重大专项（2014ZX04002051）
作者简介：张彬彬(1991-), 男, 博士研究生
通信作者：吴军, 副教授, E-mail:jhwu@tsinghua.edu.cn

摘要：该文以应用于高速、高加速混联加工装备中的一种3-PRRU空间3自由度并联机构为研究对象，研究其动力学建模及动力学各向同性评价方法。基于虚功原理，建立了3-PRRU并联机构的动力学模型，并从动能角度出发，提出了两个评价机构各向同性性能的指标。针对该指标，提出了一种5维图像描述方法，并对3-PRRU并联机构进行各向同性性能评价。该动力学各向同性评价指标具有量纲统一、物理意义明确的优点，可以更准确地对并联机构的动力学性能分布进行表征。
关键词：并联机构动力学模型性能评价各向同性
Dynamic isotropic performance evaluation of a 3-DOF parallel manipulator
ZHANG Binbin, WANG Liping, WU Jun
Department of Mechanical Engineering, Tsinghua University, Beijing 100084, China


Abstract: Dynamic modeling was used to evaluate a 3-PRRU parallel manipulator in a high-speed hybrid machine tool. The virtual work principle was used to develop the dynamic model of the 3-PRRU parallel mechanism with two new indices defined to evaluate the isotropy of dynamics from a kinetic energy viewpoint. The indices were then used in an atlas method for a five dimensions image. The results show that these indices accurately describe the isotropic performance of the 3-PRRU parallel manipulator. The two indices have uniform dimensions, clear physical meaning, and can accurately describe the dynamics of parallel manipulators.
Key words: parallel manipulatordynamic modelperformance evaluationisotropic
并联机构因其承载能力强、结构刚度大、运动精度高、动力学性能好等优点受到了广泛关注^[1-2]。并联机构从20世纪90年代初到现在已快速发展了近30年，对于其运动学性能方面的研究取得了较大的进展^[3-5]，一系列应用于工业生产中的并联装备先后被开发出来，例如Ecospeed系列机床^[6]、Tricept系列机床^[7]、Delta系列快速分拣机器人^[8]等。一般来说，并联机构相对于串联机构，其最大优势在于机构对称带来的各向同性和高速、高加速等动力学特性^[9-11]。但是，由于并联机构的动力学耦合性强，目前关于并联机构动力学方面的研究相对较少，尤其缺乏针对并联机构各向同性性能的深入研究。
本文以一种3自由度3-PRRU(P、R和U分别代表移动副、转动副和Hooke副)并联机构为研究对象，研究其动力学各向同性评价方法。3-PRRU并联机构属于既转又移机构，由于转动和移动的量纲不统一，会导致常用的并联机构性能评价指标(如条件数、操作度等)出现量纲不统一的问题，进而导致物理意义不明确。针对该问题，本文从动能的角度出发，提出了两种量纲统一、物理意义明确的动力学各向同性性能评价指标。考虑到该指标具有5个独立变量，结合方位角/摆角姿态描述方法^[12]和3维球体，提出了一种可在2维平面上表示5个独立变量的5维图像描述方法。
1 动力学建模1.1 3-PRRU并联机构的结构描述与坐标系建立3-PRRU并联机构由静平台(机架)、动平台、第1分支、第2分支和第3分支组成，如图 1所示。第1分支包括滑块、第1级支链和第2级支链。滑块通过移动副连接静平台上的竖直导轨，第1级支链通过第1转动副连接滑块，第2级支链通过第2转动副连接第1级支链，动平台通过Hooke副连接第2级支链。3条分支结构完全相同，整个机构成120°夹角均匀分布。

图 1 3-PRRU并联机构3维模型

图选项

1.2 坐标系建立与坐标变换矩阵3-PRRU并联机构的3维原理图如图 2所示。首先，建立静平台坐标系{B}O-XYZ。以静平台中心O为原点，以从O点到第1条导轨(与第1分支连接的导轨)的垂直方向向量为X轴，以竖直向上方向向量为Z轴，Y轴由右手法则确定，建立静平台坐标系O-XYZ。

图 2 3-PRRU并联机构3维原理图

图选项

下面建立动平台坐标系{M}o-xyz。以3个Hooke副中心所构成的圆的圆心o为原点，以从o点到第1 Hooke副中心(与第1分支连接的Hooke副)的向量为x轴，以垂直动平台平面向上的向量为z轴，y轴由右手法则确定，建立动平台坐标系o-xyz。采用Euler角进行描述为

${}_M^B\mathit{\boldsymbol{T = }}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{\rm{c}}\beta {\rm{c}}\gamma }&{ - {\rm{c}}\beta {\rm{s}}\gamma }&{{\rm{s}}\beta }&{{x_o}}\\{{\rm{c}}\alpha {\rm{s}}\gamma + {\rm{c}}\gamma {\rm{s}}\alpha {\rm{s}}\beta }&{{\rm{c}}\alpha {\rm{c}}\gamma - {\rm{s}}\alpha {\rm{s}}\beta {\rm{s}}\gamma }&{ - {\rm{c}}\beta {\rm{s}}\alpha }&{{y_o}}\\{{\rm{s}}\alpha {\rm{s}}\gamma - {\rm{c}}\alpha {\rm{c}}\gamma {\rm{s}}\beta }&{{\rm{c}}\gamma {\rm{s}}\alpha + {\rm{c}}\alpha {\rm{s}}\beta {\rm{s}}\gamma }&{{\rm{c}}\alpha {\rm{c}}\beta }&{{z_o}}\\0&0&0&1\end{array}} \right].$

(1)

其中：x_o、y_o、z_o表示点o在静平台坐标系{B}下的坐标；α、β、γ分别表示动平台绕x轴、y随动轴、z随动轴的旋转角度；cα、sα分别表示cosα和sinα，文中随后出现的正弦与余弦函数都将作类似简化。
最后建立分支坐标系，分为第1级支链坐标系{H_i1}C_i-x_i1y_i1z_i1和第2级支链坐标系{H_i2}C_i-x_i2y_i2z_i2。以第i分支中的第1转动副中心为C_i点，以第1级转动副的转动轴线方向向量为y_i1轴，以第2转动副转动轴线方向向量为z_i1轴，x_i1轴由右手法则确定，建立第1级支链坐标系C_i-x_i1y_i1z_i1。其坐标变换矩阵为

${}_{{H_{i1}}}^B\mathit{\boldsymbol{T = }}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{\rm{c}}{\phi _i}{\rm{c}}{\theta _i}}&{ - {\rm{s}}{\phi _i}}&{{\rm{c}}{\phi _i}{\rm{s}}{\theta _i}}&{{x_{{C_i}}}}\\{{\rm{s}}{\phi _i}{\rm{c}}{\theta _i}}&{{\rm{c}}{\phi _i}}&{{\rm{s}}{\phi _i}{\rm{s}}{\theta _i}}&{{y_{{C_i}}}}\\{ - {\rm{s}}{\theta _i}}&0&{{\rm{c}}{\theta _i}}&{{z_{{C_i}}}}\\0&0&0&1\end{array}} \right].$

