地磁导航定位技术主要分为以下3部分：根据预先采集的目标区域地磁场信息建立高精度地磁基准图；飞行器实时对地磁信息进行采集；将实时采集的磁测数据与制备好的地磁基准图进行匹配，从而确定飞行器实时位置及轨迹。因此，地磁基准图的构建精度对地磁匹配导航定位的精度起着决定性作用。
当前，地磁基准图的构建方法主要分为2类：①在现有的地磁场物理模型的基础上进行基准图的构建[7]；②根据实际测量的目标区域地磁场数据建模生成网格化的基准图[8]。常用的地磁场物理模型有国际地磁参考磁场(International Geomagnetic Reference Field, IGRF)和世界磁场模型(World Magnetic Model, WMM)，其主要针对地球的主磁场模型进行分析[9]。在实际情况中，局部地区的地磁场还主要受到地球内部异常场及日变等外部条件的影响。因此，在实测数据的基础上进行基准图的构建具有更高的精度[10]。现有基于实测数据的基准图构建方法主要是插值法，包括双三次插值、Kriging插值、基于粒子群优化算法(Particle Swam Optimization，PSO)的Kriging插值等[11]。基于插值的方法虽然能够有效地提高基准图的分辨率，但只能在变化较为平缓的区域取得理想的效果，难以恢复相邻实测点之间的高频信息。
因此，本文借鉴了图像处理领域中的图像超分辨率重建技术，通过对低分辨率的地磁基准图进行超分辨率重建，以提高地磁基准图的精度。超分辨率重建方法主要分为3类：基于插值的方法、基于模型重建的方法和基于学习的方法。基于插值的方法是在低分辨率图像的基础上利用各种插值函数计算出高分辨率图像每个像素点的像素值[12-15]。基于模型重建的方法是利用低分辨率图像作为先验信息构建出图像的特征结构从而进行重建[16-18]。基于学习的方法主要利用神经网络学习低分辨率图像，以及其相对应的高分辨率图像之间的图像边缘和纹理等高频特征映射关系[19-21]，一般以最小化均方误差作为优化目标，恢复出低分辨率图像中所欠缺的细节信息，从而达到超分辨率重建的目标。随着计算机技术的飞速发展，基于学习的方法尤其是深度学习算法逐渐展现出了在构建精度上面的优势。
为有效提高地磁基准图的构建精度，本文提出了基于卷积神经网络(CNN)的高精度地磁基准图构建方法。主要贡献如下：
1) 利用CNN实现地磁基准图的超分辨率重建，并将网络中的非线性映射层替换为了稀疏编码，利用基于学习阈值收缩算法(LISTA)实现了每个图像块的稀疏表示，有效提高了地磁基准图的构建精度。
2) 建立了多通道的网络模型，充分利用了地磁三分量的有效信息，实验证明对构建出的基准图的鲁棒性有了很大的提升。
3) 本文方法在各项客观评价指标中都优于现有的地磁基准图重建方法，同时具有较强的噪声抗干扰能力。
1 理论基础 1.1 地磁场模型 图 1为地磁参考场的特征图。地磁场模型主要包括7个分量，其中2个为角度分量，5个为幅值分量。若以地磁信号的观测点作为坐标原点建立三维坐标系，地磁场通常用地磁场三分量进行表示[4]。地磁场三分量定义3个指定方向的地磁场分量，方向为地理北向、地磁东向与垂直向下，并分别记作Bx、By、Bz。水平分量H通过Bx与By的矢量合成得到，表示总地磁矢量在水平面上的投影。地磁场矢量的绝对值称为总场强度Bf。2个角度分量为磁偏角和磁倾角。分量Bx与H之间的夹角定义为磁偏角D；Bf与H之间的夹角定义为磁倾角I。因此，地磁场的7个基本分量满足如下几何关系式：
 | (1) |
 | (2) |
 | (3) |
 | (4) |
 |
| 图 1 地磁参考场特征 Fig. 1 Features of geomagnetic reference field |
| 图选项 |
由式(1)~式(4)中的各分量关系可知，地磁场7个要素中只有3个是相互独立的。主要对Bx2、By2、Bz2 3个分量进行研究，最终利用计算得到的总场强度来评价本文方法的性能。
1.2 卷积神经网络 近年来，深度学习在图像超分辨率重建领域得到了巨大的发展，同时取得了相对于传统方法更好的实验结果。其中最具代表性的是Dong等[20]在2014年提出的利用CNN实现图像的超分辨率重建，利用3个卷积层实现低分辨率图像和高分辨率图像之间的映射关系，同时取得了比传统方法更高的重建精度。
