吴青龙¹, 周奇才¹, 熊肖磊¹, 焦洪宇^1,2
1. 同济大学 机械与能源工程学院, 上海 201804;
2. 常熟理工学院 汽车工程学院, 江苏 苏州 215500
收稿日期：2017-05-15
基金项目：国家自然科学基金资助项目(51375345)；国家自然科学基金青年基金资助项目(51605046)。
作者简介：吴青龙(1990-), 男, 四川成都人, 同济大学博士研究生;
周奇才(1962-), 男, 上海人, 同济大学教授, 博士生导师。

摘要：为实现塔式起重机臂架布局和尺寸的优化, 提出了桁架结构拓扑及尺寸两阶段优化设计方法.第一阶段先建立臂架的周期性板梁拓扑优化模型, 使用周期性SKO方法对腹板进行连续体拓扑优化, 得到优化的腹板拓扑构型, 并通过提取主应力路径将优化的腹板拓扑结构转化为离散的腹杆布局; 第二阶段以臂架腹杆截面半径为设计变量, 臂架柔度为目标函数, 材料体积为约束条件建立优化模型, 基于Lagrange乘子法和库恩塔克条件推导腹杆截面尺寸优化迭代准则, 基于欧拉公式推导了腹杆稳定性约束条件以保证尺寸优化过程中臂架稳定性.数值分析结果表明, 该优化方法能有效地减轻臂架结构质量, 提高臂架的刚度, 减少变形并降低结构应力水平.
关键词：起重机臂架拓扑优化尺寸优化周期性SKO优化准则法
Layout and Size Optimization Design of Tower Crane Boom Webs
WU Qing-long¹, ZHOU Qi-cai¹, XIONG Xiao-lei¹, JIAO Hong-yu^1,2
1. School of Mechanical Engineering, Tongji University, Shanghai 201804, China;
2. School of Automotive Engineering, Changshu Institute of Technology, Suzhou 215500, China
Corresponding author: ZHOU Qi-cai, E-mail: qczhou@tongji.edu.cn
Abstract: For the layout and size optimization of tower crane booms, a two-stage topology and size optimization method was proposed. In the first stage, a periodic plate-beam topology optimization model of the boom was established, and the continuum topology optimization of the web plate was performed by using the periodic SKO method. After getting the optimized topology of web plate, the optimized web topology was transformed into a discrete web layout through the extraction of the principal stress path. In the second stage, the size optimization mathematical model was established with the web radius taken as the design variable, the boom compliance as the objective function and the material volume of the boom as the constraint. The size optimization criterion was deduced by the Lagrange multiplier method and Kuhn-Tucker condition. In addition, the stability constraints of the webs were proposed to ensure the boom stability during the size optimization process based on the Euler formula. By comparing the original boom with the optimal booms, the optimization method can effectively reduce the mass of the boom, increase the rigidity of the boom, and reduce the deformation and structural stress level.
Key words: crane boomtopology optimizationsize optimizationperiodicitySKO(soft kill option)optimization criterion
塔式起重机是我国基础设施建设的重要保障, 目前针对塔式起重机的优化设计较多集中在尺寸优化层次.冯政钧^[1]对塔式起重机臂架进行了参数化建模和分析, 以臂架杆件尺寸为设计变量, 质量为目标函数, 利用ANSYS软件内置的优化模块进行了优化设计.Jia等^[2]利用ANSYS APDL语言建立QTZ5010塔架的有限元模型, 通过静力学分析得到应力应变分布及其强度和刚度余量, 以横截面尺寸为设计变量, 在极端工况下建立了动臂的应力和应变数学模型, 实现了塔式起重机臂架结构的轻量化设计.在形状优化和拓扑优化方面, 研究相对较少.Aelmi?等^[3]对三角形塔式起重机臂架的截面进行了优化设计, 推导出实用的优化公式.Mijailovi?等^[4]以结构总质量为目标函数, 应力为约束条件, 对格构形塔式起重机吊臂横截面优化问题开展研究, 总结了臂架梯形、三角形和矩形横截面的应用建议.Li等^[5]基于桁架基结构, 使用SKO方法得到了优化的臂架杆系布局形式.Wu等^[6]改进了SKO方法并进行了塔式起重机腹杆拓扑布局优化.
在针对细长结构的周期性优化方面, Huang等^[7]提出了一种利用双向进化结构优化技术对周期性结构进行拓扑优化的方法.焦洪宇等^[8]研究了基于变密度法的连续体周期性拓扑优化方法，并对桥式起重机箱型主梁进行了周期性拓扑优化.
与现有研究不同, 本文提出的塔式起重机臂架腹杆布局及截面尺寸优化方法的优化流程为:首先建立待优化结构的连续体单元有限元模型; 接下来使用连续体拓扑优化方法寻求臂架最优材料布局, 并依据主应力路径将连续体拓扑结构转化为离散桁架结构, 即完成第一阶段拓扑优化; 最后基于优化准则法对臂架杆件的截面尺寸进行优化, 得到具有优化的杆件布局和截面尺寸的塔式起重机臂架, 完成第二阶段优化.
1 QTZ63塔式起重机参数1.1 外形及载荷参数以某QTZ63塔式起重机为对象开展臂架腹杆布局和尺寸的优化研究, 臂架结构外形参数如图 1所示, 各杆件参数如表 1所示.
图 1(Fig. 1)

