相干时间超过10 min的单离子量子比特

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1.引　言

量子计算和量子模拟^[1]是近年来飞速发展的理论与实验并重的热点研究领域之一. 它以量子力学和量子信息学为理论基础, 以囚禁离子、超导电路等实验技术的进步为前提, 致力于实现实用的量子计算和量子通信^[2,3], 具有广阔的应用前景. 量子计算平台的基本元素是量子比特, 它是完全可控的量子二能级系统, 人们可以对其进行初始化、量子逻辑门和测量等基本操作. 量子力学中的不可克隆原理告诉我们, 储存在量子比特上的未知量子信息不能被精确地复制^[4,5]. 这项量子信息独有的性质只能够通过对单个量子比特的相干操作和探测来验证. 如果不能完全控制单个量子比特, 量子信息的储存、操作和读出从根本上是难以令人信服的. 长期以来, 人们一直致力于发展在单量子比特层面的相干操作和探测技术.
囚禁离子量子比特的长相干时间将成为实际量子计算和量子通信的基本元素之一. 囚禁离子系统是实现大规模量子计算机的领先物理平台之一. 利用离子阱技术构建大规模量子网络的规模化方案^[6]包括光子链接^[3]和离子穿梭^[7]. 光子链接方案结合了远程量子通信和局域量子计算, 为实现量子网络提供了一个竞争性很强的物理平台. 人们已经演示了离子光子纠缠^[8]以及以光子为媒介的远距离离子纠缠^[9], 这是构建离子-光子网络的基本单元. 离子穿梭方案是将囚禁离子系统划分为操作区域和存储区域, 通过离子穿梭技术在区域间移动离子. 在这一架构下, 人们已通过实验演示了操作区域的基本结构和操作^[10]. 随着系统规模的增大, 对存储区域量子比特储存时间的需求将相应增加. 为了将量子比特误码率保持在容错量子计算的阈值之下, 延长量子比特的相干时间是十分关键的. 随着系统规模的增大, 这两种方案对量子比特的相干时间的要求都会相应地提高.
二十多年前, 人们在离子系综里利用磁场不敏感的内态实现了大约10 min的相干时间^[11,12]. 然而, 经过十多年的发展后, 单量子比特系统的相干时间仍然远低于系综相干时间, 只有不到1 min^[13-15]. 对于囚禁离子量子比特, 特别是基于超精细能级的量子比特, 由自发辐射导致的固有弛豫时间T₁远长于由磁场涨落和本振源的相位噪声导致的退相干时间T₂^*. 目前在离子阱系统中限制相干时间的主要是环境磁场涨落和本振源相位噪声导致的非相干演化, 同时我们还注意到, 加热导致的测量效率降低也极大地限制了离子阱系统中相干时间的测量^[16,17]. 具体来说, 由于运动能级加热, 离子的波包随时间不断弥散, 收集到的荧光光子数减少, 这使得区分离子内态的测量效率低下. 在硬件方面, 通过清洁离子阱表面^[18]或将离子阱置入低温环境中^[19]可以显著地抑制运动能级加热效应. 在同时囚禁不同种类离子的混合囚禁系统中, 还可以通过协同冷却来消除运动能级加热, 从而保证在整个实验过程中探测效率不降低. 此外, 动力学解耦技术能够消除来自环境磁场和本振源的噪声, 从而延长量子系统的相干时间^[20-22]. 最近有文献报道, 在离子化供体的核自旋系综中实现了小时量级的相干时间^[23,24].

