针对MEMS陀螺仪随机漂移大的问题，国内外****采用了许多方法进行处理。文献[2]采用了数字低通滤波器，以滤掉高频噪声，但该滤波器需要根据经验设计，不适用于噪声频谱和信号频谱混叠的情况，且导航算法本身就是个积分过程，具有较强的高频噪声抑制能力[3]，在导航算法前端抑制高频噪声意义不大；文献[4]采用了小波去噪方法，通过稀疏冗余表示方法对小波系数进行了优化，但小波滤波中选择合适的阈值和小波基函数十分困难；文献[5]采用了一种先进的神经架构搜索循环神经网络(NAS-RNN)方法，但NAS算法所用的基本结构和模块依靠人工设计非常困难，计算量较大；采用时间序列模型结合卡尔曼滤波的方法[6]对MEMS陀螺仪进行误差补偿是最常用的方法，但滤波精度较低；文献[7-8]采用经验模态分解(Empirical Mode Decomposition, EMD)算法结合传统时间序列建模滤波法对陀螺仪进行误差补偿，虽然达到很好的滤波效果，但滤波过程中采用了多次高阶卡尔曼滤波，实时性较差。
针对以上问题，本文采用改进的EMD算法，将本征模态函数(IMF)分为3类，对混合IMF重构后再进行建模，只需一次滤波即可，并采用自适应卡尔曼滤波(AKF)对MEMS陀螺仪进行误差补偿，以有效提升陀螺仪使用精度和方法的实时性。
1 基于EMD的随机漂移分析方法 1.1 经验模态分解 EMD算法[9]依据数据自身的时间尺度特征来进行信号分解，特别适用于非线性非平稳信号的分析处理，其通过对信号的筛选，将原始信号x(t)分解成不同频率的IMF和一个余项之和，如式(1)所示，其中，各IMF分量反映原始信号不同时间尺度的局部特征，余项代表信号的变化趋势，也称趋势项。
 | (1) |
式中：fimfi表示第i个IMF；r为分解得到的余项；N为IMF的总数。
1.2 模态集合选择标准 经过EMD分解后的有限个IMF依次从高频到低频分布，前m个作为噪声主导IMF，直接剔除；第m+1~n个为噪声与信号混合IMF，需要进一步进行建模滤波处理；第n个之后为信号主导IMF，不需要处理。
1) m的确定
利用皮尔逊相关系数来确定m。皮尔逊相关系数可以用来衡量2个变量线性相关的程度，取值范围为[-1, 1]，其表达式为
 | (2) |
式中：X为MEMS陀螺仪原始信号；Yi为第i个IMF；ρXYi为X与Yi的相关系数。
一般情况下，通过表 1中取值范围判断变量间的相关程度。
表 1 相关程度判断标准 Table 1 Judgment criteria of correlation degree
| 相关系数 | 相关程度 |
| 0.8~1.0 | 极强相关 |
| 0.6~0.8 | 强相关 |
| 0.4~0.6 | 中度相关 |
| 0.2~0.4 | 弱相关 |
| 0~0.2 | 极弱相关或无相关 |
表选项
经EMD分解后的IMF中所含噪声越多，IMF与原始信号的相关系数越大。计算每个IMF分量与原始信号的相关系数值，如果在[0.2, 1.0]这一区间内，则认为模态函数为噪声主导的IMF，进而确定出m的值。
2) n的确定
利用自相关函数确定n。自相关函数是描述随机信号在任意不同时刻s、t的取值之间的相关程度，其定义式为
 | (3) |
式中：Y为IMF分量；RY为自相关函数。
白噪声的自相关函数是冲激函数，在零点处最大。根据这一特性，当IMF中信号成分占主导时，其自相关函数不是冲激函数，呈现出强相关性。再结合自相关函数的方差，可以确定出n的值。
根据m、n的值将IMF分为3类，并对混合IMF进行重构，表达式如下：
 | (4) |
1.3 时间序列模型 时间序列模型最常用的是自回归滑动平均(ARMA)模型[10-12]，对惯性仪表一般采用低阶的自回归(AR)模型。采用AR(p)模型对MEMS陀螺仪进行建模，其表达式为
 | (5) |
式中：x(n)为时间序列；ak为自回归系数；w(n)为零均值白噪声，其方差为时间序列的方差。
采用最终预报误差(FPE)准则、赤池信息准则(AIC)准则等确定AR(p)模型的阶次。
1.4 自适应卡尔曼滤波 AKF[13]在进行状态估计的同时还可以通过量测输出在线实时地估计系统的噪声参数[3]，从而提高滤波精度，抑制滤波发散。采用实际中最常用的也是比较有效的量测噪声方差阵自适应算法[3]，系统状态空间模型如下：
 | (6) |
式中：Xk为系统状态；Zk为量测量；Φk/k-1、Γk-1和Hk为已知的系统结构参数；Wk为系统噪声，均值为0，方差为Q；Vk为量测噪声，均值为0，方差未知，用R表示。
