按照驱动能源对舵机分类，主要有液压舵机、气动舵机和电动舵机。近年来，直流电机控制技术的极大进步使得电动舵机越来越受欢迎，其效率高、可靠性好，具备低体积、质量轻、尺寸扭矩比小、功率高、扭矩密度大、成本低、易养护[1]的优点，同时电动舵机控制精度高、响应速度快，还能充分利用飞机电能，因此被越来越广泛地应用在各类导弹和无人机上[2-3]。
颤振作为一种危险的气动弹性失稳形式，极大地影响了导弹的飞行安全。大多数情况下的导弹颤振是由舵面的弯曲、扭转模态耦合引起的[4]，而舵面的弯曲、扭转模态特性在很大程度上与舵机动刚度相关。舵机动刚度指的是: 在舵机输出端产生单位转角需要施加的动态扭矩，反映了电动舵机给舵面提供的支撑刚度会随着外载荷的频率变化而变化的特性[5]，因此也被称为“复刚度”。在传统的舵面结构建模与颤振分析中，工程师通常将舵机简化成一个刚度为常数的弹簧支撑。近年来的研究发现，一些小型战术导弹所用的电动舵机动刚度对舵面颤振特性具有不可忽视的影响[6]。因此，电动舵机的精细化建模与动刚度仿真分析显得非常有必要。
舵机建模方面国内外已有许多工作，但是大多数的建模是从舵机的第一个特性即作为执行机构来考虑的，研究重点都放在了舵机的动力学响应及信号跟踪性能上[7-11]。当然，也不乏一些文献的研究内容有提及舵机的动刚度。气动伺服弹性领域的一些研究人员注意到舵机的动刚度对舵机舵面系统颤振特性存在影响以后，在舵机建模方面也做了一些工作。国外开展舵机动力学的研究工作起步较早且全面，最早的舵机模型是F-15战斗机项目中设计人员搭建的液压伺服舵机[12]，不考虑舵机的摩擦、间隙等非线性因素，利用线性作动器理论对液压伺服舵机动刚度特性进行了建模研究。Blaignan和Skormin[13]将线性作动器的动力学方程整合在控制系统中统一建模，通过改进控制律来提升舵机的刚度。当然，舵机内部和传动机构中还广泛存在间隙、摩擦和死区等非线性环节，这些环节对动刚度也有很大影响，因此后来的Thompson[14]和Ballesteros[15]等使用舵机的非线性微分方程来表示舵机模型，进而改进舵机刚度方面的表现。上述工作仅使用最精简的微分方程来描述舵机，舵机内部的精细结构未被体现。建模方面最经典的当属2007年韩国Shin等的[16]工作，其针对具有二级减速装置的电动舵机和舵面，逐级建立了考虑齿轮惯量的振动方程，并发现电动舵机的动力学特性会改变颤振边界。2011年，张新榃等[4]建立了电动伺服作动器的简单动力学模型。2016年，张仁嘉等[17]以某典型构型的电动伺服舵系统为对象，建立了电机、减速器和控制回路的模型，并考虑了零部件间隙和接触刚度2类非线性因素。
前人的工作仅针对某个具体类型的舵机，通常使用各类舵机的动力学微分方程来开展建模与分析，建模过程繁琐，方程之间往往存在耦合，联立求解过程复杂，未形成一个系统且可推广的一般性舵机建模方法，模型可靠性不易保证，也不便于直接获取舵机动刚度来进行气动伺服弹性分析。
为了解决上述问题，本文提出一种通用的、更便于进行舵机动刚度仿真的舵机建模方法。运用模块化思想，将舵机分解为具备核心功能的子模块，对子模块分别建立模型，详细考虑舵机中可能出现的主要非线性因素，根据子模块之间的连接情况来进行整体模型的搭建。利用该方法，本文针对包括直流电机、减速齿轮、滚珠丝杠-拨叉副等典型构型的一类电动舵机进行建模，同时提出了舵机动刚度的计算机数值模拟方法，研究了舵机主要参数及激励信号幅值对动刚度的影响规律。
1 系统结构 本文建模所选对象为某采用“直流电机-减速齿轮-滚珠丝杠-拨叉副”的典型结构的电动伺服舵机，舵系统的结构如图 1所示。图中: km为直流电机与齿轮减速器之间的连接刚度，kr为两级齿轮副之间的连接刚度，kz为齿轮减速器与滚珠丝杠-拔叉副传动机构之间的连接刚度。舵系统包括伺服舵机和全动舵面。舵机内包含两级齿轮减速器和滚珠丝杠-拨叉副传动机构。
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| 图 1 舵面-舵机系统结构示意图 Fig. 1 Schematic diagram of fin-actuator system structure |
| 图选项 |
2 建模方法 本文提出的电机模块化精细建模方法流程为：首先，考虑建模的目的；其次，确定所需建模的舵机类型；最后，依据舵机中元件的功能进行模块划分，对单独的模块进行动力学分析，并据此进行子模块建模和仿真，如有条件进行试验验证，则将理论模型的结果与试验结果进行比对进而调整子模块参数。子模块建模过程中，要注意梳理模块之间的输入输出关系，留出子模块之间连接的接口。全部模型建成后进行仿真与分析，根据一定的行业标准或依据试验结果对理论模型进行校检。
建模中需要注意的方面有：①子模块应具备独立的功能，参数容易修改，其性能可以独立验证；②模块输入输出关系明确，子模块之间留出彼此连接的接口；③划分子模块要尽可能考虑便于进行试验验证。
2.1 直流电机 直流电机将电能转化为机械能，通常永磁直流电机由电机本体、转子位置传感器和驱动电路构成[18]。本文建模忽略直流变交流的三相电磁场驱动细节，直接建立电流和输出力矩之间的关系，如图 2所示。