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2.1.实验装置

协同冷却的原理是通过对一种离子施加冷却激光, 从而冷却由两种离子组成的混合离子链的运动模式, 因此需要在离子阱中同时囚禁两种类型的离子. 图1(a)所示为一个标准的Paul离子阱同时囚禁了$ ^{171}{\rm Yb}^+ $

离子和$ ^{138}{\rm Ba}^+ $

离子. 图中, 两种离子所对应的操作激光均覆盖整个离子链, 这是因为离子链中的离子会在热噪声的作用下交换位置. 同时, 由$ ^{171}{\rm Yb}^+ $

离子和$ ^{138}{\rm Ba}^+ $

离子的能级图可知, 两种离子的光学特性差异很大, 对$ ^{138}{\rm Ba}^+ $

离子进行激光冷却不会影响编码在$ ^{171}{\rm Yb}^+ $

离子上的量子比特的相干性.

图 1 实验装置和控制系统　(a) 同时囚禁${{}^{171}{\rm Yb}^+ }$

离子和$ ^{138}{\rm Ba}^+ $

离子的混合囚禁系统及相关能谱图; (b) 微波和激光信号的控制系统
Figure1. Experimental setup and control system: (a) Hybrid trapping system that traps $ ^{171}{\rm Yb}^+ $

and $ ^{138}{\rm Ba}^+ $

simultaneously; (b) control system for generating laser and microwave signals.

$ ^{171}{\rm Yb}^+ $

离子$ ^2{\rm S}_{1/2} $

电子组态的两个超精细能级 $ \left|\downarrow\right\rangle\equiv\left|F=0, m_F=0\right\rangle $

和$ \left|\uparrow\right\rangle\equiv\left|F=1, m_F=0\right\rangle $

, 被定义为量子比特的两个能级. 这两个能级的特征频率之差为$ 12642812118+310.8B^2 $

Hz, 其中$ B $

是以高斯为单位的磁场强度的数值. 在实验中, 可以通过标准的光泵技术将量子比特制备到$ \left|\downarrow\right\rangle $

态, 并通过荧光测量技术来区分量子比特的两个能级.
图1(b)是用于产生激光和微波信号的控制系统的示意图. 其中微波信号由微波振荡器的信号和直接数字合成器的信号混合而成, 并受到可编程逻辑门阵列的控制. 该控制系统能够在$ 100\;{\rm ns} $

内改变微波信号的相位. 所有微波源相位均以铷原子钟为标准. 为了处理波长为369 nm的激光的泄漏问题, 设计了由声光调制器、电光脉冲选择器和机械快门组成的三段开关. 该激光用于$ ^{171}{\rm Yb}^+ $

离子的多普勒冷却、荧光探测和光泵操作. 因为该激光频率与量子比特的跃迁频率接近, 稍有泄漏即会导致巨大的退相干效应.
2

2.2.冷却效果

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2.2.冷却效果

衡量协同冷却效果的直接途径是测量$ ^{171}{\rm Yb}^+ $

离子在协同冷却过程中达到的平衡态温度. 为测量平衡态温度, 需要利用双光子拉曼跃迁来耦合内态与运动能级, 从而测量运动能级布居数分布. 然而, 这需要在实验系统中增加额外的激光和相应控制系统.
另一方面, 协同冷却的效果可以从离子链的稳定性来侧面反映. 在协同冷却的过程中观测到, 两个离子大约每5 min交换一次位置. 除此之外, 离子从未自阱中逃逸, 甚至可以在阱中稳定存在超过一星期, 这使得超长相干时间的测量成为可能.
由于在实验过程中离子的位置会交换, 保证离子链中两个离子所处的环境完全一致是十分重要的, 比如荧光探测和光抽运的效率、磁场和微波场的强度等. 在不进行动力学解耦的情况下, 该系统中单量子比特相干时间大约为800 ms.