(2)

其中x_Ci、y_Ci、z_Ci表示点C_i在静平台坐标系{B}下的坐标：

$\begin{array}{l}{x_{{C_i}}} = R{\rm{c}}\left( {{\phi _i} - \pi } \right) = - R{\rm{c}}{\phi _i},\\{y_{{C_i}}} = R{\rm{s}}\left( {{\phi _i} - \pi } \right) = - R{\rm{s}}{\phi _i},\\{z_{{C_i}}} = {q_i}.\end{array}$

(3)

其中：R表示3个分支的第1转动副中心在静平台上竖直投影的3个点所确定的圆的半径；q_i表示第i分支滑块离地的高度；φ_i表示第i分支绕Z轴旋转的角度，即φ_i=(2i+1)π/3。θ_i表示第i分支的第1级支链绕第1转动副的旋转角度。
以第i分支中的第1转动副中心为C_i点，以第2转动副的转动轴线方向向量为z_i2轴，以Hooke副连接第i分支的转动轴线方向向量为x_i2轴，y_i2轴由右手法则确定，建立第2级支链坐标系C_i-x_i2y_i2z_i2。其坐标变换矩阵为

${}_{{H_{i2}}}^B\mathit{\boldsymbol{T = }}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{\rm{c}}{\phi _i}{\rm{c}}{\theta _i}{\rm{c}}{\varphi _i} - {\rm{s}}{\phi _i}{\rm{s}}{\varphi _i}}&{ - {\rm{c}}{\phi _i}{\rm{c}}{\theta _i}{\rm{c}}{\varphi _i} - {\rm{s}}{\phi _i}{\rm{c}}{\varphi _i}}&{{\rm{c}}{\phi _i}{\rm{s}}{\theta _i}}&{{x_{{C_i}}}}\\{{\rm{s}}{\phi _i}{\rm{c}}{\theta _i}{\rm{c}}{\varphi _i} + {\rm{c}}{\phi _i}{\rm{s}}{\varphi _i}}&{ - {\rm{s}}{\phi _i}{\rm{c}}{\theta _i}{\rm{s}}{\varphi _i} + {\rm{c}}{\phi _i}{\rm{c}}{\varphi _i}}&{{\rm{s}}{\phi _i}{\rm{s}}{\theta _i}}&{{y_{{C_i}}}}\\{ - {\rm{s}}{\theta _i}{\rm{c}}{\varphi _i}}&{{\rm{s}}{\theta _i}{\rm{s}}{\varphi _i}}&{{\rm{c}}{\theta _i}}&{{z_{{C_i}}}}\\0&0&0&1\end{array}} \right].$

(4)

其中φ_i表示第2级支链绕第2转动副的旋转角度。
1.3 运动学参数计算对于本文所研究的3-PRRU并联机构来说，按照一般情况，将其考虑成两转一移(绕x轴和y轴转动，沿Z轴移动)的3自由度并联机构，描述终端运动的输入变量为α、β、z_o以及这3个变量的一阶导数和二阶导数。为了方便描述，令：

$\begin{array}{l}\mathit{\boldsymbol{X = }}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{z_o}}\\\alpha \\\beta \end{array}} \right],\;\;\;\;\;\mathit{\boldsymbol{\dot X = }}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\dot z}_o}}\\{\dot \alpha }\\{\dot \beta }\end{array}} \right],\;\;\;\;\;\;\mathit{\boldsymbol{\ddot X = }}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\ddot z}_o}}\\{\ddot \alpha }\\{\ddot \beta }\end{array}} \right],\\\mathit{\boldsymbol{\dot X'}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\dot z}_o}}&0&0&{\dot \alpha }&0&0&{\dot \beta }&0&0\\0&{{{\dot z}_o}}&0&0&{\dot \alpha }&0&0&{\dot \beta }&0\\0&0&{{{\dot z}_o}}&0&0&{\dot \alpha }&0&0&{\dot \beta }\end{array}} \right].\end{array}$

(5)

首先采用矢量环法可得

$\overrightarrow {Oo} + \overrightarrow {o{U_i}} = \overrightarrow {O{C_i}} + \overrightarrow {{C_i}{U_i}} .$

(6)

将式(6) 代入式(2) 和(4) 可得：

$\begin{array}{*{20}{c}}{^B\overrightarrow {o{U_i}} = {{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{U_{ix}}}&{{U_{iy}}}&{{U_{iz}}}&1\end{array}} \right]}^{\rm{T}}} = {}_M^B\mathit{\boldsymbol{T}}{ \cdot ^M}\overrightarrow {o{U_i}} = }\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{\rm{c}}\beta {\rm{c}}\gamma }&{ - {\rm{c}}\beta {\rm{s}}\gamma }&{{\rm{s}}\beta }&{{x_o}}\\{{\rm{c}}\alpha {\rm{s}}\gamma + {\rm{c}}\gamma {\rm{s}}\alpha {\rm{s}}\beta }&{{\rm{c}}\alpha {\rm{c}}\gamma - {\rm{s}}\alpha {\rm{s}}\beta {\rm{s}}\gamma }&{ - {\rm{c}}\beta {\rm{s}}\alpha }&{{y_o}}\\{{\rm{s}}\alpha {\rm{s}}\gamma - {\rm{c}}\alpha {\rm{c}}\gamma {\rm{s}}\beta }&{{\rm{c}}\gamma {\rm{s}}\alpha + {\rm{c}}\alpha {\rm{s}}\beta {\rm{s}}\gamma }&{{\rm{c}}\alpha {\rm{c}}\beta }&{{z_o}}\\0&0&0&1\end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - r{\rm{c}}{\phi _i}}\\{ - r{\rm{s}}{\phi _i}}\\0\\1\end{array}} \right].}\end{array}$

(7)