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| 图 2 直流电机示意图 Fig. 2 Schematic diagram of DC motor |
| 图选项 |
直流设线圈中电流为I，洛伦兹力为Tm，则它们之间的关系为
 | (1) |
式中：Km为力矩系数。
直流电机绕组电压平衡方程为
 | (2) |
式中：R为直流电机电阻；L为线圈电感；um为驱动电压；Ce为反电动势系数；KI为电流反馈系数；θ0为电机轴的转角；t为时间变量。
电机转子的动力学方程为
 | (3) |
式中：Jm为转子的转动惯量；bm为转子的黏性阻尼系数；T0为电机轴受到的负载力矩，其正负号定义为与θ0同向为正。
利用模块化建模方法，将描述直流电机子模块的方程(1)~(3)用控制系统框图的形式表示，如图 3所示。该子模块如图 4所示，其输入为驱动电压um和电机轴负载力矩T0，输出为电机轴转角θ0。
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| 图 3 直流电机子模块模型 Fig. 3 Model of DC motor submodule |
| 图选项 |
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| 图 4 直流电机子模块简图 Fig. 4 Simplified diagram of DC motor submodule |
| 图选项 |
2.2 减速器与传动机构 直流电机输出轴与一级齿轮减速器相连，需要注意电机与减速器之间存在连接刚度km。齿轮减速器之后，通过滚珠丝杠将旋转运动转化为直线运动，再由拨叉将直线运动转化为驱使舵面旋转的运动。减速器与传动机构的动力学建模方法为：将其内部传动部件合理等效为一个多自由度质量-阻尼-弹簧系统。
2.2.1 齿轮副 首先考虑齿轮减速器的动力学模型，如图 5所示。分别对1、2两个齿轮列写方程为
 | (4) |
 | (5) |
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| 图 5 齿轮受力图 Fig. 5 Force diagram of gears |
| 图选项 |
式中：θ1和θ2为齿轮的转角；J1和J2为齿轮的转动惯量；b1和b2为齿轮的黏性阻尼系数；T1、T2分别为作用于齿轮1、2的外力矩；r1和r2为齿轮的半径；F为齿轮1、2之间的作用力。这里考虑齿轮的啮合刚度，记其为kg，则有以下关系：
 | (6) |
利用模块化建模方法，将描述一级齿轮副子模块的方程(4)~(6)用控制系统框图的形式表示，如图 6所示。该子模块的简图如图 7所示，其输入为主动轮所受驱动力矩T1和从动轮所受来自下级机构的力矩T2，输出为主动轮转角θ1和从动轮转角θ2。
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| 图 6 一级齿轮减速器模型 Fig. 6 Model of the first gear reducer |
| 图选项 |
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| 图 7 一级齿轮减速器子模块简图 Fig. 7 Simplified diagram of the first gear reducer submodule |
| 图选项 |
对于多级减速齿轮相连接的舵机，减速齿轮子模块可以多次重复利用，每次使用只需修改其中参数。例如两级齿轮副之间相连，设它们之间的连接刚度为kr，第2级齿轮副中齿轮1、2受到的外力矩分别为T3和T4，其转角分别为θ3和θ4，则有
 | (7) |
两级齿轮减速器的模型可以表示为图 8，该子模块的简图如图 9所示，输入为T1和T4，输出为θ1和θ4。
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| 图 8 两级齿轮减速器模型 Fig. 8 Model of two-stage gear reducer |
| 图选项 |
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| 图 9 两级齿轮减速器子模块简图 Fig. 9 Simplified diagram of two-stage gear reducer submodule |
| 图选项 |
2.2.2 滚珠丝杠-拨叉副 滚珠丝杠-拔叉副模型比较特殊，首先是因为这个子模块是将旋转运动转化为直线运动，再转化为旋转运动，因此滚珠丝杠-拔叉副的受力比较复杂；其次，滚珠丝杠-拔叉副是最靠近舵机输出轴的部件，因此滚珠丝杠-拔叉副的动力学特性会对整个舵机的动刚度产生巨大影响；最后，对舵机的准确建模需要考虑舵机内部的非线性因素，如间隙、摩擦、接触刚度等，这些非线性因素在舵机中广泛存在，在滚珠丝杠-拨叉副到输出轴这部分中更为明显，对动刚度影响更大。
非线性因素会降低控制精度，甚至造成系统的不稳定，因此有必要对其进行建模，进而才能分析明确其影响。本文选择将接触刚度和间隙综合在滚珠丝杠-拔叉副处进行考虑，因为滚珠丝杆-拔叉副处的传动间隙比较大，且这一类点-面接触最易产生变形[17]，其接触刚度的特性也最明显。在减速器输出轴与舵面对接处考虑摩擦的影响。