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3.1.滤波函数

为了刻画动力学解耦序列对量子态演化的影响, 需要计算动力学解耦序列对应的滤波函数. 任意动力学解耦序列可以看作在$ T $

时间内执行$ n $

个$ {\text{π}} $

脉冲操作, 第$ i $

个$ {\text{π}} $

脉冲对应的方位角和时刻分别为$ \phi_i $

和$ \tau_i $

, 并约定$ \tau_0=0 $

, $ \tau_{n+1}=T $

.
从系统初态$ \left|\psi(0)\right\rangle=\left|\downarrow\right\rangle $

出发, 首先施加一个$ {\text{π}}/2 $

脉冲将态矢量旋转到x-y平面, 然后执行动力学解耦序列, 最后再次施加$ {\text{π}}/2 $

脉冲并测量Ramsey条纹的对比度. 同时, 态矢量的演化受到噪声的影响. 系统的末态可以写作

$ \left|\psi(T)\right\rangle =$

$ D^?_x({\text{π}}/2)\tilde R(T)D_x({\text{π}}/2)\left|\psi(0)\right\rangle $

,
其中与动力学解耦序列和系统在噪声环境中的演化对应的演化算符可写为

$\begin{split}\tilde R(T) & = \exp \left[ - {\rm{i}}{\hat \sigma _z}\int_{{\tau _n}}^{{\tau _{n + 1}}}\!\!\! \beta (t){\rm{d}}t \right] \\ & \quad \times \prod\limits_{i = 1}^n {{D_{{\phi _i}}}} ({\rm{{\text{π}} }}) {{\rm{exp}}}\left[{{ - {\rm{i}}{{\hat \sigma }_z}\int_{{\tau _{i - 1}}}^{{\tau _i}} \beta (t){\rm{d}}t}}\right],\end{split}$

其中单量子比特旋转

$\begin{aligned}&D_{\phi_i}(\gamma_i) = \exp\left(-\displaystyle\frac{\rm{i}\phi_i}{2}\hat\sigma_z\right)\\&\qquad \qquad \;\;\times\exp \left(-\displaystyle\frac{\rm{i}\gamma_i}{2}\hat\sigma_x\right) \exp \left(\displaystyle\frac{\rm{i}\phi_i}{2}\hat\sigma_z\right) \end{aligned}$

考虑到$ \gamma_i={\text{π}} $

, 上述演化算符可化简为
$ \tilde R(T)=\exp\left[{\rm{i}} F_n(T)\hat\sigma_z\right] $

,
其中与内态相关的相位$ F_n(T) $

可写为

${F_n}(T) = \sum\limits_{i = 0}^n {{{( - 1)}^{i + 1}}} \int_{{\tau _i}}^{{\tau _{i + 1}}} \beta (t){\rm{d}}t + \sum\limits_{i = 1}^n {{{( - 1)}^{i + 1}}} {\phi _i}.$

对于一般的动力学解耦序列, $\sum\limits_{i = 1}^n {{{( - 1)}^{i + 1}}} {\phi _i} = k{\text{π}} $

, k是整数, 因此(3)式中的第二项可省略. 定义$ F_n(T) \equiv \int _{-\infty}^{\infty} s_n(t')\beta(t'){\rm{d}} t' $

, 其中时域滤波函数$ s_n(t) $

定义如下:

${s_n}(t) = \sum\limits_{i = 0}^n {{{( - 1)}^{i + 1}}} \varTheta (t - {\tau _i})\varTheta ({\tau _{i + 1}} - t),$

其中$ \varTheta(\cdot) $

是Heaviside阶梯函数.
在拉姆齐条纹实验中, 执行动力学解耦序列之后, 测量的信号是自旋算符$ z $

分量的期待值, 即

$\begin{split}\left\langle {\psi \left( T \right)\left| {{{\hat \sigma }_z}} \right|\psi (T)} \right\rangle & = \left\langle {\cos \left[ {2{F_n}(T)} \right]} \right\rangle \\ & = {{\rm{e}}^{ - 2\left\langle {{F}_n^2(T)} \right\rangle }} \equiv {{\rm{e}}^{ - \chi (T)}}.{\rm{ }}\end{split}$

推导(5)式时, 使用了对高斯型随机变量$ X $

成立的等式$\left\langle {\exp {\rm{i}}X} \right\rangle = \exp \left( {{\rm{i}}\left\langle X \right\rangle - {{\left\langle {{X^2}} \right\rangle }}/2} \right)$

