文献[12]利用相位差及其变化率[12-15]实现对固定辐射源的定位，不需要观测时间的积累可以实现瞬时定位，但干涉仪测向需要解相位差模糊才能得到目标方位估计，在传统的干涉仪测相位差定位方法中，实现相位差解模糊至少需要3个天线阵元构成2组干涉仪，然而单基线干涉仪的长度大于半倍波长时无法实现相位差解模糊，需要采用多组天线接收通道以解相位模糊，因此设备系统构造复杂度高，体积质量大，而且对多个天线通道间的幅相一致性要求较高，工程实现难度较大。文献[16]仅测相位差变化率的被动定位方法通过逻辑判断和滤波方法可以消除相邻采样点相位差的模糊，得到修正的相位差序列，避免了解模糊运算，很好地克服了单站单基线干涉仪无法实现解相位模糊的弊端。然而由相位差变化率确定的测距曲线的差异性受观测平台运动姿态(即干涉仪基线指向)的影响，该方法对观测平台的机动要求高，单站平台做简单的匀速直线运动条件下定位效果不佳，需要在机动转弯的条件下才能取得较好的定位效果，而且该方法需要较长的观测时间，即单站平台运动足够长的距离，才能利用相位差变化率的差异性估计出目标的位置，导致定位收敛速度和定位精度降低。
本文构建的定位模型可以利用模糊的相位信息直接估计目标辐射源的位置，省去了解模糊的过程，而且降低了设备的复杂度和成本。单次测量得到的模糊相位差不能确定唯一的定位线，模糊范围由信号载波频率和基线长度确定，每个模糊数对应一个来波方向，最大模糊数越大，估计的来波方向越多。这种方法定位的思想是：通过空中观测平台的运动，一段时间内获得不同时刻的模糊相位差，确定相应的定位线，利用观测平台位置和运动方向的变化引起不同时刻定位线的差异，目标的位置处于所有时刻定位线的交点处，理论上通过多次观测可以估计出目标辐射源的位置。
1 基于相位信息的直接定位模型 空中观测平台在一段时间内接收固定辐射源发射的非合作信号，提取相应的信号参数，结合自身运动状态，建立目标与观测平台位置间的约束关系，从而对辐射源进行定位。考虑到空中运动观测平台对地面远距离固定辐射源定位的实际情况，由于观测平台与目标的水平距离远大于观测平台的飞行高度，本文将定位模型简化成二维定位模型，定位场景如图 1所示。假设观测平台上平行机身安装一组二阵元的一维单基线干涉仪，在一段观测时间内，干涉仪可多次测量来波方向的相位信息。
 |
| 图 1 相位观测下的定位模型示意图 Fig. 1 Schematic diagram of positioning model under phase observation |
| 图选项 |
空中观测平台的位置速度和姿态角信息可以从惯导系统或GPS系统中获取。假设目标辐射源T的位置状态为XTk=[xT, yT]T，观测时间t1~tn，在tk时刻，载机的位置状态为Xok=[xok, yok]T，速度为Vok=[vx, vy]T，辐射源方位角θk为辐射源和载机连线与X轴的夹角，基线指向角αk为基线C1C2指向与X轴的夹角。两者相对位置矢量为XTk-Xok=[xk, yk]T，二者之间的径向距离为
通过相位比较得到相位差测量值。理论的相位差为
 | (1) |
式中：f为辐射源的频率；d为基线长度；c为光速；
k时刻的相位差变化率由φk对时间求导得到
 | (2) |
k时刻相位信息观测矢量为
 | (3) |
式中：相位差的导数
文献[17]采用一种相位差误差检测的方法，遍历模糊数，得到对应的理论相位差与实际观测的模糊相位差作比较，将超过误差门限的模糊数对应来波方向剔除，大大减少了备选方位角的个数，降低了运算量，也在一定程度上提高了定位收敛的速度。对于本文的单基线定位模型，很难进行误差检测，若将所有可能的方位角作为初始方位，运算量较大，而且定位线多且密集，加之测量噪声的影响，在多次观测后可能会产生多个虚假位置点，进而导致不能准确定位，产生较大的定位误差。
为了解决这一问题，本文在利用模糊相位差定位的基础之上将相位差变化率作为定位另一重要参数。每次观测的相位差变化率对应一条定位线，2个参数的定位线具有明显的差异性，目标辐射源的位置一定在2个参数定位线的交点上，目标位置与2个参数的约束关系大大缩小了初始位置的范围，加快了定位的收敛速度，而且这种定位线的差异也减少了虚假点的个数，在一定程度上可以确保定位的成功率。测量的模糊相位差及相位差变化率参数中隐含着辐射源的方位和距离信息，通过一段时间的多次观测积累，采取适当的定位方法便可估算出辐射源所在的位置。