$\begin{array}{*{20}{c}}{^B\overrightarrow {o{U_i}} = {}_{{H_{i2}}}^B\mathit{\boldsymbol{T}} \cdot {}^{{H_{i2}}}\overrightarrow {{C_i}{U_i}} = }\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{\rm{c}}{\phi _i}{\rm{c}}{\theta _i}{\rm{c}}{\varphi _i} - {\rm{s}}{\phi _i}{\rm{s}}{\varphi _i}}&{ - {\rm{c}}{\phi _i}{\rm{c}}{\theta _i}{\rm{c}}{\varphi _i} - {\rm{s}}{\phi _i}{\rm{c}}{\varphi _i}}&{{\rm{c}}{\phi _i}{\rm{s}}{\theta _i}}&{{x_{{C_i}}}}\\{{\rm{s}}{\phi _i}{\rm{c}}{\theta _i}{\rm{c}}{\varphi _i} + {\rm{c}}{\phi _i}{\rm{s}}{\varphi _i}}&{ - {\rm{s}}{\phi _i}{\rm{c}}{\theta _i}{\rm{s}}{\varphi _i} + {\rm{c}}{\phi _i}{\rm{c}}{\varphi _i}}&{{\rm{s}}{\phi _i}{\rm{s}}{\theta _i}}&{{y_{{C_i}}}}\\{ - {\rm{s}}{\theta _i}{\rm{c}}{\varphi _i}}&{{\rm{s}}{\theta _i}{\rm{s}}{\varphi _i}}&{{\rm{c}}{\theta _i}}&{{z_{{C_i}}}}\\0&0&0&1\end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}0\\0\\l\\1\end{array}} \right] = }\\{{{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {l{\rm{s}}{\theta _i} - R} \right){\rm{c}}{\phi _i}}&{\left( {l{\rm{s}}{\theta _i} - R} \right){\rm{s}}{\phi _i}}&{l{\rm{c}}{\theta _i} + {q_i}}&1\end{array}} \right]}^{\rm{T}}}.}\end{array}$

(8)

其中向量$^{\rm{M}}\overrightarrow {o{U_i}} $是参考动平台坐标系{M}下的描述，文中随后出现的位置矢量将通过前置上标来表示相关坐标系下的描述，若无前置上标，则默认为参考静平台坐标系{B}。r表示3个Hooke副中心在动平台上所确定的圆的半径；l表示分支的长度，即C_i点到U_i点的距离。
联立式(7) 和(8) 并由勾股定理可得运动学反解，

${q_i} = {U_{iz}} - \sqrt {{l^2} - {{\left( {{U_{ix}} + R{\rm{c}}\phi } \right)}^2} - {{\left( {{U_{iy}} + R{\rm{s}}\phi } \right)}^2}} .$

(9)

观察式(7) 和(8)，可得Hooke副中心U_i只在平面内移动，即

${U_{ix}}\tan {\varphi _i} - {U_{iy}} = 0.$

(10)

化简式(10) 可得到并联机构的伴随运动：

$\begin{array}{l}\gamma = - \arctan \left( {\frac{{{\rm{s}}\alpha {\rm{s}}\beta }}{{{\rm{c}}\alpha + {\rm{c}}\beta }}} \right),\\{x_0} = \frac{{r\left( {{\rm{c}}\beta {\rm{c}}\gamma - {\rm{c}}\alpha {\rm{c}}\gamma + {\rm{s}}\alpha {\rm{s}}\beta {\rm{s}}\gamma } \right)}}{2},\\{y_0} = - r\left( {{\rm{c}}\alpha {\rm{s}}\gamma + {\rm{s}}\alpha {\rm{s}}\beta {\rm{c}}\gamma } \right).\end{array}$

(11)

下面计算各个分支上的转动角度，首先可得

${\theta _i} = \arccos \left( {\frac{{{U_{iz}} - {q_i}}}{l}} \right).$

(12)

接着取动平台上的任一向量，分别采用由上而下(根据动平台坐标系)和由下而上(根据分支坐标系)两种变换方式进行描述，并通过联立等式求解，可分别得到式(13) 和(14)。

$\begin{array}{*{20}{c}}{{}^B{\mathit{\boldsymbol{V}}_{{\rm{hooke}}}} = {}_M^B\mathit{\boldsymbol{R}}{}^M{\mathit{\boldsymbol{V}}_{{\rm{hooke}}}} = }\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{\rm{c}}\beta {\rm{c}}\gamma }&{ - {\rm{c}}\beta {\rm{s}}\gamma }&{{\rm{s}}\beta }\\{{\rm{c}}\alpha {\rm{s}}\gamma + {\rm{c}}\gamma {\rm{s}}\alpha {\rm{s}}\beta }&{{\rm{c}}\alpha {\rm{c}}\gamma - {\rm{s}}\alpha {\rm{s}}\beta {\rm{s}}\gamma }&{ - {\rm{c}}\beta {\rm{s}}\alpha }\\{{\rm{s}}\alpha {\rm{s}}\gamma - {\rm{c}}\alpha {\rm{c}}\gamma {\rm{s}}\beta }&{{\rm{c}}\gamma {\rm{s}}\alpha + {\rm{c}}\alpha {\rm{s}}\beta {\rm{s}}\gamma }&{{\rm{c}}\alpha {\rm{c}}\beta }\end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - r{\rm{s}}{\phi _i}}\\{r{\rm{c}}{\phi _i}}\\0\end{array}} \right].}\end{array}$

(13)

其中$_M^B\mathit{\boldsymbol{R}}$表示动平台坐标系{M}相对于静平台坐标系{B}表达的旋转矩阵。

$\begin{array}{*{20}{c}}{{}^B{\mathit{\boldsymbol{V}}_{{\rm{hooke}}}} = }\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{\rm{c}}{\phi _i}}&{ - {\rm{s}}{\phi _i}}&0\\{{\rm{s}}{\phi _i}}&{{\rm{c}}{\phi _i}}&0\\0&0&1\end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{\rm{c}}{\theta _i}}&0&{{\rm{s}}{\theta _i}}\\0&1&0\\{ - {\rm{s}}{\theta _i}}&0&{{\rm{c}}{\theta _i}}\end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{\rm{c}}{\varphi _i}}&{ - {\rm{s}}{\varphi _i}}&0\\{{\rm{s}}{\varphi _i}}&{{\rm{c}}{\varphi _i}}&0\\0&0&1\end{array}} \right] \cdot }\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1&0&0\\0&{{\rm{c}}{\psi _{1i}}}&{ - {\rm{s}}{\psi _{1i}}}\\0&{{\rm{s}}{\psi _{1i}}}&{{\rm{c}}{\psi _{1i}}}\end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{\rm{c}}{\psi _{2i}}}&0&{{\rm{s}}{\psi _{2i}}}\\0&1&0\\{ - {\rm{s}}{\psi _{2i}}}&0&{{\rm{c}}{\psi _{2i}}}\end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}0\\1\\0\end{array}} \right].}\end{array}$

(14)

其中：ψ_1i表示Hooke副连接第i分支的转动轴线的转动角度，ψ_2i表示Hooke副连接动平台的转动轴线的转动角度。
联立式(13) 和(14) 可得

${\varphi _i} = \arctan \left( { - \frac{{{V_{{\rm{Temp}}X}}}}{{{V_{{\rm{Temp}}Y}}}}} \right).$

(15)

其中:

${\mathit{\boldsymbol{V}}_{{\rm{Temp}}}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{V_{{\rm{Temp}}X}}}\\{{V_{{\rm{Temp}}Y}}}\\{{V_{{\rm{Temp}}Z}}}\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - {\rm{s}}{\varphi _i}{\rm{c}}{\psi _{1i}}}\\{{\rm{c}}{\varphi _i}{\rm{c}}{\psi _{1i}}}\\{{\rm{s}}{\psi _{1i}}}\end{array}} \right],$

(16)

V_Temp也可表示为

$\begin{array}{l}{\mathit{\boldsymbol{V}}_{{\rm{Temp}}}} = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{\rm{c}}{\theta _i}}&0&{{\rm{s}}{\theta _i}}\\0&1&0\\{ - {\rm{s}}{\theta _i}}&0&{{\rm{c}}{\theta _i}}\end{array}} \right]^{\rm{T}}}{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{\rm{c}}{\phi _i}}&{ - {\rm{s}}{\phi _i}}&0\\{{\rm{s}}{\phi _i}}&{{\rm{c}}{\phi _i}}&0\\0&0&1\end{array}} \right]^{\rm{T}}} \cdot \\\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{\rm{c}}\beta {\rm{c}}\gamma }&{ - {\rm{c}}\beta {\rm{s}}\gamma }&{{\rm{s}}\beta }\\{{\rm{c}}\alpha {\rm{s}}\gamma + {\rm{c}}\gamma {\rm{s}}\alpha {\rm{s}}\beta }&{{\rm{c}}\alpha {\rm{c}}\gamma - {\rm{s}}\alpha {\rm{s}}\beta {\rm{s}}\gamma }&{ - {\rm{c}}\beta {\rm{s}}\alpha }\\{{\rm{s}}\alpha {\rm{s}}\gamma - {\rm{c}}\alpha {\rm{c}}\gamma {\rm{s}}\beta }&{{\rm{c}}\gamma {\rm{s}}\alpha + {\rm{c}}\alpha {\rm{s}}\beta {\rm{s}}\gamma }&{{\rm{c}}\alpha {\rm{c}}\beta }\end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - r{\rm{c}}{\phi _i}}\\{ - r{\rm{s}}{\phi _i}}\\0\end{array}} \right].\end{array}$

(17)

1.4 速度与加速度映射分析下一步将计算动平台、第i分支、驱动副滑块的速度和加速度与输入变量X、${\mathit{\boldsymbol{\dot X}}}$和${\mathit{\boldsymbol{\ddot X}}}$之间的映射关系。为了便于后面的计算与分析，将所有速度、加速度都转换为在静平台坐标系{B}下的描述。
首先对动平台线速度映射进行分析，对式(11) 求偏导，可得

${v_{M{\rm{L}}}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\dot x}_o}}\\{{{\dot y}_o}}\\{{{\dot z}_o}}\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{\partial {x_o}}}{{\partial {z_o}}}}&{\frac{{\partial {x_o}}}{{\partial \alpha }}}&{\frac{{\partial {x_o}}}{{\partial \beta }}}\\{\frac{{\partial {y_o}}}{{\partial {z_o}}}}&{\frac{{\partial {y_o}}}{{\partial \alpha }}}&{\frac{{\partial {y_o}}}{{\partial \beta }}}\\1&0&0\end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\dot z}_o}}\\{\dot \alpha }\\{\dot \beta }\end{array}} \right] = {\mathit{\boldsymbol{J}}_{M1}}\mathit{\boldsymbol{\dot X}}.$

(18)

其中：v_ML表示动平台线速度，J_M1表示动平台线速度映射矩阵。
接着由式(1) 可得到动平台角速度，

${\mathit{\boldsymbol{\omega }}_M} = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\dot \alpha + \dot \gamma {\rm{s}}\beta }&{\dot \beta {\rm{c}}\alpha - \dot \gamma {\rm{s}}\alpha {\rm{c}}\beta }&{\dot \beta {\rm{s}}\alpha + \dot \gamma {\rm{c}}\alpha {\rm{c}}\beta }\end{array}} \right]^{\rm{T}}}.$

(19)

其中：ω_M表示动平台角速度，${\mathit{\boldsymbol{\dot \gamma }}}$由式(11) 求偏导得到

$\dot \gamma = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{\partial \gamma }}{{\partial {z_o}}}}&{\frac{{\partial \gamma }}{{\partial \alpha }}}&{\frac{{\partial \gamma }}{{\partial \beta }}}\end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\dot z}_o}}\\{\dot \alpha }\\{\dot \beta }\end{array}} \right].$

(20)

将式(20) 带入式(19) 可得到

${\mathit{\boldsymbol{\omega }}_M} = {\mathit{\boldsymbol{J}}_{M2}}\mathit{\boldsymbol{\dot X}}.$

(21)

其中J_M2是动平台角速度映射矩阵。联立式(18) 和式(21) 可得到动平台广义速度,

${\mathit{\boldsymbol{v}}_M} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{\mathit{\boldsymbol{v}}_{M{\rm{L}}}}}\\{{\mathit{\boldsymbol{\omega }}_M}}\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{\mathit{\boldsymbol{J}}_{M1}}\mathit{\boldsymbol{\dot X}}}\\{{\mathit{\boldsymbol{J}}_{M2}}\mathit{\boldsymbol{\dot X}}}\end{array}} \right] = {\mathit{\boldsymbol{J}}_M}\mathit{\boldsymbol{\dot X}}.$

(22)

其中J_M是动平台速度映射矩阵。
对式(22) 求偏导，可得动平台的加速度映射方程,

$\begin{array}{*{20}{c}}{{\mathit{\boldsymbol{a}}_M} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{\mathit{\boldsymbol{a}}_{M{\rm{L}}}}}\\{{\mathit{\boldsymbol{\alpha }}_M}}\end{array}} \right] = {\mathit{\boldsymbol{J}}_M}\mathit{\boldsymbol{\ddot X + }}{{\mathit{\boldsymbol{\dot J}}}_M}\mathit{\boldsymbol{\dot X = }}}\\{{\mathit{\boldsymbol{J}}_M}\mathit{\boldsymbol{\ddot X + \dot X'}}{{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{\partial {\mathit{\boldsymbol{J}}_M}}}{{\partial {z_o}}}}&{\frac{{\partial {\mathit{\boldsymbol{J}}_M}}}{{\partial \alpha }}}&{\frac{{\partial {\mathit{\boldsymbol{J}}_M}}}{{\partial \beta }}}\end{array}} \right]}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{\dot X}} = {\mathit{\boldsymbol{J}}_M}\mathit{\boldsymbol{\ddot X + \dot X'}}{\mathit{\boldsymbol{H}}_M}\mathit{\boldsymbol{\dot X}}.}\end{array}$