图 1 QTZ63塔式起重机臂架整体与截面形状及尺寸参数(mm)Fig.1 Shape and size of the overall QTZ63 crane boom and its section

表 1(Table 1)

表 1 臂架杆件参数Table 1 Parameters of the crane boom members 杆件 截面形状 尺寸/mm 材料 下弦杆 槽钢 12# Q235C 上弦杆 空心圆管 ?108×8 20钢 侧腹杆 ?42×4 下横腹杆 ?38×4 下斜腹杆 ?42×4

表 1 臂架杆件参数 Table 1 Parameters of the crane boom members

本文选取QTZ63起重机不同幅度下的3种额定工况开展优化设计.3种工况分别为:工况A，最大幅度工况; 工况B，最大应力工况; 工况C，最大起重工况.工况参数如表 2所示.
表 2(Table 2)

表 2 优化工况参数Table 2 Optimization load parameters 参数 工况A 工况B 工况C 幅度/m 50 24 14.7 吊重/t 1.3 3.4 6

表 2 优化工况参数 Table 2 Optimization load parameters

1.2 原始臂架性能分析对原始塔式起重机模型进行分析, 可得到3种典型工况下臂架的性能参数如表 3所示.
表 3(Table 3)

表 3 原始臂架性能参数Table 3 Performance parameters of the original boom 参数 工况A 工况B 工况C 应变能/J 1 363.6 921.8 606.7 最大位移/m 0.273 0.130 0.125 最大应力/MPa 93.5 102 104 失稳因子 5.8 10.7 12.4 臂架质量/kg 3 053.7

表 3 原始臂架性能参数 Table 3 Performance parameters of the original boom

2 塔式起重机臂架优化模型使用图 1及表 1中的参数建立QTZ63塔式起重机臂架优化有限元模型, 如图 2所示.优化模型具体参数为:上、下弦杆采用梁单元模拟, 腹杆采用杆单元模拟.而待优化区域(即侧面腹杆区域)则将原臂架的侧腹杆删除, 代以板壳单元.
图 2(Fig. 2)

图 2 臂架有限元优化模型Fig.2 FEM optimization model of the boom

3 臂架结构腹杆周期性布局优化使用周期性SKO方法对起重臂腹板开展拓扑优化设计^[6], 3种工况下腹板拓扑优化结果如图 3所示.可以看出, 各工况下所得臂架腹板优化拓扑虽有一定差异, 但整体布局十分接近, 为简化处理, 本文直接采用工况A的拓扑优化结果作为3种工况拓扑优化结果的代表.图 4为工况A优化结果的三维详细图示.
图 3(Fig. 3)