综上，滚珠丝杠-拨叉副子模块最为复杂，需要考虑多个方面的影响，建模中才能尽可能接近实际结构的特性。
对于图 10所示的滚珠丝杠-拨叉副传动机构，设滚珠丝杠转动惯量为Jsg，其动力学方程为
 | (8) |
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| 图 10 滚珠丝杠-拨叉副模型示意图 Fig. 10 Schematic diagram of ball screw-fork pair model |
| 图选项 |
式中：θ5为滚珠丝杠的旋转角位移；b5为滚珠丝杠的黏性阻尼系数；λ为滚珠丝杠的螺旋角；rsg为滚珠丝杠的半径；η为滚珠丝杠的效率；k3为滚珠丝杠拉压与滚珠丝杠接触的综合刚度；xn为螺母的位移；xf为拨叉的位移；|Δx|为螺母和拨叉在滚珠丝杠轴线上的位移差；dfp为间隙半宽度；Lbc为拨叉的长度；Td为拨叉输出的力矩；δ为舵机输出轴的旋转角度。
接触模型采用文献[19]中的模型，滚珠丝杠-滚珠-螺母副的轴向接触刚度kc和F之间的关系通常表示为
 | (9) |
式中：K为轴向接触变形系数，与结构形式和材料有关。
滚珠丝杠拉压刚度为kten，则滚珠丝杠-滚珠-螺母副中滚珠丝杠拉压与滚珠丝杠接触的综合刚度k3为
 | (10) |
本文使用的间隙模型比较常规，通过间隙，拨叉给舵轴的输出力矩为
 | (11) |
利用模块化建模方法，将描述滚珠丝杠-拨叉副子模块的方程(8)~(11)用控制系统框图的形式表示，如图 11所示。该子模块的简图如图 12所示，其输入为减速器传递给滚珠丝杠的力矩T5和舵轴转角δ，输出为滚珠丝杠转角θ5和传递给舵轴的力矩Td。
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| 图 11 滚珠丝杠-拨叉副模型 Fig. 11 Model of ball screw-fork pair |
| 图选项 |
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| 图 12 滚珠丝杠-拨叉副子模块简图 Fig. 12 Simplified diagram of ball screw-fork pair submodule |
| 图选项 |
将两级齿轮减速器与滚珠丝杠-拨叉副传动机构连接起来，二者之间连接刚度为kz，有以下关系：
 | (12) |
减速器与滚珠丝杠-螺母-拨叉副传动机构的模型可以表示成如图 13的形式，该子模块的简图如图 14所示，输入为T1和δ，输出为θ1和Td。
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| 图 13 减速器与传动机构模型 Fig. 13 Model of reducer and transmission mechanism |
| 图选项 |
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| 图 14 减速器与传动机构子模块简图 Fig. 14 Simplified diagram of reducer and transmissionmechanism submodule |
| 图选项 |
2.2.3 输出轴 通常情况下，舵机输出轴与舵面相连，驱动舵面进行偏转。舵机的动刚度就是在指令信号不变时，舵机能够提供给舵面抵抗外部干扰力矩的能力，因此舵机的动刚度等于舵轴受到的来自舵面的干扰力矩与舵轴因此产生的偏转角之比。研究发现，舵机的刚度与干扰力矩的频率有关，且舵轴与舵面连接部位的摩擦不容忽视。
在舵机实际作动过程中，间隙与摩擦通常是交联发生，相互影响，同时带有间隙和摩擦的非线性称为迟滞非线性，不同的摩擦状态会让间隙产生非理想的特征状态，表现出复合的非线性特性[20]。理论上也可用当量线化方法进行处理，此时，除计算出当量刚度系数之外，还要计算出当量阻尼系数。本文采用的模块化建模方式将间隙和摩擦分别作为子模块进行建模，再根据舵机内部间隙和摩擦分布的主要位置来添加相应的子模块。
实践表明，采用简单的库伦摩擦和黏性摩擦作为摩擦模型，其效果并不理想。目前，已经提出的摩擦模型有很多，其中，LuGre摩擦模型能够准确地描述摩擦过程的复杂动态、静态特性，因此采用LuGre摩擦模型[21]。该模型通过用2个接触面间模拟弹性硬毛的平均偏移来表征摩擦力的动态行为。假设2个刚体表面通过弹性硬毛接触，摩擦力由于硬毛在有外力时发生弹性变形而产生。
LuGre摩擦模型可以描述如下。
对于一般的伺服系统，其微分方程为
 | (13) |
式中：J为转动惯量；u为控制力矩；Tf为摩擦力矩。设状态变量z代表接触面弹性硬毛的平均变形，则Tf可由下面的LuGre摩擦模型来描述：
 | (14) |
式中：σ0和σ1为动态摩擦参数；Fc、Fs和σ2为静态摩擦参数，Fc为库伦摩擦系数，Fs为静摩擦系数，σ2为黏性摩擦系数；Vs为切换速度；
LuGre摩擦模型综合考虑了库伦和黏性摩擦、Stribeck效应及静态特性，其模型简图如图 15所示。将LuGre摩擦模型封装成子模块，使用本舵机的变量描述摩擦模型，其简图如图 16所示。