(23)

其中: a_M表示动平台的广义加速度，a_ML和α_M分别表示动平台的线加速度和角加速度。
下面分析驱动副滑块的速度。对式(9) 求偏导得到

$\mathit{\boldsymbol{\dot q}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\dot q}_1}}\\{{{\dot q}_2}}\\{{{\dot q}_3}}\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{\partial {q_1}}}{{\partial {z_o}}}}&{\frac{{\partial {q_1}}}{{\partial \alpha }}}&{\frac{{\partial {q_1}}}{{\partial \beta }}}\\{\frac{{\partial {q_2}}}{{\partial {z_o}}}}&{\frac{{\partial {q_2}}}{{\partial \alpha }}}&{\frac{{\partial {q_2}}}{{\partial \beta }}}\\{\frac{{\partial {q_3}}}{{\partial {z_o}}}}&{\frac{{\partial {q_3}}}{{\partial \alpha }}}&{\frac{{\partial {q_3}}}{{\partial \beta }}}\end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\dot z}_o}}\\{\dot \alpha }\\{\dot \beta }\end{array}} \right] = \mathit{\boldsymbol{J\dot X}}.$

(24)

其中$\mathit{\boldsymbol{\dot q}}$表示3个驱动副滑块的移动速度矢量。进一步得到驱动副滑块速度映射矩阵，即Jacobi矩阵J。
对式(24) 求偏导可得驱动副滑块的加速度映射方程，

$\begin{array}{*{20}{c}}{\mathit{\boldsymbol{\ddot q}} = \mathit{\boldsymbol{J\ddot X + \dot J\dot X = J\ddot X + \dot X'}}{{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{\partial \mathit{\boldsymbol{J}}}}{{\partial {z_o}}}}&{\frac{{\partial \mathit{\boldsymbol{J}}}}{{\partial \alpha }}}&{\frac{{\partial \mathit{\boldsymbol{J}}}}{{\partial \beta }}}\end{array}} \right]}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{\dot X}} = }\\{\mathit{\boldsymbol{J\ddot X + \dot X'H\dot X}}.}\end{array}$

(25)

其中$\mathit{\boldsymbol{\ddot q}}$表示3个驱动副滑块的移动加速度矢量。
可以看到，第i分支由第1级支链和第2级支链组成，因此需分析2个支链的速度。由于第1级支链坐标系{H_i1}原点和第2级支链坐标系{H_i2}原点均为第1转动副中心C_i点，即第1级支链和第2级支链的线速度相同，且等于驱动副滑块的线速度，即:

$\begin{array}{l}{\mathit{\boldsymbol{v}}_{{H_{i1}}{\rm{L}}}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}0\\0\\{{{\dot q}_i}}\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}0&0&0\\0&0&0\\{\frac{{\partial {q_i}}}{{\partial {z_o}}}}&{\frac{{\partial {q_i}}}{{\partial \alpha }}}&{\frac{{\partial {q_i}}}{{\partial \beta }}}\end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\dot z}_o}}\\{\dot \alpha }\\{\dot \beta }\end{array}} \right] = {\mathit{\boldsymbol{J}}_{{H_{i1}}{\rm{1}}}}\mathit{\boldsymbol{\dot X}},\\{\mathit{\boldsymbol{v}}_{{H_{i2}}{\rm{L}}}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}0\\0\\{{{\dot q}_i}}\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}0&0&0\\0&0&0\\{\frac{{\partial {q_i}}}{{\partial {z_o}}}}&{\frac{{\partial {q_i}}}{{\partial \alpha }}}&{\frac{{\partial {q_i}}}{{\partial \beta }}}\end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\dot z}_o}}\\{\dot \alpha }\\{\dot \beta }\end{array}} \right] = {\mathit{\boldsymbol{J}}_{{H_{i2}}{\rm{1}}}}\mathit{\boldsymbol{\dot X}}.\end{array}$

(26)

其中：v_Hi1L和v_Hi2L分别表示第i分支第1级支链和第2级支链线速度，矩阵J_Hi11和J_Hi21分别是第i分支第1级支链和第2级支链的线速度映射矩阵。
由式(2) 和(4) 得到两级支链的角速度:

${\mathit{\boldsymbol{\omega }}_{{H_{i1}}}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - {{\dot \theta }_i}{\rm{s}}{\phi _i}}\\{{{\dot \theta }_i}{\rm{c}}{\phi _i}}\\0\end{array}} \right],\;\;\;{\mathit{\boldsymbol{\omega }}_{{H_{i2}}}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\dot \varphi }_i}{\rm{s}}{\theta _i}{\rm{c}}{\phi _i} - {{\dot \theta }_i}{\rm{s}}{\phi _i}}\\{{{\dot \varphi }_i}{\rm{s}}{\theta _i}{\rm{s}}{\phi _i} + {{\dot \theta }_i}{\rm{c}}{\phi _i}}\\{{{\dot \varphi }_i}{\rm{c}}{\theta _i}}\end{array}} \right].$

(27)

其中: ω_Hi1和ω_Hi2分别表示第i分支第1级支链和第2级支链的角速度，${\dot \theta _i}$和${\dot \varphi _i}$由式(12) 和(15) 求偏导可得:

$\begin{array}{l}{{\dot \theta }_i} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{\partial {\theta _i}}}{{\partial {z_o}}}}&{\frac{{\partial {\theta _i}}}{{\partial \alpha }}}&{\frac{{\partial {\theta _i}}}{{\partial \beta }}}\end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\dot z}_o}}\\{\dot \alpha }\\{\dot \beta }\end{array}} \right],\\{{\dot \varphi }_i} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{\partial {\varphi _i}}}{{\partial {z_o}}}}&{\frac{{\partial {\varphi _i}}}{{\partial \alpha }}}&{\frac{{\partial {\varphi _i}}}{{\partial \beta }}}\end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\dot z}_o}}\\{\dot \alpha }\\{\dot \beta }\end{array}} \right].\end{array}$

(28)

将式(28) 代入式(27) 得到:

$\begin{array}{l}{\mathit{\boldsymbol{\omega }}_{{H_{i1}}}} = {\mathit{\boldsymbol{J}}_{{H_{i1}}{\rm{2}}}}\mathit{\boldsymbol{\dot X}},\\{\mathit{\boldsymbol{\omega }}_{{H_{i2}}}} = {\mathit{\boldsymbol{J}}_{{H_{i2}}{\rm{2}}}}\mathit{\boldsymbol{\dot X}}.\end{array}$

(29)

