崔铭铭¹, 韩晓萌¹, 孙方玉¹, 方依茹¹, 刘婧婧², 吴光远¹, 李效周¹
1. 齐鲁工业大学(山东省科学院)轻工科学与工程学院, 山东 济南 250353;
2. 山东工艺美术学院, 山东 济南 250300
2019-10-23 收稿, 2020-02-20 录用
基金项目: 山东省重点研发计划项目（2019GGX105016，2018GGX106009）、山东省高等学校科技计划项目（J18KA332，J17KA178）、2019齐鲁工业大学（山东省科学院）校级大学生创新创业训练计划（xj201910431048）和山东工艺美院校级科研项目（X19KY31）资助
^*通讯作者: 李效周

摘要: 纸基模型表面亮度感知是整体色貌感知的重要组成，亮度感知的准确性、快捷性直接影响到纸基模型整体外貌的视觉感知。本文通过对3D纸基模型表面亮度测量，实现3D纸基表面在不同角度、不同阶调时的亮度预测。首先，通过设计的纸模测量角度架，可以方便快捷地调整纸基表面角度，然后，确定测量角度取样间隔为5°，纸模表面角度为5°~85°，依次测量，最后，设计四色表面梯尺，青色、品色、黄色、黑色在不同纸基表面和不同阶调下，利用辐射亮度计对其表面亮度值进行测量。利用最小二乘法建立亮度与纸基表面角度、阶调之间的关系模型，并对模型优劣程度进行检验。结果表明，本预测模型可以快速准确地对任意角度3D纸基表面进行亮度预测，获取3D纸基模型表面的亮度。
关键词: 3D纸基模型表面亮度表面角度阶调亮度预测模型
Research on Luminance Prediction of 3D Paper-based Model Surface
CUI Mingming¹, HAN Xiaomeng¹, SUN Fangyu¹, FANG Yiru¹, LIU Jingjing², WU Guangyuan¹, LI Xiaozhou¹
1. School of Light Industry Science and Engineering, Qilu University of Technology(Shandong Academy of Sciences), Jinan 250353, Shandong, P. R. China;
2. Shandong University of Art & Design, Jinan 250300, Shandong, P. R. China

Abstract: The surface luminance perception is one of the most important aspects of achieving an overall appearance for a paper-based model. The accuracy and rapidity of luminance perception directly affect the visual perception of the overall appearace of the paper-based model. In this paper, the surface luminance prediction based different surface set angles and surface tone values was performed by measuring the surface luminance of 3D paper-based model. First, a rotating bracket was designed to facilitate to set the paper surface angle.Then, we set the angle from 0 to 85° at the interval of 5° using the designed rotating bracket. In addition, the four primary color scales, cyan, magenta, yellow, and black, were printed and set at the designed angle. The angle-ware and tone-ware luminance was measured using spectroradiometer, CS-2000. Finally, we proposed and evaluated a mathematical model to reveal the relationship between luminance and surface set angles and surface tones using the least squares polynomial method. The results indicated that the surface luminance of 3D paper-based model could be predicted and obtained quickly and accurately for any surface set angles and surface tone values by the proposed prediction model.
Key words: 3D paper-based modelsurface luminancesurface angle setsurface toneluminance predi-ction model
3D物体表面亮度预测与分析已经成为色彩再现、图像处理、3D打印等领域的研究热点，表面亮度感知的准确预测是物体整体外貌的主要组成。亮度信息既可以影响物体表面整体形貌感知，也可以决定表面细节信息再现，对物体表面颜色感知的影响尤为重要^[1]。但是，3D物体表面的亮度感知与2D平面物体亮度感知又有着截然不同的观察条件。2D平面物体亮度测量感知预测已较为成熟地应用于诸多领域，特别是色彩再现与复制。对于3D物体表面的亮度感知预测则受限于测量设备、预测模型和观察条件的复杂性，目前仍未得到很好的解决^[2]。尽管3D扫描仪的快速发展使得物体形貌信息获取更为便捷，但其大多获得的是位置信息，主要用于创造物体表面的点云信息，以构成物体的表面形状，与2D扫描仪获取的亮度信息和颜色信息具有不同的原理与规则，无法反映物体表面光亮度信息^[3]。而3D物体表面颜色信息的获取、预测与再现都需要确定亮度信息，仅靠3D扫描仪显然无法完成这一需求。本文以纸基模型为基本材料，利用不同的纸基表面角度再现3D纸基表面位置，通过测量、分析不同纸张表面角度的亮度信息，研究影响3D纸基表面亮度感知的规律。如同皮肤色研究，纸基表面亮度感知也受到纸与油墨间的相互作用、纸张的粗糙度，即阶调的影响。在对肤色的研究过程中，通过对皮肤表面进行特殊处理^[4]，获取肤色在不同观察角度下的视觉感知效果。本文设计四色阶调作为纸张表面基本信息，通过变换纸基表面角度、纸基表面阶调信息，研究其亮度感知情况的变化。
实验中，3D纸基模型在同一观察视场内，保持光源、观察者位置不变，纸基模型的每一表面相对于观察者具有不同的观察角度。如图 1所示，对于不同表面来讲，其观察角度是不断变化的。对于表面l，角度为θ₁，观测点P处入射角度与反射角度为α_i和α_j。但在观察表面2位置时，其纸基表面相对于表面1则变成θ₂，此时保持观测点P不变，入射角度和反射角度则为β_i和β_j。此时感受到二者表面的亮度强度明显是不同的，与实际观察一致。因此，针对纸基表面的变化，可以设计角度架^[5]，用以测试实验中模拟3D纸基表面相对于观察场的变化，利用2D印刷纸基平面与角度架，模拟3D纸基表面的角度变化和表面阶调变化，可以快速实现测量。实际测量中，从微观角度来讲，3D纸基模型表面与2D印刷纸基表面具有相似性，因此，对于在纸基表面产生的光学作用机理^[6]不做单独考虑，这也符合实际颜色预测和再现情况。
图 1