2 定位方法 2.1 方位多假设 模糊的相位差不能确定唯一的来波方向，但是当辐射源频率和基线长度已知时，模糊数的范围必然可以确定，而模糊数和来波方向是一一对应的，目标真实方位一定是其中之一。可以选择多个满足条件的模糊数对应的来波方向作为初始方位估计，如图 2所示。
 |
| 图 2 模糊相位差测向及定位原理 Fig. 2 Principle of direction finding and positioning based on fuzzy phase difference |
| 图选项 |
运动观测平台接收辐射源信号，tk时刻通过干涉仪测得模糊相位差为
 | (4) |
假设相位差模糊数集合{a}包含[-amax, amax]中的所有整数，则对应的方位角为
 | (5) |
式(5)表示干涉仪测向的基本原理，模糊方位集合{θk}与相位差模糊数集合{ak}为一一对应关系。
因为相位差模糊数范围由辐射源信号频率、基线长度决定，基线长度和信号频率越大，最大相位差模糊数越大, 测向过程中会出现越多的模糊来波方向。为了减少初始方位个数从而降低模型复杂度，可以先对辐射源大致方位进行粗估计，缩小初始探测范围。本文根据传统比幅测向获得的辐射源方位先验信息对模糊数范围进行约束。
2.2 相位差变化率测距 确定辐射源的方位和径向距离，可以唯一地确定辐射源的位置。本文利用相位差变化率对观测平台和辐射源间的距离进行估计。
由
 | (6) |
整理得tk时刻相位差变化率测距公式为
 | (7) |
可以看出，tk时刻目标的方位估计和距离估计也是一一对应的关系，第i个方位假设θki都可以通过式(7)得到唯一的径向距离Rki。
3 GS-EKF定位解算 3.1 GSF原理 高斯和滤波(GSF)[18-20]大多用于处理非线性、非高斯问题，能够克服粒子滤波(PF)计算复杂度大的缺陷，同时满足在导航、定位、跟踪中的实时性要求。实时性要求GSF的基本理论是：任意分布的概率密度函数都能用多个高斯分量累加近似表示。
 | (8) |
式中：λ为该高斯分量的权重，且
假设k-1时刻系统的后验概率密度为
 | (9) |
则k时刻系统的一步预测概率分布和后验分布分别为
 | (10) |
 | (11) |
3.2 定位解算 利用高斯和扩展卡尔曼滤波(GS-EKF)算法估计目标辐射源位置，需要先对辐射源探测范围初始化。
假设比幅测向体制下已知目标辐射源初始方位的先验信息为Ω，粗测向误差服从均值为0、方差为σΩ2的高斯分布。以[Ω-2σΩ, Ω+2σΩ]作为测向的初始范围，并以此计算初始测向范围对应的模糊数范围：
 | (12) |
将探测范围划分为N个区间，本文按规律选取部分方位假设为辐射源可能存在的方位。因为相位差测量噪声的存在导致方位估计偏离真实方位，目标可能存在探测范围内的任一方位，所以假设辐射源方位在N个区间内等概率分布。{a1+q, a1+2q, …, a1+nq}表示等间隔选取的N个模糊数，下标1+iq表示集合{a}中模糊数的位置，q为模糊数选取间隔。q的取值要合适，若间隔太小，区间数增加，计算量必然会大幅上升，如果选取所有的模糊方位，则相邻模糊方位差别很小，定位效果并不会明显提高；若间隔太大，选取的模糊数可能与真实模糊数偏差大，方位估计就会产生较大偏移，方法收敛结果较差。在N个区间内选择与模糊数对应的{θ1, θ2, …, θN}作为初始化方位假设，根据式(7)计算与方位假设相对应的{R1, R2, …, RN}。设模糊方位均方根误差为σθi，测距均方根误差为σRi，N个区间对应的目标分布区域作为N个高斯分布项，根据式(11)可知，所有高斯项的加权和表示辐射源位置分布的概率函数。通过EKF对每个高斯项量测更新系统状态和权值，进而获得辐射源位置状态估计。
3.2.1 初始化 初始化每个高斯项的均值、协方差和权值。
 | (13) |
 | (14) |
 | (15) |
式中:
 | (16) |
其中：σv2为速度误差方差；σf2为测频误差方差；σα2和σ2分别为基线指向角误差方差和基线指向角变化率误差方差。
3.2.2 滤波更新 利用EKF方法对每个高斯分量进行滤波。假设k-1时刻辐射源位置估计高斯形式表示为
 |
则k时刻第i个高斯项的状态、协方差和权值预测方程分别为
 | (17) |
 | (18) |
 | (19) |
式中：
相位差和相位差变化率的量测预测为