其中矩阵J_Hi12和J_Hi22分别是第i分支第1级支链和第2级支链的角速度映射矩阵。
联立式(26) 和(29) 可得到第i分支的速度，

${\mathit{\boldsymbol{v}}_{{H_{ij}}}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{\mathit{\boldsymbol{v}}_{{H_{ij}}{\rm{L}}}}}\\{{\mathit{\boldsymbol{\omega }}_{{H_{ij}}}}}\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{\mathit{\boldsymbol{J}}_{{H_{ij}}{\rm{1}}}}\mathit{\boldsymbol{\dot X}}}\\{{\mathit{\boldsymbol{J}}_{{H_{ij}}{\rm{2}}}}\mathit{\boldsymbol{\dot X}}}\end{array}} \right] = {\mathit{\boldsymbol{J}}_{{H_{ij}}}}\mathit{\boldsymbol{\dot X}}.$

(30)

其中：v_Hij表示第i分支第j级支链的广义速度，J_Hij表示第i分支第j级支链的速度映射矩阵。
对式(30) 求偏导，得到第i分支的加速度映射方程,

$\begin{array}{*{20}{c}}{{\mathit{\boldsymbol{a}}_{{H_{ij}}}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{\mathit{\boldsymbol{a}}_{{H_{ij}}{\rm{L}}}}}\\{{\mathit{\boldsymbol{\alpha }}_{{H_{ij}}}}}\end{array}} \right] = {\mathit{\boldsymbol{J}}_{{H_{ij}}}}\mathit{\boldsymbol{\ddot X + }}{{\mathit{\boldsymbol{\dot J}}}_{{H_{ij}}}}\mathit{\boldsymbol{\dot X = }}}\\{{\mathit{\boldsymbol{J}}_{{H_{ij}}}}\mathit{\boldsymbol{\ddot X + \dot X'}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{\partial {\mathit{\boldsymbol{J}}_{{H_{ij}}}}}}{{\partial {z_o}}}}\\{\frac{{\partial {\mathit{\boldsymbol{J}}_{{H_{ij}}}}}}{{\partial \alpha }}}\\{\frac{{\partial {\mathit{\boldsymbol{J}}_{{H_{ij}}}}}}{{\partial \beta }}}\end{array}} \right]\mathit{\boldsymbol{\dot X = }}{\mathit{\boldsymbol{J}}_{{H_{ij}}}}\mathit{\boldsymbol{\ddot X}} + \mathit{\boldsymbol{\dot X'}}{\mathit{\boldsymbol{H}}_{{H_{ij}}}}\mathit{\boldsymbol{\dot X}}.}\end{array}$

(31)

其中：a_Hij表示第i分支第j级支链的广义加速度，a_HijL和α_Hij分别表示第i分支第j级支链的线加速度和角加速度。
1.5 受力分析首先对动平台进行受力分析，可得

${\mathit{\boldsymbol{Q}}_M} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{\mathit{\boldsymbol{f}}_M}}\\{{\mathit{\boldsymbol{n}}_M}}\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{\mathit{\boldsymbol{f}}_{\rm{e}}} + {m_M}\mathit{\boldsymbol{g}} - {m_M}{\mathit{\boldsymbol{a}}_{M{\rm{L}}}}}\\{{\mathit{\boldsymbol{n}}_{\rm{e}}} - {}^B{\mathit{\boldsymbol{I}}_M}{\mathit{\boldsymbol{\alpha }}_M} - {\mathit{\boldsymbol{\omega }}_M} \times \left( {{}^B{\mathit{\boldsymbol{I}}_M}{\mathit{\boldsymbol{\omega }}_M}} \right)}\end{array}} \right].$

(32)

其中：m_M为动平台质量，f_e和n_e为简化到动平台坐标系{M}原点o的外力和外力矩，g为重力加速度，^BI_M为动平台参考静坐标系{B}的惯性张量，即

${}^B{\mathit{\boldsymbol{I}}_M} = {}_M^B\mathit{\boldsymbol{R}}{}^M{\mathit{\boldsymbol{I}}_M}{\left( {{}_M^B\mathit{\boldsymbol{R}}} \right)^{\rm{T}}}.$

(33)

其中^MI_M为动平台参考动平台坐标系{M}的惯性张量。
然后，对驱动副滑块进行受力分析。由于驱动副滑块只存在Z轴方向上的移动，即只需分析驱动副滑块沿Z轴上的力即可得到第i驱动副滑块的受力方程，

${F_{{\rm{S}}i}} = {F_{{\rm{d}}i}} + {Q_{{\rm{S}}i}} = {F_{{\rm{d}}i}} - {m_{{\rm{S}}i}}g - {m_{{\rm{S}}i}}{{\ddot q}_i}.$

(34)

其中F_di表示作用在第i驱动副滑块上的驱动力。进一步可得到

$\begin{array}{*{20}{c}}{{\mathit{\boldsymbol{F}}_{\rm{S}}} = {\mathit{\boldsymbol{F}}_{\rm{d}}} + {\mathit{\boldsymbol{Q}}_{\rm{S}}} = }\\{{{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{F_{{\rm{d1}}}}}&{{F_{{\rm{d2}}}}}&{{F_{{\rm{d3}}}}}\end{array}} \right]}^{\rm{T}}} + {{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{Q_{{\rm{S}}1}}}&{{Q_{{\rm{S2}}}}}&{{Q_{{\rm{S}}3}}}\end{array}} \right]}^{\rm{T}}}.}\end{array}$

(35)

最后对第i分支第j级支链进行受力分析，可得

${\mathit{\boldsymbol{Q}}_{{H_{ij}}}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{\mathit{\boldsymbol{f}}_{{H_{ij}}}}}\\{{\mathit{\boldsymbol{n}}_{{H_{ij}}}}}\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{m_{{H_{ij}}}}\mathit{\boldsymbol{g}} - {m_{{H_{ij}}}}{\mathit{\boldsymbol{a}}_{{H_{ij}}{\rm{L}}}}}\\{ - {}^B{\mathit{\boldsymbol{I}}_{{H_{ij}}}}{\mathit{\boldsymbol{a}}_{{H_{ij}}}} - {\mathit{\boldsymbol{\omega }}_{{H_{ij}}}} \times \left( {{}^B{\mathit{\boldsymbol{I}}_{{H_{ij}}}}{\mathit{\boldsymbol{\omega }}_{{H_{ij}}}}} \right)}\end{array}} \right].$

(36)

其中：m_Hij为第i分支第j级支链质量，^BI_Hij为第i分支第j级支链参考静坐标系{B}的惯性张量，即

${}^B{\mathit{\boldsymbol{I}}_{{H_{ij}}}} = {}_{{H_{ij}}}^B\mathit{\boldsymbol{R}}{}^{{H_{ij}}}{\mathit{\boldsymbol{I}}_{{H_{ij}}}}{\left( {{}_{{H_{ij}}}^B\mathit{\boldsymbol{R}}} \right)^{\rm{T}}}.$

