王宏
, 郑天奇
, 纪俐
, 陆志国
东北大学 机械工程与自动化学院, 辽宁 沈阳 110819
收稿日期：2016-10-09
基金项目：国家自然科学基金资助项目(51505069)；辽宁省高等学校创新团队项目(LT2014006)。
作者简介：王宏(1960-)，女，辽宁沈阳人，东北大学教授，博士生导师。
摘要：通过一种简单的模糊滑模控制以达到机械臂跟踪的最佳运动轨迹.所提方法的核心是通过线性化反馈方法, 将机械臂动力学的已知部分去除, 然后用经典的滑模控制克服系统的不确定性, 之后应用T-S模糊模型, 将经典的滑模控制器转化为规则十分简单的模糊滑模控制器.仿真分析表明, 在不确定性存在的情况下, 所提出的控制律全局渐近稳定.最后, 通过六轴机械臂的Matlab/Adams联合仿真, 验证了模型的准确性, 并且通过与经典滑模控制比较得出了在结构化和非结构化的不确定性存在条件下该控制方案的优越性.
关键词：六轴机械臂滑模控制模糊控制Lyapunov稳定联合仿真
Six-Axis Manipulator's Sliding Mode Robust Control Based on T-S Fuzzy Compensation
WANG Hong
, ZHENG Tian-qi
, JI Li
, LU Zhi-guo
School of Mechanical Engineering & Automation, Northeastern University, Shenyang 110819, China
Corresponding author: WANG Hong, E-mail:
hongwang@mail.neu.edu.cnAbstract: A simple fuzzy sliding mode control was proposed to obtain the optimum movement of a manipulator's trajectory tracking. The core of the proposed method is to use the feedback linearization method to remove the known kinetics of the manipulator, use the classical sliding mode control to overcome the system uncertainty, and then apply the T-S fuzzy model to translate the classical sliding mode controller into a fuzzy sliding mode controller with very simple fuzzy rules. The simulation results showed that in the case of uncertainty, the proposed control law is globally asymptotically stable. Finally, the co-simulation of the six-axis manipulator by Matlab / Adams verified the accuracy of the model. By comparing the classical sliding mode control result, the proposed method under the conditions of structured and unstructured uncertainties has a high performance.
Key Words: six-axis manipulatorsliding mode controlfuzzy controlLyapunov stabilityco-simulation
多自由度机械臂是具有强耦合、冗余非线性且随时间变化的机械系统, 并且存在着非线性摩擦、有效载荷变化以及外部干扰等不确定性.这些特性使系统的固有性能和稳定性无法得到保障, 并且很难建立机械臂的准确的动力学模型.
到目前为止, 已经有大量的控制方法对机械臂轨迹进行控制.文献[
1]中用一个基于模型的T-S模糊滑模控制器对两关节机械臂位置进行控制; 文献[
2]设计了一种基于系统辨识的广义比例积分(PI)的自适应控制器对单连杆机械臂进行控制; 文献[
3]设计了一种基于T-S模糊模型的自适应控制器, 并将其用于控制恒定负载的机械臂, 另外还提出了通过补偿有效载荷的影响来控制机械手运动中随时间变化的未知载荷; 在文献[
4]中, 所述控制器通过滑模控制补偿时变的有效载荷的影响, 并将其用于控制机械臂.
但是, 机械臂的动力学方程不仅有负载的波动, 也有其他不确定性因素, 如摩擦、干扰和未建模动态等.如果在控制器的设计过程中不考虑这部分不确定性, 那么闭环系统的稳定性将得不到保证
[5].因此, 本文提出一种简单有效的控制方法，通过模糊滑模控制器控制机械手在存在结构化和非结构化不确定性情况下进行位置跟踪.与经典滑模控制不同的是, 所提的控制方法几乎不存在抖振.
1 机械臂的动力学建模
n个连杆的刚性机械臂的动力学可以通过如下的二阶非线性微分方程表述
[6]:
 | (1) |
其中:
q,
和
分别是各旋转关节的角位置向量、角速度向量和角加速度向量；
D(
q)∈
Rn×n是机械臂的对称正定惯性矩阵;
N(
q,
)∈
Rn是包含科里奥利和离心力的矢量;
G(
q)∈
Rn是重力力矩;
τd∈
Rn是系统模型和外部干扰的误差转矩总和, 对于
τd有如下的限定，‖
τd‖≤
T, 其中
T是正实数;
τ(
t)∈
Rn是控制输入关节力矩的向量.