图 1 3D纸基表面角度模拟与感知变化

1 实验部分1.1 实验纸模表面样品及设计采用柯美C6000静电数字印刷机在128 g铜版纸上印刷测控条色块，油墨型号为柯美TN616，分别印刷青色、品色、黄色、黑色4种原色。阶调S设计为由10%~100%，间隔10%，色块尺寸设计为3 cm×3 cm，如图 2(a)所示。设计纸基样品角度α，由5°~85°，间隔5°，共17个摆放角度，如图 2(b)所示，角度架设置如文献[5]。
图 2

图 2 纸基表面原色阶调与纸基表面角度模拟设置

1.2 测量环境设置及对结果的影响选用CS-2000分光辐射亮度计用于测量纸模表面光辐射度值。测量时纸模样品放置在照明光源为D65的标准灯箱内，测量前对灯箱预热0.5 h，待照明光源稳定后开始测量。整个实验需在暗室中进行，以免影响标准照明。测量时需保证每次测量位置的一致性，一方面要保证样品与测量镜头的水平距离一致，另一方面要保证样品与光源的垂直距离一致，实验环境设置如图 3。
图 3

图 3 测量环境设置

对比样品与测量镜头的水平距离不同时(表 1)，发现同一颜色在同一摆放角度、同一阶调、不同水平距离下，三刺激值与色品坐标相差较小，说明水平测量距离对测量结果影响较小。对比样品与光源的垂直距离不同时(表 2)，发现样品与光源垂直距离的微小变化会使各参数产生较大的改变，这是因为，在用点光源照明时，与光线垂直的物体表面上的照度跟光源的发光强度成正比，跟被照亮的面到光源的距离的平方成反比^[7]。根据实验条件和环境，在本次实验中，设置测量仪器距离样品水平距离为172 cm，距顶端光源垂直距离为49 cm。
表1

表 1 不同水平测量距离下各指标对比 水平距离(cm) X(1931) Y(1931) Z(1931) x(1931) y(1931) 100 50.78 48.52 55.98 0.2974 0.3117 150 51.42 49.13 56.68 0.2974 0.3117 172 52.16 49.84 57.54 0.2973 0.3117 200 51.46 49.16 56.78 0.2973 0.3116

表 1 不同水平测量距离下各指标对比

表2

表 2 不同垂直测量距离下各指标对比 垂直距离(cm) X(1931) Y(1931) Z(1931) x(1931) y(1931) 49.5 52.72 50.37 58.07 0.2974 0.3118 49 54.25 51.84 59.80 0.2974 0.3118 48 53.87 51.27 60.08 0.2964 0.3095 47 57.15 55.16 61.98 0.2983 0.3159

表 2 不同垂直测量距离下各指标对比

2 结果与讨论根据实验设置、纸基模型表面角度设计和表面印刷阶调设计，采用文献[5]的角度架设置，利用CS2000测得纸模表面亮度数据，见表 3~表 6，分别为C、M、Y和K对应的数据。
表3