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| 图 15 LuGre摩擦模型原理 Fig. 15 Schematic diagram of LuGre friction model |
| 图选项 |
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| 图 16 LuGre摩擦子模块简图 Fig. 16 Simplified diagram of LuGre friction submodule |
| 图选项 |
设舵机输出轴转动惯量为Jshaft，受到来自拨叉的驱动力矩Td，摩擦力矩Tf，以及来自舵面的干扰力矩Tfin，其动力学方程为
 | (15) |
利用模块化建模方法，将描述输出轴子模块的方程(15)用控制系统框图的形式表示，如图 17所示。该子模块的简图如图 18所示，其输入为传动机构传递给舵轴的力矩Td和来自舵面的干扰力矩Tfin，输出为舵轴转角δ。
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| 图 17 输出轴模型 Fig. 17 Model of output shaft |
| 图选项 |
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| 图 18 输出轴子模块简图 Fig. 18 Simplified diagram of output shaft submodule |
| 图选项 |
2.3 传感器与控制器 舵面偏转角通常使用角位移计来测量，将测得的角度数据反馈给控制器，控制器使用指令信号与舵面实际偏转角之间的误差来进行控制。传感器的传递函数通常可以近似为一个常数增益，如果考虑传感器的特性，可以使用二阶环节描述：
 | (16) |
式中：ω为传感器的固有频率；ξ为传感器的阻尼比。
控制器的作用是调节输入信号，使得舵机输出信号能够跟踪指令信号。常规舵机系统为闭环系统，其控制器通常包括放大、滤波和PID控制。PID控制的原理如图 19所示，δcmd为指令信号。
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| 图 19 PID控制原理框图 Fig. 19 Schematic diagram of PID control strategy |
| 图选项 |
舵机常用的PID控制策略，通过调节Kp、Ki和Kd 3个参数，使舵机具有很好的特性。当然，随着控制理论的发展，针对不同的舵机及其需求，控制器还可能使用H∞控制器、模糊控制器、PID结合智能控制器、反馈PID结合前馈控制等，更换控制策略只需要对控制器子模块进行修改即可。
2.4 电动舵机模型总成 至此，将直流电机、减速器与传动机构、输出轴、控制器、传感器各个子模块连接起来，可以得到电动舵机的整体模型如图 20所示。电动舵机的输入输出关系如图 21所示，其输入为指令角δcmd和来自舵面的干扰力矩Tfin，输出为舵轴转角δ。
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| 图 20 电动舵机模型 Fig. 20 Model of electromechanical actuator |
| 图选项 |
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| 图 21 电动舵机简图 Fig. 21 Simplified diagram of electromechanical actuator |
| 图选项 |
需要注意的是，当δcmd为常数时，以Tfin为输入，δ为输出的传递函数为舵机的动柔度，表示单位外部扭矩作用下，舵机输出轴产生的转角。动刚度即为动柔度的倒数。
3 舵机建模仿真与分析 为了验证建模的精确性和有效性，本文基于Simulink搭建了模型并对其进行数值仿真与分析。本文建模主要是为了获取舵机的动刚度，当然也不能忽视舵机的信号跟踪特性。考察舵机的信号跟踪特性时，使用的激励信号一般为阶跃信号，评价响应信号的主要指标是稳定性、快速性及准确性。理论上获取舵机动刚度的思路是：保持指令角不变，对舵机输出轴施加正弦力矩激励，同时采集激励力矩的大小以及舵轴的响应，用得到的激励和响应作频响分析，从而计算出动刚度的幅值和相位。试验中获取动刚度受限于器材及装置等，需要进行一些调整，在此不进行阐述。
本节使用第2节搭建好的舵机模型来仿真计算动刚度，舵机的各项参数如表 1[6, 22]所示，表中接触刚度kc、间隙半宽度dpf、库伦摩擦系数Fc、静摩擦系数Fs、切换速度Vs、黏性阻尼系数σ2、动态摩擦参数σ0和σ1为非线性子模块参数。
表 1 舵机仿真参数[6, 22] Table 1 Simulation parameters of actuator[6, 22]
| 参数 | 数值 |
| 电感L/mH | 6.53×10-4 |
| 电阻R/Ω | 1.1 |
| 力矩系数Km/(N·m·A-1) | 0.024 |
| 反电动势系数Ce/(V·s·rad-1) | 0.034 |
| 电机转子转动惯量Jm/(kg·m2) | 1.09×10-6 |
