赵磊^1,2, 孙璐^1,3, 孙伟¹, 赵国堂⁴
1. 东南大学 交通学院, 江苏 南京 210096;
2. 北京市市政工程设计研究总院有限公司, 北京 100082;
3. 美国天主教大学 土木工程系, 华盛顿 20064;
4. 中国铁路总公司, 北京 100844
收稿日期：2016-03-08
基金项目：国家自然科学基金重点资助项目(U1134206)。
作者简介：赵磊(1981-), 男, 河北安国人, 东南大学博士研究生。

摘要：根据无砟轨道板钢轨-轨道板-钢筋滑移线性本构关系, 建立了均匀降温作用下纵连式轨道板温度应力计算模型.应用拉普拉斯变换方法求解平衡微分方程, 得到钢筋和混凝土应力、位移的解析表达式, 分析配筋率、扣件扣压力和板底摩擦力等参数对裂缝间距及轨道板内力、位移的影响.最后以京沪高铁CRTSⅡ无砟轨道板为例, 计算30 ℃降温条件下的开裂间距, 轨道板内力、位移随裂缝长度的分布规律.研究结果表明，解析表达式可以准确地分析轨道板的温度应力, 为无砟轨道板设计提供理论依据.
关键词：高速铁路轨道结构线性滑移本构关系温度应力计算模型拉普拉斯变换
Thermal Stress Analysis of CRTSⅡ Track-Slab of High-Speed Railway Under a Uniform Cooling Condition
ZHAO Lei^1,2, SUN Lu^1,3, SUN Wei¹, ZHAO Guo-tang⁴
1. School of Transportation, Southeast University, Nanjing 210096, China;
2. Beijing General Municipal Engineering Design & Research Institute Co., Ltd., Beijing 100082, China;
3. Department of Civil Engineering, Catholic University of America, Washington D C 20064, USA;
4. China Railway Corporation, Beijing 100844. China
Corresponding author: ZHAO Lei, E-mail: zhaolei81661@ aliyun.com.
Abstract: A new calculation model of track-slab of high speed railway about temperature stress was established based on rail—track-slab—steel bar linear slip constitutive equations, and the analytic expression were derived using Laplace transform method.The influence of the parameters including reinforcement ratio, fastener buckle pressure and plate friction on the crack spacing and the changing characteristics of internal force and displacement of the track-slab under uniform cooling were studied with analytic expression. Finally, taking the CRTSⅡ track plate under 30℃ cooling conditions with the respect to the Beijing—Shanghai high-speed railway as an example, the stress and displacement distribution of slab with the crack length and reinforcement ratio were calculated. It can be concluded that temperature stress of CRTSⅡ track-slab can be analyzed effectively using the method and provides theoretical basis of design for ballastless track structure.
Key Words: high speed railwaytrack structurelinear slip constitutive equationscalculation model for temperature stressLaplace transform
高速铁路无砟轨道与传统有砟轨道相比, 优越性主要体现在乘坐舒适、方便快捷、运输能力大等方面, 使其成为铁路客运专线发展的必然选择^[1-5].当无砟轨道结构因温度变化所产生的变形受到约束不能自由收缩, 结构内部将产生巨大的温度应力.在极端温度情况下, 温度应力甚至超过列车荷载在结构中产生的应力, 因此，结构设计往往由温度作用主导的荷载组合来控制^[6].国内外学者和机构对轨道结构温度作用效应进行了广泛和深入的研究.Timm等^[7]将沥青路面简化为一维杆模型, 得到温度收缩导致的温度应力和开裂间距解析公式; 戴公连等^[8]通过对CRTSⅡ型纵连板式无砟轨道结构长期监测, 得到了无砟轨道结构竖向、横向的温度梯度荷载模式.赵磊等^[9]基于能量法对温度影响下的高速铁路无砟轨道板翘曲变形进行研究, 分析了温度梯度影响下的轨道板翘曲变形规律以及减小翘曲变形的措施.任娟娟等^[10-11]考虑钢筋与混凝土之间的黏结滑移关系, 建立了适用于连续式道床板的伸缩刚度的计算方法.
本文考虑下部支撑结构和上部扣件系统对轨道板的约束作用, 建立了CRTSⅡ轨道板温度均匀分布时的计算模型及微分平衡方程, 给出钢筋和混凝土应力、位移的解析表达式.分析了降温作用下轨道板内力、位移的分布规律及裂缝间距、配筋率与配筋方式等参数的影响.
1 轨道板开裂间距分析当轨道板的最薄弱截面上出现首批裂缝时(见图 1), 裂缝截面的混凝土退出工作(σ_c=0), 全部轴力由钢筋承担, 应力突增至, 裂缝两端的混凝土与钢筋发生滑移.离裂缝①的一段距离L处, 混凝土的应力仍维持σ_c=f_t, 钢筋和混凝土的应变相等, 故裂缝②处的钢筋应力为σ_s=nf_t(见图 2).将裂缝间的混凝土作为研究对象(见图 3), 可得平衡条件式(1):