CNN一般情况下由以下3个部分组成：输入层、隐藏层和输出层。输入层是将经过裁减、转换颜色空间等预处理步骤的图像输入网络。隐藏层包括卷积层、池化层和全连接层。其中，卷积层是通过卷积核对输入图像进行卷积运算得到多通道的特征图像，可以有效地增强输入图像的特征，降低噪声干扰。池化层可以减少网络参数，降低计算复杂度，同时保持图像的旋转不变性。全连接层采用softmax全连接，得到的激活值即网络提取的图像特征。输出层得到CNN输出的分类结果。在图像超分辨率重建中，CNN通过提取低分辨率(Low-Resolution, LR)图像的特征信息重建出高分辩率(High-Resolution, HR)图像，计算输入图像与目标图像之间的误差，不断调整参数使得HR图像更接近目标图像。
1.3 基于稀疏编码的图像超分辨率重建 在图像超分辨率重建中，LR图像一般由HR基准图经过模糊处理及下采样得到，如下：
 | (5) |
式中：B为模糊矩阵；S为下采样矩阵。
由式(5)可知，从LR图像中恢复HR图像是一个病态问题，即式(5)为一个欠定方程组，每一个图像Y都对应了无穷多个HR图像解。但在式(6)的约束条件下能够很好地解决这个问题。
首先，将HR图像X均匀分为多个图像块x，这些图像块可以通过字典Dh稀疏表示为
 | (6) |
式中：α为HR图像块x的稀疏系数；K为常数。
由于LR图像和对应的HR图像在一定的稀疏字典下有着相同的特征，可以通过训练得到LR稀疏字典及对应的HR字典, 使得LR图像与HR图像具有相同的稀疏系数[19]。LR图像能够被稀疏字典Dl表示为
 | (7) |
式中：F为LR图像的特征提取矩阵；ε表示对稀疏字典重建误差的约束；y为原始低分辨率图像；α0表示l0范数。由于图像中的高频细节部分是关注的重点，F的作用类似于一个高通滤波器，能够恢复出与原始图像足够相近的细节特征。由于式(7)中的问题是NP难问题，只要α足够稀疏，就能够使用l1范数来代替l0范数，方法如下:
 | (8) |
对式(8)进行正则化，转换后的表达式为
 | (9) |
式中：λ的作用是控制结果的稀疏程度和与原始信号的接近程度之间的权重比。
式(9)的问题能够使用凸优化的方法得到解决。通过式(9)得到最优的结果α*，则可生成HR图像块x=Dhα*。假设初始HR图像为X0，则该最终优化问题能够表示为
 | (10) |
1.4 稀疏编码的卷积神经网络实现 有很多****发现稀疏编码和卷积神经网络存在着十分密切的关系，文献[22]中提出，在给定稀疏字典Dl的情况下，利用一种前馈神经网络能够高效地近似得到输入图像的稀疏系数α，网络结构如图 2所示。图中：y为原始输入图像，权重矩阵W、T及收缩阈值θ都从数据中学习得到。该方法能够在有限的循环次数内通过不断更新得到最终的稀疏系数，迭代方法如下：
 | (11) |
 |
| 图 2 ISTA网络结构 Fig. 2 Structure of ISTA network |
| 图选项 |
式中：hθ为一个软阈值函数，[hθ(a)]i=sign(ai)(ai－θi)。
上述迭代阈值收缩算法(ISTA)的主要目标是找到网络参数与稀疏编码中的参数之间的解析关系，而文献[23]中利用反向传播方法直接从训练数据集中学习到所有的网络参数。通过这种方法能够在有限的循环次数内学习到足够近似的输入图像的稀疏系数，从而实现图像的超分辨率重建。
2 基于卷积神经网络的重建方法 受到CNN及稀疏编码在图像超分辨率重建中广泛应用的启发，提出了一种基于CNN的地磁基准图构建方法。首先，用矩谐分析理论对获取的地磁场信息进行建模及网格化，得到HR地磁基准图，同时下采样生成LR基准图，二者共同组成训练数据集和测试数据集；其次，用训练数据集对所提网络结构进行训练，以最小均方误差作为训练结束判据，从而得到最终CNN模型；最后，运用测试数据集进行超分辨率重建实验，验证该方法的有效性。
利用CNN实现稀疏编码的过程，既有效地训练了网络中各项参数，同时也充分利用了稀疏编码对信号的表示能力及抗噪能力，同时将地磁三分量看作图像的三原色，建立了多通道训练网络，有效提高了重建结果的鲁棒性。