 | (20) |
式中：量测函数F(
量测误差(新息)为
 | (21) |
量测误差(新息)的协方差矩阵为
 | (22) |
式中：相位观测误差的协方差矩阵
滤波增益为
 | (23) |
由EKF算法可得k时刻各高斯项的状态、协方差和权值估计为
 | (24) |
 | (25) |
 | (26) |
式中：k时刻量测向量zk第i项的概率密度分布函数为
 | (27) |
其中：
因此，k时刻的辐射源位置估计值为各个子滤波器当前时刻输出结果的加权和：
 | (28) |
相应的k时刻状态协方差更新为
 | (29) |
3.2.3 高斯和降阶 高斯项数N的大小会影响运算的时间复杂度和滤波精度，N越大，计算越复杂，收敛时间越长，某些情况下难以达到实际工程的要求；N越小，算法不能很好地刻画系统实际概率密度分布情况，会产生较大的滤波误差。所以，适当选择高斯项的个数能够有效提高算法的性能。同时，为了解决迭代过程中高斯分量的增多而导致算法无法实现的问题，通常采用类伪贝叶斯的方法动态删减或合并高斯分量[21-23]。
本文采用的具体策略如下：
假设k时刻任意2个高斯项N(x; μi, Pi)和N(x; μj, Pj)，对应的权值分别为λi和λj，通过计算2个高斯项之间的“距离”作为合并的依据，定义两者“距离”的平方为
 | (30) |
设置最小权值阈值为λth，最大距离门限为dth，将相似性高的(即距离小于dth)高斯项进行合并，得到新的高斯分量，其均值、方差和权值更新为
 | (31) |
 | (32) |
 | (33) |
当某个高斯项权值小于λth，而且不能达到合并条件时，将其舍弃。
3.2.4 方法流程 本文方法的具体流程归纳如下：
步骤1方位多假设。将比幅测向范围设为初始探测方向范围，根据观测相位信息，获得初始化方位和距离估计。
步骤2 GS-EKF滤波。初始化高斯项均值、协方差和权值，每次获取新的观测值后，利用子滤波器迭代更新，利用式(28)更新位置估计。
步骤3删减与合并。根据式(30)对满足条件的高斯项进行合并，对权值小于λth的高斯项进行删减，返回步骤2直至定位结束。
步骤4结果输出。将滤波迭代相邻2次的定位径向距离差异作为定位结果选取的标准，径向距离差异最小时，输出辐射源位置估计值。
4 仿真分析 4.1 方法可行性验证
4.1.1 参数设置 假设空中观测平台以速度270 m/s向正东方向沿直线飞行，初始位置为(0，0)km，干涉仪基线平行于机身安装，基线长度10 m，地面固定辐射源位置(60，80)km，辐射源信号载频固定为6 GHz。观测平台的位置和航姿信息通过惯导和导航设备获取，数据采样率为0.5 s。相位差误差σφ=10°，相位差变化率误差
位均方根误差为1°，观测平台位置误差10 m，速度误差2 m/s，比幅粗测向误差标准差σΩ=5°，模糊数间隔q=9，初始化方位个数为6，λth=10-5，dth=3 km。
4.1.2 实验结果 图 3为利用本文方法对辐射源单次定位滤波迭代的高斯项最大权值和位置误差更新。可以看出，随着观测值的更新，接近辐射源真实位置的高斯项权值整体呈增加趋势，位置估计结果逐渐接近真实值。
 |
| 图 3 单次定位距离误差和权值更新 Fig. 3 Update of distance error and weightin a single positioning |
| 图选项 |
4.2 参数对方法的影响 假设相位差误差方差为10°，初始测向范围与上述一致，比较不同初始方位假设个数下的定位性能，如图 4所示，纵轴表示定位结果和辐射源真实位置的距离误差REP与辐射源和观测平台径向距离R的相对值。可以看出，初始时刻方位估计很少时，定位性能效果很差，因为每个高斯项初始探测范围过大，而目标的真实位置位于某个高斯项的一点，在误差存在的条件下，滤波难以消除虚假位置，所以，难以求出接近目标的位置估计。合理选择和划分初始探测方位，可以大幅度提高定位精度。
 |
| 图 4 不同初始化方位假设个数的定位性能 Fig. 4 Positioning performance under different number of initial orientation assumptions |
| 图选项 |
改变参数设置分析方法的性能，图 5和图 6分别为不同观测时间和不同速度下200次独立重复实验定位的结果。图中：红色虚线框表示的区域是以辐射源位置为中心、二维方向扩展10 km的范围。