对量测噪声进行自适应处理的AKF方程如下：
 | (7) |
式中：
将滤波后的重构混合IMF、信号主导IMF和余项r再重构一次，得到最终的去噪信号，其表达式如下：
 | (8) |
式中：x′(t)为去噪信号；fimf′为滤波后的重构混合IMF。
2 实验与分析 实验采用BDST-MGI760-V1，内置MEMS陀螺仪(GRG20)，带宽80 Hz，量程300(°)/s，采样频率为100 Hz。
2.1 静态实验 将微型惯性测量单元放置在位于隔离地基上双轴转台恒温(25℃)箱内，取MEMS陀螺仪x轴作为测试对象，采集1.5 h，截取中间10万个数据作为静态测试数据。
对静态原始数据进行EMD分解，得到10个IMF信号和1个余项信号，如图 1所示，其中第1个为原始信号，最后1个为余项信号。
 |
| 图 1 EMD分解结果 Fig. 1 Empirical mode decomposition results |
| 图选项 |
确定m的值，计算各阶IMF的皮尔逊相关系数值，如表 2所示。从表 2中可以看出，随着IMF阶数升高，皮尔逊相关系数值越来越小，IMF1和IMF2的皮尔逊相关系数值位于[0.2, 1.0]这一区间内，则认为IMF1和IMF2为噪声主导的IMF分量，即m=2。
表 2 各阶IMF分量的相关系数值 Table 2 Correlation coefficient of each order of IMF
| IMF | 相关系数 | IMF | 相关系数 | |
| 1 | 0.961 8 | 6 | 0.011 4 | |
| 2 | 0.256 8 | 7 | 0.006 4 | |
| 3 | 0.077 8 | 8 | 0.003 8 | |
| 4 | 0.032 2 | 9 | 0.002 5 | |
| 5 | 0.014 5 | 10 | 0.002 9 |
表选项
确定n值，计算各阶IMF自相关函数，如图 2所示，各阶IMF自相关函数方差如表 3所示。从图 2中可以看出，前7阶IMF自相关函数在零点处最大，然后迅速衰减到0，从第8阶IMF开始，自相关函数呈现出明显的变化。结合方差阈值法，从第8阶开始，自相关函数方差大于0.001，可判断IMF3~IMF7为噪声与信号混合IMF，即n=7。
 |
| 图 2 各阶IMF自相关函数 Fig. 2 Autocorrelation function of each order of IMF |
| 图选项 |
表 3 各阶IMF自相关函数方差 Table 3 Variance of autocorrelation function of each order of IMF
| IMF | 方差 | IMF | 方差 | |
| 1 | 3.13×10-5 | 6 | 4.82×10-4 | |
| 2 | 2.72×10-5 | 7 | 0.001 0 | |
| 3 | 5.20×10-5 | 8 | 0.001 9 | |
| 4 | 1.09×10-4 | 9 | 0.004 5 | |
| 5 | 2.24×10-4 | 10 | 0.006 1 |
表选项
根据式(4)对噪声与信号混合IMF进行重构，并进行AR建模，各阶AR模型系数、FPE值、AIC值如表 4所示。由表 4可知，3阶AR模型AIC值最小，但相较于1阶、2阶AR模型相差不大，为减小计算量，增加实时性及工程实用性，仍然选择AR(1)模型对重构的混合IMF进行建模。
表 4 AR模型系数 Table 4 Coefficientof AR model
| 模型 | a1 | a2 | a3 | FPE | AIC |
| AR(1) | -0.935 1 | 0 | 0 | 3.693 6×10-4 | -5.065 9×105 |
| AR(2) | -1.750 0 | 0.870 8 | 0 | 8.927 3×10-5 | -6.485 9×105 |
| AR(3) | -2.353 0 | 2.083 3 | -0.692 0 | 4.644 4×10-5 | -7.139 4×105 |
表选项
根据建立的AR(1)模型，构建状态空间方程，对重构的混合IMF进行自适应卡尔曼滤波，并根据式(8)进行信号重构，得到最终的去噪信号, 如图 3所示。去噪前后方差分别为0.090 3和0.000 5，表明改进EMD-AKF方法有很好的去噪效果。
 |
| 图 3 改进EMD-AKF方法去噪结果 Fig. 3 Denoising result of improved EMD-AKF method |