2.1 数据集制备 由于现有地磁基准图构建方法是以插值法为主，并没有使用与卷积神经网络的现成地磁信息数据集。因此，利用矩谐分析法构建地磁数据集，用于后续网络模型的训练。由于实际测量得到的地磁信息较为分散且测量点之间的间距是不均匀的，需要先对测量区域的地磁场进行标准化建模，再将建立好的磁场模型进行网格化处理从而得到最终的地磁基准图。实际测量的地磁场信息可由式(12)进行分解：
 | (12) |
式中：BR为地磁剩余磁场值；B0为地磁场实测数据；BC为通过国际地磁参考场(IGRF)计算的理论值。通过式(12)可以获取目标区域的剩余磁场值。
在近年来的研究中，对地磁场的建模主要采用球谐分析(Spherical Harmonic Analysis, SHA)和矩谐分析(Rectangular Harmonic Analysis, RHA)[3]；由于本文研究的地磁场区域相对较小，地球曲率对模型的影响几乎可以忽略不计，选择使用矩谐分析理论进行目标区域地磁剩余场BR建模，具体步骤如下。
在一个没有磁场源的空间内，目标的具体位置可以利用拉普拉斯方程获取：
 | (13) |
式(13)的解可写成
 | (14) |
式中：
n=q－m+1；v=2π/Lx; w=2π/Ly; u=
将上述矩形区域的中心作为矩谐坐标系的坐标原点，则坐标范围为
 |
此时地磁三分量可以表示为
 | (15) |
式中：
 |
因此，总场强度可以表示为
 |
通过上述方法，可以建立地磁剩余场模型，同时获取精确的网格化数据，而后利用获取的网格化数据分解成大小为256×256的数据块，最终组成本文使用的数据集。
2.2 网络结构 由1.4节可知，通过LISTA网络能够有效地实现稀疏编码，因此可以通过直接建立一个多层的卷积神经网络来模拟稀疏编码图像超分辨率重建的过程。与大部分常用的方法类似，首先利用双三次插值对LR地磁基准图进行上采样得到网络的输入Ix，以保证与最终HR基准图大小相同。详细网络结构如图 3所示，下面将对每部分的具体功能进行详细介绍。
 |
| 图 3 本文网络模型整体结构 Fig. 3 Overall structure of the proposed network model |
| 图选项 |
第1层是图像特征提取层，通过一个卷积层从LR基准图中提取出每一个图像块的特征信息。此层可表示为
 | (16) |
式中：W1、Y和B1分别为权重矩阵、上采样后的输入基准图和偏置矩阵；F1为特征提取函数。
此处选择的激活函数为ReLU(max(0, x))。由于相对于自然图像地磁基准图有着更低的复杂度，选择大小为3×3的卷积核。相比于在文献[23](SRCNN) 中使用的9×9卷积核，能够在充分提取基准图有效特征的同时减少网络参数的数量，并且能够保证卷积后图像的大小不发生变化，有利于后续的处理。
在第2层中，每一个处理后的LR图像块都将进行有限次数的LISTA网络训练，从而得到其稀疏系数α及稀疏字典Dli(i=X, Y, Z)。
第3层可以看作一个线性映射层，将上一步获取的每个图像块与预先训练好的HR稀疏字典Dhi(i=X, Y, Z)相乘得到HR特征图像块。
最后是解卷积层，将训练好的HR图像块通过解卷积得到重建后的HR三分量地磁基准图，最终计算出总场基准图。
2.3 损失函数 训练本文网络的最终目的是使重建后的地磁基准图F(Yi; Θ)与对应的HR基准图X之间的误差最小，选择在图像超分辨率重建中最为常用的最小均方误差(Mean-Square Error, MSE)作为损失函数，其定义为
 | (17) |
式中：n代表训练样本的数量。
利用随机梯度下降法来最小化式(17)中的损失函数。
通过上文对于所提方法流程的具体阐述，构建出了完整的基于CNN和稀疏编码的地磁基准图构建方法，所提方法的整体流程图如图 4所示。
 |
| 图 4 本文方法流程 Fig. 4 Flowchart of the proposed method |
| 图选项 |
3 仿真结果和性能分析 3.1 实验环境及设置 实验中所用计算机型号为ThinkPad T460，CPU为Intel Core i5-6200U CPU @ 2.30 GHz，8 GB内存，深度学习框架为TensorFlow。
