刘双1,何广华1,2,3,王威3,高云3
(1.哈尔滨工业大学 机电工程学院, 哈尔滨 150001;2.山东船舶技术研究院,山东 威海 264209; 3.哈尔滨工业大学(威海) 船舶与海洋工程学院,山东 威海 264209)
摘要:
为研究由密度差引起的分层流对浅航艇兴波尾迹特性的影响。 基于RANS方程,采用Realizable k -ε湍流模型,结合用户自定义函数（UDF）方法建立了用于密度分层流中潜艇兴波尾迹特性分析的多相流CFD模型。 采用此模型针对SUBOFF全附体潜艇在密度分层流中不同位置处以不同航速（低速、中速、高速）浅层航行时的水动力性能开展了模拟,分析了航速、航行位置、密度分层等参数对潜艇在各交界面处兴波尾迹以及水质点速度分布特性的影响。 研究结果表明:潜艇航速越高,并且距交界面越近,在各交界面上的兴波将越剧烈,尾迹越明显,尤其在中速阶段,潜艇将激起较大的兴波；自由液面与内波面兴波波形区别较大,主要表现为自由液面处兴波前端为波峰而内波面处兴波前端为波谷；内交界面处兴波对各参数的敏感度较自由液面的要低。 本数值模型具有较高精度,可为密度分层流中航行潜艇兴波尾迹特征分析提供一种有效的手段；模型给出了潜航艇在不同工况下的航行特征,可为密度分层流中潜艇规避策略的选取提供参考依据。
关键词: 密度差 分层流 CFD 航速 航行位置 兴波尾迹 SUBOFF
DOI：10.11918/202005023
分类号:U661.1
文献标识码:A
基金项目:山东省泰山学者工程专项(tsqn201909172); 山东省高等学校青创科技支持计划(2019KJN003)
Analysis on the wake of a shallow navigation submarine in the density-stratified fluid
LIU Shuang 1,HE Guanghua1,2,3,WANG Wei 3,GAO Yun 3
(1.School of Mechatronics Engineering, Harbin Institute of Technology, Harbin 150001, China; 2.Shandong Institute of Shipbuilding Technology, Weihai 264209, Shandong , China; 3. School of Naval Architecture and Ocean Engineering, Harbin Institute of Technology, Weihai, Weihai 264209, Shandong, China)
Abstract:
To study the wave-making characteristics of a shallow navigation submarine in the stratified fluid caused by density difference, a multiphase-flow CFD model for evaluating the wave-making characteristics is established by using the RANS equation, Realizable k-ε turbulence model and UDF method. Thereafter, the process of a full-appendage submarine navigating at different positions with low, medium, and high forward speeds in the shallow layer of density-stratified fluid is simulated, and the effects of the forward speed, the distance from interfaces and density-stratified fluid on the wave-making and velocity characteristics of the submarine in the interfaces are investigated. The result shows that the higher the forward speed and the closer to the interface are, the more intense the submarine wave-making in the interfaces will be. Especially in the mid-speed stage, there will be a large wave excited by submarine, and a big difference of wakes between the free surface and internal wave surface is obviously seen, of which the main performance is that the front of wave on free surface is a peak and the front of wave on internal surface is a trough. The response of the wave-making on the internal interface to the changes of various navigation parameters is insensitive than that on the water-free surface. The present numerical model has high accuracy, which can provide an effective method for analyzing the wave-making characteristics of submarine navigating in density stratified fluid.
Key words: density difference stratified fluid CFD forward speed navigating position wake SUBOFF
刘双, 何广华, 王威, 高云. 密度分层流中浅航艇兴波尾迹分析[J]. 哈尔滨工业大学学报, 2021, 53(7): 52-59. DOI: 10.11918/202005023.
LIU Shuang, HE Guanghua, WANG Wei, GAO Yun. Analysis on the wake of a shallow navigation submarine in the density-stratified fluid[J]. Journal of Harbin Institute of Technology, 2021, 53(7): 52-59. DOI: 10.11918/202005023.