(37)

其中：$_{{H_{ij}}}^B\mathit{\boldsymbol{R}}$表示第i分支第j支链坐标系{H_ij}相对于静平台坐标系{B}的旋转矩阵，^H_ijI_Hij表示第i分支第j支链参考坐标系{H_ij}的惯性张量。
最后将上述3部分受力分析，即式(32)、(35) 和(36) 综合，采用虚功原理得到

$\left( {\mathit{\boldsymbol{v}}_M^{\rm{T}}{\mathit{\boldsymbol{Q}}_M} + {{\mathit{\boldsymbol{\dot q}}}^{\rm{T}}}\left( {{\mathit{\boldsymbol{F}}_{\rm{d}}} + {\mathit{\boldsymbol{Q}}_{\rm{S}}}} \right) + \sum\limits_{i = 1}^3 {\sum\limits_{j = 1}^2 {\left( {\mathit{\boldsymbol{v}}_{{H_{ij}}}^{\rm{T}}{\mathit{\boldsymbol{Q}}_{{H_{ij}}}}} \right)} } } \right){\rm{d}}t = 0.$

(38)

结合式(22)、(24) 和(30) 化简得到

${{\mathit{\boldsymbol{\dot X}}}^{\rm{T}}}\left( {\mathit{\boldsymbol{J}}_M^{\rm{T}}{\mathit{\boldsymbol{Q}}_M} + {\mathit{\boldsymbol{J}}^{\rm{T}}}\left( {{\mathit{\boldsymbol{F}}_{\rm{d}}} + {\mathit{\boldsymbol{Q}}_{\rm{S}}}} \right) + \sum\limits_{i = 1}^3 {\sum\limits_{j = 1}^2 {\left( {\mathit{\boldsymbol{J}}_{{H_{ij}}}^{\rm{T}}{\mathit{\boldsymbol{Q}}_{{H_{ij}}}}} \right)} } } \right){\rm{d}}t = 0.$

(39)

由于对于任意时刻、姿态、速度等情况下，虚功原理均成立，因此

$\mathit{\boldsymbol{J}}_M^{\rm{T}}{\mathit{\boldsymbol{Q}}_M} + {\mathit{\boldsymbol{J}}^{\rm{T}}}\left( {{\mathit{\boldsymbol{F}}_{\rm{d}}} + {\mathit{\boldsymbol{Q}}_{\rm{S}}}} \right) + \sum\limits_{i = 1}^3 {\sum\limits_{j = 1}^2 {\left( {\mathit{\boldsymbol{J}}_{{H_{ij}}}^{\rm{T}}{\mathit{\boldsymbol{Q}}_{{H_{ij}}}}} \right)} } = 0.$

(40)

最终可得到驱动力为

${\mathit{\boldsymbol{F}}_{\rm{d}}} = - {\mathit{\boldsymbol{J}}^{ - {\rm{T}}}}\left( {\mathit{\boldsymbol{J}}_M^{\rm{T}}{\mathit{\boldsymbol{Q}}_M} + \sum\limits_{i = 1}^3 {\sum\limits_{j = 1}^2 {\left( {\mathit{\boldsymbol{J}}_{{H_{ij}}}^{\rm{T}}{\mathit{\boldsymbol{Q}}_{{H_{ij}}}}} \right)} } } \right) - {\mathit{\boldsymbol{Q}}_{\rm{S}}}.$

(41)

2 各向同性的评价指标研究由于3-PRRU 3自由度并联机构属于既转又移机构，因此存在量纲不统一的情况。若通过计算机构的动平台和整机的动能，再通过动能之间的关系，对机构的动力学性能进行评价，则可以很好地避免量纲不统一的情况。
2.1 基于能量传递效率的各向同性性能评价指标首先计算动平台动能，可得到

$\begin{array}{*{20}{c}}{{E_M} = \frac{1}{2}\mathit{\boldsymbol{v}}_{M{\rm{L}}}^{\rm{T}}\left( {{m_M}{\mathit{\boldsymbol{I}}_3}} \right){\mathit{\boldsymbol{v}}_{M{\rm{L}}}} + \frac{1}{2}\mathit{\boldsymbol{\omega }}_M^{\rm{T}}{}^B{\mathit{\boldsymbol{I}}_M}{\mathit{\boldsymbol{\omega }}_M} = }\\{\frac{1}{2}{{\mathit{\boldsymbol{\dot X}}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{J}}_M^{\rm{T}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{m_M}{\mathit{\boldsymbol{I}}_3}}&{\bf{0}}\\{\bf{0}}&{{}^B{\mathit{\boldsymbol{I}}_M}}\end{array}} \right]{\mathit{\boldsymbol{J}}_M}\mathit{\boldsymbol{\dot X}}.}\end{array}$

(42)

接着计算整个3-PRRU并联机构的动能，可得

$\begin{array}{l}\begin{array}{*{20}{c}}{{E_{{\rm{all}}}} = {E_M} + \sum\limits_{i = 1}^3 {\sum\limits_{j = 1}^2 {\left( {\frac{1}{2}\mathit{\boldsymbol{v}}_{{H_{ij}}{\rm{L}}}^{\rm{T}}\left( {{m_{{H_{ij}}}}{\mathit{\boldsymbol{I}}_3}} \right){\mathit{\boldsymbol{v}}_{{H_{ij}}{\rm{L}}}}} \right)} } + }\\{\left( {\frac{1}{2}\mathit{\boldsymbol{\omega }}_{{H_{ij}}}^{\rm{T}}{}^B{\mathit{\boldsymbol{I}}_{{H_{ij}}}}{\mathit{\boldsymbol{\omega }}_{{H_{ij}}}}} \right) + \sum\limits_{i = 1}^3 {\frac{1}{2}{m_{{\rm{S}}i}}\dot q_i^2} = }\end{array}\\\begin{array}{*{20}{c}}{{E_M} + \sum\limits_{i = 1}^3 {\sum\limits_{j = 1}^2 {\left( {\frac{1}{2}{{\mathit{\boldsymbol{\dot X}}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{J}}_{{H_{ij}}}^{\rm{T}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{m_{{H_{ij}}}}{\mathit{\boldsymbol{I}}_3}}&{\bf{0}}\\{\bf{0}}&{{}^B{\mathit{\boldsymbol{I}}_{{H_{ij}}}}}\end{array}} \right]{\mathit{\boldsymbol{J}}_{{H_{ij}}}}\mathit{\boldsymbol{\dot X}}} \right)} } + }\\{\frac{1}{2}{{\mathit{\boldsymbol{\dot X}}}^{\rm{T}}}{\mathit{\boldsymbol{J}}^{\rm{T}}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{m_{{\rm{S1}}}}}&0&0\\0&{{m_{{\rm{S2}}}}}&0\\0&0&{{m_{{\rm{S3}}}}}\end{array}} \right]\mathit{\boldsymbol{J\dot X}}.}\end{array}\end{array}$