所使用实验数据集以美国地质调查局(United States Geological Survey，USGS)在2002年公布的北美地区地磁场异常数据作为基础，结合IGRF生成实验区域的地磁场模型，运用2.1节中的方法进行构建。同时采用了来自2009年东亚地区的地磁数据进行测试数据集的构建。在后续实验中比较了本文方法和多种得到广泛应用的地磁基准图构建方法及图像超分辨率重建方法在地磁基准图构建中的实际效果，包括双三次插值、PSO-Kriging插值，稀疏编码(SR)等。
首先，为方便后续处理，将所有地磁数据调整到[0, 255]范围内，具体方法如下：
 | (18) |
式中：ti为地磁基准图中的元素；tmax和tmin分别为所有地磁数据的最大值和最小值。
实验表明, 训练所用数据集的大小对于训练模型的效果有很大的影响。因此，对于数据集中的每个基准图进行以下操作：①按照系数0.6, 0.7，0.8, 0.9进行缩放；②旋转90°，180°，270°，再经过不重叠的裁剪最终得到12 000幅大小为128×128的训练基准图。网络权重采取高斯初始化的方式，在训练初期，将学习率设置为10－4，随着训练的进行，不断动态微调学习率，其最低可达到10－5，网络的权值衰减参数和动量分别为10－4和0.9。
3.2 重建效果对比 为验证生成的HR地磁基准图的质量，利用结构相似度(SSIM)、峰值信噪比(PSNR)和均方根误差(RMSE)作为评价指标，对通过式(1)计算得到的总场强度进行评价。
PSNR能够反映出2幅基准图对应坐标点磁场值之间的误差大小，其指标越高说明重建后的基准图与原始基准图越相近，重建精度越高。RMSE为均方根误差，即本文网络中所使用的损失函数，能够直观地表现出2幅基准图的整体误差大小，其值越小说明重建精度越高。SSIM为2幅基准图相似度的评价指标，主要用于表示图像中的结构信息，其值越接近于1，说明重建后的基准图与原图越相似，重建效果越好。
不同方法的基准图重建效果对比如图 5所示。可以看出，利用本文方法构建的HR基准图与原始图最为相近，且细节部分重建效果最好。
 |
| 图 5 4倍放大下地磁基准图重建效果对比 Fig. 5 Comparison of geomagnetic reference map reconstructed with magnification factor 4 |
| 图选项 |
从测试数据集中随机抽取了50张大小为128×128的地磁基准图，进行了2、3、4倍放大的超分辨率重建，最终结果取平均值，重建后基准图的PSNR、RMSE和SSIM指标如表 1~表 3所示。可以看出，各种指标及放大倍数下本文所提方法均优于其他方法，且放大倍数越大，优势越明显。
表 1 2倍放大下不同方法PSNR、SSIM和RMSE指标对比 Table 1 Comparison of PSNR, SSIM and RMSE of different methods with magnification factor 2
| 方法 | PSNR/dB | SSIM | RMSE/nT |
| 双三次插值 | 30.56 | 0.801 | 3.02 |
| 稀疏编码 | 31.51 | 0.835 | 3.82 |
| PSO-Kriging | 31.44 | 0.831 | 2.93 |
| 本文方法 | 31.67 | 0.847 | 2.77 |
表选项
表 2 3倍放大下不同方法PSNR、SSIM和RMSE指标对比 Table 2 Comparison of PSNR, SSIM and RMSE of different methods with magnification factor 3
| 方法 | PSNR/dB | SSIM | RMSE/nT |
| 双三次插值 | 27.66 | 0.571 | 8.19 |
| 稀疏编码 | 28.39 | 0.634 | 7.62 |
| PSO-Kriging | 28.18 | 0.623 | 7.88 |
| 本文方法 | 28.64 | 0.664 | 7.31 |
表选项
表 3 4倍放大倍数下不同方法PSNR、SSIM和RMSE指标对比 Table 3 Comparison of PSNR, SSIM and RMSE of different methods with magnification factor 4
| 方法 | PSNR/dB | SSIM | RMSE/nT |
| 双三次插值 | 25.13 | 0.446 | 15.47 |