| 图选项 |
2.2 分析比较 为验证本文方法的有效性，采用3种不同方法对静态原始数据进行处理，分别为：①ARMA修正法，对原始数据无偏处理和异常值剔除后进行建模与卡尔曼滤波补偿(KF)；②EMD分解后，对混合IMF的每一个分量进行建模与卡尔曼滤波(EMD-KF)；③改进方法(改进EMD-AKF)。
3种方法滤波结果如图 4所示。可以看出，相比于KF方法, EMD-KF方法和改进EMD-KF方法去噪效果有明显提升，表明经过EMD后进行建模比直接采用ARMA建模去噪效果更好；改进EMD-KF方法相比于EMD-KF方法去噪效果改善不是很明显，但EMD-KF方法需进行5次滤波，而改进EMD-AKF方法只需进行一次滤波就可达到去噪目的，极大提升了算法的实时性。
 |
| 图 4 不同方法去噪结果 Fig. 4 Denoising results of different methods |
| 图选项 |
采用Allan方差分析法[14-16]对MEMS陀螺仪原始数据和3种方法去噪结果进行对比分析。Allan方差双对数曲线如图 5所示，5项误差源系数如表 5所示。由表 5可得，使用3种方法都可使各误差项系数有不同程度的减小，且相比于其他方法，使用改进EMD-AKF方法去噪后，各误差项系数均最小。
 |
| 图 5 Allan方差曲线 Fig. 5 Allan variance curves |
| 图选项 |
表 5 Allan方差误差项对比分析 Table 5 Comparison analysis on Allan variance error terms
| 原始数据和方法 | 量化噪声/(°) | 角度随机游走/ ((°)·h | 零偏不稳定性/ ((°)·h-1) | 角速率游走/ ((°)·h | 速率斜坡/ ((°)·h-2) |
| 原始数据 | 77.996 1 | 1.371 4 | 95.828 5 | 261.649 9 | 203.768 0 |
| KF | 26.262 5 | 1.394 9 | 36.813 8 | 100.523 7 | 78.284 4 |
| EMD-KF | 6.527 1 | 0.577 5 | 46.413 7 | 122.321 9 | 94.460 9 |
| 改进EMD-AKF | 3.422 5 | 0.302 7 | 29.132 0 | 71.074 3 | 53.691 5 |
表选项
经改进EMD-AKF方法去噪后与原始信号相比，量化噪声下降了95.61%，角度随机游走下降了77.93%，零偏不稳定性下降了69.60%，角速率游走下降了72.84%，速率斜坡下降了73.65%，表明了改进EMD-AKF方法的有效性。
2.3 动态实验 将微型惯性测量单元放置在位于隔离地基上双轴转台恒温(25℃)箱内，采集转台分段匀速、变速下的MEMS陀螺仪x轴输出信号作为动态测试数据。动态原始数据、改进EMD-AKF方法去噪后的结果如图 6所示。
 |
| 图 6 动态数据去噪结果 Fig. 6 Denoising results of dynamic data |
| 图选项 |
从图 6中可以看出，动态数据滤波后达到较好的去噪效果，保持了原始信号的波形，其均方根值从0.492 4(°)/s下降到了0.266 1(°)/s。
3 结束语 近年来，MEMS陀螺仪的应用越来越广泛，但其随机误差较大，降噪处理可有效提升使用精度。将EMD算法分解得到的IMF分成噪声IMF、混合IMF及信号IMF三类，对混合IMF重构后进行建模与自适应卡尔曼滤波，通过重构得到最终去噪信号，与原始信号相比，角度随机游走下降了77.93%，零偏不稳定性下降了69.60%。通过实验验证了改进EMD-AKF方法的去噪效果更好，且相比于EMD-KF只需进行一次滤波即可，极大提升了方法的实时性，对实际的工程应用具有重要意义。
参考文献
| [1] | 沈强, 刘洁瑜, 赵乾, 等. MEMS陀螺阵列的RCC-OBE估计融合方法[J]. 北京航空航天大学学报, 2018, 44(11): 2373-2379. SHEN Q, LIU J Y, ZHAO Q, et al. RCC-OBE estimation fusion approach for MEMS gyro array[J]. Journal of Beijing University of Aeronautics and Astronautics, 2018, 44(11): 2373-2379. (in Chinese) |
