Luo等[3]提出了一种利用单接收机天线确定旋转载体滚转角速度和滚转角的方法，其利用了接收到的卫星信号I/Q幅值和相位受到滚转角调制的特性，以卫星信号I/Q幅值和相位作为量测量，采用扩展卡尔曼滤波器对滚转角和滚转角速度进行实时测量，测量精度在300 Hz转速情况下，滚转角均方根误差为1.8°，转速均方根误差为0.02 Hz。Velde等[4]还提出一种使用2个或多个天线接收的GPS卫星信号之间的功率差和相位差来确定旋转载体滚转角速度和滚转角的方法，适合于测量具有短基线的快速旋转载体的滚转角速度和滚转角，在转速为300 Hz时，滚转角测量精度为(7±15)°，转速测量精度为(0.1±0.3) Hz。
本文利用当前统计模型进行系统建模，将信号功率和多普勒频率信息作为量测量，并根据滚转角预测估计值合理选取，使用无迹卡尔曼滤波(UKF)算法融合2种测量信息得到载体滚转角和滚转角速度，在此基础上，提出自适应滤波算法，自适应调整系统噪声方差阵，提高滤波估计精度。
1 测量原理及模型 1.1 基于信号功率的滚转角测量 GPS接收机天线对不同角度的卫星入射信号增益不同，形成天线方向图，正因为天线方向图的存在，载体的姿态变化会对接收到的卫星信号功率产生很大影响[5]。如图 1所示，由于载体的遮挡，只有载体的上半表面能接收到卫星信号，为了保证在旋转时，有2个天线能接收到信号，应将至少4个天线等弧度地安装在载体表面。每个天线单独接收卫星信号进行处理，信号在各个天线的入射角度不同，每个天线的增益不同，接收的信号功率也不同，将相邻2个天线接收的信号功率求差，利用信号功率差值与滚转角φ的关系，即可估计出载体的滚转角。
 |
| 图 1 滚转角测量原理 Fig. 1 Principle of roll angle measurement |
| 图选项 |
信号从卫星天线发射到接收机天线，卫星信号功率P的自由空间传播公式为[6]
 | (1) |
式中：PS为卫星信号的发射功率；GS为卫星天线在信号发射方向上的增益；G为接收机天线在信号入射方向上的增益；λ为信号波长；r为卫星与接收机天线的几何距离；LA为大气损耗。接收机天线增益G与信号入射方向有关，信号入射方向在天线坐标系中由入射方位角α和入射仰角β表示，天线坐标系如图 2所示。
 |
| 图 2 天线坐标系 Fig. 2 Antenna coordinate system |
| 图选项 |
接收机天线增益G可以以函数[7]形式表示为
| (2) |
对于同一颗卫星在2个天线坐标系下的方位角和仰角不同，几何距离可近似相等，以天线1和天线2为例，有
| (3) |
则天线1和天线2接收的信号功率差值P2, 1为
| (4) |
信号功率差值P2, 1的变化与接收机天线增益G相关。实际天线的增益特性是通过实验测量，以表格形式确定。如果已知入射方位角和入射仰角，可以采用二维插值方法从表格中得到天线增益。图 3为某天线的实测天线方向图，天顶方向约有8 dB的增益，随着仰角β减小，天线增益逐渐降低，当仰角β小于0°时，迅速变为对信号有50 dB的衰减。
 |
| 图 3 天线方向图 Fig. 3 Antenna pattern |
| 图选项 |
卫星信号入射方位角α和入射仰角β与卫星在天线坐标系的坐标rSa有关。GPS定位可以得到卫星在地心地固直角坐标系的坐标rSe，通过地理坐标系和载体坐标系，建立rSe到rSa的坐标变换模型，用CX(γ)、CY(γ)和CZ(γ)表示直角坐标系分别绕X轴、Y轴和Z轴旋转γ角的坐标变换矩阵。
在地理坐标系的卫星坐标rSg为
| (5) |
式中：L和B分别为载体质心的经度和纬度；rMe为载体质心在地心地固直角坐标系的坐标。
在载体坐标系的卫星坐标rSb为
| (6) |
式中：θ为俯仰角；ψ为航向角。
在天线坐标系的卫星坐标rSa为
| (7) |
式中：γA为天线坐标系OaYaZa平面与载体坐标系OYbZb平面之间的夹角，天线相位中心为天线坐标系原点；rAb为原点在载体坐标系的坐标。
得到卫星的坐标rSa=[xSa?ySa?zSa]T，则
| (8) |
接收机天线可以同时接收多颗可见卫星信号，对多颗卫星的信号功率求差可以提高滚转角测量的精度。当测量n颗卫星的信号功率时，有
| (9) |
式中：P为功率测量值，上标为卫星编号，下标为天线编号。
分析可知，接收信号、功率差值是卫星位置、载体质心位置、载体姿态角、天线相位中心位置和夹角等参数的复杂函数。在GPS定位过程中，如果通过其他测姿方法得到俯仰角和航向角，则利用接收信号功率差值可以反推出载体的滚转角。