基金项目 山东省泰山学者工程专项(tsqn201909172); 山东省高等学校青创科技支持计划(2019KJN003) 作者简介 刘双(1991—), 男, 博士研究生;
何广华(1980—), 男, 教授, 博士生导师 通信作者 何广华, ghhe@hitwh.edu.cn 文章历史 收稿日期: 2020-05-07
Abstract Full text Figures/Tables PDF
密度分层流中浅航艇兴波尾迹分析
刘双1, 何广华1,2,3
, 王威3, 高云3 1. 哈尔滨工业大学 机电工程学院，哈尔滨 150001;
2. 山东船舶技术研究院，山东 威海 264209;
3. 哈尔滨工业大学(威海) 船舶与海洋工程学院，山东 威海 264209
收稿日期: 2020-05-07
基金项目: 山东省泰山学者工程专项(tsqn201909172); 山东省高等学校青创科技支持计划(2019KJN003)
作者简介: 刘双(1991—), 男, 博士研究生; 何广华(1980—), 男, 教授, 博士生导师
通信作者: 何广华, ghhe@hitwh.edu.cn
摘要: 为研究由密度差引起的分层流对浅航艇兴波尾迹特性的影响。基于RANS方程，采用Realizable k-ε湍流模型，结合用户自定义函数(UDF)方法建立了用于密度分层流中潜艇兴波尾迹特性分析的多相流CFD模型。采用此模型针对SUBOFF全附体潜艇在密度分层流中不同位置处以不同航速(低速、中速、高速)浅层航行时的水动力性能开展了模拟，分析了航速、航行位置、密度分层等参数对潜艇在各交界面处兴波尾迹以及水质点速度分布特性的影响。研究结果表明: 潜艇航速越高，并且距交界面越近，在各交界面上的兴波将越剧烈，尾迹越明显，尤其在中速阶段，潜艇将激起较大的兴波；自由液面与内波面兴波波形区别较大，主要表现为自由液面处兴波前端为波峰而内波面处兴波前端为波谷；内交界面处兴波对各参数的敏感度较自由液面的要低。本数值模型具有较高精度，可为密度分层流中航行潜艇兴波尾迹特征分析提供一种有效的手段；模型给出了潜航艇在不同工况下的航行特征，可为密度分层流中潜艇规避策略的选取提供参考依据。
关键词: 密度差 分层流 CFD 航速 航行位置 兴波尾迹 SUBOFF
Analysis on the wake of a shallow navigation submarine in the density-stratified fluid
LIU Shuang1, HE Guanghua1,2,3
, WANG Wei3, GAO Yun3 1. School of Mechatronics Engineering, Harbin Institute of Technology, Harbin 150001, China;
2. Shandong Institute of Shipbuilding Technology, Weihai 264209, Shandong, China;
3. School of Naval Architecture and Ocean Engineering, Harbin Institute of Technology, Weihai, Weihai 264209, Shandong, China
Abstract: To study the wave-making characteristics of a shallow navigation submarine in the stratified fluid caused by density difference, a multiphase-flow CFD model for evaluating the wave-making characteristics is established by using the RANS equation, Realizable k-ε turbulence model and UDF method. Thereafter, the process of a full-appendage submarine navigating at different positions with low, medium, and high forward speeds in the shallow layer of density-stratified fluid is simulated, and the effects of the forward speed, the distance from interfaces and density-stratified fluid on the wave-making and velocity characteristics of the submarine in the interfaces are investigated. The result shows that the higher the forward speed and the closer to the interface are, the more intense the submarine wave-making in the interfaces will be. Especially in the mid-speed stage, there will be a large wave excited by submarine, and a big difference of wakes between the free surface and internal wave surface is obviously seen, of which the main performance is that the front of wave on free surface is a peak and the front of wave on internal surface is a trough. The response of the wave-making on the internal interface to the changes of various navigation parameters is insensitive than that on the water-free surface. The present numerical model has high accuracy, which can provide an effective method for analyzing the wave-making characteristics of submarine navigating in density stratified fluid.
