孙伟, 刘小舟, 王茁, 朱明伟
东北大学 机械工程与自动化学院, 辽宁 沈阳 110819
收稿日期：2016-02-29
基金项目：国家自然科学基金资助项目(51375079)。
作者简介：孙伟(1975-)，男，辽宁营口人，东北大学副教授，博士生导师。

摘要：基于Ritz理论, 研究了解析求解硬涂层悬臂层合板固有特性的方法.用中性面的位移表征硬涂层悬臂层合板的应变能和动能, 然后推导出硬涂层悬臂层合板自由振动的运动方程, 并给出求解该复合结构固有频率、模态振型、模态损耗因子的方法.以涂覆NiCoCrAlY+YSZ硬涂层的T300/QY89l1型层合板为对象进行了实例研究, 分别采用本文方法和ANSYS软件求解该复合结构的固有特性, 通过结果比对证明了本文方法的合理性.实践表明, 将硬涂层视为复合结构一个特殊的层和采用量纲反变换, 可有效获得具有工程意义的硬涂层层合板固有特性参数.
关键词：硬涂层悬臂层合板复合结构固有特性解析分析
Analytical Analysis of Natural Characteristics for Cantilevered Laminate Plate with Hard-Coating
SUN Wei, LIU Xiao-zhou, WANG Zhuo, ZHU Ming-wei
School of Mechanical Engineering & Automation, Northeastern University, Shenyang 110819, China
Corresponding author: SUN Wei, E-mail: weisun@me.neu.edu.cn
Abstract: Based on the Ritz theory, an analytical method of solving the natural characteristics of hard-coating cantilever laminate plate was developed. The strain and kinetic energy of composite plate was characterized by the displacement of neutral surface, then the free vibration equation was derived and the methods of solving natural frequency, mode shape and modal loss factor were presented. A T300/QY89l1 laminate plate coated with NiCoCrAlY+YSZ hard coating was chosen to demonstrate the as-proposed method. The natural characteristics were calculated by the as-proposed method and ANSYS software, respectively. The obtained results were compared with the purpose of assessing the rationality of the method proposed. The practice shows that the natural characteristic parameters of hard-coating cantilever laminate plate with engineering significance can be obtained by treating the hard-coating layer as a special layer and implementing the inverse transformation of dimension.
Key Words: hard coatingcantilever laminate platecomposite structurenatural characteristicsanalytical analysis
由几种材料组成的层合板复合材料具有诸如高的比强度、比刚度等优越的力学性能, 已在航空、航天领域得到广泛的应用^[1].用于航空发动机中的层合复合材料主要是金属基复合材料, 例如钛基复合材料和纤维增强塑料类复合材料^[2]，前者可提高发动机构件的力学性能, 而后者可减少发动机构件的质量.目前, 上述材料还处于研发和改进中, 其中, 抗高温、抗腐蚀和抗振性(也可理解为抗高周疲劳)是这类材料应用到发动机中遇到的瓶颈问题.
由金属基、陶瓷基或者两者混合制成的硬涂层, 可作为热障涂层^[3], 也可作为耐磨和抗腐蚀涂层^[4], 近年的研究发现硬涂层还可作为减振涂层^[5].因而将硬涂层涂敷在层合板的外表面, 对于解决在航空发动机内工作的层板结构件抗高温、抗腐蚀和抗振性问题, 将是一种非常有前景的解决方案.
创建硬涂层层合板复合结构的动力学分析模型是这项减振措施研究的前提.目前关于层合板动力学已经进行了大量的研究, 例如, Chen等^[1]针对简支正交层合板的固有特性问题, 采用三维弹性理论进行了分析与求解.Khdeir^[6]针对具有对边简支约束的矩形层合板, 采用一阶剪切变形理论对该板的振动响应进行了求解.关于悬臂状态层合板的精确解很难得到, 一般是利用半解析理论求解.例如, Narita等^[7]针对悬臂对称层合板, 采用Ritz法进行了计算; Qatu^[8]同样采用Ritz法, 针对悬臂矩形和梯形层合板的固有特性进行了分析.
硬涂层减振是一种全新的阻尼减振模式, 包含硬涂层的层合板动力学特性目前还没有人进行专项研究.特别地, 硬涂层阻尼减振作为一种可以工程化实施的减振措施, 需要获得硬涂层复合结构有量纲的振动特性参数, 这与文献[1, 6-8]中仅用频率系数来表征层合板的振动特性有着明显的不同.因而如何获得有量纲的硬涂层层合板的振动特性参数将是本文需要解决的一个重要问题.本文研究了硬涂层悬臂层合板的固有特性(固有频率、模态振型及模态损耗因子)的解析计算方法.
1 硬涂层层合板应变能及动能的求解获得硬涂层悬臂层合板的应变能及动能是基于Ritz法进行振动分析的基础.如图 1a所示的硬涂层悬臂层合板结构, 板的长、宽为a，b, 在层合板的上下表面完全涂敷厚度为H_c的硬涂层.设涂层前层合板为对称层合板, 厚度为H_s, 则涂层后, 层合板仍具有对称性, 总厚度变为H_s+2H_c.设xOy坐标面恰好位于硬涂层层合板的中面上.层合板中任意层的纤维方向角θ的定义见图 1b.如将硬涂层也视为层合板的一个特殊层, 参见图 1c，从下至上层合板外表面及结合面的厚度方向坐标可用z₁, z₂, …, z_N+1表示, N为总层数.
图 1(Fig. 1)