| 稀疏编码 | 26.12 | 0.508 | 12.87 |
| PSO-Kriging | 25.99 | 0.501 | 13.45 |
| 本文方法 | 26.55 | 0.561 | 12.11 |
表选项
3.3 噪声鲁棒性分析 在上述实验过程中，一般都认为所使用的实验数据是没有噪声的，但在实际地磁场测量过程中，各种干扰会对测量结果产生很大的影响。因此，研究方法对于各种噪声的抗干扰能力具有重要意义。为验证本文基于CNN的基准图构建方法对噪声的鲁棒性，对测试数据集中的基准图在三分量方向分别加入不同等级的高斯白噪声，在3倍的基准图分辨率放大倍数下，噪声的标准差设置为5~20 nT。同时也使用了文献[20]中的SRCNN网络结构进行对比实验。实验结果如表 4~表 6所示。可以看出，本文方法对噪声的鲁棒性要优于其他方法。
表 4 不同噪声等级下各种方法PSNR值对比 Table 4 Comparison of PSNR of different methods under different noise levels
| 方法 | PSNR/dB | ||||
| σ=0 | σ=5 | σ=10 | σ=15 | σ=20 | |
| 稀疏编码 | 28.39 | 28.31 | 28.22 | 28.13 | 28.05 |
| SRCNN | 28.44 | 28.34 | 28.22 | 28.13 | 28.02 |
| PSO-Kriging | 28.18 | 28.09 | 28.01 | 27.94 | 27.85 |
| 本文方法 | 28.64 | 28.58 | 28.52 | 28.48 | 28.44 |
表选项
表 5 不同噪声等级下各种方法SSIM值对比 Table 5 Comparison of SSIM of different methods under different noise levels
| 方法 | SSIM | ||||
| σ=0 | σ=5 | σ=10 | σ=15 | σ=20 | |
| 稀疏编码 | 0.634 | 0.629 | 0.623 | 0.616 | 0.609 |
| SRCNN | 0.642 | 0.634 | 0.627 | 0.620 | 0.611 |
| PSO-Kriging | 0.623 | 0.614 | 0.606 | 0.599 | 0.589 |
| 本文方法 | 0.664 | 0.661 | 0.657 | 0.652 | 0.648 |
表选项
表 6 不同噪声等级下各种方法RMSE值对比 Table 6 Comparison of RMSE of different methods under different noise levels
| 方法 | RMSE/nT | ||||
| σ=0 | σ=5 | σ=10 | σ=15 | σ=20 | |
| 稀疏编码 | 7.62 | 7.69 | 7.77 | 7.84 | 7.92 |
| SRCNN | 7.45 | 7.58 | 7.69 | 7.78 | 7.89 |
| PSO-Kriging | 7.88 | 7.97 | 8.11 | 8.23 | 8.35 |
| 本文方法 | 7.31 | 7.37 | 7.42 | 7.47 | 7.55 |
表选项
4 结论 1) 为提高地磁基准图的构建精度，提出了一种基于CNN的地磁基准图构建方法，将传统CNN中的非线性映射部分替换为LISTA网络，对每个特征图像进行稀疏编码。实验证明, 相比于其他方法，基于CNN的基准图构建方法能有效提高重建的地磁基准图PSNR、SSIM等各项指标，体现出本文方法在地磁基准图构建中的优势。
2) 设计了三通道的CNN结构，分别对地磁场三分量信息进行训练，实验证明，当受到不同方向噪声攻击时，本文方法具有更好的鲁棒性，因此在实际地磁基准图构建中具有更好的效果。
在未来的研究中，将继续研究地磁场三分量之间的结构关系，从而进一步提高重建方法的鲁棒性，提高基准图构建精度，并将该方法应用到实际地磁基准图构建应用中。
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