| [2] | 田方澍. 基于多传感器的多旋翼无人机导航解算方法研究[D]. 哈尔滨: 哈尔滨工业大学, 2017: 38-55. TIAN F S. Research on navigation solution of multi-rotor UAV based on multiple sensors[D]. Harbin: Harbin Institute of Technology, 2017: 38-55(in Chinese). |
| [3] | 严恭敏, 邓瑀. 传统组合导航中的实用Kalman滤波技术评述[J]. 导航定位与授时, 2020, 7(2): 50-64. YAN G M, DENG Y. Review on practical Kalman filtering techniques in traditional integrated navigation system[J]. Navigation Positioning and Timing, 2020, 7(2): 50-64. (in Chinese) |
| [4] | SONG J L, SHI Z Y, DU B H, et al. MEMS gyroscope wavelet de-noising method based on redundancy and sparse representation[J]. Microelectronic Engineering, 2019, 217(9): 111112.1-111112.11. |
| [5] | ZHU Z S, BO Y M, JIANG C H, et al. A MEMS gyroscope noise suppressing method using neural architecture search neural network[J]. Mathematical Problems in Engineering, 2019(1): 1-9. |
| [6] | 刘孝博, 陈光武, 王迪, 等. MEMS陀螺仪漂移和噪声的分析和补偿[J]. 传感技术学报, 2018, 31(3): 368-373. LIU X B, CHEN G W, WANG D, et al. Analysis and compensation of drift and noise in MEMS gyroscope[J]. Chinese Journal of Sensors and Actuators, 2018, 31(3): 368-373. DOI:10.3969/j.issn.1004-1699.2018.03.009 (in Chinese) |
| [7] | 刘文涛, 刘洁瑜, 沈强. 光纤陀螺随机误差的集成建模及滤波处理[J]. 光电工程, 2018, 45(10): 53-61. LIU W T, LIU J Y, SHEN Q. Integrated modeling and filtering of fiber optic gyroscope's random errors[J]. Opto-Electronic Engineering, 2018, 45(10): 53-61. (in Chinese) |
| [8] | 杨菊花, 刘洋, 陈光武, 等. 基于改进EMD的微机械陀螺随机误差建模方法[J]. 仪器仪表学报, 2019, 40(12): 196-204. YANG J H, LIU Y, CHEN G W, et al. A modeling method for random errors of micromechanical gyroscope based on the improved EMD[J]. Chinese Journal of Scientific Instrument, 2019, 40(12): 196-204. (in Chinese) |
| [9] | 纪涛, 孙长库, 何晶晶, 等. MEMS惯性陀螺仪随机误差自适应补偿方法[J]. 电光与控制, 2020, 27(11): 97-100. JI T, SUN C K, HE J J, et al. Adaptive compensation method for random errors of MEMS inertial gyroscope[J]. Electronics Optics and Control, 2020, 27(11): 97-100. DOI:10.3969/j.issn.1671-637X.2020.11.019 (in Chinese) |