 |
| 图 5 不同观测时间下的定位结果 Fig. 5 Positioning results at different observation time |
| 图选项 |
 |
| 图 6 不同速度下的定位结果 Fig. 6 Positioning results at different speeds |
| 图选项 |
图 5中，当观测时间为10 s时，多次定位的平均值偏差较大，只有少数结果位于虚线框内，定位效果不佳。随着观测时间延长，辐射源位置估计的平均值更接近真实位置，多次实验下定位结果更加集中，且无效定位的次数明显减少。
观测平台作直线运动，如图 6所示，当观测平台运动速度分别为100 m/s、200 m/s、300 m/s、400 m/s时，对比发现观测平台速度越大，平均定位精度越高，效果越好，尤其是当速度达到400 m/s左右时，定位结果非常集中，意味着定位的成功率更高。
延长观测时间和增大观测平台速度都会延长观测平台的飞行距离，因此，增大观测平台飞行距离能够有效提高方法的定位性能，这是因为前后观测平台位移越大，定位曲线的差异越明显，利于方法在迭代过程中排除虚假点，有效提高估计精度，定位结果的可信度更高。但是延长观测时间与定位收敛速度之间相互冲突，可以通过增大飞行速度提升定位性能。
4.3 方法性能对比 对比本文方法和仅利用模糊相位差定位2种方法的定位性能，通过100次蒙特卡罗重复实验统计相对定位误差(REP)。假设初始测向范围为40°，仿真结果如图 7所示。
 |
| 图 7 两种方法定位性能对比 Fig. 7 Comparison of positioning performance between two methods |
| 图选项 |
随着相位差误差的增加, 统计定位误差逐渐增大, 可以看出，在相同相位差测量噪声下, 本文定位精度更高；而且前者定位性能的好坏更受限于相位差误差，本文定位方法在相位差误差50°左右时，仍可以达到5%R的定位精度，说明增加相位差变化率可以有效弥补相位差测量精度较低时造成的定位误差大这一不足。
在初始参数设置情况下，仅改变相位差测量精度以5%R作为定位成功的指标，表 1和表 2比较了不同参数测量误差下的定位时间，“-”表示定位失败。
表 1 不同相位差误差下的定位时间(
| 方法 | 定位时间/s | |||
| 10° | 20° | 30° | 40° | |
| 仅测相位差 | 25 | 30 | 33 | 34 |
| 本文方法 | 18 | 18 | 20 | 21 |
表选项
表 2 不同相位差变化率误差下的定位时间(σφ=10(°)/s) Table 2 Positioning time under different phase difference change rate measurement errors (σφ=10(°)/s)
| 方法 | 定位时间/s | |||
| 0.3(°)/s | 0.5(°)/s | 1(°)/s | 2(°)/s | |
| 仅测相位差变化率 | 20 | 23 | — | — |
| 本文方法 | 16 | 18 | 25 | — |
表选项
通过对比表明, 当相位差误差在20°以内时，仅测相位差方法定位时间才可以满足30 s以内，而本文方法在相位差误差达到40°时，有效定位时间仍然在20 s左右，增强了定位的实时性。相较于仅测相位差变化率，本文方法在缩短了定位时间的同时，降低了仅利用相位差变化率定位对参数测量精度的要求。
5 结论 1) 针对一维长基线干涉仪无法解相位模糊的问题，本文仅利用二阵元单基线，无需解模糊，同时引入方位多假设的思想，将直接观测的模糊相位差及变化率作为定位参数，降低了对设备复杂度和成本的要求。
2) 利用模糊相位差及变化率对固定辐射源定位，减小了定位结果对单一定位参数误差的敏感度，具有一定的容错性。
3) 相位差及相位差变化率同时约束观测平台与辐射源位置的约束关系，减小滤波搜索初始范围；利用不同参数定位曲线的差异性，一定程度降低了对参数积累的要求，有效提高了定位精度和收敛速度。同时实验结果表明，延长飞行距离也可以改善方法的定位性能。
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