图 1 硬涂层悬臂层合板结构Fig.1 Cantilevered laminate plate structure applied with hard coating (a)—悬臂矩形板；(b)—纤维角; (c)—涂层后.

在层合板中任取一层, 层号为i, i=1, 2, …, N, 则该层中应力和应变的本构关系可表示为

(1)

这里σ_x, σ_y, τ_xy, ε_x, ε_y, γ_xy分别为第i层x, y平面内的应力和应变；Q_jl, j, l=1, 2, 6为弹性矩阵Q⁽ⁱ⁾的元素.对于硬涂层, 假定为各向同性, 包含2个材料参数, 分别为复弹性模量E_c^*和泊松比ν_c, 其中复弹性模量E_c^*可表达为

(2)

这里E_c为硬涂层的杨氏模量, η_c为硬涂层的损耗因子.另外, 对于硬涂层, 计算弹性矩阵时需取纤维方向角θ=0.
按照经典薄板理论, 并仅考虑硬涂层层合板的横向运动, 则层合板的应变能U可表达为

(3)

这里w₀为层合板中面的横向位移；D_jl(j, l=1, 2, 6) 为层合板的弯曲刚度系数, 可组成如下弯曲刚度矩阵：

(4)

上述弯曲刚度的求解式为

(5)

硬涂层层合板的动能T可表示为

(6)

这里m为硬涂层层合板单位面积的质量：

(7)

这里ρ_i为第i层的密度.
硬涂层悬臂层合板的自由振动可假设成谐振形式, 表达为

(8)

W(x, y)为响应幅度, ω₀为固有频率.
参照式(3) 及式(8), 硬涂层层合板的最大应变能可表达为

(9)

其中

(10)

类似地, 参照式(6) 和式(8), 硬涂层层合板的最大动能可表示为

(11)

2 运动方程的建立及固有特性求解将硬涂层悬臂层合板的响应幅度W(x, y)写成量纲为一的多项式组合形式^[9],

(12)

这里α=x/a, β=x/b；M和N为考虑的多项式的数量, 通常取M=N；c_mn为待定参数；P_m(α)和P_n(β)为特征正交多项式, 对应于悬臂状态, 可利用以下迭代公式求解：

(13)

其中,

(14)

可见在指定M和N数量后, 式(12) 变为关于α和β的量纲为一的多项式函数.如果将α=x/a, β=x/b再代回式(12)，则横向位移W重新变成关于x, y的函数.进一步, 根据Ritz法,

(15)

可得到关于c_mn的广义特征值问题, 具体如下:

(16)

这里K_R和M分别为复刚度矩阵的实部及质量矩阵, ω₀²为特征值, c是由待定常数c_mn组成的向量(对应于特征向量).质量矩阵M中第(m-1)N+n行, 第l+(j-1)N列的元素的表达式为

(17)

复刚度矩阵K^*中第(m-1)N+n行, 第l+(j-1)N列的元素的表达式为

(18)

利用方程(16)，采用数值算法, 可获得硬涂层悬臂层合板的特征值(固有频率)和特征量.将特征向量代入到方程(12) 可得到硬涂层层合板的二维模态振型.
为了表征硬涂层的减振能力, 获得涂覆硬涂层后复合结构的模态损耗因子至关重要, 这里按经典的模态应变能法^[10]求解, 求解公式可描述为

(19)

这里η_r为第r阶模态损耗因子, K_I为所获得的复刚度矩阵虚部.
3 实例研究3.1 问题描述以涂覆NiCoCrAlY + YSZ硬涂层的T300/QY8911型层合板为例实践本文所研发的方法.设涂覆硬涂层后, 整个复合板层数为6.其中上下表面为硬涂层, 基体层数为4, 从上到下各层的纤维方向角分别为:0°, 30°, -30°, -30°, 30°, 0°.硬涂层层合板的长和宽均为100 mm，基体每层厚0.5 mm，硬涂层每层厚0.06 mm.基体及硬涂层材料参数见表 1.
表 1(Table 1)

