, 孙志礼, 曹汝男, 张毅博 东北大学 机械工程与自动化学院，辽宁 沈阳 110819
收稿日期：2019-01-22
基金项目：国家自然科学基金资助项目(51775097)；国防技术基础项目(JSZL2015208B001)。
作者简介：于震梁(1982-)，男，辽宁营口人，东北大学博士研究生;
孙志礼(1957-)，男，山东巨野人，东北大学教授，博士生导师。
摘要：为提高齿轮热传递误差可靠性分析的计算效率和精度，提出了一种高效的基于PC-Kriging代理模型与主动学习函数LIF相结合的可靠性分析方法.采用多项式混沌展开(polynomial-chaos-expansion，PCE)替代传统Kriging模型的回归基函数来增强预测模型的全局近似精度，并利用Kriging模型来捕捉预测模型局部特征的能力.采用最小角回归(LAR)构建回归基函数的最优多项式数量集，同时用Akaike信息准则(AIC)来确定最优的截断集合.并采用一种主动学习函数LIF选择每次迭代的最佳样本点以提高模型收敛效率.通过齿轮热传递误差算例表明:与传统的Kriging代理模型相比，所提出方法在保证精度的同时可以极大地减少预测模型可靠性分析中的学习次数.
关键词：可靠性分析PC-Kriging模型主动学习函数蒙特卡罗齿轮热传递误差
Reliability Analysis of Gear Heat Transfer Error Based on PC-Kriging Model and Active Learning
YU Zhen-liang
, SUN Zhi-li, CAO Ru-nan, ZHANG Yi-bo School of Mechanical Engineering & Automation, Northeastern University, Shenyang 110819, China
Corresponding author: YU Zhen-liang, E-mail: yuzhenliang_neu@163.com
Abstract: To improve the computational efficiency and accuracy in the reliability analysis of gear heat transfer error, an efficient reliability analysis method combining PC-Kriging and active learning function LIF is proposed. Polynomial-chaos-expansion (PCE) is adopted to replace the regression basis function of the traditional Kriging model to enhance its global approximation accuracy and its ability to capture local features. The least-angle regression (LAR) is used to construct the optimal polynomial quantity set of the regression basis function, and the Akaike information criterion (AIC) is utilized to determine the optimal truncated set. Furthermore, the active learning function LIF is employed to select the optimal sample during each iteration to improve the convergence efficiency of the PC-Kriging model. The application to gear heat transfer error shows that compared with the traditional Kriging model, the proposed method can significantly reduce the number of performance function evaluations while ensuring accuracy in the reliability analysis.
Key words: reliability analysiPC-Kriging modelactive learning functionMonte Carlogear heat transfer error
齿轮作为最主要的传动机构已被广泛地应用在航天航空、船舶、汽车、机械制造等领域.高速重载工况下的齿轮，齿面间的相对滑动将产生大量摩擦热，受热后的轮齿变形将会引起齿轮的热传递误差，从而导致齿轮振动加剧、噪声变强、加速磨损以及缩短寿命.因此，对齿轮受热后的传递误差精度的可靠性研究是具有工程实际意义的.
在评估具有高度非线性和隐式功能函数的机械结构可靠性问题时，传统的一阶矩(FORM)、二阶矩(SORM)和Monte Carlo(MCS)模拟仿真很难应用于工程实际中[1].为此，基于响应面法[2]、人工神经网络[3]、支持向量机[4]、Kriging[5-6]等代理模型的可靠性分析方法越来越受到关注.由于经典响应面法是基于多项式的回归模型，其结果往往易受到多项式函数形式及样本点选择的影响，从而抑制了该方法对极限状态的拟合精度.为此，Isukapalli等[7]提出了一种基于多项式混沌展开(polynomial chaos expansion, PCE)的随机响应面法.同时，基于Kriging代理模型的结构可靠性分析技术也日趋成熟，但其基函数往往采用常数项作为回归部分，而由文献[8]可知在SDoE较少时，基函数阶次越高Kriging模型越精确.然而，随着x的维数和多项式阶次的增加，基函数的项数也急剧增加，这使得Kriging模型在高阶的可靠性分析中(如立方)难以计算.随后，Schoebi等[9]提出了一种新的结合PCE和Kriging的代理模型，即多项式混沌展开的Kriging代理模型(polynomial-chaos-based Kriging, PC-Kriging)，并通过6种基准分析函数对PC-Kriging模型进行了验证，结果表明:PC-Kriging的数值精度要比PCE或Kriging的要好.此外，诸多学者还提出了若干主动学习函数[5]，如U, EFF, LIF等，旨在尽可能少地调用功能函数，提高结构可靠性分析效率.
据作者所知，国内外对PC-Kriging模型的研究较少，且尚未发现其在机械结构可靠性分析中的相关研究工作，同时为提高复杂结构可靠性分析的计算效率与计算精度，本文提出一种PC-Kriging代理模型与主动学习函数LIF相结合的结构可靠性分析方法(APCK-LIF)，并将其应用在齿轮的热传递误差精度的可靠性分析中，来说明所提方法的高效性和适用性.
