王大志, 高明, 李召
东北大学 信息科学与工程学院, 辽宁 沈阳 110819
收稿日期：2017-04-26
基金项目：国家自然科学基金资助项目(61433004)。
作者简介：王大志(1963-), 男, 辽宁锦州人, 东北大学教授，博士生导师。

摘要：为了改善移相全桥直流变换器的输出性能, 提出一种重积分间接滑模控制策略.给出了移相全桥的动态模型, 同时采用李导数给出重积分间接滑模控制器的设计过程.分析了间接滑模控制过程中的降阶现象; 在三维相空间中描述了滑模存在域和滑动过程, 并给出滑模系数的整定公式.仿真和实验结果表明, 该控制策略可提升移相全桥变换器的鲁棒性和动态品质, 在保留滑模控制优点的同时有效消除间接滑模控制导致的输出残差.
关键词：移相全桥间接滑模控制重积分滑模控制鲁棒性李导数
Double Integral Indirect Sliding Mode Control for Phase-Shifted Full-Bridge Converters
WANG Da-zhi, GAO Ming, LI Zhao
School of Information Science & Engineering, Northeastern University, Shenyang 110819, China
Corresponding author: GAO Ming, E-mail: gaoming4869@163.com
Abstract: A double integral indirect sliding mode control strategy was proposed for phase-shifted full-bridge (PSFB) DC-DC converters to improve the output performance. The theoretical analysis of motion of sliding mode controlled system was done according to Lie derivative method. The order reduction in the process of indirect sliding mode controlling was analyzed. The existence region of sliding mode and sliding motion were described in three-dimensional phase space. The selection basis of the sliding surface coefficients was given. Experimental results show that the proposed control strategy can improve the robustness and dynamic quality of PSFB, and eliminate state errors in the output, based on the fortes of sliding mode control.
Key words: phase-shifted full-bridgeindirect sliding mode controldouble integral sliding mode controlrobustnessLie derivative
移相全桥(phase-shifted full-bridge, PSFB)以其大功率密度、高电压变比、零电压开关等优点而成为一种实用拓扑结构, 广泛用于光伏发电、电动汽车等分布式电源系统中.目前PSFB变换器的设计大多基于周期平均化建模的控制思想, 但采用线性定常化的控制策略无法保证PSFB适应分布式发电过程间歇性、随机性、不稳定的特点; 而滑模控制稳定性高、鲁棒性强、易于实现, 在开关变换器这类非线性系统中得到了广泛的研究和应用^[1-2].
由于二阶滑模控制的开关变换器存在非零的稳态误差, 于滑模面中引入误差积分项构成三阶滑模控制器, 三阶滑模控制也称为全阶或积分滑模控制.文献[3]以单相逆变器为例设计了滞环三阶滑模控制器, 有效消除了系统静差, 但其开关频率会由于工作负载与额定负载间的不匹配而产生大波动.文献[4]提出一种适用于Buck型电路的PWM积分滑模控制策略, 固定了开关工作频率, 但未考虑控制信号在间接等效过程中的降阶现象, 使得这种消除静差的方法并不可靠.为了实现零静差的最初目标, 二重积分作用被引入到滑模控制策略, 文献[5]利用二重积分状态变量构造滑模流形, 增加滑模控制器的阶数, 验证了其在消除稳态误差方面的有效性.
为了提升PSFB变换器的鲁棒性和动态品质, 并使滑模控制的变换器实现有效的零静差输出, 本文提出一种适于PSFB变换器的间接PWM型重积分滑模控制策略.
1 基于李导数的n阶系统滑模控制设单输入n阶变换器系统的状态空间描述为

(1)

式中:A, B, D∈Rⁿ; x=[x₁, x₂, …, x_n]^T∈Rⁿ, 为完全表征系统时间域行为的最小内部变量组; 离散输入量u为

(2)

定义光滑向量场f(x)与g(x)为

(3)

系统在滑模控制作用下的期望运动轨线为

(4)

式中:S(x)为光滑的标量函数; 常向量J=[k₁, k₂, …, k_n]∈Rⁿ.令S(x)分别对f(x), g(x)求取李导数, 得到两个新的标量函数L_fS和L_gS, 即

(5)

系统的渐进稳定满足局部可达条件:

(6)