1.2 基于多普勒频率的滚转角速度测量 接收机天线接收的卫星信号产生多普勒频率是由于卫星运动、载体质心运动和载体绕质心转动引起的。由于相邻2个天线的安装位置不同，载体的姿态变化使2个天线相对于载体质心的速度不同，导致天线测量的多普勒频率不同，将多普勒频率求差，可以消去卫星和载体质心运动产生的多普勒。对于高速旋转的载体，转速每秒可达几转，甚至几十转，俯仰角速度和航向角速度远小于滚转角速度，因此，可以认为多普勒频率差值是由于滚转角速度引起的，利用多普勒频率差值与滚转角速度的关系，即可估计出载体的滚转角速度。
多普勒频率f与天线速度V的关系为[8]
| (10) |
式中：VS为卫星速度；δf为接收机钟漂；δfS为卫星钟漂；ε为多普勒频率的测量误差；I为单位观测矢量，由卫星位置和载体质心位置给出：
| (11) |
2个天线对于同一颗卫星的观测矢量I可近似相等，对于天线1和天线2在地心地固直角坐标系的速度分别为V1e和V2e，有
| (12) |
则天线1和天线2的多普勒频率差值f2, 1为
| (13) |
式中：f2, 1=f2－f1; V2, 1e=V2e－V1e; ε2, 1=ε2－ε1。
当测量n颗卫星的多普勒频率时，有
| (14) |
联立测量方程可以解算出相对速度V2, 1e。
在地理坐标系的相对速度V2, 1g为
| (15) |
在载体坐标系的相对速度V2, 1b为
| (16) |
相对速度V2, 1b可以用滚转角速度
| (17) |
则利用多普勒频率差值可以反推出载体的滚转角速度。
2 系统建模 2.1 状态方程 在机动目标动力学理论中，对于机动目标跟踪，当前统计模型被认为是一种行之有效的自适应跟踪模型[9]。当前统计模型由****周宏仁提出，将加速度的一步预测当作是当前加速度，并采用该加速度作为修正瑞利分布的均值，实时地修正加速度的分布，从而实现闭环自适应跟踪[10]。本文利用当前统计模型对滚转角和滚转角速度测量进行系统建模。
取载体滚转角φ、滚转角速度
| (18) |
根据当前统计模型对滚转角建立状态方程：
| (19) |
式中：a为当前滚转角加速度的预测值；Wk为离散时间过程噪声;
 |
其中：T为采样周期; α*为机动频率，只有通过实测才能得到α*的值，通常根据机动形式取经验值，范围为0 < α*≤1。
离散时间过程噪声的方差阵Qk=2α*σk2Q0，Q0为与机动频率α*和采样周期T有关的常值矩阵，σk2为滚转角加速度的方差，有
| (20) |
式中：amax和a－max分别为滚转角加速度的最大值和最小值。
2.2 量测量的选取 对于GPS接收天线，为了抑制多路径影响，降低对地面反射的卫星信号的接收，通常设计天线时会减小低仰角方向上的增益，同时考虑到载体对卫星信号的遮挡，最好选择载体上表面的2个天线。天线的选择可以根据滚转角，如图 1所示，当滚转角为45°时，天顶方向上的卫星正好位于天线1和天线2之间，所以选择这2个天线。
在滤波算法递推时，根据k－1时刻到k时刻的滚转角预测估计值
| (21) |
2.3 UKF算法 由于量测方程具有较强的非线性，本文采用UKF进行滤波和估计。UKF是sigma点卡尔曼滤波的一种，通过无迹非线性变换逼近非线性系统状态的后验均值和协方差[11]。UKF既可以保证状态估计的精度，又能避免对非线性方程的线性化。UKF算法的具体过程可参考文献[12]。
3 自适应滤波算法 在当前统计模型中，Qk表征模型的准确程度，Qk越小，认为目标运动越接近匀加速运动；Qk越大，认为目标加速度变化范围越大，越偏离匀加速运动[13]。Qk受采样周期T、机动频率α*以及当前k时刻滚转角加速度方差σk2这3个因素影响，通常采样周期T和机动频率α*能确定，所以系统噪声方差阵Qk主要由滚转角加速度方差σk2确定，而σk2的大小又由滚转角加速度的最大值amax和最小值a－max确定，可见当前统计模型的性能取决于预先选取的amax和a－max。在实际工程应用中，情况复杂多变，如果目标机动加速度超过预先选取的最值，模型性能会明显恶化。针对加速度最值的选取问题，国内外文献提出了多种自适应方法实现对噪声方差阵进行自适应调整。
文献[14]提出利用状态值
| (22) |
文献[15]提出利用角速度估计值
| (23) |