| 电机转子黏性阻尼系数bm | 0.003 |
| 电机与减速器连接刚度km/(N·m·rad-1) | 1 000 |
| 小齿轮转动惯量J1/(kg·m2) | 2.4×10-8 |
| 大齿轮转动惯量J2/(kg·m2) | 4×10-6 |
| 小齿轮半径r1/m | 0.005 |
| 大齿轮半径r2/m | 0.022 5 |
| 齿轮啮合刚度kg/(kg·s2·rad-1) | 108 |
| 齿轮与传动机构连接刚度kz/(N·m·rad-1) | 1 000 |
| 滚珠丝杠转动惯量Jsg/(kg·m2) | 1.12×10-5 |
| 滚珠丝杠螺旋角λ/(°) | 6.06 |
| 滚珠丝杠半径rsg/m | 0.006 |
| 滚珠丝杠效率η | 0.85 |
| 拨叉长度Lbc/m | 0.028 5 |
| 输出轴转动惯量Jshaft/(kg·m2) | 4.1×10-5 |
| 接触刚度Kjc | 6×10-6 |
| 间隙半宽度dfp/rad | 0.000 5 |
| 库伦摩擦参数Fc/N | 1 |
| 静摩擦系数Fs/N | 1.5 |
| 动态摩擦参数σ0/(N·s·m-1) | 105 |
| 切换速度Vs/(m·s-1) | 0.001 |
| 动态摩擦参数σ1/(N·s·m-1) | 316.23 |
| 黏性阻尼参数σ2/(N·s·m-1) | 0.4 |
表选项
3.1 电动舵机输入输出特性 给舵机施加指令信号为0°~1°的阶跃指令，系统指令信号与响应对比如图 22所示，可看出该舵机的信号跟踪性能符合要求。
 |
| 图 22 舵机模型指令信号与响应对比 Fig. 22 Comparison of command signal and response of actuator model |
| 图选项 |
3.2 动刚度数值仿真方法 工程中常用的舵机激励信号为步进正弦扫频信号。舵机指令角为0，使用步进正弦扫频形式的力矩信号对舵轴进行激励，采集舵轴转角的响应，进行数据处理，即可得到舵机动刚度。
步进正弦激励信号的构建方法为：在选定的频率范围内，频率按步长由低到高递增，依次发出等幅值的正弦信号，并且信号在每个频率点持续一定的时间。步进正弦扫频信号能量较强，可以完整地激发出所有模态，很大程度上避免了信息遗漏，具有一定的去噪作用[23]，其缺点是耗时较长。
将第i个频率点记作ωi，设此时激励信号为xi(t)，响应信号为yi(t)(T1 < t < T2)。为了消除响应信号中的定常分量，对yi(t)作零均值处理。假设有n个采样点yi(t1), yi(t2), …, yi(tn)，则进行如下处理：
 | (17) |
由于激励信号为给定的步进正弦函数，即
 | (18) |
式中：a为激励信号的幅值; ωi为激励信号的第i个频率。由于系统为线性，根据线性系统原理，系统的输出也为正弦函数，即
 | (19) |
式中: Ai为输出信号的幅值；?i为输出信号相对输入信号的相位差。
将式(19)展开即为
 | (20) |
对于n个采样点，由式(20)即可列出如下方程：
 | (21) |
式(21)为过定方程，简写为如下形式：
 | (22) |
式中: K为矩阵
该解过定方程的方法为最小二乘法，解为
 | (23) |
由此可得对应频率ωi的频响函数为
 | (24) |
式中：u1为G(jωi)的实部；u2为G(jωi)的虚部; Ai和?i分别为频率响应函数在频率ωi下的幅值和相位。G(jωi)的倒数即为动刚度。
3.2.1 线性舵机响应及动刚度仿真 本文所讨论的舵机与其支撑的舵面组合的舵系统前2阶模态频率在40~90 Hz范围内，因此本文所讨论的舵机动刚度频率范围选为20~100 Hz。
对于线性舵机，选取步进正弦扫频激励力矩信号低频段中在43~44.5 Hz之间的部分，力矩幅值为10 N·m，如图 23所示，在此信号激励下，舵机输出轴的旋转角响应如图 24所示。
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| 图 23 步进正弦扫频信号(43~44.5 Hz) Fig. 23 Step sine sweep signal (43~44.5 Hz) |
| 图选项 |
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| 图 24 线性航机输出轴的响应(43~44.5 Hz) Fig. 24 Response of linear actuator output shaft (43~44.5 Hz) |
| 图选项 |
再选取步进正弦扫频激励力矩信号高频段中在98~99.5 Hz之间的部分，力矩幅值为10 N·m，如图 25所示，在此信号激励下，舵机输出轴的旋转角响应如图 26所示。
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| 图 25 步进正弦扫频信号(98~99.5 Hz) Fig. 25 Step sine sweep signal (98~99.5 Hz) |
| 图选项 |