表 3 C色样亮度与纸基表面角度和阶调数据 C 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100% 5 58.33 51.89 45.37 40.67 33.11 27.49 23.37 19.90 16.86 14.73 10 60.43 53.77 47.17 43.30 35.66 29.24 25.06 21.17 17.84 15.94 15 65.28 58.72 51.62 46.62 38.98 31.90 27.46 23.31 19.50 17.45 20 69.01 63.86 54.26 49.48 41.65 34.83 29.90 25.86 21.97 19.61 25 76.70 75.26 60.22 57.06 49.89 41.55 36.44 32.51 29.22 26.90 30 86.95 85.14 75.70 74.63 70.53 67.08 66.23 64.73 63.68 63.34 35 81.69 74.51 71.35 64.02 56.17 51.30 46.84 38.47 33.67 33.07 40 80.73 73.53 65.69 59.99 50.18 42.40 36.99 32.06 27.28 24.92 45 80.82 73.72 64.57 59.01 49.34 41.20 35.76 30.85 26.06 23.72 50 83.55 75.87 66.37 60.70 50.66 42.55 37.05 32.24 28.13 25.29 55 84.74 77.43 67.85 62.77 52.63 44.01 39.07 34.35 30.30 27.44 60 86.63 79.16 70.63 65.01 55.12 46.93 42.02 36.91 32.53 29.87 65 84.57 77.17 70.01 63.99 54.13 46.63 41.33 36.71 31.89 29.70 70 79.66 73.24 66.01 59.44 49.96 42.40 37.09 32.32 27.79 25.74 75 75.54 68.83 66.92 60.67 50.21 42.46 37.13 32.56 28.07 25.47 80 72.03 65.24 60.47 53.81 45.01 39.02 33.98 30.13 26.16 23.87 85 62.43 56.06 54.07 47.48 39.38 37.45 32.33 28.96 25.68 23.85

表 3 C色样亮度与纸基表面角度和阶调数据

表4

表 4 M色样亮度与纸基表面角度和阶调数据 M 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100% 5 51.53 44.12 40.39 34.53 28.84 23.34 19.03 16.80 9.88 8.38 10 59.21 51.78 43.38 36.45 29.81 25.14 21.09 17.61 9.92 9.72 15 62.69 55.12 46.07 39.91 33.38 27.20 22.98 19.26 11.60 11.21 20 66.99 59.28 50.86 44.64 38.03 31.49 27.17 23.12 15.26 15.02 25 72.14 66.47 58.80 60.72 48.55 50.00 37.55 36.70 31.76 44.59 30 83.18 82.03 76.30 72.92 71.54 69.10 69.10 63.92 65.88 63.66 35 80.24 72.30 65.12 58.04 52.99 47.10 40.79 38.31 36.27 28.45 40 78.95 70.05 60.25 52.19 45.07 37.62 34.14 29.57 20.49 19.52 45 79.96 71.29 60.67 52.44 45.81 38.63 33.77 28.49 19.12 17.55 50 80.20 71.43 61.41 53.52 46.59 39.03 34.49 28.44 18.35 18.32 55 81.96 73.24 62.95 54.78 48.05 40.91 35.09 30.99 20.63 19.84 60 83.71 74.95 64.50 56.72 50.13 43.17 38.03 33.39 24.55 23.25 65 82.69 73.79 64.58 55.82 49.08 42.16 37.10 32.83 24.01 21.62 70 86.40 76.67 66.24 57.21 49.77 42.49 36.81 32.62 22.72 21.01 75 78.75 71.15 61.89 53.52 46.62 39.24 34.13 30.05 20.67 19.59 80 72.35 64.61 56.04 48.86 42.82 36.56 32.21 28.41 20.34 19.61 85 58.00 51.74 45.87 42.86 38.40 34.09 30.69 27.31 21.54 21.28