图 3 典型工况下腹板优化拓扑布局Fig.3 Optimized topology of the typical load cases

图 4(Fig. 4)

图 4 臂架腹板工况A拓扑优化结果Fig.4 Web topology optimization result of load case A

提取连续体拓扑优化模型中的主应力路径, 按此路径提取骨架并转化为离散的桁架结构, 得到的优化臂架腹杆布局如图 5所示.骨架提取算法的详细理论可参见文献[9].图 5所示臂架中杆件截面尺寸采用表 1中所列杆件截面.该结构即为第一阶段拓扑优化后所得臂架, 其性能参数如表 4所示.
图 5(Fig. 5)

图 5 提取骨架所得拓扑优化臂架Fig.5 Topology optimization boom after skeleton extraction

表 4(Table 4)

表 4 拓扑优化臂架性能参数Table 4 Performance parameters of the topology optimization boom 参数 工况A 工况B 工况C 应变能/J 1 269.4 874.8 591.2 最大位移/m 0.257 0.123 0.116 最大应力/MPa 89.7 97.2 98.7 失稳因子 5.7 10.9 12.4 臂架质量/kg 2 854.8

表 4 拓扑优化臂架性能参数 Table 4 Performance parameters of the topology optimization boom

4 臂架结构尺寸优化4.1 优化数学模型臂架腹杆尺寸优化数学模型如式(1)所示, 其中设计变量为起重臂腹杆截面参数, 状态变量为腹杆材料体积, 目标函数为起重臂总体柔度.

(1)

式中:r_{i, 1}, r_{i, 2}, u_i, k_i分别为腹杆i的内、外半径、节点位移和刚度矩阵; R为全部腹杆半径参数向量; C, U, K, F分别为臂架柔度、位移向量、刚度矩阵和载荷向量; V，V^*为腹杆体积及约束; r_max, r_min为半径上下限.
4.2 优化准则推导基于Lagrange乘子法构建数学模型(1)的拉格朗日函数(2)，并基于库恩塔克条件推导得到腹杆尺寸优化准则(3), 并进一步得杆件截面尺寸的迭代公式(4).该准则的详细推导可参见文献[10].

(2)

式中:λ₁, μ₁, μ₂, μ₃, μ₄为拉格朗日乘子, λ₁为矢量, μ₁, μ₂, μ₃, μ₄为标量; x₁, x₂, x₃, x₄为松弛变量.

(3)

其中, u_i^Tk_iu_i=2e_i, e_i为i单元应变能.

(4)

式中, δ为稳定系数, 用于减慢优化速度, 稳定优化进程.
4.3 拉格朗日乘子计算式(4)中, f_i^(k)=2e_i^(k)/(μ₁^(k)·v_i^(k)), μ₁^(k)是体积约束Lagrange乘子.假设在k+1次迭代时满足体积约束条件, 即

(5)

将r_{i, j}^(k+1)=f_i^(k)r_{i, j}^(k)代入式(5), 经整理得到

(6)

(7)

4.4 稳定性约束条件依据稳定安全系数法, 对臂架中斜腹杆施加稳定性约束:

(8)

式中:n_st为稳定安全系数; [σ_cr]为稳定许用应力.钢制压杆的n_st=1.8~3.0, 本文选取n_st=2.5.
细长压杆临界压力和应力由式(9)和式(10)计算.