根据系统运动式(4)的不变性, 得到等效连续输入量u_eq, 即

(7)

联立式(6)、式(7), 得到系统稳定运动的充要条件为

(8)

2 PSFB重积分间接滑模控制器2.1 PSFB动态模型PSFB的拓扑结构如图 1所示, 开关管S₁和S₃, S₂和S₄分别组成原侧的超前半桥HB1和滞后半桥HB2.每个桥臂在去除死区时间后互补导通180°, 且HB1领先HB2某一电角度(移相角)导通.通过控制移相角改变全桥输出交流方波电压的脉宽, 继而经过整流、滤波达到直流变压的目的.负载上的平均输出电压V_o为

(9)

图 1(Fig. 1)

图 1 PSFB的拓扑结构与等效电路Fig.1 Topology and equivalent circuit of PSFB

式中:δ为移相电角度; D_f为PSFB的移相比; n=N₂/N₁, 为变压器匝数比.
PSFB属于多子结构高阶Buck变换器族, 设开关为理想器件, 将PSFB简化为二阶Buck变换器, 如图 1所示.其中, C=C₂, L=L_f, 等效开关S_e的控制信号u为

(10)

等效信号u未改变实际开关逻辑顺序, 其占空比D_u等于移相比D_f, 即

(11)

选取输出电压误差x₁、电压误差变化率x₂、电压误差积分x₃和电压误差二重积分x₄构成状态向量组, 得到PSFB的状态空间方程为

(12)

式中: ；；
V_ref为给定参考电压；β为反馈系数；v_o为输出电压瞬时值.
2.2 重积分滑模控制器现有的滑模控制器大多是基于二阶或三阶的行为模型进行分析与设计, 其中三阶滑模控制器的滑模面构造为

(13)

由S(x)=0可以得到

(14)

式(14)说明当系统行为被限定在S(x)=0时, 内部动态x₂是由方程(14)限定的, 即滑模运动过程考虑的是一个降阶动态变量, 所以滑模控制本质上是一种降阶控制.通常k-1阶滑模控制器可实现k阶变换器的稳定控制, 因此, 在二阶Buck滑模控制器中引入积分项x₃的目的在于彻底消除静差, 改善系统鲁棒性和调节性能; 但由于积分项无法直接反映在等效控制信号中, 使得稳态误差会随着变换器开关频率的减小而增加.为此, 本文在积分滑模控制的基础上引入附加二重积分项, 用于校正间接控制中的积分残差.重新构造滑模流形S(x):

(15)

式中k₁, k₂, k₃和k₄为待选的滑模系数.
为便于分析, 将四维弯曲空间中的S(x)=0向三维立体空间中投影.图 2给出的是输入量u分别为1或0时的子系统相轨迹, 其中P和Q为两个子系统的收敛平衡点.滑模流形S(x)=0将状态空间分成两个子区域:当系统位于S(x)＞0的位置时, 须令u=1才能使相轨迹向S(x)=0运动; 相反, 当系统位于S(x)＜0的位置时, 须令u=0才能使相轨迹向S(x)=0运动.因此滑模控制规则为

(16)

图 2(Fig. 2)

图 2 滑模流形与系统相轨迹Fig.2 Sliding manifold and trajectory of system

2.3 间接控制的降阶现象控制律的典型实现方式是通过设置滞环宽度来限制工作频率直接驱动开关工作.但滞环调制下的开关频率会由于额定负载与工作负载间的不匹配出现大范围波动, 这给电磁干扰抑制和滤波器设计带来了困扰.为了获得固定的开关频率, 可将滑模控制信号等效为PWM型间接控制信号^[6-8], 作为PSFB的移相角来控制输出电压.
对于式(13)表示的三阶滑模控制器, 其等效连续函数u_e为^[4]

(17)