表 4 M色样亮度与纸基表面角度和阶调数据

表5

表 5 Y色样亮度与纸基表面角度和阶调数据 Y 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100% 5 61.14 59.01 57.56 53.53 53.40 52.28 51.36 51.53 49.26 49.11 10 60.78 59.40 59.68 56.87 56.84 52.91 54.10 52.75 51.62 50.23 15 66.50 65.02 65.28 64.91 62.93 59.89 61.14 58.34 58.81 55.82 20 72.02 68.00 67.99 66.92 67.17 64.38 65.26 63.47 63.77 63.19 25 74.26 72.87 69.60 67.09 68.49 66.56 68.57 64.67 71.48 80.90 30 94.72 90.43 90.86 93.82 93.09 94.30 93.61 93.85 94.34 93.74 35 93.14 85.48 92.15 92.82 92.69 92.29 91.52 93.21 92.94 93.44 40 87.76 86.11 84.60 83.41 81.69 80.37 79.95 78.88 77.02 75.84 45 87.95 85.88 84.30 82.69 81.42 78.98 78.99 77.22 75.95 74.62 50 89.23 86.73 85.57 83.38 82.39 79.90 80.30 77.98 77.15 75.63 55 90.77 88.35 87.59 86.25 84.83 82.73 83.35 81.85 82.71 79.36 60 92.63 91.32 90.18 89.46 88.20 86.75 86.82 85.66 84.73 82.28 65 91.86 90.50 89.88 88.23 87.28 85.75 85.34 83.86 82.78 81.14 70 88.46 87.19 85.72 84.02 83.11 80.34 79.98 78.38 77.09 77.63 75 82.91 81.59 82.18 81.44 81.67 80.12 79.92 78.70 77.35 76.90 80 71.89 81.45 82.58 73.63 74.88 72.62 69.29 68.13 66.87 68.84 85 63.16 62.68 65.79 62.74 61.32 57.24 57.74 54.63 51.63 51.80

表 5 Y色样亮度与纸基表面角度和阶调数据

表6

表 6 K色样亮度与纸基表面角度和阶调数据 K 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100% 5 53.61 45.20 37.94 31.12 14.43 10.03 5.93 3.67 1.55 1.09 10 54.77 47.17 39.26 33.60 16.14 10.79 6.60 4.08 1.91 1.35 15 60.03 51.35 42.96 36.52 17.55 12.64 7.93 4.83 2.53 2.30 20 63.48 54.85 46.74 40.15 20.95 15.09 10.92 7.40 5.02 4.54 25 70.08 63.50 54.37 49.93 30.10 24.49 19.14 14.47 11.59 10.30 30 82.76 80.40 71.90 71.37 61.88 63.24 60.50 60.76 67.65 60.50 35 78.62 68.55 62.33 55.49 35.52 29.63 27.00 28.44 17.15 14.70 40 75.73 65.91 56.97 48.66 26.87 20.30 15.54 12.31 8.42 6.44 45 75.13 64.96 55.53 46.84 24.75 17.81 12.78 9.15 5.83 4.80 50 76.23 65.99 56.11 47.66 24.80 18.54 13.05 9.89 7.37 6.47 55 78.50 68.56 58.63 50.02 27.67 21.38 15.93 12.99 10.70 9.79 60 80.39 70.75 60.94 52.18 30.83 24.97 19.30 16.85 14.64 13.61 65 79.90 69.26 60.33 51.63 30.19 24.14 18.93 16.13 13.04 12.68 70 74.25 64.96 57.24 48.01 26.98 20.76 15.91 13.03 10.20 9.67 75 70.66 62.16 54.70 46.85 26.75 20.35 15.31 12.57 9.85 9.27 80 66.59 57.87 48.97 42.60 24.84 19.70 15.33 12.81 10.81 10.80 85 60.04 52.31 46.13 40.04 24.51 19.89 16.99 14.17 12.56 12.59

表 6 K色样亮度与纸基表面角度和阶调数据

2.1 纸模表面角度对亮度感知的影响根据表 3~表 6，对纸基表面角度、表面阶调和所测亮度进行平均归一化。同一阶调不同表面角度时，亮度与表面角度的关系如图 4所示，分别为C、M、Y和K原色表面亮度测量图。由图 4可知，纸基表面角度为30°时，亮度会产生一个较大增强，这与实际主观观测效果一致。表明当测量设备与观察环境固定时，纸基模型表面同一阶调处的亮度感知与其自身表面相对于水平或垂直的角度具有较大相关性。对于四色原色阶调，Y阶调亮度感知相对于其他三色阶调受纸基表面角度影响最小，在30°邻近区域变化最小。
图 4

图 4 亮度随纸基表面角度的变化

2.2 纸模表面阶调对亮度感知的影响根据表 3~表 6，同一纸基表面角度不同表面阶调时，亮度与阶调的关系如图 5所示，分别为C、M、Y和K原色表面亮度测量图。由图可知，随着阶调的增加，亮度呈线性降低，与主观观测效果一致，其中Y原色在纸基表面角度为30°时，亮度受表面阶调变化的影响最小，人眼视觉难以察觉此时阶调对亮度的影响。
图 5

图 5 亮度随纸基表面阶调的变化

3 亮度预测建模与检验3.1 建模与分析本文采用最小二乘法^[9]对亮度感知与纸基模型表面的角度和阶调进行建模分析。根据最小二乘法拟合原理^[11]和亮度感知与阶调变化的关系，可以假设：