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| 图 26 线性航机输出轴的响应(98~99.5 Hz) Fig. 26 Response of linear actuator output shaft (98~99.5 Hz) |
| 图选项 |
可以看出，当舵机为线性时，激励信号与响应信号形状十分相近，每个频率点处的信号均为正弦函数。
使用本节介绍的方法计算线性舵机的动刚度，如图 27所示，图中激励力矩幅值为5、10、20 N·m。可以看出，线性舵机具备线性系统的特性，其输入输出的比值与输入信号的幅值大小无关，即频响特性是不变的。
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| 图 27 线性舵机的动刚度 Fig. 27 Dynamic stiffness of linear actuator |
| 图选项 |
3.2.2 非线性舵机响应及动刚度仿真 非线性舵机中包含接触刚度、间隙及摩擦子模块，选取步进正弦扫频激励信号低频段中在43~44.5 Hz之间的部分，力矩幅值为10 N·m，如图 23所示。在此信号激励下，非线性舵机输出轴响应如图 28所示。
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| 图 28 非线性舵机输出轴的响应(43~44.5 Hz) Fig. 28 Response of nonlinear actuator outputshaft (43~44.5 Hz) |
| 图选项 |
再选取步进正弦扫频激励信号高频段中在98~99.5 Hz之间的部分，力矩幅值为10 N·m，如图 25所示。在此信号激励下，非线性舵机输出轴的响应如图 29所示。可知，当舵机包含各种非线性模块时，其响应信号与激励信号形状并不相近，响应信号中存在高阶谐波以及毛刺，边界存在不规则的突变和运动。
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| 图 29 非线性舵机输出轴的响应(98~99.5 Hz) Fig. 29 Response of nonlinear actuator outputshaft (98~99.5 Hz) |
| 图选项 |
使用本节介绍的方法计算非线性舵机的动刚度，如图 30所示。可知，当激励幅值发生变化，舵机的动刚度也会改变，这一特性区别于线性舵机。因此，本文提出的动刚度仿真方法可以用于辨别舵机中是否存在非线性因素。
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| 图 30 非线性舵机的动刚度 Fig. 30 Dynamic stiffness of nonlinear actuator |
| 图选项 |
3.3 舵机动刚度数值仿真
3.3.1 线性舵机动刚度影响因素分析 为了研究对舵机动刚度存在影响的因素，在表 1所示舵机参数的基础上，对每个线性参数进行变参分析，分析各个参数的变化对舵机动刚度曲线的影响规律。这样做的目的在于：找出核心的几个影响参数，从而指导舵机的建模，获取更为精确的舵机动刚度，同时便于根据试验数据对舵机模型进行修正。变参分析需要对每一变量在表 1所示标称值的基础上分别乘以系数0.5和2，画出标称及变参后的曲线进行对比，根据动刚度幅值和相位的变化量进行定性评判[23]。
变参结果如表 2所示。表中：“↑”表示舵机动刚度的幅值或相位与该参数呈现正相关，“↓”表示负相关，“—”表示趋势不明显。
表 2 舵机参数对动刚度的影响 Table 2 Influence of actuator parameters on dynamic stiffness
| 参数 | 影响程度 | 幅值关系 | 相位关系 |
| 线圈电感 | 小 | ↓ | — |
| 电阻 | 小 | ↑ | — |
| 力矩系数 | 大 | — | — |
| 反电动势系数 | 很小 | — | — |
| 电机转子转动惯量 | 大 | ↓ | ↓ |
| 电机转子黏性阻尼系数 | 大 | ↓ | ↑ |
| 小齿轮转动惯量 | 很小 | — | — |
| 大齿轮转动惯量 | 很小 | — | — |
| 小齿轮半径 | 大 | ↑ | ↑ |
| 大齿轮半径 | 大 | ↓ | ↓ |
| 齿轮啮合刚度 | 很小 | — | — |
| 齿轮与传动机构连接刚度 | 很小 | ↑ | — |
| 滚珠丝杠转动惯量 | 小 | ↓ | ↓ |
| 滚珠丝杠半径 | 大 | ↑ | ↑ |
| 滚珠丝杠效率 | 大 | ↓ | ↓ |
| 拨叉长度 | 很大 | ↑ | ↓ |
| 输出轴滚珠惯量 | 小 | ↓ | ↑ |
| 输出轴阻尼 | 很大 | ↑ | ↑ |
表选项
由表 2中结果可以看出，减速器内的部件惯量对舵机动刚度的影响普遍不大，而各部件的尺寸影响较大，这意味着减速器的传动比可以在很大程度上改变舵机整体的动刚度。动刚度也与转子阻尼和输出轴处的阻尼大小十分相关。从位置上来看，越是靠近舵机输出端的部件参数，对舵机动刚度的影响就越大，此结论与文献[23]中的结论是一致的。因此当需要对舵机进行建模来获取动刚度时，有必要利用高精度的测量仪器或做实验来确定表 2中影响程度为“大”和“很大”参数的精确值。