1 PC-Kriging模型Kriging代理模型假设真实功能函数由两部分组成，即回归模型和随机函数.
 | (1) |
假设输入随机变量x服从多元标准正态分布，且各分量是独立的.令πj(m)(j=1, 2, …)表示完备的Hilbert空间L2(R, fxi)标准正交基，且为fxi的一个标准正交函数系列πj(m)(j=1, 2, …).
 | (2) |
一个完备的Hilbert空间L2(R, f)的标准正交基(f表示x的联合概率密度函数)是
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 | (3) |
 | (4) |
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由式(3)，如果使用AM, T0中的所有项作为Kriging模型的基函数，那么对调用功能函数的次数会随着T0的增多而急剧增加.为了克服这个问题，在构建稀疏多项式基函数时，在AM, T0中仅有一部分项是被保留下来的.LAR[10]被用来提供功能函数的可能的多项式基函数集的数量，同时AIC[11]用来决定哪个是最优的.Kriging基函数的选择步骤如下:
步骤1 ??设置相关参数值，即保留多项式T0的最大阶次和基函数pmax的最多项数.本文设T0=3，pmax=0.5 card(SDoE).
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步骤3 ??找出ψαi(i=0, 1, …, P-1)与当前残差之间的相关系数最大的向量ψα′1.
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步骤7 ??计算Gh (h=1, …, H)的AIC值：
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步骤8 ??找到最小的AICh (h=1, …, H).
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步骤1 ??t=0，采用拉丁超立方抽样(LHS)获得初始DoE点，并调用真实的功能函数计算对应的功能函数值.LHS的超矩形是[-nσ, nσ]M，最初的点数为N0，本文设置nσ=5.
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 | (5) |
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步骤3 ??判断学习过程是否收敛.根据式(5)，可以得到失效概率估计值
 | (6) |
从而得到停止条件：
 | (7) |
步骤4 ??t=t+1，选取最佳样本点.引入文献[5]的学习函数LIF(x):
 | (8) |
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步骤5 ??判断迭代过程是否停止.如果δMC≤0.03，输出失效概率，否则扩大MCS样本数，返回步骤2.具体流程如图 1所示.
图 1(Fig. 1)
 | 图 1 主动学习PC-Kriging方法流程图Fig.1 Flowchart of active learning PC-Kriging |
3 齿轮热传递误差可靠性分析齿轮传递误差主要包括轮齿受载荷作用产生的弹性变形和齿轮在加工制造及装配过程中产生的误差[12].本文研究重点为考虑温度和载荷共同作用下的弹性变形对齿轮传递误差的可靠性分析，齿轮模型为渐开线直齿轮，转矩为140 N·m，转速为9 280 r/min.相关参数如表 1所示.
表 1(Table 1)
 表 1 齿轮的基本参数Table 1 Basic parameters of gears
| 表 1 齿轮的基本参数 Table 1 Basic parameters of gears |
3.1 极限状态函数的建立假设齿轮模数、齿宽、压力角、线膨胀系数以及弹性模量为随机变量，且各随机变量均服从正态分布，其均值与方差分布形式如表 2所示.
表 2(Table 2)
表 2 随机变量参数Table 2 Random variable parameters
| 表 2 随机变量参数 Table 2 Random variable parameters |
采用ANSYS有限元分析软件以从动轮某一单齿为研究对象进行热分析，再采用载荷传递法对齿轮进行热变形的耦合分析，提取齿轮副的热变形量，绘制齿轮副的非渐开线误差曲线.
轮齿综合变形情况如图 2所示，内侧虚线是理论齿廓线，外侧实线是变形后的实际齿廓线.可以看出齿轮工作部分变形随着半径的增大而增大，变形最大的地方均出现在齿顶处.
图 2(Fig. 2)
 | 图 2 从动轮某一单齿综合变形Fig.2 Comprehensive deformation of single tooth driven wheel |
使用MATLAB从ANSYS结果中读取最大变形量Δy，将齿轮实际传递误差的波动范围超过极限值作为齿轮传递误差失效的准则，齿轮传递误差状态函数可以表示为
 | (9) |
3.2 热传递误差可靠度计算与分析根据所提可靠性分析方法流程进行MATLAB编程，首先使用拉丁超立方选取25的点作为初始样本点，并使用ANSYS仿真得到其对应的最大变形量.根据随机变量和响应值建立初始的PC-Kriging模型，用学习函数LIF选择最优点加入到样本空间中，调用ANSYS仿真求得响应值，更新PC-Kriging模型.这样再经过194次调用ANSYS仿真后达到规定精度.
用Monte Carlo方法抽样100 000次计算的结果作为计算标准，分别用AK-MCS+U，AK-SSIS+U和本文提出的算法计算齿轮热传递误差可靠性.表 3将不同的方法进行比较.
表 3(Table 3)
表 3 不同方法结果Table 3 Results of different methods
| 表 3 不同方法结果 Table 3 Results of different methods |
通过表 3可知，本文提出的方法需要调用ANSYS仿真软件的次数最少，节约了大量计算时间，且本文提出的方法计算精度较高.
4 结论1) 本文提出了一种新的改进Kriging基函数与主动学习函数相结合的可靠性分析方法，采用Polynomial-Chaos-Expansion作为Kriging模型的基函数对原始Kriging模型作改进，使得PC-Kriging方法在基函数回归方面具有更大的灵活性.
2) 通过对齿轮热状态传递误差可靠性分析可知，所提方法相对于AK-MCS+U和AK-SSIS+U方法将迭代次数从300余次降至194次，同时精度提升到-0.55%，具有更快的效率以及更高的精度.
3) 对齿轮系统可靠性分析表明，所提方法亦适用于求解功能函数为隐式的多维非线性问题，为解决实际工程中的可靠性问题提供了重要的参考.
参考文献
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