| [10] | 严恭敏, 李四海, 秦永元. 惯性仪器测试与数据分析[M]. 北京: 国防工业出版社, 2015: 92-94. YAN G M, LI S H, QIN Y Y. Inertial instrument test and data analysis[M]. Beijing: National Defense Industry Press, 2015: 92-94. (in Chinese) |
| [11] | 段志强, 刘洁瑜, 汪立新, 等. BPNN辅助KF的MEMS陀螺仪数据处理方法[J]. 压电与声光, 2020, 42(2): 284-288. DUAN Z Q, LIU J Y, WANG L X, et al. Research on data processing method of MEMS gyroscope based on BPNN assisted Kalman filter[J]. Piezoelectrics & Acoustooptics, 2020, 42(2): 284-288. (in Chinese) |
| [12] | 王可东, 武雨霞. 一种MEMS陀螺随机漂移的高精度建模方法[J]. 北京航空航天大学学报, 2016, 42(8): 1584-1592. WANG K D, WU Y X. An accurate modeling method for random drift of MEMS gyro[J]. Journal of Beijing University of Aeronautics and Astronautics, 2016, 42(8): 1584-1592. (in Chinese) |
| [13] | BAI Y T, WANG X Y, JIN X B, et al. Adaptive filtering for MEMS gyroscope with dynamic noise model[J]. ISA transactions, 2020, 101: 430-441. DOI:10.1016/j.isatra.2020.01.030 |
| [14] | 耿梦梦, 任元, 樊亚洪, 等.MSCSG随机误差测试及误差源分析[J/OL].北京航空航天大学学报, 2020(2020-07-28)[2020-12-01].https://doi.org/10.13700/j.bh.1001-5965.2020.0269. GENG M M, REN Y, FAN Y H, et al.Random error measurement and error source analysis of MSCSG[J/OL].Journal of Beijing University of Aeronautics and Astronautics, 2020(2020-07-28)[2020-12-01].https://doi.org/10.13700/j.bh.1001-5965.2020.0269 (in Chinese). |
| [15] | 李想, 汪立新, 沈强. 基于改进GM(1, 1)模型的激光陀螺仪随机误差预测[J]. 光学学报, 2020, 40(12): 42-49. LI X, WANG L X, SHENG Q. Prediction of the random error of a laser gyroscope using the modified GM(1, 1) model[J]. Acta Optica Sinica, 2020, 40(12): 42-49. (in Chinese) |
| [16] | 王新龙, 李娜. MEMS陀螺随机误差的建模与分析[J]. 北京航空航天大学学报, 2012, 38(2): 170-174. WANG X L, LI N. Error modeling and analysis for random drift of MEMS gyroscopes[J]. Journal of Beijing University of Aeronautics and Astronautics, 2012, 38(2): 170-174. (in Chinese) |