(1)

图 1(Fig. 1)

图 1 CRTSⅡ轨道板开裂纵断面图Fig.1 Longitudinal cracked section of CRTSⅡ track slab

图 2(Fig. 2)

图 2 钢筋受力图Fig.2 Mechanical analysis of steel bar

图 3(Fig. 3)

图 3 轨道板受力图Fig.3 Mechanical analysis of track slab

式中:f_t为混凝土抗拉强度; A_c为轨道板横截面面积; μ_r为钢轨与轨道板接触面摩擦系数; T_p为双组扣件扣压力; l为承轨台宽度; μ_c为轨道板板底摩擦系数; τ_s为钢筋与混凝土间平均黏结应力; d_se为等效钢筋直径; ρ_c为轨道板密度.
根据平衡式(1), 可得裂缝间距L为

(2)

由式(2)可知, 轨道板的扣件扣压力和板底与支撑层的摩擦作用均可以减小轨道板的开裂间距; 钢筋平均黏结应力τ_s对裂缝间距影响较大, 通过计算, 平均黏结应力小于0.5 MPa时, 增加平均黏结应力可以有效降低裂缝的间距; 增大轨道板的配筋率可有效对降低开裂间距.任娟娟等^[10]基于裂纹发展理论模型建立了连续道床板理论最小裂纹间距和裂缝宽度的计算模型, 并分析了钢筋直径和配筋率对道床板裂纹宽度和最小裂纹间距的影响.图 4为利用式(2)得到的裂缝间距与文献[10]的研究结果对比图, 由图中可以看出, 利用本文方法得到的裂缝间距大于文献[10]的研究结果.式(2)的计算模型同时考虑了扣件扣压力、板底摩擦系数、钢筋混凝土黏结应力、配筋率的共同作用对裂缝间距的影响, 计算结果更符合结构的实际受力特征.
图 4(Fig. 4)

图 4 本文方法裂缝间距与文献[10]的研究结果对比Fig.4 Comparison of the crack spacing between the research and the document[10]

2 CRTSⅡ轨道板微分方程及解任意取出轨道板的微段dx进行分析, 如图 5所示.取两相邻裂缝间板长的1/2作为温度应力分析的模型.降温作用下, 钢筋与混凝土间存在着黏结和滑移作用.同时轨道板底部的CA砂浆层以及扣件系统阻碍了轨道板的自由变形, 进而影响轨道板的温度应力.
图 5(Fig. 5)

图 5 钢轨微分单元受力模型Fig.5 Mechanical model of differential unit of rail

根据图 5~图 7轨道结构的受力模型, 建立平衡方程:

(3)

图 6(Fig. 6)

图 6 轨道板微分单元受力模型Fig.6 Mechanical model of differential unit of track-slab

图 7(Fig. 7)

图 7 钢筋微分单元受力模型Fig.7 Mechanical model of differential unit of steel bar

式中:σ_r为降温作用下钢轨内部应力; A_r为钢轨横截面积; σ_s为降温作用下钢筋内部应力, A_s为钢筋横截面积; σ_c降温作用下混凝土内部应力, A_c为轨道板横截面积.
由, 可得, 同理可得以及.
将式(3)整理可得

(4)