Keywords: density difference stratified fluid CFD forward speed navigating position wake SUBOFF
由于温差、盐差等原因，海洋中广泛存在分层现象。分层流对航行体的航行性能会有较大影响[1]。目前, 国内外对自由液面兴波尾迹的研究已较为完善[2-7]，但对水下潜艇运动引起的水力特征尾迹，尤其是对密度分层流中兴波尾迹特征的研究尚不充分。
针对运动物体在均匀流及分层流体中激发尾迹的现象，理论方面，Maxworthy[8]和Lee等[9]对内波生成机理进行了研究；Hudimac等[10]研究了无限水深密度分层流中以固定速度及深度航行的简单源模型。Yeung[11]通过求解Green函数，讨论了运动潜体产生的表面波模式及内波模式。数值方面，Gou[12]等采用时域高阶边界元法研究了两层流体中的波衍射问题。Esmaeilpour等[13]采用重叠网格技术研究了密度分层流中航行体的近场兴波特性。Song[14]等对内孤立波与海洋结构物的相互作用进行了数值模拟。Stadler等[15]采用DNS方法研究了层化流体中普朗特数对湍流尾迹的影响。Chang等[16]、Chomaz等[17]研究了分层流体中物体的尾迹特性。Posa等[18]研究了雷诺数对潜艇尾迹特征的影响。此外，Bonneton等[19]、勾莹等[20]、赵先奇等[21]对密度分层流中航行体尾流特性进行了模型试验研究。
综上可知，分层流中内波模式的研究居多；而针对分层流中潜艇水动力性能受不同航行参数影响的研究并不多。本研究基于RANS方程，采用Realizable k-ε湍流模型，压力-速度耦合项求解采用Simple算法，结合自定义函数(UDF)方法建立了密度分层流中潜艇水动力性能分析的多相流CFD数值模型。首先对数值模型可靠性进行了验证，之后采用建立的数值模型研究了密度分层流中SUBOFF潜艇以不同航速航行于不同位置时的兴波尾迹特性。本数值模型可较好地模拟密度分层流中潜航艇以不同工况航行时的兴波尾迹特征，为密度分层流中潜艇水动力性能分析及规避策略选取提供参考依据。
1 数值模型与验证 1.1 数值模拟相关设置本数值模型基于RANS方程，采用Realizable k-ε湍流模型。其控制方程、湍动能输运方程见文献[2]，此处不再赘述。鉴于所研究问题与对象的对称性，以潜体中纵剖面处为计算域边界，选用对称面边界条件来提高计算效率。计算域长为15 L，宽为3.5 L，其中L为潜艇长度。基于多相流模型，通过UDF方式定义空气、淡水、盐水的密度及初始体积分数分布。
采用棱柱层网格，对各界面、附体及边界层等处网格进行加密。调节网格增长率、棱柱层数与棱柱层厚度等参数控制网格质量，计算域及潜艇周围网格如图 1所示。模型为全附体SUBOFF潜艇，模型长3 m，最大半径0.174 m，前体、后体长分别为0.705 m、0.765 m，其中驾驶舱长度为0.255 m。
Fig. 1
图 1 网格分布 Fig. 1 Grid distribution 计算域分层情况见图 2，其中d1，d2分别为潜艇重心到静水面、内波面的垂向距离；d1亦称为潜艇潜深；h1、h2分别为淡水层、盐水层流体的深度；ρ1、ρ2分别为淡水层、盐水层流体密度，ρ1=997.561 kg / m3，ρ2=1 020 kg / m3。
Fig. 2
图 2 分层示意图 Fig. 2 Diagram of submarine in density-stratified fluid 1.2 网格及时间步长收敛性验证采用SUBOFF潜艇以航速Fr=0.5进行收敛性研究，此时淡水层深度h1=0.72 m；盐水层深度h2=2.00 m，d1 = d2 = 0.36 m。通过网格基础尺寸控制网格数量，分别取网格基础尺寸Mesh A为0.07 m，Mesh B为0.065 m，Mesh C为0.056 m，Mesh D为0.052 mm进行网格收敛性研究，取时间步长0.01 s。表 1是网格数量改变对总阻力计算结果的影响。其中误差是指采用某一网格量计算结果与采用最精细网格Mesh D所得计算结果之间的差别，以百分比形式表示；Rt代表总阻力。
表 1
表 1 网格收敛性分析 Tab. 1 Mesh convergence analysis 网格代号 网格基础尺寸/ m 总网格数/万 Rt / N Rt误差/ %