式中Δ为由变换器运行参数确定的常量.由式(17)可知, 间接控制信号u_e中并未显含积分项x₃, 这种隐含积分计算过程无法直接校正状态变量的偏差, 使得控制器的误差校正能力只取决于隐含积分计算精度.然而, 该计算过程是条件收敛的, 只有当切换频率达到无穷大时, 积分残差才可以趋近于零.导致上述现象的原因如下:等效连续信号是通过式(4)中滑模轨线的不变性推导得出, 此时滑模控制的降阶作用又再次被考虑, 使得积分计算降为开环过程; 式(4)的不变性是以频率无穷大为前提, 低频工作致使间接信号u_e只能近似于原始信号u.这也解释了为何滞环积分滑模可以有效消除静差, 而PWM积分滑模却失效, 尤其在开关频率较低时.
重积分滑模控制器通过引入附加二重积分项x₄, 与原有的计算项x₃组成PI闭环, 消除间接控制过程中的隐含积分残差, 以实现开关定频工作且无输出静差的目的，如图 1中所示，其中K_a，K_b，K_c，K_d为滑模控制器的增益系数，s为复变量.联立式(7)、式(12)和式(15)可得重积分间接滑模控制信号u_eq为

(18)

式中增益系数分别为: , , , .
2.4 滑模存在域与滑模运动控制信号u可保证系统轨迹向滑模流形趋近的可达性, 但系统能否进一步收敛平衡于原点O, 取决于是否满足滑模存在条件与稳定性要求.
状态变量x₁, x₂, x₃和x₄是相位正则关系, 直接得到式(15)的Laplace形式, 即

(19)

将Routh-Hurwitz稳定性判据应用于式(19), 得出控制器所有根均具有负实部的充要条件为

(20)

将式(12)、式(15)代入式(6)可得

(21)

为便于分析, 令系数k₂=1, 反馈系数β=1.将存在条件分成k₁＞1/(RC)和k₁＜1/(RC)两种情况.滑模存在域位于两个平行超平面α₁, α₂之间.

(22)

1) 当k₁＞1/(RC)时, 状态空间中的滑模存在域如图 3所示.
图 3(Fig. 3)

图 3 k1＞1/(RC)时的滑模存在域与滑模运动Fig.3 Existence region of sliding mode and sliding motion when k1 > 1/(RC)

子区域Ⅰ和Ⅱ分别为

(23)

可见存在域为滑模流形同时覆盖Ⅰ和Ⅱ的部分, 即子流形abcd, 其中ab为S(x)=0与α₁的交集, cd为S(x)=0与α₂的交集.系统大扰动时的相轨迹在非滑模存在域到达滑模流形并不停留, 仍沿着当前的子结构继续运行, 直到轨迹从abcd进入滑模流形, 开始向原点O滑动, 具体表现为系统输出超调, 终至稳定.整体运动轨迹为一条螺旋状的收敛曲线.
2) 当k₁＜1/(RC)时, 状态空间中的滑模存在域如图 4所示.
图 4(Fig. 4)

图 4 k1＜1/(RC)时的滑模存在域与滑模运动Fig.4 Existence region of sliding mode and sliding motion when k1 < 1/(RC)

此时的滑模存在域总是能够包络相轨迹, 使系统能够在第一时间内进入滑模流形，开始向原点O滑动, 不存在二次趋近过程；但过早地进入滑模流形使系统耗费较多时间进行滑动.因此, 考虑到过小的滑动系数会降低动态响应速度, 同时在实际设计时, 为了使控制器对变化负载具有良好的调节能力, 降低对负载电阻R的敏感性, 应选择滑动系数，使k₁?1/(RC).
2.5 滑模系数的选取式(21)给出了滑模系数取值的一般范围, 但未给出系数的选取依据及其与系统输出性能之间的关系.由式(18)可以看出, 等效控制u_eq与经典PID控制的构造类似, 增大K_a使系统的动作灵敏, 稳态误差减小, 但过大的系数导致振荡次数增多且调节时间更长; 增大K_b可以改善动态特性, 缩短调节时间但扩大超调; 增大K_d可消除稳态误差, 却会降低系统的稳定性.三者同时作用且相互牵制, 如何选取合适的滑模系数是控制器设计的关键问题.
将式(19)整理为标准三阶系统的Laplace形式, 即

(24)

式中:ω_n为自然频率; ζ为阻尼比; b为三阶系统的阻尼特性参数; s₀为三阶系统的一个实极点.在控制工程实践中, 通常调整高阶系统的增益使系统具有一对闭环共轭主导极点, 用二阶系统的动态性能指标来估算高阶系统的动态性能.令式(24)中的ζ保持不变, 且b的取值足以决定闭环极点s₀的非主导作用(本文取ζ=1, b=3).
按照Ackermann无静差控制器设计公式, 根据期望的动态特性选择滑动系数可以自动满足系统的稳定性条件^[9-10].对于衰减响应变换器, 系统处于滑模状态时的期望输出误差为