在这里用影响程度分别为很小、小、大、很大的反电动势系数、线圈电感、滚珠丝杠半径、拨叉长度变参结果作为示意，如图 31~图 34所示。
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| 图 31 反电动势系数对动刚度的影响 Fig. 31 Influence of back EMF coefficient on dynamic stiffness |
| 图选项 |
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| 图 32 线圈电感对动刚度的影响 Fig. 32 Influence of coil inductance on dynamic stiffness |
| 图选项 |
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| 图 33 滚珠丝杠半径对动刚度的影响 Fig. 33 Influence of screw radius on dynamic stiffness |
| 图选项 |
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| 图 34 拨叉长度对动刚度的影响 Fig. 34 Influence of fork length on dynamic stiffness |
| 图选项 |
3.3.2 非线性舵机动刚度仿真及影响因素分析 非线性舵机是在线性舵机的基础上，添加一个或多个非线性子模块。影响线性舵机的因素同样也会影响非线性舵机，在此不做赘述。除此之外，非线性子模块的种类、模块内的参数大小、激励信号的频率和幅值也是影响非线性舵机动刚度的重要因素。
为了研究非线性环节参数的大小对非线性舵机动刚度的影响规律，在线性舵机的基础上，每次仅添加一种非线性子模块，在表 1所示舵机参数的基础上，对该子模块包含的每个非线性参数进行变参分析，即在标称值的基础上分别乘以系数0.5和2，分析各个参数变化对舵机动刚度曲线的影响规律。
为了研究激励信号幅值对非线性舵机动刚度的影响规律，对仅包含一种非线性模块的舵机依次使用幅值为5 N·m、10 N·m和20 N·m的步进正弦扫频力矩作为激励，再求出舵机的动刚度，根据动刚度幅值和相位的变化量进行定性评判。
1) 仅包含接触刚度的舵机动刚度参数影响分析。对于仅包含接触刚度这一非线性子模块的舵机，先对接触刚度值进行变参分析，画出标称及变参后的动刚度曲线进行对比，如图 35所示，模型此时激励信号的幅值为10 N·m。
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| 图 35 接触刚度对动刚度的影响 Fig. 35 Influence of contact stiffness on dynamic stiffness |
| 图选项 |
从图 35可以看出，包含接触刚度的舵机，动刚度幅值随着激励频率增加而略有减小，动刚度相位随着频率增加而略有增加。同一频率处，接触刚度值越大，舵机的动刚度幅值就越小。随着频率增加，接触刚度值越大，舵机的动刚度相位则越大。
接触刚度值为表 1中的标称数据，再画出激励信号幅值分别为5 N·m、10 N·m和20 N·m的动刚度曲线对比，如图 36所示。
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| 图 36 激励幅值对动刚度的影响 Fig. 36 Influence of excitation amplitude on dynamic stiffness |
| 图选项 |
从图 36可以看出，在相同频率处，激励信号的幅值越高，动刚度的幅值也越大，但是激励信号的幅值变化对动刚度的相位影响很小。
2) 仅包含间隙的舵机动刚度参数影响分析。对于仅包含间隙这一非线性子模块的舵机，先对间隙大小进行变参分析，画出标称及变参后的动刚度曲线进行对比，如图 37所示，模型此时激励信号的幅值为10 N·m。
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| 图 37 间隙对动刚度的影响 Fig. 37 Influence of clearance on dynamic stiffness |
| 图选项 |
从图 37可以看出，包含间隙的舵机，动刚度幅值随着激励频率增加而略有增加，动刚度相位随着频率增加而增加。在同一频率处，间隙值越大，舵机的动刚度幅值就越小，而动刚度相位则越大。
间隙值为表 1中的标称数据，再画出激励信号幅值分别为5 N·m、10 N·m和20 N·m的动刚度曲线对比，如图 38所示。
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| 图 38 舵机仅包含间隙时激励幅值对动刚度的影响 Fig. 38 Influence of excitation amplitude on dynamic stiffness of outuator with freeplay only |
| 图选项 |