Mesh A 0.070 195.328 106.400 1.666
Mesh B 0.065 338.443 105.428 0.737
Mesh C 0.056 407.269 104.662 0.006
Mesh D 0.052 544.862 104.656 0
表 1 网格收敛性分析 Tab. 1 Mesh convergence analysis
由表 1可以看出，当网格基础尺寸由0.056 m降低到0.052 m级别时，对计算结果带来的影响并不大，说明此时网格收敛。考虑计算效率，采用Mesh C网格。
同时采用4种时间步长方案对上述计算模型进行了模拟，此时网格划分采用Mesh C方式进行，结果见表 2。表中误差为采用某一时间步长计算结果与采用最小步长Time D所得计算结果之间的差别。可见当时间步长从0.010 s降低到0.005 s，总阻力的误差为0.352%，说明此时时间步长的改变对计算结果的影响不大，故后续的研究中将会采用Time C方案。
表 2
表 2 时间步长收敛性分析 Tab. 2 Time step convergence analysis 时间步长代号 时间步长/s 总网格数/万 Rt/N Rt误差/% Time A 0.050 407.269 100.510 4.305
Time B 0.020 407.269 103.242 1.704
Time C 0.010 407.269 104.662 0.352
Time D 0.005 407.269 105.032 0
表 2 时间步长收敛性分析 Tab. 2 Time step convergence analysis
1.3 计算模型有效性验证自由液面处Kelvin兴波中的横波波长可以通过式(1)近似计算得到[22]:
$\lambda = \frac{{2\pi }}{g} \times {U^2}$ (1)
为验证兴波尾迹的模拟结果，选择1.2节中收敛性计算工况，增加Fr = 0.3、0.7两个航速，对自由液面兴波沿潜艇中纵剖面做波切线，取其中前3个周期的波长计算平均值，将计算结果与由式(1)计算得到的理论横波波长进行对比，结果见表 3，其中波峰位置为自由液面兴波中各波峰对应的计算域X轴方向坐标。
表 3
表 3 横波波长与理论值对比 Tab. 3 Comparison of transverse wavelength between theoretical and numerical results Fr 第1波峰位置/ m 第4波峰位置/ m 理论波长/ m 数模波长/ m 误差/%
0.3 -1.264 3.552 1.696 1.605 5.372
0.5 -0.984 12.456 4.712 4.480 4.931
0.7 -0.868 23.208 9.236 8.025 13.111
表 3 横波波长与理论值对比 Tab. 3 Comparison of transverse wavelength between theoretical and numerical results
总体来说，本CFD模拟结果与理论值吻合较好。在低速时，横波波长的误差低于6%；当航速较高时，误差偏高，约为13%，其原因为式(1)是根据深水线性波理论推导得出的经验公式，高速状态下兴波的非线性愈加明显导致结果偏差。
2 结果与分析 2.1 航速对兴波尾迹的影响为研究航速对潜艇兴波尾迹的影响，使潜艇位于图 2所示计算域的淡水层中。h1 = 0.72 m，h2 = 2.00 m。据以往研究[2]可知：潜艇航行位置距离交界面越近，其在交界面上激起的兴波越明显，故取较小的d1 = d2 = 0.36 m。变化航速Fr分别为0.2、0.3、0.4、0.5、0.6、0.7、0.8、0.9、1.0。
2.1.1 航速对交界面波面抬升的影响首先分别选择低速(Fr = 0.3)、中速(Fr = 0.5)、高速(Fr = 0.7)3个阶段的航速来展示交界面处的波面抬升情况。图 3为潜艇中纵剖面分别与上、下自由液面及内波面相切得到的波切线上波幅变化曲线，图中横坐标X代表计算域在长度方向的尺寸，单位为m；纵坐标Z为潜艇兴波引起的波面抬升，单位为m；两条虚线之间表示潜艇的位置。潜艇沿X轴负向航行。
Fig. 3