式中：C为比例系数。在文献[14-15]的基础上，本文提出滚转角加速度估计自适应滤波算法，利用前后时刻滚转角加速度估计值的差值，对滚转角加速度方差σk2的改进。如果载体的滚转角加速度改变较小，前后时刻滚转角加速度估计值相差较小，滚转角加速度的分布相对于平均值的偏离程度也较小，即滚转角加速度方差较小；反之，如果载体的滚转角加速度改变较大，前后时刻滚转角加速度估计值相差较大，滚转角加速度的分布相对于平均值的偏离程度也较大，即滚转角加速度方差较大。可以看出，滚转角加速度方差应该和前后时刻滚转角加速度估计值的差值相关，因此可以利用滚转角加速度估计值的差值来估计滚转角加速度方差，参考式(22)和式(23)，可以得到一种简单的自适应调整公式来估计滚转角加速度方差：
| (24) |
仿真中C取1时估计精度较高。从式(24)中可以看出，在一个采样周期内，载体滚转角加速度的变化趋势能够反映滚转角加速度的偏离程度，即滚转角加速度方差的大小。通过对滚转角加速度方差的自适应调整，避免了预先设定滚转角加速度最值对模型性能的限制。
4 实验与仿真 为了验证本文提出的基于自适应滤波的GPS滚转角估计方法的有效性，设计实验将接收机天线静止置于室外，接收实际卫星信号10 min，某颗GPS卫星的信号功率和多普勒频率的测量结果如图 4所示。
 |
| 图 4 某颗GPS卫星的测量结果 Fig. 4 Measurement results of a GPS satellite |
| 图选项 |
GPS卫星是在不停运动的，会引起多普勒频率测量值变化，由于测量时间较短，认为其他因素的影响较小，可以估计出该天线信号功率的测量均方根误差约为0.2 dB·W，多普勒频率测量均方根误差约为0.4 Hz。
设计载体转速为匀加速和正弦2种机动形式的仿真，对UKF算法和本文提出的自适应滤波算法进行比较。利用导航卫星数仿软件产生GPS卫星和接收机天线数据，根据实验结果设定仿真中的量测噪声，载体以100 m/s的速度向北飞行，俯仰角和航向角保持不变，仿真时间为10 s，采样周期T=100 ms，机动频率α*=0.025，在UKF算法中amax和a－max分别取400和-400 (°)/s2。
匀加速机动模拟载体转速从0增大到10 Hz，滚转角加速度设为
 |
| 图 5 匀加速机动的估计结果 Fig. 5 Estimation results of constant-acceleration maneuver |
| 图选项 |
对于匀加速机动，滚转角加速度保持不变，自适应滤波的滚转角加速度方差比UKF的小，收敛速度更快。
正弦机动模拟载体在10Hz转速上有一个正弦波动，滚转角加速度设置为
 |
| 图 6 正弦机动的估计结果 Fig. 6 Estimation results of sinusoidal maneuver |
| 图选项 |
对于正弦机动，滚转角加速度不断变化，2种滤波都有不同程度的滞后，其中UKF的滚转角加速度方差与当前滚转角加速度的预测值a有关，在第2.5 s和第7.5 s时，滚转角加速度为0，误差明显增大。
2种滤波算法对2种转速机动形式的滚转角、滚转角速度和滚转角加速度估计的均方根误差如表 1所示。
表 1 2种算法的均方根误差 Table 1 Root mean square error of two algorithms
| 机动形式 | 滤波算法 | 滚转角/(°) | 滚转角速度/((°)·s-1) | 滚转角加速度/((°)·s-2) |
| 匀加速 | UKF | 2.7 | 10.7 | 23.8 |
| 自适应滤波 | 1.7 | 3.7 | 3.7 | |
| 正弦 | UKF | 3.1 | 28.2 | 139.3 |
| 自适应滤波 | 2.6 | 18.6 | 64.9 |
表选项
在实际使用过程中，载体运动可能会对天线的测量精度产生影响，以自适应滤波的正弦机动为例，在其他条件不变的情况下，加入2倍和3倍的量测噪声，得到估计误差如图 7所示。
 |
| 图 7 不同噪声下的估计误差 Fig. 7 Estimation error under different noises |
| 图选项 |
2倍量测噪声下的滚转角和滚转角速度的均方根误差分别为7.2°和34.5 (°)/s，3倍量测噪声下的滚转角和滚转角速度的均方根误差分别为12.6°和48.7 (°)/s。由图 7可以看出，同样在第2.5 s和第7.5 s时，滚转角加速度为0，但是前后时刻的滚转角加速度改变最大，所以量测噪声越大，误差也越大，滞后也越明显。
5 结论 1) 本文分析了GPS信号功率与载体滚转角、多普勒频率与载体滚转角速度的关系，采用了UKF算法融合GPS信号功率和多普勒频率测量信息，并提出了滚转角加速度估计自适应滤波算法改进模型，仿真结果表明，滤波算法融合2种信息是可以对载体的滚转角和滚转角速度进行测量的，且天线的信号功率和多普勒频率测量精度对估计精度影响很大。