式中:E_r为钢轨弹性模量; u_r为钢轨的位移; E_c为混凝土弹性模量; u_c为轨道板的位移; E_s为钢筋弹性模量; u_s为钢筋的位移.
温度变化引起的CRCP温度应力并不能引起钢筋与混凝土间的黏结破坏, 本文在分析中将钢筋与混凝土黏结滑移关系使用最简单的线性模型, 即τ_s=k_s(u_c－u_s), 其中k_s称为钢筋与混凝土黏结刚度.
对式(4)的第三个微分方程进行Laplace变换及逆变换, 并利用边界条件, 轨道板中混凝土位移与钢筋位移可分别表示为

(5)

(6)

式中: ;
为验证解析公式的正确性, 利用本文方法与文献[12]的计算结果进行对比分析.文献[12]道床板截面尺寸为2.4 m×0.2 m(宽×厚), 纵向配置21根直径20 mm的HRB500螺纹钢筋, 道床板降温幅值25 ℃.图 8分别为本文和文献[12]有限元法得到的钢筋应力和混凝土应力沿裂缝长度分布对比图.图中可以看出, 若计算分析中不考虑扣件和层间摩擦的约束作用, 将会使得计算得到的钢筋与混凝土的应力值比考虑约束作用情况下的钢筋与混凝土的应力值小, 从而使结构受力分析结果不安全.
图 8(Fig. 8)

图 8 钢筋与混凝土应力沿裂缝长度分布Fig.8 Stress of steel bar and concrete along with the crack length (a)－钢筋应力；(b)－混凝土应力.

3 计算分析以受温度影响较大的CRTSⅡ轨道板为研究对象, 对CRTSⅡ轨道板在降温作用下的钢筋和混凝土的应力和位移变化规律进行研究.取标准CRTSⅡ轨道板进行分析, 钢轨弹性模量E_r为2.1×10⁵ MPa, 截面面积A_r为77.45×10^-4 m², 钢筋截面直径d_s为0.008 m, 等效直径d_se为0.07 m, 混凝土弹性模量E_c为3.9×10⁴ MPa, k_s为10 MPa/mm^[13], 钢轨弹性模量E_s为2.1×10⁴ MPa，轨道板截面面积A_c为0.5 m², 板底摩擦系数μ_c为4.9, 板顶摩擦系数μ_r为0.5, 混凝土密度ρ_c为2 500 kg/m³, 收缩系数a_E为1×10^-5, 钢轨扣压力T_p为20 kN, 设降温幅度为30 ℃.
由图 9可知, 轨道板位移随板长增加而线性增加, 在板中处位移为零, 在裂缝处最大, 达到0.25 mm; 裂缝中间位置处混凝土应力达到最大, 为0.3 MPa, 随着板长的增加, 混凝土应力逐渐减小, 在裂缝处降为零, 由降温产生的拉应力全部由钢筋承担.由图 10可知, 轨道板中的钢筋位移沿板长先缓慢增加到最大值0.12 mm, 而后逐渐减小, 在裂缝处钢筋位移变为零; 降温作用会引起轨道板内部钢筋产生拉应力, 在裂缝中部应力最小, 随着板长的增加, 钢筋应力在裂缝处达到最大值, 大小为210 MPa, 开裂处的拉应力仅由钢筋承担.
图 9(Fig. 9)

图 9 混凝土位移和应力沿板分布Fig.9 Displacement and stress of concrete along with the slab (a)－位移；(b)－应力.

图 10(Fig. 10)

图 10 钢筋位移和应力沿板分布Fig.10 Displacement and stress of steel-bar along with the slab (a)－位移；(b)－应力.

4 结论1) 轨道板的扣件扣压力和板底与支撑层的摩擦作用均可以减小轨道板的开裂间距; 钢筋平均黏结应力对裂缝间距影响较大, 增大轨道板的配筋率同样可以有效降低裂缝间距.
2) 轨道板位移随板长增加而线性增加, 在板中处位移为零, 在裂缝处最大; 裂缝中间位置处混凝土应力最大, 混凝土应力随板长逐渐减小, 在裂缝处降为零, 由降温产生的拉应力全部由钢筋承担.
3) 轨道板中的钢筋位移沿板长先缓慢增加到最大值而后逐渐减小, 在裂缝处钢筋位移变为零; 降温作用会引起轨道板内部钢筋产生拉应力, 在裂缝中部应力最小, 随着板长的增加, 钢筋应力在裂缝处达到最大值, 开裂处的拉应力仅由钢筋承担.
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