, 王宏 2 1.清华大学 土木工程系, 北京 100084;
2.中建钢构有限公司, 深圳 518000
收稿日期: 2016-04-15
基金项目: 中国博士后科学基金项目(2015M582449)
作者简介: 赵思远(1988-),男,工程师
通讯作者: 郭彦林,教授,E-mail:gyl@tsinghua.edu.cn
摘要：为提高钢拱的平面外稳定性,钢拱的平面外通常布置有一定数目的弹性离散支撑?该文研究了拱顶设置单个弹性支撑作用时,箱形截面钢拱的平面外弹性屈曲性能?首先采用能量法推导得到了弹性支撑作用下,箱形截面纯弯两铰拱和纯压两铰拱的平面外弹性屈曲荷载;其次结合无支撑拱的弹性屈曲性能,获得了弹性支撑的门槛刚度计算公式?该方法的结果与有限元计算结果吻合较好,可以作为离散支撑均匀分布的箱形截面钢拱平面外弹塑性稳定设计的基础?
关键词： 钢拱 弹性屈曲 平面外 支撑 能量法 门槛刚度
Out-of-plane elastic buckling analysis of box-section arches with lateral bracings
ZHAO Siyuan1,2, GUO Yanlin1
, WANG Hong21.Department of Civil Engineering, Tsinghua University, Beijing 100084, China;
2.China Construction Steel Structure Corp. Ltd., Shenzhen 518000, China
Abstract:Arches are usually arranged with lateral bracings to improve their out-of-plane stability. The out-of-plane elastic buckling of box-section arches was analyzed with a single lateral bracing on the crown. The energy method was used to derive the formulas for the out-of-plane buckling loads on lateral braced box-section arches for uniform compression or uniform bending. Then, the out-of-plane elastic buckling solution for arches with no lateral bracings was used to derive the threshold stiffness of the lateral bracings. The out-of-plane buckling loads and threshold stiffnesses of the lateral bracings given by this method agree well with finite element results and can be applied to calculate the the out-of-plane inelastic strength of box-section steel arches with lateral bracings.
Key words: steel archeselastic bucklingout-of-planebraceenergy methodthreshold stiffness
拱形结构由于其特殊的曲线造型和良好的承载能力而被广泛应用在大跨度结构和桥梁工程中。相比其较高的平面内刚度， 拱的平面外刚度较低。为避免钢拱在较低的荷载下发生平面外失稳， 钢拱的平面外通常布置有各种类型的面外支撑系统， 常见的支撑系统包括连续支撑和离散支撑， 前者如房屋建筑中的屋面板， 后者如与钢拱相连的次梁或联系桁架等。合理布置面外支撑是提高钢拱的平面外稳定性和承载能力的重要手段。
早期关于钢拱的平面外弹性稳定性能的研究均集中于无面外支撑的钢拱，成果已经较为完善，例如文[1]提出纯压拱和纯弯拱的平面外弹性屈曲解。此后，不少****采用平衡法或能量法对无面外支撑拱的平面外弹性屈曲性能进行了进一步研究[2-6]。
目前对于平面外设置有支撑的钢拱的研究较为匮乏，主要集中在连续支撑拱的平面外弹性屈曲性能领域。文[7]和[8-9]分别采用能量法和平衡法研究了连续支撑作用下，纯压圆弧拱和纯弯圆弧拱的平面外弹性屈曲性能，得到了考虑连续支撑作用时钢拱的平面外弹性屈曲荷载。而对于更为常见的离散支撑，仅有文[10]研究了拱顶设置单个侧向支撑时，钢拱的平面外弹性屈曲荷载； 文[8-9]则采用数值拟合法提出了离散支撑沿拱轴线均匀分布时，支撑最低阈值刚度的近似计算公式。
本文首先介绍无支撑箱形截面钢拱的平面外弹性屈曲荷载计算公式； 其次将采用能量法结合有限元验证分析探讨单个弹性支撑作用下，箱形截面钢拱的平面外弹性屈曲性能，并获得此时钢拱的平面外弹性屈曲荷载计算公式； 在此基础上寻求弹性支撑的最低刚度阈值，