2 线性化反馈方法本节用线性化反馈方法等效动力学的已知部分
[7].对于多连杆机械手轨迹跟踪的目标是使实际角度位置
q尽可能地跟踪预期角位置
qd∈
Rn.为了实现这一目标, 将控制输入转化为如下形式:
 | (2) |
其中:
(
q),
(
q,
)
和
(
q)分别是
D(
q),
N(
q,
)
和
G(
q)的已知部分;
V(
t)是一个新的控制向量.式(2)与式(1)结合写成式(3):
 | (3) |
定义:
那么式(3)可被简化成:
 | (4) |
所以,
 | (5) |
之后, 可将式(5)写成:
 | (6) |
令:
所以,
 | (7) |
根据上述定义,
η包括全部现有的不确定性, 即, 如果系统不存在结构化和非结构化的不确定性, 那么
η=0.
在式(7)中, 输入控制
V(
t)为
 | (8) |
式中
W(
t)是新控制律.将式(8)代入式(7)得
 | (9) |
定义角度误差
e(
t)=
q-
qd, 式(9)被简化为
 | (10) |
定义
e(
t)=
X1(
t)以及
(
t)=
X2(
t), 式(10)的状态空间可写成如下形式:
 | (11) |
3 控制律的设计及稳定性分析对于滑模控制(SMC)的设计, 首先定义滑模面.滑模面选择如下
[8]:
 | (12) |
其中
C是常系数向量.
控制律
W(
t)的设计使实际轨迹能够跟踪理想的路径.并且, 使跟踪误差及其他相关误差趋于零.本文将
W(
t)分为等效项
Weq(
t)和切换项
Ws(
t), 并且:
 | (13) |
在滑动阶段, 根据滑模面的设计,
S(
t)=0并且其导数(
t)=0.等效项
Weq(
t)保证系统在滑模面上运动.在到达阶段,
S(
t)≠0, 切换项
Ws(
t)被设计成满足到达条件, 即
S(
t)
(
t) < 0.
对于
Weq(
t), 将式(12)求导, 且其导数为0, 并代入式(11)，得
 | (14) |
在设计
Weq(
t)时, 假设滑模面为0, 所以
Weq(
t)是为了防止滑模面发生变化.根据这个假设, 在设计
Ws(
t)部分时将其等于0.将式(13)代入式(14), 得
 | (15) |
即
 | (16) |
根据式(16), 可以得出
 | (17) |
其中‖
η‖代表范数.通过式(17),
Weq(
t)可以被设置成如下形式:
 | (18) |
通过设计
Ws(
t), 使滑动面趋向于零.下面设计李雅普诺夫函数形式使其稳定
[9-10]为
 | (19) |
将李雅普诺夫函数对时间
t求导:
 | (20) |
由式(12)和式(20), 可以得出
 | (21) |
根据式(11), 式(13)和式(21), 可以得出
 | (22) |
之后将式(18)代入式(22), 得到
 | (23) |
根据式(23)的结果可以看出, 当满足以下条件时,
(
S(
t)) < 0, 此时
 | (24) |
其中
ρ是正常数, 通过式(13), 式(18)和式(24), 有
 | (25) |
4 T-S模糊器设计T-S(Takagi-Sugeno)模糊逻辑系统是日本学者Takagi和Sugeno在1985年提出的一种描述复杂非线性工业过程和动力学系统的非线性数学模型.用IF-THEN规则可以描述如下
[11-12]:
Ri:如果
x1(
t)是
A1i, …,
xq(
t)是
Aqi, 那么
ui(
t)=
fi(
X(
t),
t),
i=1, …,
r.其中:
Ri代表第
i个模糊规则;
xj和
Aij(
i=1, …,
r,
j=1, …,
q)分别为变量和模糊集;
r是模糊规则的数目.
根据T-S模糊系统的模糊推理方法, 整个系统的控制输入
U(
t)可以由轨迹
X(
t)的加权平均的形式获得
 | (26) |
其中
Td=[
Td1, …,
Td6]
T, 且
X(
t)∈
Rq, 权重公式定义为
 | (27) |
其中:
Aij(
xj(
t))是
xj(
t)的成员在模糊集
Aij权重等级; 权重函数
wi(
X(
t))是非负的、可衡量的, 通常满足:
, 对任意
t>0.
