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2014年考研上海交大840运筹学与概率统计真题(回忆版)

上海交通大学 /2014-05-13

 一、(20分)已知线性规划问题   

     minZ=CTX(这里的CT表示C的转置)              

     s.t.  AX≥b,X≥0

具有n个极点,其中C,b分别是常数列向量,A为系数矩阵,X为解向量。

证明:该线性规划问题的最优解必定出现在某极点上。

 

二、(35分)已知线性规划问题          

 

    MaxZ=c1X1+c2X2+c3X3              s.t. a11x1+a12x2+a13x3≤b1             a21x1+a22x2+a23x3≤b2            a31x1+a32x2+a33x3≤b3                  

x1  , x2  , x3  ≥0

为某企业消耗三种资源可获三种生产计划模型。经计算求得如下最终单纯性表,其中X4,X5,X6为松弛变量。

  

  CB  

  
  

XB

  
  

b‘

  
  

c1

  
  

c2

  
  

c3

  
  

0

  
  

0

  
  

0

  
  

X1

  
  

X2

  
  

X3

  
  

X4

  
  

X5

  
  

X6

  
  

c2

  
  

X2

  
  

20/3

  
  

0

  
  

1

  
  

5/6

  
  

5/3

  
  

-1/6

  
  

0

  
  

c1

  
  

X1

  
  

10/3

  
  

1

  
  

0

  
  

1/6

  
  

-2/3

  
  

1/6

  
  

0

  
  

0

  
  

X6

  
  

10

  
  

0

  
  

0

  
  

4

  
  

-2

  
  

0

  
  

1

  
    

0

  
  

0

  
  

-8/3

  
  

-10/3

  
  

-2/3

  
  

0

  

问题:(1)推算出原始规划模型中的未知系数aij,bij,cj(i=1,2,3 ;j=1,2,3)          
(2)据调查,第一种资源的原始限量b估计时有误,正确的估计量为12+6μ,其中μ是待定参数。求μ值的范围,使已确定的最优生产计划仍然可行。          
(3)现在原始模型中添加了X1,X2,X3均为整数的要求,请确定此时的最优生产计划。
三、(20分)某实验室拥有一台高精度超声诊断仪,每天只能对外来客户进行一次检测服务,假设服务及客户源都是无限的。已知客户按Poisson流到达,平均每周收到λ次服务申请,仪器检测时间服从指数分布,每次检测费P元,客户每等待一天的损失费为C元。
问题:(1)求使总期望损失最小的检测服务效率;          
(2)在总期望损失最小的服务效率下,如果将服务强度固定为α,则可以利用检测费与客户等待损失费的比率对服务申请进行估算。请给出估算公式。 
四、(20分)某区域地下排水管网系统如下图所示,其中节点表示各下水道的入口。图上所标记已是最大流,各弧所标第一位数表示弧的容量,第二位数表示弧的实际流量,该系统没有考虑自然降雨量。
问题:现在考虑最大降雨量为10,请画出此种情况下的网络图,并求出相应最大流。  
五、(20分)某地区有n个常住居民,需要通过验血进行某种疾病普查,假设每个人的验血结果都是独立的,并且呈阳性的概率为p,呈阴性的概率为q=1-p。为此设计了两种方案。
     甲方案(不分组):逐人采血、验血,共需验血n次。
乙方案(分组):将n个人分成若干组,每组k个人。验血方法式将每一组的血液混合在一起,经过一次验血,如果验血结果呈阴性,表明该组通过检验,无需再验。反之,如果呈阳性,则需要对该组的血液再逐一检验。
问题:(1)请计算并比较甲、乙两种方案的人均验血次数。          
(2)在已知q的条件下,采用乙方案时,各组中的最佳人数应满足什么条件。注:下列答题中可能用到的统计单位
Z0.1=1.282; Z0.05=1.645; Z0.025=1.960 ;P{Z≤3.0}=0.99865 ; P{Z≤2.0}=0.97725;P{Z≤1.5}=0.93319 ; P{Z≤-1.5}=0.06681   
六、(20分)某种流行的软饮料灌装在2000ml的瓶子里销售。灌装过程中进入瓶子的饮料呈正态分布,均值是2000ml,标准差是20ml。
问题:(1)灌装过程中,起装量大于60ml,溢出的饮料将引发机器故障,计算出此种机器故障发生的概率。          
(2)瓶子里少装30ml及其以上将判为不合格产品,计算不合格产品的概率。          
(3)现从一批产品中随机抽检100瓶饮料,平均灌装量1997ml,请问在0.1的显著性水平下,该批产品是否合格。  
七、(15分)某市估计有25万张交通卡需要经常性退卡,为减少退卡人的抱怨,公交企业需要设置退卡网点。假定每张交通卡的持有人相互独立,并且同时退卡的可能性是10%。
问题:请计算回答,若以95%的把握保证退卡人不排队,至少需要多少个退卡点

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