(43)

若计算E_M在E_all所占的比例，则可得到动平台终端在整个机构中所占的能量比例，即

${\eta _{{\rm{KE}}}} = \frac{{{E_M}}}{{{E_{{\rm{all}}}}}} \times 100\% .$

(44)

对于整个机构来说，终端所占有的能量应算作该机构的有效能量，那么在规定总能量不变的情况下，则终端所占有的能量越高，效率越高。换句话说，式(44) 的物理意义就是机构的能量传递效率。
令

$\mathit{\boldsymbol{\dot X}} = X\mathit{\boldsymbol{\dot x}}.$

(45)

其中：X为${\mathit{\boldsymbol{\dot X}}}$的模，${\mathit{\boldsymbol{\dot x}}}$为输入变量${\mathit{\boldsymbol{\dot X}}}$的单位向量。式(44) 可化简为

${\eta _{{\rm{KE}}}} = \frac{{\frac{1}{2}{{\mathit{\boldsymbol{\dot x}}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{J}}_M^{\rm{T}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{m_M}{\mathit{\boldsymbol{I}}_3}}&{\bf{0}}\\{\bf{0}}&{{}^B{\mathit{\boldsymbol{I}}_M}}\end{array}} \right]{\mathit{\boldsymbol{J}}_M}\mathit{\boldsymbol{\dot x}}}}{{\frac{{{E_M}}}{{{X^2}}} + \frac{1}{2}{{\mathit{\boldsymbol{\dot x}}}^{\rm{T}}}{\mathit{\boldsymbol{J}}^{\rm{T}}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{m_{{\rm{S1}}}}}&0&0\\0&{{m_{{\rm{S2}}}}}&0\\0&0&{{m_{{\rm{S3}}}}}\end{array}} \right]\mathit{\boldsymbol{J\dot x}} + \sum\limits_{i = 1}^3 {\sum\limits_{j = 1}^2 {\left( {\frac{1}{2}{{\mathit{\boldsymbol{\dot x}}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{J}}_{{H_{ij}}}^{\rm{T}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{m_{{H_{ij}}}}{\mathit{\boldsymbol{I}}_3}}&{\bf{0}}\\{\bf{0}}&{{}^B{\mathit{\boldsymbol{I}}_{{H_{ij}}}}}\end{array}} \right]{\mathit{\boldsymbol{J}}_{{H_{ij}}}}\mathit{\boldsymbol{\dot x}}} \right)} } }} \times 100\% .$

(46)

由式(46) 可知，终端速度大小对指标不造成影响，即无论机构的总能量多少，只要保持姿态不变和终端速度的方向矢量不变，则该指标不变。该特性可降低指标表示维度并缩短计算时间。
2.2 基于最大驱动力的各向同性性能评价指标当机构处于不同方位角、摆角^[12]姿态和不同速度方向的状态下，令动平台的动能和加速度为常量，进而计算得到动平台的速度，最终可得到在该姿态、速度和加速度下的驱动力，将驱动3条分支运动的最大驱动力作为评价指标，即

${F_{\max }} = \max {\mathit{\boldsymbol{F}}_{\rm{d}}}\left( {{E_M} = {c_{\rm{E}}},\mathit{\boldsymbol{\ddot X = }}{\mathit{\boldsymbol{C}}_{\rm{A}}}} \right).$

(47)

其中c_E和C_A表示指定的常量。
可以看到，指标F_max的物理意义是，驱动副使动平台产生相同加速度和相同大小的动能所需的最大驱动力。显然，若该指标数值越大，即所需驱动力越大，则力传递效率越差，加速能力越差，表明机构的性能越差。
2.3 5维图像描述方法由式(46) 和(47) 可知η_KE、F_max与机构的姿态和速度的方向有关。对于该3自由度机构来说，其涉及到的独立参数有5项(位置和姿态3项，即z_o、α、β；速度的方向2项，即单位向量${\mathit{\boldsymbol{\dot x}}}$)，再加上能量传递效率性能指标，则该指标的维度为6维，无法直接显示于2维平面之上。
首先考虑到3-PRRU并联机构，在其线位移z_o不同的情况下，机构的动能不变，因此可以忽略动平台的线位移，将6维降为5维。然后, 采用3维彩色球体进行描述，将3维球体从球心指向球面的单位向量作为3个输入变量所组成的单位向量，再通过在球表面描绘不同色彩表示该单位向量所代表的指标，得到3维图。最后，将3维彩色球体放置在不同方位角和摆角所组成的极坐标系下，可以得到5维图像描述。
2.4 3-PRRU并联机构各向同性性能评价根据2.3节所述的5维图像描述方法，将球心指向球面的单位向量作为机构单位速度矢量${\mathit{\boldsymbol{\dot x}}}$，并通过放置3维球体在不同方位角和摆角所组成的极坐标下，得到基于能量传递效率的各向同性性能图谱，如图 3所示。图 3中球体上的颜色分布随着摆角的增大而变得不均匀，且越靠近工作空间边缘处，分化越明显，这说明了该机构的各向同性性能随着摆角的增大而下降。同时，可以看到整幅图谱成120°对称分布，比如在方位角等于60°、180°和300°且摆角等于45°的3个位置上的彩色球体基本相似。

图 3 基于能量传递效率的各向同性性能图谱

图选项

同理，令

${c_{\rm{E}}} = 100{\rm{J,}}{\mathit{\boldsymbol{C}}_{\rm{A}}} = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}0&0&0\end{array}} \right]^{\rm{T}}}.$

(48)

将图 3中的指标更改为基于最大驱动力的各向同性性能评价指标，则得到动平台动能和加速度为一恒值时，不同速度和姿态下所需的最大驱动力图谱，即基于最大驱动力的各向同性性能评价图谱，如图 4所示。可看到，随着机构的摆角增大，机构所需要的最大驱动力向两极分化，机构的各向同性性能变差。

图 4 基于最大驱动力的机构各向同性性能图谱

图选项

3 结论本文研究了3-PRRU空间3自由度并联机构的各向同性评价方法，从能量角度出发，基于并联机构不同姿态和速度下动平台动能占整体动能的比例以及并联机构动平台获得相同动能的情况下所需最大驱动力，提出了两种各向同性评价指标。将这两种指标应用在3-PRRU并联机构中，仿真表明该机构随着摆动角度的增大，各向同性性能降低。该指标无需考虑移动和转动的量纲，只涉及动能和驱动力，因此具有量纲统一、物理意义明确的优点，可推广应用于其他多自由度并联机构的各向同性性能评价。

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