, 赵岩21. 东北大学 材料电磁过程研究教育部重点实验室, 辽宁 沈阳 110819;
2. 东北大学 冶金学院, 辽宁 沈阳 110819
收稿日期：2016-06-08
基金项目：国家自然科学基金资助项目(U1460108)。
作者简介：雷洪(1973-), 男, 湖北武汉人, 东北大学教授, 博士生导师。
摘要：面电流磁场的准确计算与精密电子设备的设计制造密切相关.相同宽度的任意形状面电流的磁场可采用半解析法计算:将面电流源分解为梯形面电流元和曲线面电流元, 再将曲线面电流元用多个梯形面电流元进行拟合; 计算梯形电流元的解析解或一重积分; 利用矢量和公式将梯形面电流元和曲线面电流元的磁场合成为面电流的磁场.计算中存在如下奇异点, 梯形电流元退化为直角梯形电流元或矩形电流元, 场点位于梯形电流元的内部, 场点位于梯形电流元的上下底边, 且出现在梯形内部最大矩形的四个端点处.这些奇异点均可通过数学变换消除.
关键词：梯形面电流元毕奥-沙伐尔定律磁场积分算法奇异点剖分
Semi-analytical Algorithm for Magnetic Field Caused by Arbitrary Surface Electric Current
LEI Hong1,2
, ZHAO Yan21. Key Laboratory of Electromagnetic Processing of Materials, Ministry of Education, Northeastern University, Shenyang 110819, China;
2. School of Metallurgy, Northeastern University, Shenyang 110819, China
Corresponding author: LEI Hong, professor, E-mail: leihong@epm.neu.edu.cn
Abstract: It is useful to design delicate electric equipment if magnetic field distribution of surface electric current can be obtained accurately.The magnetic field caused by an arbitrary surface electric current with the same coil width can be calculated by a semi-analytic method. The method is as follows: firstly, the total surface electric current is divided into the trapezoidal and curved surface electric current segments, and then each curved surface electric current segment is further fitted by several trapezoidal segments. Numerical method is applied to give the analytical solution or one-dimensional integral for magnetic field caused by all trapezoidal segments. Finally, the magnetic field caused by the total surface electric current can be obtained by the summation of the segment vectors and solutions. However, some singularities can be arise when a trapezoidal segment turns to a right-angled trapezoidal or a rectangular one, the field point is inside the trapezoidal segment or at the top and bottom base lines of the trapezoidal segment, and the four singularities are the vertices of the largest square inside the trapezoid. Fortunately, these singularities can be eliminated by some mathematical transformation.
Key Words: trapezoidal surface electric currentBiot-Savart lawmagnetic fieldintegral methodsingularitysegmentation
随着薄膜材料和大规模集成电路的发展, 薄片导体的磁场研究日益受到重视[1].在这些系统中, 电流可向任何方向流动.为了充分发挥系统功能, 需要有效地利用面电流产生的磁场.
这些电磁场的边值问题可采用有限元法[2]、有限差分法[3]、有限体积法[4]和积分方法[5]等方法解决.这些方法需要生成复杂的网格, 耗费大量计算资源求解线性方程组.因此磁场的简单、快捷、准确计算一直是物理学者的研究热点[5-10].解析法的结果为解析式, 计算量小且精确.因此, 基于解析法与数值方法的基本思想产生了半解析法.本文首先对面电流(超薄导体)进行分片, 然后基于Biot-Savart定律给出磁场的一重积分解或者解析解, 并指出奇异点的处理方法.
1 面电流元的剖分网格剖分是有限元、控制体积等方法的第一步.将网格剖分思想引入积分法可减小磁场计算难度.任意形状封闭面电流可剖分为两种基本面电流元:梯形面电流元和曲线型面电流元.图 1表明, 不共面的宽度相同的7个梯形面电流元和2个曲线面电流元组成了一个封闭面电流.
图 1(Fig. 1)
 | 图 1 面电流的几何形状Fig.1 Geometry of surface electric current |
其磁场计算的基本思想如下:
1) 将面电流分为梯形面电流元和曲线面电流元, 并用梯形面电流元拟合曲线面电流元.
2) 利用半解析法计算梯形面电流元的磁场.
3) 利用矢量加和原理对所有基本面电流元产生的磁场分量进行矢量求和, 得到任意形状面电流的三维磁场分布.
对于二维面电流, 面电流元按电流方向进行一维剖分, 而有限元、控制体积等方法需要对每个面电流元继续进行二维剖分, 因此半解析法的网格数量远少于有限元、控制体积等方法.