和$\left\langle {{F_n}(T)} \right\rangle = 0. $

定义时域滤波函数的傅里叶变换

${\tilde y_n}(\omega ,T) = \int_{ - \infty }^\infty {{s_n}} (t){{\rm{e}}^{ - {\rm{i}}\omega {\rm{t}}}}{\rm{d}}t.$

利用卷积定理, 信号的衰减函数$ \chi(T) $

可写成如下形式:

$\begin{split}\chi (T) & = \int_{ - \infty }^\infty {\rm{d}} {t_1}\int_{ - \infty }^\infty {\rm{d}} {t_2}{s_n}({t_1}){s_n}({t_2})\left\langle {\beta ({t_1})\beta ({t_2})} \right\rangle \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\\& = \frac{1}{{\text{π}} }\int_{ - \infty }^\infty {{S_\beta }} (\omega ){\left| {{{\tilde y}_n}(\omega ,T)} \right|^2}{\rm{d}}\omega .\end{split}$

由(7)式可见, $ \left|\tilde y_n(\omega, T)\right|^2 $

的作用相当于环境噪声谱$ S_\beta(\omega) $

在频域的滤波器, 因此被定义为滤波函数.
2

3.2.环境噪声

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3.2.环境噪声

如前所述, 系统的随机相位噪声$ \beta(t) $

包含来自随机磁场涨落和操作微波相位涨落两方面的影响, 分别用$ \beta_{\rm B}(t) $

和$ \beta_{\rm LO}(t) $

表示. 操作微波相位涨落$ \beta_{\rm LO} $

与本地振荡器的品质有关, 在使用高品质本地振荡器、铷原子钟和直接数字合成器等设备后, 由频谱分析仪测得的典型相位涨落如图3所示.

图 3 频谱分析仪测得的典型相位涨落噪声谱
Figure3. Typical phase noise measured by spectrum analyzer.

在实验设备建成并校准后, $ \beta_{\rm LO}(t) $

业已固定, 无法调整. 而来自于环境磁场涨落的噪声$ \beta_{\rm B}(t) $

则可以很容易地调整. $ ^{171}{\rm Yb}^+ $

的二阶塞曼效应为$ \Delta f_{\rm Z2}=KB^2 $

Hz, 其中$ K=310.8\;{\rm Hz}/{\rm G}^2 $

.在(1)式的哈密顿量中, 量子比特的频率差$ \omega_0 $

和来自环境磁场涨落的噪声$ \beta_{\rm B}(t) $

分别为

$\begin{split} {\omega _0} & = {\omega _{{\rm{HF}}}} + K\left( {B_x^2 + B_{y}^2 + B_{z}^2} \right),\\{\beta _{\rm{B}}}(t) & = K\left[2{B_x}{b_x}(t) + 2{B_{y}}{b_{y}}(t) + 2{B_{z}}{b_{z}}(t) \right. \\ &\quad +\left. b_x^2(t) + b_{y}^2(t) + b_{z}^2(t) \right],\end{split}$

其中$ \omega_{\rm HF} $

是超精细能级劈裂, $ B_i $

是磁场在$ i $

方向的平均值, $ b_i(t) $

是$ i $

方向的磁场涨落, $ i={x, y, z} $

. 假设降低磁场平均值不影响涨落的大小, 则可以通过减小磁场的方式来压制$ \beta_{\rm B}(t) $

, 从而得到更长的相干时间. 由通量计测得$ b_{x}(t)\ll b_{ y, z}(t) $

, 因此使磁场沿$ {x} $

方向. 在研究系统噪声谱时, 采用$B_{x}=$

$ 8.8\;{\rm G} $

; 在实现长相干时间量子存储时, 采用$ B_{x} = 3.5\;{\rm G} $

, 这是能够对离子的内态进行有效荧光测量的最小磁场.
系统中最强的噪声组分是来自于电源线的$ 50\;{\rm Hz} $

振荡及其谐波, 因此频域噪声谱可以用分立模型来模拟^[37,38], $ \tilde\beta(\omega)=\sum_{k=1}^d\beta_k\delta(\omega-\omega_k) $