2) 与UKF算法相比，自适应滤波算法不仅能对各种转速机动形式进行估计，而且避免了滚转角加速度最值选取导致对滤波性能的影响，更有效地抑制了滚转角、滚转角速度和滚转角加速度的误差跳变幅度，减小了均方根误差，具有更好的滤波估计能力，大幅度地提高了测量精度。
参考文献
| [1] | 杨洁, 王新龙, 陈鼎, 等. GNSS定姿技术发展综述[J]. 航空兵器, 2018(6): 16-25. YANG J, WANG X L, CHEN D, et al. Review on the development of GNSS attitude determination technology[J]. Aero Weaponry, 2018(6): 16-25. (in Chinese) |
| [2] | 王冰, 隋立芬, 张清华, 等. 利用GPS解算载体测姿的算法研究[J]. 武汉大学学报(信息科学版), 2013, 38(12): 1392-1395. WANG B, SUI L F, ZHANG Q H, et al. Research on attitude determination algorithms using GPS[J]. Geomatics and Information Science of Wuhan University, 2013, 38(12): 1392-1395. (in Chinese) |
| [3] | LUO J, VAN DER VELDE W E, TSENG H W, et al.Single antenna GPS measurement of roll rate and roll angle of spinning platform: US9429660[P].2016-08-30. |
| [4] | VELDE W V, CAFARELLA J, TSENG H W, et al.GPS-based measurement of roll rate and roll angle of spinning platforms: US2010117894(A1)[P].2010-05-13. |
| [5] | 王康, 刘莉, 杜小菁. 天线方向图在GPS仿真实验中的应用[J]. 系统仿真学报, 2010, 22(4): 1079-1082. WANG K, LIU L, DU X J. Application of antenna radiation pattern in GPS simulation experiment[J]. Journal of System Simulation, 2010, 22(4): 1079-1082. (in Chinese) |
| [6] | 谢钢. GPS原理与接收机设计[M]. 北京: 电子工业出版社, 2017. XIE G. Principles of GPS and receiver design[M]. Beijing: Publishing House of Electronics Industry, 2017. (in Chinese) |
| [7] | 张尧.旋转状态下GNSS信号跟踪算法研究及GPU实现[D].长沙: 国防科学技术大学, 2014: 12-14. ZHANG Y.Research of GNSS signal tracking algorithm under spinning condition and complemented by GPU[D].Changsha: National University of Defense Technology, 2014: 12-14(in Chinese). |
| [8] | 熊杰, 马勇. GPS多普勒差分测速算法[J]. 电讯技术, 2018, 58(9): 38-42. XIONG J, MA Y. A velocity determination algorithm via difference GPS Doppler measurements[J]. Telecommunication Engineering, 2018, 58(9): 38-42. (in Chinese) |