2 磁场公式2.1 梯形面电流元产生的磁场图 2给出了位于o′x′y′坐标系中的梯形面电流元, 且坐标系的原点与梯形面电流元的中心重合.面电流沿着梯形面电流元的底边流动, 可表示为J=J0j.由Biot-Savart尔定律可知, 此梯形面电流元在场点P所产生的磁场B(P)为
图 2(Fig. 2)
 | 图 2 梯形面电流元示意图Fig.2 Trapezoidal surface electric current segment |
 | (1) |
 | (2) |
 | (3) |
 | (4) |
 | (5) |
 | (6) |
 | (7) |
 | (8) |
 | (9) |
 | (10) |
 | (11) |
 | (12) |
2.2 曲线面电流元产生的磁场面电流元的边界可以是直线或曲线(例如, 圆弧、对数曲线等).针对这些曲线面电流元产生的磁场采用统一的一重积分表达式或解析式十分困难.但是存在一种得到近似解的简单方法.
1) 将曲线面电流元剖分为多个小梯形面电流元, 如图 3所示.
图 3(Fig. 3)
 | 图 3 曲线面电流元和梯形面电流元Fig.3 Ccurved and trapezoidal surface electric current segments |
2) 采用半解析法对小梯形面电流元产生的磁场进行计算.
3) 利用矢量叠加原理, 将多个小梯形面电流元产生的磁场进行矢量加和, 得到曲线面电流元的磁场.
半解析法的解是基本函数或一重积分, 而对一重积分采用高阶方法进行精确计算十分容易; 而有限体积这类方法一般采用二阶精度.因此, 半解析法具有计算量小、精度高等优点.
3 磁场中的奇异点问题3.1 与奇异点相关的函数和条件基于Biot-Savart定律, 利用积分方法可将梯形面电流元产生磁场表示为一重积分或解析解形式.但会出现一些奇异点.
表 1给出了与奇异点相关的数学条件和函数.
表 1(Table 1)
 表 1 与奇异点相关的条件和函数Table 1 Conditions and functions for the singularity
| 表 1 与奇异点相关的条件和函数 Table 1 Conditions and functions for the singularity |
1) 在条件1和2中, 梯形面电流元退化为直角梯形面电流元或矩形面电流元.因为零没有对数和分数的分母不能为零, 因此出现了奇异点.
2) 在条件3和4中, 因为分数的分母不能为零, 因此当场点位于梯形面电流元内部时会出现奇异点.
3) 在条件5, 6, 7和8中, 因为分数的分母不能为零, 因此当场点位于梯形面电流元上底和下底时会出现奇异点, 且以这4个奇异点组成的矩形是梯形中最大的矩形.
3.2 奇异点的处理幸运的是, 这些奇异点可以通过数学方法进行去除.
1) α=0或β=0.梯形面电流元的磁场分量依赖于α角和β角.当α=0时, 函数Bz1(α)和Bz2(α)存在奇异点.当β=0时, 函数Bz5(β)和Bz6(β)存在奇异点.这些奇异点可以通过式(13), 式(14)数学变换进行去除.
 | (13) |
 | (14) |
2) 梯形面电流内部.表 1表明, 函数Bx1和Bx2中的奇异点具有相同的数学形式.如果将积分函数Bx1和Bx2中的被积函数采用一个通式(15)来表达：
 | (15) |
 | (16) |
 | (17) |
1) 对于表 1中的条件6和8, 奇异点产生条件为A=0, B=0, C=0；
2) 对于表 1中的条件5和7, 奇异点产生条件为A=0, b=0, C=0.
当A=0, B=0, C=0时, b>0, 那么
 | (18) |
 | (19) |
图 4(Fig. 4)
 | 图 4 等边三角形线圈Fig.4 Equilateral triangle coil |
 | (20) |
为了验证半解析算法, 采用相对误差来表示解析解Ba和半解析解Bsa之间的差异.
 | (21) |
表 2(Table 2)
表 2 等边三角形线圈轴线上磁场分布Table 2 Axial magnetic field distribution of equilateral triangle coil
| 表 2 等边三角形线圈轴线上磁场分布 Table 2 Axial magnetic field distribution of equilateral triangle coil |
表 2还表明随着线圈宽度的减小, 解析解与预测值之间差异也随之减小.如果线圈宽度满足d=0.01a, 那么当x=0时相对误差为2.64%;如果线圈宽度满足d=0.000 1a, 那么当x=0时相对误差降到0.027%.随着线圈宽度的减小, 较窄的面电流越接近于线电流.
5 结语本文采用半解析法给出了任意形状超薄导体的磁场.此方法首先将超薄导体剖分为梯形面电流元和曲线面电流元; 然后用梯形面电流元对曲线面电流元进行拟合; 之后对梯形面电流元所产生的磁场分别进行计算, 并对奇异点进行处理; 最后采用矢量加法对所有梯形面电流元的磁场进行矢量叠加即是任意形状超薄导体的磁场.
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