(1)

式中，Lv为亮度，S为阶调，a、b为比例系数，i为某纸基表面角度α对应的i序数。则对于不同纸基表面角度，则有：

(2)

其中，C^T为C的转置矩阵，则有C^TCX=C^TX, CX=Y。又C^TC=A，若|A|≠0，则等式两边同时乘A^-1，即A^-1AX=A^-1C^TY，得：

(3)

即可求得指定角度下a、b值。通过计算发现，不同纸基表面α_i所对应的a_i和b_i不同，其关系如图 6所示。
图 6

图 6 a, b随纸基表面角度α变化的曲线

令公式(1)用矩阵表示为：

(4)

上述可知亮度Lv与阶调S的关系简化为：

(5)

根据图 6，分别假设系数a和b与纸基表面α的关系为：

(6)

将(4)与(6)两式带入(5)式，可得出亮度与阶调、角度间的关系：

(7)

(8)

由图 6，分别对公式(6)中的a和b进行高阶拟合，本文采用5阶非线性拟合，根据公式(8)，可获得纸基表面亮度与纸基表面角度和阶调关系，如图 7所示。图 7中黑色点集表示测量亮度值，彩色平面为拟合亮度值。发现在纸基表面角度为30°时，亮度预测与实际测量误差较大，这与实际情况一致。因此，在后续评价和优化时，可将30°处亮度感知与纸基表面角度和阶调关系单独处理。
图 7

图 7 亮度感知测量与计算比较

3.2 亮度感知模型评价采用确定系数R²衡量回归方程整体的拟合度。R²越大，模型拟合效果越好^[11]。R²计算公式如式(9)所示，其中y_i为样本值，为拟合值，y为样本的平均值，n为数据个数。

(9)

根据测量值与模拟值，可分别得到C、M、Y和K的R²值，结果见表 7。其中C与M的拟合效果更好，确定系数均在0.9以上，黄色及黑色的拟合效果次之，但均在0.8以上。说明该模型在预测3D纸基表面亮度的应用中具有良好的可行性和有效性。
表7

表 7 R2表征四色拟合度 C M Y K R2 0.9115 0.9013 0.8747 0.8268

表 7 R2表征四色拟合度

根据公式(8)，任意选取纸基表面角度：17°、28°、33°、42°、48°、57°、62°，印制阶调由10%到100%，对纸基表面任意不同角度、不同阶调处的亮度值进行预测，结果与测量值进行对比，得到误差结果如表 8所示。由表 8可知，青、品、黄三色色块的亮度测量值与预测值差距较小，黑色色块差距相对较大，但均在期望值以内，平均误差为5.37。实验表明，可以快速准确地对任意角度3D纸基产品表面进行亮度预测。
表8

表 8 任意角度测量值与预测值对比 角度(°) C M Y K 实测 预测 Δ 实测 预测 Δ 实测 预测 Δ 实测 预测 Δ 17 62.31 59.48 2.83 59.27 57.47 1.80 66.15 66.26 -0.11 58.36 53.43 4.93 28 78.45 75.19 3.26 74.59 72.57 2.03 82.57 90.47 -7.9 74.48 70.01 4.47 33 83.27 80.27 3.00 82.20 81.48 0.72 91.47 98.29 -6.82 82.28 80.81 1.47 42 81.16 77.16 4.00 76.81 75.38 1.43 84.92 83.02 1.9 75.10 70.75 4.45 48 80.53 77.74 2.79 79.16 76.85 2.31 85.63 85.11 0.52 76.38 71.47 4.91 57 86.79 82.73 4.06 83.10 80.18 2.92 95.61 95.30 0.31 81.39 74.41 6.98 62 87.62 82.62 5.00 83.14 80.56 2.58 93.63 93.41 0.22 81.26 73.30 7.96

表 8 任意角度测量值与预测值对比

4 结论本文针对3D纸基模型表面亮度感知，构建了与纸基表面角度和表面阶调相关的亮度预测模型。根据设计的纸基模型表面角度测量支架，可以方便快捷地调整纸模表面以模拟3D纸基表面角度。同时利用四色原色阶调梯尺，在不同纸基表面角度下测量亮度的视感知。利用最小二乘法建立亮度与纸基表面角度、表面阶调的关系，并对模型进行检验。结果表明，本预测模型可以对3D纸模任意表面角度、任意阶调处做出快速准确的亮度预测，有助于推动全彩色3D纸基模型表面颜色信息预测与再现的研究与应用。

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