(9)

(10)

式(10)中, 取λ=μl/i表示柔度或长细比, 为惯性半径.式(11)为新的临界应力表达式：

(11)

将式(11)代入式(8)并整理得到

(12)

通过提取单元的应力及材料弹性模量等, 计算式(12)的右侧部分, 然后提取杆件的面积及惯性矩, 计算式(12)左侧长细比, 对比式(12)不等式两侧是否满足要求, 以限制长细比在稳定范围内.若不符合要求, 则不接受本次优化所得该杆件的结果, 而依然采用该杆件上次迭代的优化结果, 保证杆件的稳定性.
4.5 臂架腹杆尺寸优化基于上述桁架结构尺寸优化算法, 使用ANSYS软件及APDL语言编写优化程序, 对QTZ63塔式起重机臂架腹杆开展尺寸优化.3种工况优化过程中材料体积和臂架应变能的变化如图 6所示, 优化后臂架性能分析结果如表 5所示.
图 6(Fig. 6)

图 6 3种工况尺寸优化过程中参数变化Fig.6 Parameters variation in the size optimization process for 3 load cases (a)—工况A；(b)—工况B；(c)—工况C.

表 5(Table 5)

表 5 3种工况优化臂架性能参数Table 5 Performance parameters of the 3 load cases′ optimization boom 参数 工况A 工况B 工况C 应变能/J 1 177.4 696.1 473.0 最大位移/m 0.243 0.101 0.091 最大应力/MPa 85.2 87.3 91.4 臂架质量/kg 2 296.7 2 334.6 2 327.1

表 5 3种工况优化臂架性能参数 Table 5 Performance parameters of the 3 load cases′ optimization boom

图 6和表 5为3种工况下分别优化所得结果.为满足多工况的工作需求, 对单一工况下的优化结果进行包络处理.即对某一特定杆件, 取3种工况优化结果的最大值, 如式(13)所示, 以保证承载要求.

(13)

式中:r_i表示包络后杆件i的半径参数; r^LS1_i, r_i^LS2, r^LS3_i分别表示3种工况下杆件i优化后的半径参数.
尺寸优化结果经包络处理后臂架的性能参数如表 6所示.由图 7可以直观地看出拓扑优化、拓扑及尺寸优化后的臂架与原始臂架的性能变化情况, 其中绘制出了臂架质量、应变能、最大位移及最大应力在优化过程中的变化情况, 而臂架的稳定性基本没有变化, 故未绘制稳定性变化曲线.与原始臂架相比, 优化后的臂架在钢材使用量减少、质量减轻的情况下, 加强了臂架的刚性并降低了结构中的最大应力.图 8显示了3种典型工况下, 原始臂架与两阶段优化臂架的变形情况及性能参数的计算截图.
表 6(Table 6)

表 6 拓扑及尺寸优化臂架性能参数Table 6 Performance parameters of the topology and size optimization boom 参数 工况A 工况B 工况C 应变能/ J 1 187.5 743.3 523.6 最大位移/m 0.247 0.113 0.105 最大应力/MPa 86.5 90.3 95.5 失稳因子 4.9 10.0 12.2 臂架质量/kg 2 675.4

表 6 拓扑及尺寸优化臂架性能参数 Table 6 Performance parameters of the topology and size optimization boom

图 7(Fig. 7)

图 7 2阶段优化过程中臂架性能参数变化Fig.7 Performance variation of the boom in the two-stage optimization process (a)—臂架质量变化；(b)—臂架应变能变化；(c)—臂架最大位移变化；(d)—臂架最大应力变化.

图 8(Fig. 8)

图 8 原始臂架与2阶段优化臂架分析结果Fig.8 Analysis results of the original boom and two-stage optimization booms (a)—工况A；(b)—工况B；(c)—工况C.

5 结论总体来说, 通过SKO拓扑优化技术及尺寸优化准则法的应用, 本文提出的基于连续体拓扑优化的塔式起重机臂架腹杆布局及尺寸的优化方法依次经过拓扑、尺寸两个阶段的优化过程, 拓扑优化得到受力更为合理的腹杆布局, 尺寸优化达到最优, 减少冗余材料.详细的数据分析表明, 由原始臂架、拓扑优化臂架到拓扑及尺寸优化臂架, 不仅质量减轻, 臂架的强度、刚度等力学性能得到提高, 稳定性也并没有因为材料的减少而遭到破坏.此外, 周期性优化一方面可以克服臂架细长难以优化的问题, 同时也有利于优化臂架的实际工程应用.
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