, 汪晋宽2, 刘文敏2, 高静11. 东北大学秦皇岛分校, 计算机与通信工程学院, 河北 秦皇岛 066004;
2. 东北大学 计算机科学与工程学院, 辽宁 沈阳 110169
收稿日期：2016-05-16
基金项目：国家自然科学基金资助项目（61473066，61403069）；中央高校基本科研业务费专项资金资助项目（N152305001）。
作者简介：宋昕(1978-), 女, 吉林通化人, 东北大学教授;
汪晋宽(1957-), 男, 辽宁营口人, 东北大学教授, 博士生导师。
摘要：针对导向矢量偏差和转换误差导致传统波束形成器的性能下降及均匀圆阵不具有范德蒙结构的问题，提出了一种基于均匀圆阵的稳健迭代波束形成算法.该算法利用相位模式转换技术推导出虚拟自相关矩阵，并把导向矢量限定于确定的椭圆集合中.从最差性能优化的设计思想出发，构造基于均匀圆阵的二阶凸规划的代价函数，再利用拉格朗日乘子法求得权重矢量的闭式解表达式且能够准确求出优化解中的对角载入值.仿真结果表明：所提算法能够提高系统的稳健性，改善了阵列的输出性能.
关键词：稳健自适应波束形成均匀圆阵相位模式转换信号导向矢量偏差
Robust Iterative Beamforming Algorithm Based on Uniform Circular Array
SONG Xin1
, WANG Jin-kuan2, LIU Wen-min2, GAO Jing11. School of Computer and Communication Engineering, Northeastern University at Qinhuangdao, Qinhuangdao 066004, China;
2. School of Computer Science & Engineering, Northeastern University, Shenyang 110169, China
Corresponding author: SONG Xin, professor, E-mail:sxin78916@neuq.edu.cn
Abstract: The performances of traditional beamformers degrade severely in the presence of signal steering vector mismatches and transformation errors, and the uniform circular array (UCA) does not have the Vandermonde structure, a novel robust iterative beamforming algorithm based on the uniform circular array was proposed. Using phase-mode transformation technique, the virtual correlation matrix was obtained and the steering vector was belong to the certain ellipsoid set. The worst-case performance optimization was used and the cost function of second convex programming was constructed based on UCA. The weight vector has a closed-form solution by the Lagrange multiplier method, in which the diagonal loading factor was derived exactly. The simulation results showed that the proposed algorithm can provide efficient robustness and improve the array output performance.
Key Words: robust adaptive beamforminguniform circular arrayphase-mode transformationsignal steering vector mismatches
作为阵列信号处理的一项关键技术, 自适应波束形成已在无线通信、雷达和自适应信道均衡等诸多领域获得广泛应用[1-3].最小方差无畸变响应(MVDR)算法具有稳定性高、结构简单、易于实现等优点，而且能够突破瑞利限的限制.然而, 当假定的和真实的导向矢量存在偏差, 将会导致传统MVDR算法的性能急剧下降.因此, 提高波束形成器的稳健性成为了研究者们关注的热点.近年来, 为了解决传统波束形成算法存在的问题, 学者们提出了一些有效的稳健波束形成算法[4-6], 其中大多数是以均匀线阵为基础展开研究的, 理论上比较严格, 但实际应用中通常是基于均匀圆阵(UCA)的, 且UCA的阵列流形不具备范德蒙结构, 致使那些自适应算法不能直接应用于UCA中.文献[7]所提出的算法虽然采用了相位模式转化的方法, 但权重矢量的求解是利用了Matlab软件并没有给出闭式解表达式.为克服以上所述问题, 提出了一种基于均匀圆阵的稳健迭代自适应算法.采用相位模式转换法与拉格朗日乘子法相结合的方式, 对信号导向矢量进行优化求解, 更新对角载入值, 最终推导出权重矢量的闭式解表达式.
1 基于均匀圆阵的相位模式转换假设均匀圆阵是由M个阵元组成, 则自适应阵列接收的数据矢量在k时刻的表达式为
 | (1) |
 | (2) |
采用相位模式转换将均匀圆阵变换为虚拟的均匀线阵, 使其具有范德蒙结构.
相位模式转换矩阵定义为[7]
 | (3) |
 | (4) |
 | (5) |
传统最小方差无畸变响应MVDR算法的优化函数为
 | (6) |
 | (7) |
2 基于均匀圆阵的稳健迭代自适应波束形成算法2.1 权重向量的求解在实际中往往把导向矢量偏差Δa的模值上限假定为ξ>0, 同时考虑其他偏差情况(如采样数少、数据非平稳性等).从而基于均匀线阵的稳健算法的代价函数为[8]
 | (8) |
基于均匀圆阵的代价函数(8) 可转换为
 | (9) |
 | (10) |
对式(9) 利用拉格朗日乘子法得到函数:
 | (11) |
 | (12) |
 | (13) |
令Lagrange函数H(?, φ)的梯度矢量为零, 推导出最优权重矢量为
 | (14) |
显而易见, 所提稳健迭代自适应算法属于对角载入的范畴, 其载入因子为
式(9) 的约束条件为
 | (15) |
 | (16) |
 | (17) |
 | (18) |
 | (19) |
 | (20) |
 | (21) |
 | (22) |
2.3 信号偏差约束参数ξ的选取信号偏差的优化函数为
 | (23) |
 | (24) |
 | (25) |
 | (26) |
 | (27) |
综合式(26) 和(27), 得出参数ξ的范围为
 | (28) |
实验1??传统MVDR算法和本文算法在不同采样数下的性能比较.
图 1(Fig. 1)
 | 图 1 阵列输出的信干噪比Fig.1 Array output SINR (a)—无偏差；(b)—3°偏差. |
图 2(Fig. 2)
 | 图 2 阵列输出的信干噪比Fig.2 Array output SINR (a)—无偏差；(b)—3°偏差. |
设条件为信噪比SNR=10dB.在图 1a中, 当采样数大于10时，MVDR算法的性能随着采样数的增加而增加；在采样数较小时, 本文算法的输出性能更优.在图 1b中, 本文算法的输出性能比传统MVDR算法高出约33dB, 更趋近于最优值.
实验2??5种算法在不同频率下的性能比较
在推导最优权重矢量时, 选定的中心频率fc=10.5 kHz.图 2表明, 在频率范围内, 传统MVDR算法输出的信干噪比性能最差, RAB-WC算法的性能有所提高, RB算法和本文算法的性能比较接近.但本文算法无论是在无偏差还是有偏差的情况下, 输出的信干噪比性能都最优.
4 结论为了降低信号导向矢量偏差和相位模式转化误差对输出性能的影响, 提出了一种新的基于均匀圆阵的稳健迭代自适应波束形成算法.该算法通过最差性能优化法和拉格朗日乘子法推导出权重矢量的闭式解表达式, 给出了求解最优对角载入值的方法, 解决了载入值估计的难题.该算法能够对波束主瓣区域内信号的畸变进行有效控制, 具有快速的收敛性, 系统的稳健性得以提高.仿真实验结果表明, 本文算法能够适用于均匀圆阵, 并且改善了输出的信干噪比性能.
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