, 其中$ \delta(\cdot) $

代表狄拉克$ \delta $

函数. 将$ \tilde\beta(\omega) $

代入(5)式, 得到最终信号为

$\left\langle {\psi \left( T \right)\left| {{{\hat \sigma }_z}} \right|\psi (T)} \right\rangle = \prod\limits_{k = 1}^d {{{\rm J}_0}} \left( {\left| {{\beta _k}\tilde y\left( {{\omega _k},T} \right)} \right|} \right),$

其中$ {\rm J}_0(\cdot) $

是0阶Bessel函数. 实验上测得末态$ \hat\sigma_z $

平均值的平均脉冲间距变化的数据后, 可通过数值拟合得到分立噪声谱强度$ \beta_k $

.
接着, 通过连续噪声模型来进一步研究系统噪声谱. 对任意噪声谱$ S_\beta(\omega) $

, 拉姆齐条纹的对比度可表示为$ {\rm{e}}^{-\chi(T)} $

, 其中

$\chi (T) = \frac{2}{{\text{π}} }\int_0^\infty {{S_\beta }} (\omega ){\left| {\tilde y(\omega ,T)} \right|^2}{\rm{d}}\omega ,$

其中$ \left|\tilde y(\omega, T)\right|^2 $

可看作中心频率为$ \dfrac{1}{2\tau} $

, 带宽正比于$ \dfrac{1}{2{\text{π}} T} $

的带通滤波函数. 基于Plancherel定理可以得到

$\int_{ - \infty }^\infty {{{\left| {\tilde y(\omega ,T)} \right|}^2}} {\rm d}\omega = 2{\text{π}} T.$

如果带通滤波函数$ \left|\tilde y(\omega, T)\right|^2 $

的带宽很窄, 那么$ S_\beta(\omega) $

在中心频率附近可看作常数, 即$ S_\beta\left(1/(2\tau)\right)\simeq $

$\chi(T)/(4T) $

. 因此, 可以通过测量$ \chi(T) $

来估算$ S_\beta(\omega) $

. 图4(a)为执行包含不同脉冲数量的动力学解耦序列, 测量得到的系统在演化时间$ T $

后的拉姆齐条纹对比度. 图4(b)为计算得到的环境噪声谱$ S_\beta(\omega) $

图 4 (a) 执行包含$ N $

个脉冲的动力学解耦序列, 不同的总演化时间$ T $

对应的条纹对比度; (b) 通过分析图(a)中的数据得到的环境噪声谱
Figure4. (a) Ramsey contrasts depending on the total evolution time T for various numbers of pulses N in the dynamical decoupling sequence; (b) the noise spectra analized from the measured data in Fig. (a).

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4.1.随机化基准测试

随机化基准测试^[39]是用来测量极低的单比特量子逻辑门的保真度的一种标准方法. 传统上, 量子操作的误差行为可以通过量子过程层析来标定. 然而, 虽然量子过程层析可以提供关于量子操作的许多信息, 但却无法保证该量子操作嵌入一长串其他量子操作中的表现. 另一方面, 规模化量子计算要求单个量子操作的误差率在$ 10^{-4} $

量级或更低. 通过传统的量子过程层析在实验上测定这样低的误差率是很困难的. 此外, 量子过程层析无法排除初态制备和测量过程引入的误差. 因此, 人们提出了一种可以克服以上问题的对量子操作的误差行为进行实验研究的新方法, 即随机化基准方法.
随机化方法最初是在量子噪声领域提出的, 其具体过程是对系统实施随机幺正操作$ \hat U $