在本文中, 模糊推理规则库被建立为
规则1??如果
S(
t)为正, 那么
W(
t)=
W1(
t)=
W+(
t).
规则2??如果
S(
t)为负, 那么
W(
t)=
W2(
t)=
W-(
t).
最后, 可通过重心法去模糊化来获得系统控制
W(
t):
 | (28) |
综上, 所设计的控制输入如下:
 | (29) |
其中:
 | (30) |
5 仿真分析为了验证提出的控制方案的性能, 将上面给出的控制器用于六轴机械臂, 并且为了更好地看出机械臂的实时运动情况, 同时也为了验证模型的准确性, 本文采用Matlab/Adams联合仿真
[13].
图 1是机械臂的二维结构简图,
图 2为导入到Adams中的机械臂模型.
图 1(Fig. 1)
图 2(Fig. 2)
根据式(1), 本文选取各关节理想轨迹
qd均为0.3sin(
t), 且所有关节的初始位置为0.
τd=[
Td1, …,
Td6]
T,
Tdi均为10.
τdi是扰动和未建模动态,
τ(
t)是转矩输入.
C=[10 10 10 10 10 10],
ρ=5.
表 1为六轴机械臂的具体参数, 详细算法参考文献[
14], 这里不赘述.
表 1(Table 1)
 表 1 六轴机械臂的基本参数Table 1 Basic parameters of a six-axis manipulator | 关节 | 长度(li)/m | 质量(mi)/kg | 质心(m)(x, y, z) | 惯性矩 | | 关节1 | 0.25 | 32 | (-0.03 -0.04 0.4) | (0.6 0.4 0.3) | | 关节2 | 0.65 | 32 | (-0.04 -0.03 0.7) | (1.4 1.4 0.15) | | 关节3 | 0.18 | 17 | (0.16 0.18 1.15) | (0.1 0.09 0.05) | | 关节4 | 0.65 | 18 | (-0.08 -0.09 1.2) | (1.1 1.1 0.06) | | 关节5 | 0.2 | 3.7 | (-0.3 -0.3 1.25) | (0.04 0.03 0.03) | | 关节6 | 0.05 | 1.3 | (-0.4 -0.4 1.25) | (4 3.1 3.1)e-4 |
| 表 1 六轴机械臂的基本参数 Table 1 Basic parameters of a six-axis manipulator |
图 3和
图 4分别是采用滑模控制和T-S模糊补偿滑模控制的6个关节的位置误差, 而
图 5为经典滑模控制与所提出的T-S模糊补偿滑模控制的6个关节的力矩.通过比较发现, 所提出算法的误差大约在0.005左右, 略大于经典滑模控制的误差, 但此误差在所能接受的范围内.而经典滑模控制存在较大的抖振, 所提出的算法可以很好地消除抖振, 因此更能应用于实际情况.此外, 根据
图 4, 通过应用所提出的控制, 机器人操作器的跟踪误差在很短的时间内会趋近于0, 而经典滑模控制大约要在1.5 s的时候才会趋近于0, 因此所提出方法的趋近速度更快.这是由于T-S模型的系统参数可以离线计算, 从而减轻了在线计算负担, 保留了快速响应的优点.
图 6和
图 7分别是通过Matlab/Adams联合仿真时各关节同基坐标系之间的位置以及各关节的空间运动轨迹.其相对位置曲线基本符合正弦函数的特征, 说明三维模型的确是在所建立的数学模型的基础上进行仿真的, 并且运动效果良好,
图 7六轴机械臂的空间运动轨迹平滑, 同样说明了运动的准确性与可靠性.
图 3(Fig. 3)
图 4(Fig. 4)
图 5(Fig. 5)
图 6(Fig. 6)
图 7(Fig. 7)
6 结语本文结合反馈线性化和T-S模糊模型, 提出基于模糊补偿的滑模控制器, 并将其用于存在结构化和非结构化不确定性的机械臂的控制中.该方法设计原理简单, 并且不存在经典滑模控制中抖振的问题.数学分析表明, 在结构化和非结构化不确定性存在条件下，所提出的闭环控制系统具有全局渐近稳定.联合仿真结果表明, 该方法有效地克服了现有方法的不确定性, 并且跟踪性能较好, 误差在可控范围内.收敛时间较经典滑模控制更快，同时验证了数学模型正确无误, 实际运动轨迹与所期望的相符, 符合实际工程应用需求.
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