从图 38可以看出，在相同频率处，激励信号的幅值越高，动刚度的幅值也越大，动刚度的相位却越小。
3) 仅包含摩擦的舵机动刚度参数影响分析。对于仅包含摩擦这一非线性子模块的舵机，先对LuGre摩擦模型中的6个参数σ0、σ1、σ2、Fc、Fs和Vs分别进行变参分析，画出标称及变参后的动刚度曲线进行对比，如图 39~图 44所示，模型此时激励信号的幅值为10 N·m。
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| 图 39 σ0对动刚度的影响 Fig. 39 Influence of σ0 on dynamic stiffness |
| 图选项 |
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| 图 40 σ1对动刚度的影响 Fig. 40 Influence of σ1 on dynamic stiffness |
| 图选项 |
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| 图 41 σ2对动刚度的影响 Fig. 41 Influence of σ2 on dynamic stiffness |
| 图选项 |
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| 图 42 Fc对动刚度的影响 Fig. 42 Influence of Fc on dynamic stiffness |
| 图选项 |
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| 图 43 Fs对动刚度的影响 Fig. 43 Influence of Fs on dynamic stiffness |
| 图选项 |
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| 图 44 Vs对动刚度的影响 Fig. 44 Influence of Vs on dynamic stiffness |
| 图选项 |
从图 39~图 44可以看出，σ0、σ1、σ2和Fc对舵机动刚度的影响比较大，而Fs和Vs的变化几乎不影响舵机的动刚度。因此，摩擦子模块的动态特性、黏性摩擦特性以及库伦摩擦特性对舵机的动刚度有较大的影响，这种影响随着激励频率的增加逐渐增强。摩擦模型中，静摩擦和切换速度对动刚度的影响可以忽略不计。
摩擦参数值为表 1中的标称数据，再画出激励幅值分别为5 N·m、10 N·m和20 N·m的动刚度曲线对比，如图 45所示。
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| 图 45 舵机仅包含摩擦时激励幅值对动刚度的影响 Fig. 45 Influence of excitation amplitude on dynamic stiffness of outuator with friction only |
| 图选项 |
从图 45可以看出，仅包含摩擦的舵机，动刚度幅值随着频率增加而减小，而动刚度的相位在当前参数设置下呈现出随着频率增加而增加的趋势。在相同频率处，处于低频段时，激励信号的幅值增加会使得动刚度的幅值减小，随着频率增加，动刚度幅值有随着激励信号幅值增加而增加的趋势，动刚度的相位在全测试频段随着激励信号的幅值增加而减小。
由图 36、图 38和图 45可以看出，激励幅值对仅包含接触刚度、间隙或摩擦舵机的影响是有区别的。在全频段，仅包含接触刚度或间隙的舵机动刚度幅值均随着激励信号幅值增加而增加，仅包含摩擦的舵机动刚度幅值则相反；在高频段，仅包含摩擦的舵机动刚度幅值出现了随激励信号幅值增加而增加的趋势。
综上，非线性舵机的动刚度受到多种因素的影响，其规律较为复杂。不过这也提供了新的思路：一方面，可以通过调整舵机非线性子模块的种类及参数来获取与实际舵机更匹配的动刚度特性，从而根据实验数据对舵机模型进行更为精确的建模，这样做也有利于后续对舵机-舵面耦合系统颤振的分析；另一方面，可以基于非线性模块对舵机动刚度影响的区别，对实际舵机的非线性因素进行合理搭配，从而改善舵机-舵面耦合系统的颤振特性。
4 结论 1) 本文建立了一种通用的电动舵机模块化动力学建模方法，这种方法便于不同舵机的拓展，搭建的模型可以同时用于研究舵机的输入输出特性和动刚度(动柔度)特性。
2) 本文提出了一种用于计算动刚度的数值仿真方法，使用步进正弦扫频信号作为激励，配合最小二乘法进行数据处理，可以得到效果较好的动刚度曲线。通过改变不同的激励幅值，可以辨别舵机是否存在非线性因素。利用此方法，还可用于研究舵机的主要参数及非线性环节对动刚度特性的影响。
3) 分析表明，电机转子阻尼、减速器的传动比以及输出轴处的阻尼会在很大程度上影响舵机的动刚度，且越靠近舵机输出端的部件参数，对舵机动刚度的影响就越大，此外，间隙、接触刚度和摩擦这3类非线性因素对舵机的动刚度特性都有重要的影响，在设计中需要给予重视。通过合理调整相关参数，可以使舵机动刚度达到想要的特性。
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