(25)

式中c₁, c₂和c₃由系统初始条件确定.
根据特征方程根与系数的关系可得

(26)

由于s₀为非主导极点, 系统的衰减率主要由ζω_n决定, 则衰减时间常数τ为

(27)

联立式(26)和式(27), 将ζ=1, b=3代入得到

(28)

按照1%误差范围准则, 定义系统调节时间T_a为5τ, 得到滑模系数比为

(29)

3 仿真与实验3.1 仿真在Simulink仿真环境中, PSFB变换器的主要仿真参数为:输入电压V_i =270 V, 变压器匝数比N₁:N₂=6:1, 参考电压V_ref =28 V, 反馈系数β=1, 输出滤波电感L_f =0.05 mH, 滤波电容C₂=110 μF, 开关频率f_s=10 kHz.按式(29)和式(18)确定增益系数K_a=0.135, K_b=0.648, K_c=0.022, K_d=367.71.图 5给出PWM重积分滑模控制PSFB变换器的输出特性, 可见在工况变化时系统能够严格回归到原点O, 但闭环积分运算在引入积分极点的同时牺牲了一定的稳定性, 导致出现轻微振荡, 因此可适当削弱K_d, 仅保证系统能够可靠回归到原点O附近的小区域.这样, 系统在零静差的同时能具有良好的瞬态特性.
图 5(Fig. 5)

图 5 PWM重积分滑模控制的PSFB输出特性Fig.5 Output waveform of PWM DISMC PSFB converter (a)—输出电压；(b)—x1-x2相平面；(c)—电压误差积分x3.

由图 6、图 7可知, PWM积分滑模控制和PWM重积分滑模控制的动态过程相似, 区别仅在于前者的积分计算属于发散过程, 导致系统在x₃轴上背向原点运行, 输出始终存在偏差; 而后者x₃与x₄构成PI闭环, 有效地消除了积分残差, 同时保留了原有的动态性能.
图 6(Fig. 6)

图 6 PWM积分滑模控制的PSFB输出特性Fig.6 Output waveform of PWM ISMC PSFB converter (a)—输出电压；(b)—电压误差积分x3.

图 7(Fig. 7)

图 7 调整后的PWM重积分滑模控制的PSFB输出特性Fig.7 Output waveform of PWM DISMC PSFB with adjusted Kd (a)—输出电压；(b)—电压误差积分x3.

3.2 实验搭建PSFB实验平台以验证本文的控制策略, 主要实验参数与仿真参数一致.图 8为三种控制方式下PSFB变换器的负载扰动输出波形.
图 8(Fig. 8)

图 8 三种控制方式下的负载扰动实验波形Fig.8 Output waveform of load disturbance under PWM ISMC, PWM DISM, PID, respectively (a)—PWM积分滑模控制；(b)—PWM重积分滑模控制；(c)—增量式PID控制.

图 8a中, PWM积分滑模控制下的变换器在负载突变前输出电压为27.8 V, 偏差尚在容许范围内(1%); 突变后输出电压为27.0 V, 超出容差范围.由图 8b可见, 本文提出的PWM重积分滑模控制能够保证PSFB变换器在负载突变前后的输出都稳定在期望值, 相比PWM积分滑模控制具有更高的输出精度.
另外, 与传统的增量式PID控制比较, 增量式PID控制下的输出电压超调量和调节时间约为1.87 V和687 μs, PWM重积分滑模控制下的输出电压超调量和调节时间为1.21 V和339 μs, 且无振荡.可见, 本文提出的PWM重积分滑模控制策略相比传统的PID控制能够保证PSFB变换器具有强鲁棒性和更好的动态品质.
4 结论1) 与PWM积分滑模控制相比, PWM重积分滑模控制的积分计算环节属于闭环过程, 可有效地消除系统静差, 同时保留滑模控制的优点.
2) 与传统的线性PID控制相比, PWM重积分滑模控制策略不仅能够使PSFB变换器具有强鲁棒性和更好的动态品质, 且控制器的增益系数可通过解析公式进行整定, 具备实际的应用意义.
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