图 3 不同航速下各液面处兴波波面抬升 Fig. 3 Wave elevation on free surface and internal surface at different forward speeds 由图 3(a)可见，随着航速增加，自由液面处兴波波长不断加大；中速阶段(Fr = 0.5)的波幅，尤其是艇艉之后的峰谷数值要高于低速、高速阶段；自由液面处兴波的最前端均为波峰，在潜艇艉部为波谷。此外，对于潜艇艉部之前的自由液面兴波波峰以及波谷的绝对值均随着航速的增加而变大。
由图 3(b)可知，内波面处兴波波长随航速增加也有一定程度的增加。潜艇艏部正下方的波面抬升峰值几乎一致，而潜艇艉部处谷值的绝对值在Fr为0.5的中速阶段最大。此外，艇艉之后，内波面兴波的波幅在Fr = 0.5的中速阶段波峰值较高。其随航速增加的整体变化幅度低于自由液面，说明内波面波形对于航速变化的“敏感度”不如自由液面。这是由于淡水、盐水之间的密度梯度小、内波交界面处的弱恢复力所导致。
对于内波交界面处兴波的波形，前方为波谷，随着航速增加，波谷的位置逐渐向艇艉方向移动。对比自由液面与内波面处的波面抬升可知：自由液面处兴波较为剧烈，峰值较高，但内波面处的兴波波长大于同航速下的自由液面。
2.1.2 航速对交界面上水质点速度分布的影响图 4为Fr = 0.3、0.5、0.7时自由液面及内波面处的水质点速度分布情况，图中展示半计算域的水质点速度云图，横、纵坐标分别为X、Y方向的计算域尺寸，单位为m，图中颜色代表速度大小，颜色越深代表水质点速度越高。
Fig. 4
图 4 不同航速下交界面处水质点速度云图 Fig. 4 Characteristics of velocity on free surface and internal surface at different forward speeds 由图 4可见，速度云图呈现半‘V’字型峰、谷交替分布。自由液面处水质点速度分布从低速阶段就开始显现；而低速时内波交界面处速度分布并未成形，随着航速增加逐渐呈现和自由液面相似的形状分布。在同一航速下，自由液面处整体水质点速度要大于内波面。随着航速增加，各交界面处水质点速度范围逐渐增加，当处于Fr = 0.5的中速阶段时，自由液面与内波面的水质点速度值均大于Fr = 0.3以及Fr = 0.7时的情况，这与图 3中艇艉后波面抬升的峰值变化情况一致。
2.1.3 航速对交界面处兴波尾迹的影响图 5、6分别为密度分层流中潜艇以Fr = 0.3、0.5、0.7航行时在自由液面及内波面处激起的兴波尾迹云图。
Fig. 5
图 5 不同航速下自由液面处兴波云图 Fig. 5 Characteristics of wave-making on free surface at different forward speeds Fig. 6
图 6 不同航速下内波面处兴波云图 Fig. 6 Characteristics of wave-making on internal surface at different forward speeds 图中坐标X、Y、Z分别代表计算域在各个方向的尺寸，单位为m，图中颜色代表各交界面兴波的波幅，颜色越深代表幅值越大。
对比图 5、6可见：自由液面与内波面呈现完全不同的两种波形。自由液面处为经典的‘Kelvin’波，具有典型的横波系与散波系；而内波交界面处兴波为狭长的‘V’字型并以峰、谷交替形式逐渐向艇后方传播，在尾部形成环状兴波区。此外，自由液面兴波最前方为波峰，称为“伯努利丘”，而内波面兴波最前方为波谷，这与图 3中的分析一致。
在同一航速下，自由液面处兴波波幅大于内波面，而兴波波长要小于内波面处。此外，与自由液面相比，内波面处的兴波波形随潜艇航速增加变化较小，对航行参数的改变“反应迟缓”，这与图 3中分析一致。
随着潜艇航速增加，自由液面及内波面处的兴波波长均不断增加。从峰、谷值来看，当潜艇处于Fr = 0.5的中速段时，其兴波波形中的峰、谷颜色较深。综合前述波切图及水质点分布图可知，在中速阶段，潜艇艏、艉兴波发生了不利干扰。
2.2 潜艇与上下交界面距离变化本节系统研究潜艇与上交界面距离d1(即潜深)及与下交界面的距离d2变化对其水动力性能的影响。工况A、B中相同参数有h2 = 2 m，Fr = 0.5。A工况中取d2为0.15L，d1分别为0.12L、0.15 L、0.18 L；B工况中取d1为0.15L，d2分别为0.12L、0.15 L、0.18 L。