及其逆操作$ \hat U^{-1} $

. 假如噪声模型可表示为施加在$ \hat U $

和$ \hat U^{-1} $

之间的独立的量子操作, 保真度的下降程度即代表了系统的噪声强度. 随机化基准方法是随机化方法的简化版本, 表现在前者将随机幺正操作限制为Clifford门操作.
随机化基准方法对标准初态执行不同长度的随机的量子逻辑门序列, 每一序列均以随机化测量结束, 该测量决定系统是否达到正确的末态. 根据最终测量的错误率随序列长度的增加可以确定序列中每一个门操作平均的计算相干的误差率. 序列中的随机门操作出自Clifford群, 该群是用$ {\rm{e}}^{-\rm{i}\sigma{\text{π}}/4} $

的$ {\text{π}}/2 $

旋转生成的, 其中$ \sigma $

是作用于不同量子比特的泡利算符的直积.
对于单量子比特系统, 随机化基准方法包含大量实验, 每一实验的流程均包含初态制备、执行不同的量子逻辑门序列和测量, 其中量子逻辑门序列包含泡利随机化和门计算两部分. 泡利随机化执行具有${{\rm{e}}^{ \pm {\rm{i}}{{\hat \sigma }_{\rm{b}}}{\text{π}} {\rm{/2}}}}$

形式的幺正操作, 其中随机变量$ b\in\left\{0, { x, y, z}\right\} $

, $\hat\sigma_0=\hat{\mathbb I} $

是恒等算符. 门计算执行形式为${{\rm{e}}^{ \pm {\rm{i}}{{\hat \sigma }_{\rm{b}}}{\text{π}} {\rm{/4}}}}$

的幺正操作, $ u\in\left\{{x}, {y}\right\} $

. 除了最后一个$ {\text{π}}/2 $

脉冲, 上述符号、随机变量$ b $

和$ \mu $

都由均匀随机采样得到. 选择系统初态为$ \left|0\right\rangle $

, 是由于序列中的操作均出自Clifford 群, 理想情况下系统的状态总是泡利算符的本征态. 最后一个$ {\text{π}}/2 $

脉冲将系统状态旋转为$ \hat\sigma_z $

的本征态, 最终测量是关于$ \hat\sigma_z $

的冯诺依曼测量. 在理想情况下, 最终测量的结果是已知的. 在误差环境下, 由于随机化, 序列的误差与组成序列的单个或数个操作无关. 序列的长度$ l $

是序列中$ {\text{π}}/2 $

脉冲的个数. 可以测量不同长度$ l $

的序列对应的误差率$ p_l $

, 由$ p_l $

与$ l $

的关系可以估算门脉冲的平均误差率,
$ p_l=\left[1-(1-d_{\rm if})(1-d)^l\right] $

,
其中$ d $

是随机化计算门(一个$ {\text{π}}/2 $

脉冲和一个泡利脉冲的随机组合)的平均误差率, $ d_{\rm if} $

为包含初态制备和测量过程的误差率.
单量子比特的随机化基准包含$ N = N_lN_{\rm G}N_{\rm P}N_{\rm e} $

次实验的末态测量结果的统计分析, 其中$ N_l $

是序列长度$ l $

的不同取值的个数, $ N_{\rm G} $

是每个长度$ l $

所对应的随机计算门序列的个数, $ N_{\rm P} $

是每一计算门序列对应的泡利随机化序列的个数, $ N_{\rm e} $

是每一序列对应的实验次数. 在实验中, 选取

$\begin{split}& {N_l} = 15,{N_{\rm{G}}} = 4,{N_{\rm{P}}} = 8,{N_{\rm{e}}} = 500,\\& l \in \{ 2,5,10,25,40,60,80,100,150,200,\\&\quad\quad 250,300,350,400,500\}. \end{split} $

图5展示了不同序列的保真度, 对于序列长度$ l $