并结合有限元方法进行验证。所得结果可以作为带支撑箱形截面钢拱平面外弹塑性研究的理论基础。
1 无支撑拱的平面外屈曲荷载作为拱形钢结构平面外稳定设计的理论基础，无支撑拱的平面外弹性屈曲性能已被国内外多名****所研究[1-2, 8]。纯弯和纯压两铰拱作为受力状态最为简单的两类钢拱，其平面外稳定性能是其他复杂受力状态的研究基础，因此它们的平面外屈曲性能也被研究得最为透彻。
对于纯弯两铰拱，有[11]：
| ${{\left( \frac{{{M}_{cr,n}}R}{E{{I}_{y}}} \right)}^{2}}+\left( 1+{{c}^{2}} \right)\frac{{{M}_{cr,n}}R}{E{{I}_{y}}}=\frac{{{c}^{2}}}{{{a}^{2}}_{n}}\left( 1-{{a}^{2}}_{n} \right).$ | (1a) |
 |
| 图 1 纯弯和纯压两铰拱 |
| 图选项 |
纯压两铰拱的第n阶弹性屈曲荷载Ncr,n为[11]
| ${{N}_{cr,n}}=\frac{{{\left( {{a}^{2}}_{n}-{{1}^{2}} \right)}^{2}}}{\left( {{a}^{2}}_{n}+{{c}^{2}} \right)}{{c}^{2}}{{P}_{y,n}}.~$ | (1b) |
2 带支撑拱的平面外屈曲性能 作为离散支撑的一种特殊情况，将支撑设置在拱顶相比其他部位具有更高的效率，因此使用也最为广泛。本文的研究对象为拱顶设置单个弹性支撑的圆弧拱，截面为矩形管截面。为方便理论推导，本文假设钢拱的拱脚为理想铰接，并承受沿拱轴线均匀分布的径向分布荷载或在两端拱脚施加一对等值反向的平面内弯矩，此时钢拱处于均匀受压状态或均匀受弯状态[1-8]，如图 1所示。
2.1 纯弯两铰拱承受纯弯荷载作用的两铰箱形截面圆弧拱的势能函数可以表示为[6, 12]
| $\begin{align} & {{\Pi }_{0}}=\frac{1}{2}\int_{-\Theta /2}^{\Theta /2}{\left[ \frac{E{{I}_{y}}}{R}{{\left( \frac{{{d}^{2}}u}{Rd{{\phi }^{2}}}+\theta \right)}^{2}}+\frac{G{{I}_{t}}}{R}{{\left( \frac{d\theta }{d\phi }-\frac{du}{Rd\phi } \right)}^{2}} \right.+} \\ & \left. M\left( 2\frac{{{d}^{2}}u}{Rd{{\phi }^{2}}} \right)+{{\theta }^{2}}+\left( \frac{du}{Rd{{\phi }^{2}}} \right)d\phi \right]. \\ \end{align}$ | (2) |
若拱顶设置单个支撑，那么钢拱的势能函数还需考虑弹性支撑的弹性势能：
| $~\Pi ={{\Pi }_{0}}+\frac{1}{2}K{{u}^{2}}_{0}{{R}^{2}}.$ | (3) |
 |
| 图 2 拱顶单支撑的平面外屈曲变形 |
| 图选项 |
对于纯弯两铰拱，通常假设变形函数为三角函数:
| $\left\{ \begin{align} & \frac{u}{R}={{u}_{0}}sin\left( \frac{\pi }{\Theta }\phi \right)+\frac{\pi }{2},-\frac{\Theta }{2}\le \phi \le \frac{\Theta }{2}; \\ & \theta ={{\theta }_{0}}sin\frac{\pi }{\Theta }+\frac{\pi }{2},-\frac{\Theta }{2}\le \phi \le \frac{\Theta }{2}. \\ \end{align} \right.$ | (4) |
| $\left\{ \begin{align} & \frac{\partial \Pi }{\partial {{u}_{0}}}=\left[ \frac{{{\pi }^{4}}E{{I}_{y}}}{2R{{\Theta }^{3}}} \right.+\frac{{{\pi }^{2}}G{{I}_{t}}}{2R\Theta }+\frac{{{\pi }^{2}}M}{2\Theta }+\left. K{{R}^{2}} \right]{{u}_{0}}-\left[ \frac{{{\pi }^{2}}E{{I}_{y}}}{2R\Theta } \right.~+\frac{{{\pi }^{2}}G{{I}_{t}}}{2R\Theta }+\left. \frac{{{\pi }^{2}}M}{2\Theta } \right]{{\theta }_{0}}=0, \\ & \frac{\partial \Pi }{\partial {{\theta }_{0}}}=-\left[ \frac{{{\pi }^{2}}E{{I}_{y}}}{2R\Theta }+\frac{{{\pi }^{2}}G{{I}_{t}}}{2R\Theta }+\frac{{{\pi }^{2}}M}{2\Theta } \right]{{u}_{0}}+\left[ \frac{{{\pi }^{2}}E{{I}_{y}}}{2R\Theta }+\frac{{{\pi }^{2}}G{{I}_{t}}}{2R\Theta }+\frac{M\Theta }{2} \right]{{\theta }_{0}}=0. \\ \end{align} \right.$ | (5) |