| [9] | 周政, 刘进忙, 谭西江. 基于Jerk输入估计的MCS模型及非线性跟踪算法[J]. 北京航空航天大学学报, 2013, 39(10): 1397-1402. ZHOU Z, LIU J M, TAN X J. MCS model based on Jerk input estimation and nonlinear tracking algorithm[J]. Journal of Beijing University of Aeronautics and Astronautics, 2013, 39(10): 1397-1402. (in Chinese) |
| [10] | 金学波. Kalman滤波器理论与应用:基于MATLAB实现[M]. 北京: 科学出版社, 2016: 120-130. JIN X B. Theory and application of Kalman filter:Realization based on MATLAB[M]. Beijing: Science Press, 2016: 120-130. (in Chinese) |
| [11] | 叶文, 蔡晨光, 杨平, 等. 融合高斯过程回归的UKF估计方法[J]. 北京航空航天大学学报, 2019, 45(6): 1081-1087. YE W, CAI C G, YANG P, et al. UKF estimation method incorporating Gaussian process regression[J]. Journal of Beijing University of Aeronautics and Astronautics, 2019, 45(6): 1081-1087. (in Chinese) |
| [12] | 袁丹丹, 易文俊, 管军, 等. 基于UKF弹体滚转姿态测量方法研究[J]. 弹道学报, 2017, 29(2): 8-12. YUAN D D, YI W J, GUAN J, et al. Improved neural network enhanced navigation system of adaptive unscented Kalman filter[J]. Journal of Ballistics, 2017, 29(2): 8-12. DOI:10.3969/j.issn.1004-499X.2017.02.002 (in Chinese) |
| [13] | 梁小虎, 朱武宣, 郭军海, 等. 多级弹道目标主动段机动检测自适应跟踪算法[J]. 北京航空航天大学学报, 2013, 39(12): 1682-1686. LIANG X H, ZHU W X, GUO J H, et al. Adaptive tracking algorithm based on maneuver detection for multi-stage ballistic target boost phase[J]. Journal of Beijing University of Aeronautics and Astronautics, 2013, 39(12): 1682-1686. (in Chinese) |
| [14] | 骆荣剑, 李颖, 钱广华, 等. 机动目标跟踪中一种改进的自适应卡尔曼滤波算法[J]. 重庆邮电大学学报(自然科学版), 2015, 27(1): 31-36. LUO R J, LI Y, QIAN G H, et al. Improved maneuvering target tracking adaptive Kalman filter algorithm[J]. Journal of Chongqing University of Posts and Telecommunications(Natural Science Edition), 2015, 27(1): 31-36. (in Chinese) |
| [15] | 刘朝华, 王勇, 毛玉良, 等. 基于MEMS加速度计的弹体滚转角测量方法[J]. 中国惯性技术学报, 2012, 20(5): 505-509. LIU Z H, WANG Y, MAO Y L, et al. Measurement method of projectile's roll angle based on MEMS accelerometers[J]. Journal of Chinese Inertial Technology, 2012, 20(5): 505-509. DOI:10.3969/j.issn.1005-6734.2012.05.001 (in Chinese) |