表 1 复合板的材料参数Table 1 Material parameters of composite plate 基体 E1/GPa E2/GPa G12/GPa υ12 ρ/(kg·m-3) 135.0 8.80 4.47 0.33 1 380.0 硬涂层 Ec/GPa ηc υc ρc/(kg·m-3) 54.494 0.021 2 0.3 5 600

表 1 复合板的材料参数 Table 1 Material parameters of composite plate

3.2 硬涂层层合板固有特性的求解分别采用本文所研发的方法及ANSYS软件计算该硬涂层层合板的前6阶固有频率、模态振型及模态损耗因子.层合板有限元模型见图 2.
图 2(Fig. 2)

图 2 硬涂层悬臂层合板有限元模型Fig.2 Finite element model of hard-coating cantilevered laminate plate

用Matlab编程实现所研发的解析算法.这里式(15) 中考虑的多项式数为M=N=8.为了验证收敛性, 分别选取了6项, 7项, 8项, 9项, 10项.实践表明，当项数取为8的时候, 结果收敛，保证了计算精度和效率.利用式(16) 及式(12) 可分别获得硬涂层层合板固有频率和模态振型, 利用式(19) 可获得复合结构的模态损耗因子.相应的计算结果见表 2、表 3和图 3.
表 2(Table 2)

表 2 采用解析法和基于ANSYS软件获得的硬涂层悬臂层合板的固有频率Table 2 Natural frequencies of hard-coating cantilevered laminate plate obtained by analytical method and ANSYS 阶次 固有频率/Hz |ωA－ωF| 解析计算(ωA) ANSYS(ωF) ωF 1 214.6 212.5 0.99 % 2 504.2 495.1 1.84 % 3 1 137.2 1 089.3 4.40 % 4 1 401.6 1 373.8 2.02 % 5 1 855.9 1 799.6 3.13 % 6 2 514.8 2 396.5 4.94 %

表 2 采用解析法和基于ANSYS软件获得的硬涂层悬臂层合板的固有频率 Table 2 Natural frequencies of hard-coating cantilevered laminate plate obtained by analytical method and ANSYS

表 3(Table 3)

表 3 采用解析法和基于ANSYS软件获得的硬涂层悬臂层合板的模态损耗因子Table 3 Modal loss factors of hard-coating cantilevered laminate plate obtained by analytical method and ANSYS 阶次 模态损耗因子×10-4 |ηA－ηF| 解析计算(ηA) ANSYS(ηF) ηF 1 37 36 2.78 % 2 43 41 4.88 % 3 63 61 3.28 % 4 42 40 5.00 % 5 44 43 2.33 % 6 77 74 3.90 %

表 3 采用解析法和基于ANSYS软件获得的硬涂层悬臂层合板的模态损耗因子 Table 3 Modal loss factors of hard-coating cantilevered laminate plate obtained by analytical method and ANSYS

图 3(Fig. 3)

图 3 采用解析法和基于ANSYS软件获得的硬涂层悬臂层合板模态振型Fig.3 Mode shapes of hard-coating cantilevered laminate plate obtained by analytical method and ANSYS (a)—解析法；(b)—基于ANSYS软件.

在基于ANSYS软件的求解中, 采用SHELL281单元来模拟硬涂层层合板.有限元模型(见图 2)共有1 200个单元, 1 281个节点.在该有限元模型中共用了三层单元, 其中上下两层单元为硬涂层, 中间单元为层合板基体.利用section/shell命令设置各层几何参数, 利用nummgr和numcmp命令将上中下层对应的各个节点耦合在一起.针对所创建的有限元模型采用分块兰索斯法计算固有频率和模态振型, 同样采用经典的模态应变能法计算损耗因子, 将获得的结果同样列在表 2、表 3和图 3中.
比较解析法和基于ANSYS软件计算获得的硬涂层层合板固有特性可以看出, 固有频率计算的最大偏差为4.94 %, 模态损耗因子计算的最大偏差为5 %, 模态振型基本一致；证明了本文研发的用于获得硬涂层层合板固有特性的解析算法的合理性.
4 结论1) 将硬涂层视为层合板特殊的层是一种有效分析硬涂层层合板结构振动特性的方法.在具体实施中, 只需将硬涂层的材料参数变为各向同性及复模量, 即可按照统一的层合板理论获得该复合结构的固有特性.
2) 先将硬涂层悬臂层合板的响应幅度用量纲为一的多项式表达, 然后通过量纲反变换并代入拉格朗日方程则可获得有量纲的特征方程, 进而实现有量纲的固有频率求解.
3) 将解析计算获得的硬涂层层合板固有特性与基于ANSYS软件获得的结果进行比较, 发现:固有频率和模态损耗因子最大偏差小于5%, 两者模态振型基本一致，充分说明了本文解析方法的合理性.
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