| $\left| \begin{align} & \left[ \frac{{{\pi }^{4}}E{{I}_{y}}}{2R{{\Theta }^{3}}} \right.+\frac{{{\pi }^{2}}G{{I}_{t}}}{2R\Theta }+\frac{{{\pi }^{2}}M}{2\Theta }+\left. K{{R}^{2}} \right]{{u}_{0}}-\left[ \frac{{{\pi }^{2}}E{{I}_{y}}}{2R\Theta } \right.~+\frac{{{\pi }^{2}}G{{I}_{t}}}{2R\Theta }+\left. \frac{{{\pi }^{2}}M}{2\Theta } \right] \\ & -\left[ \frac{{{\pi }^{2}}E{{I}_{y}}}{2R\Theta }+\frac{{{\pi }^{2}}G{{I}_{t}}}{2R\Theta }+\frac{{{\pi }^{2}}M}{2\Theta } \right],\left[ \frac{{{\pi }^{2}}E{{I}_{y}}}{2R\Theta }+\frac{{{\pi }^{2}}G{{I}_{t}}}{2R\Theta }+\frac{M\Theta }{2} \right] \\ \end{align} \right|=0$ | (6) |
| $\begin{align} & \left( 1-a_{1}^{2} \right){{\left( \frac{MR}{E{{I}_{y}}} \right)}^{2}}+\left[ \left( 1-a_{1}^{2} \right)\left( 1+{{c}^{2}} \right)-2\eta {{a}^{3}}_{1} \right]\frac{MR}{E{{I}_{y}}}= \\ & {{\left( \frac{c}{{{a}_{1}}}-{{a}_{1}}c \right)}^{2}}+2\eta {{a}_{1}}\left( {{a}^{2}}_{1}+{{c}^{2}} \right). \\ & \\ \end{align}$ | (7) |
表 1 截面类型和尺寸
| 算例 | H/mm | W/mm | t/mm |
| 1 | 400 | 200 | 10 |
| 2 | 600 | 400 | 14 |
表选项
选用通用有限元软件ANSYS11.0建立2个有限元模型算例对式(7)进行验证。钢拱的截面尺寸见表 1，其中H表示箱形截面高度，W箱形截面宽度，t表示壁厚。算例1和2的矢跨比f/L分别为0.2和0.3，弧长S分别为10.8和24.0 m，拱顶设置单个弹性支撑。有限元模型中钢拱选用三维梁单元BEAM44，为不考虑剪切变形Euler梁，支撑选用一维弹簧单元COMBIN14。关于采用直梁单元(BEAM44)模拟曲线构件的准确性已被文[1]和[8]验证，本文不再赘述。
有限元模型和计算结果如图 3所示。
 |
| 图 3 带支撑纯弯拱的平面外弹性屈曲性能 |
| 图选项 |
从图 3中可见，随着支撑刚度逐渐增大，钢拱首先发生平面外单波失稳，平面外弹性屈曲荷载逐渐增大，直至达到无支撑钢拱的平面外双波屈曲荷载Mcr,2，其中Mcr,2可通过令式(1a)中n = 2计算获得。此后，带支撑钢拱的屈曲模态转变为平面外双波失稳模式，平面外弹性屈曲荷载保持不变。图 3中，有限元的计算结果和式(7)吻合较好，因此说明式(7)是精确可靠的。
从图 3中还可得知，以算例1为例，当支撑刚度达到某一阈值时，带支撑钢拱的屈曲模态将从平面外单波失稳转变为双波失稳(如图 3b中的失稳示意图所示)，此后屈曲荷载不再随着支撑刚度的增大而增大。因此该刚度阈值表征钢拱平面外稳定设计时的支撑刚度最低需求值，具有重要的设计意义，也被称为受弯拱的支撑门槛刚度Kth,b。算例2的计算结果与算例1相近，不再赘述。
令式(7)中M = Mcr,2，即可以求得单支撑纯弯圆弧拱的支撑门槛刚度Kth,b的求解公式:
| ${{K}_{th,b}}=\frac{A{{\left( {{M}_{cr,2}}R/E{{I}_{y}} \right)}^{2}}+B{{M}_{cr,2}}R/E{{I}_{y}}+C}{\left[ 2{{a}_{1}}\left( {{a}^{2}}_{1}+{{c}^{2}} \right)+{{M}_{cr,2}}R{{a}^{2}}_{1}/E{{I}_{y}} \right]}\frac{\pi E{{I}_{y}}}{{{R}^{3}}}.$ | (8) |
图 3表明式(8)准确预测了单支撑箱形截面钢拱的支撑门槛刚度，与有限元计算结果吻合较好。
2.2 纯压两铰拱拱顶设有单个支撑的箱形截面圆弧拱在承受径向均布荷载时，轴压力沿拱轴线均匀分布，钢拱处于均匀受压状态，此时钢拱的势能函数为[6]
| $\begin{align} & \Pi =\frac{1}{2}\int_{-\Theta /2}^{\Theta /2}{\frac{E{{I}_{y}}}{R}\left( \frac{{{d}^{2}}u}{Rd\phi {{}^{2}}}+{{\theta }^{2}} \right)}+\frac{G{{I}_{t}}}{R}{{\left( \frac{d\theta }{d\phi }-\frac{du}{Rd\phi } \right)}^{2}} \\ & -NR{{\left( \frac{du}{Rd\phi } \right)}^{2}}d\phi +\frac{1}{2}K{{u}^{2}}_{0}{{R}^{2}}. \\ \end{align}$ | (9) |
| $\left\{ \begin{align} & \frac{\partial \Pi }{\partial {{u}_{0}}}=\left( \frac{{{\pi }^{4}}E{{I}_{y}}}{2R{{\Theta }^{3}}}+\frac{{{\pi }^{2}}G{{I}_{t}}}{2R\Theta }-\frac{{{\pi }^{2}}NR}{2\Theta }+K{{R}^{2}} \right){{u}_{0}}-\left( \frac{{{\pi }^{2}}E{{I}_{y}}}{2R\Theta }+\frac{{{\pi }^{2}}G{{I}_{t}}}{2R\Theta } \right){{\theta }_{0}} \\ & \frac{\partial \Pi }{\partial {{\theta }_{0}}}=-\left( \frac{{{\pi }^{2}}E{{I}_{y}}}{2R\Theta }+\frac{{{\pi }^{2}}G{{I}_{t}}}{2R\Theta } \right){{u}_{0}}+\left( \frac{E{{I}_{y}}\Theta }{2R}+\frac{{{\pi }^{2}}G{{I}_{t}}}{2R\Theta } \right){{\theta }_{0}}=0. \\ \end{align} \right.$ | (10) |
| $\frac{N}{{{P}_{y}}}=\frac{{{\left( {{a}^{2}}_{1}-1 \right)}^{2}}}{\left( {{a}^{2}}_{1}+{{c}^{2}} \right)}{{c}^{2}}+2\eta \text{ }{{a}^{3}}_{1}.$ | (11) |
选用通用有限元软件ANSYS11.0建立2个有限元模型算例对式(11)进行验证。有限元模型的相关尺寸与图 3相同，计算结果如图 4所示。
 |
| 图 4 带支撑纯压拱的平面外弹性屈曲性能 |
| 图选项 |
同样由图 4可见，以算例1为例，当支撑刚度达到某一阈值时，钢拱将从平面外单波屈曲模式变为双波失稳，而屈曲荷载值将保持为无支撑拱的平面外双波屈曲荷载Ncr,2，其中Ncr,2可通过令式(1b)中的n= 2计算获得。该阈值刚度即为受压钢拱的平面外刚度最低需求值，也被称为受压圆弧拱的支撑门槛刚度Kth,c。 算例2的计算结果与算例1相似。
令式(11)中的轴压力N=Ncr,2，则得到弹性支撑的门槛刚度值为
| ${{K}_{th,c}}=\frac{\pi {{N}_{cr,2}}}{2R{{a}_{1}}}-\frac{\pi E{{I}_{y}}{{\left( {{a}^{2}}_{1}-1 \right)}^{2}}{{c}^{2}}}{2{{R}^{3}}\left( {{a}^{2}}_{1}+{{c}^{2}} \right){{a}^{3}}_{1}}.$ | (12) |
3 结 论本文通过能量法结合有限元数值法，研究了拱顶设置单个弹性支撑时，纯弯和纯压两铰拱的平面外弹性屈曲性能，并得到如下几点结论：
1) 随着支撑刚度的增大，单支撑纯弯拱和纯压拱的平面外弹性屈曲荷载逐渐增大，本文得到的带支撑钢拱平面外弹性屈曲荷载计算公式和有限元计算结果吻合较好。
2) 支撑门槛刚度是表征支撑点不发生平面外变形的最低刚度值，对钢拱的平面外稳定设计具有重要的意义，本文得到的门槛刚度计算公式和有限元结果吻合较好，可以作为带支撑拱平面外弹塑性稳定设计的理论基础。
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