2.2.1 潜艇与交界面距离对交界面波面抬升的影响图 7、8分别为自由液面、内波面处兴波波面抬升随d1、d2改变的变化情况。由图 7(a)可见，随着潜深d1的增加，潜艇在自由液面处的兴波波幅不断降低，而波长变化很小；对比不同位置工况可见：随着d1增加，在自由液面处的波面抬升中，潜艇艏部峰值、艉部处谷值的绝对值均逐渐降低，其中艇艉波谷处数值变化幅度较大。由图 8(a)可见，由于工况A中潜艇与内波交界面的距离d2不变，故潜深d1变化对内波面处兴波的波面抬升影响极小。
Fig. 7
图 7 不同位置下自由液面兴波波面抬升 Fig. 7 Wave elevation on free surface at different positions Fig. 8
图 8 不同位置下内波面兴波波面抬升 Fig. 8 Wave elevation on internal surface at different positions 同样，由图 7(b)可见，潜艇与内波交界面距离d2变化对自由液面处兴波波形影响不大。由图 8(b)可见，随着d2增加，内波交界面上的兴波在艇艉附近处的波谷绝对值逐渐下降，而波长几乎不变。对比图 7、8，自由液面处的兴波波幅大于内波交界面处，而波长小于内波面处。且内波交界面处的兴波波面抬升随距离d1、d2的改变较自由液面处“迟缓”，这与2.1节中航速改变时的情况一致。
2.2.2 潜艇与交界面距离对交界面上水质点速度分布的影响图 9、10分别为潜艇在不同位置工况下航行时自由液面及内波交界面上水质点的速度分布情况。
Fig. 9
图 9 不同位置下自由液面速度云图 Fig. 9 Characteristics of velocity on free surface at different positions Fig. 10
图 10 不同位置下内波面速度云图 Fig. 10 Characteristics of velocity on internal surface at different positions 由图 9可见，随着d1的增加，自由液面处的水质点速度逐渐降低；而随着d2增加，自由液面处的水质点速度几乎不变。由图 10可见，随着d1、d2的增加，内波交界面处的速度均有逐渐降低的趋势。由于d1、d2的增加都意味着内波交界面所处的水深将增加，说明除了与潜艇之间的距离外，内波交界面所处的水深也会对其上水质点速度分布产生影响。
总之，潜艇航行位置远离交界面时，在各界面上的速度会逐渐降低，这与兴波变化一致。此外，同一航速下，自由液面处的速度要高于内波面的速度，对比2.1.2中潜艇航速改变对交界面处速度分布的影响表明，潜艇航速是影响交界面上水质点速度分布的主要因素。
2.2.3 潜艇与上下交界面距离对交界面处兴波尾迹的影响图 11、12分别为d1改变时自由液面、d2改变时内波面处的兴波云图。
Fig. 11
图 11 d1改变时自由液面兴波云图 Fig. 11 Characteristics of wave-making on free surface with different d1 Fig. 12
图 12 d2改变时内波液面兴波云图 Fig. 12 Characteristics of wave-making on internal surface with different d2 由图 11可知，随着潜深d1增加，自由液面处波幅有所下降，波长几乎不变。由图 12可见，d2增加导致内波面处波形的波幅下降，但幅度很小，内波面处兴波波长几乎不变。这与图 9、10一致，说明交界面处的水质点速度分布与兴波具有紧密联系。对比图 11、12可知，与自由液面兴波波形对比，内波交界面处兴波的波幅较小，但波长较大，且随潜艇航行位置改变的变化不明显。总体来说，与交界面越近，潜艇兴波越剧烈，且潜深d1改变对兴波的影响要大于d2。
3 结论本研究基于RANS方程建立了一种可用于求解密度分层流中潜艇兴波尾迹的多相流CFD模型，系统地模拟了潜艇以不同航速在不同位置处航行时的水动力特性。结合交界面处水质点速度及潜艇兴波尾迹进行了分析，得到结论如下：
1) 潜艇兴波尾迹受航速的影响较大。在中速段(Fr = 0.5附近)，由于艇艏、艉兴波的不利干扰，使各交界面处的兴波最为剧烈。
2) 潜艇与上、下交界面之间的距离同样会对潜艇兴波尾迹产生影响。潜艇距各交界面越远，其兴波尾迹剧烈程度越低。潜深d1的对兴波的影响要大于潜艇与内波面距离d2。
3) 潜艇航速改变对各交界面处兴波的波幅及波长均有影响，而与交界面距离改变主要影响兴波波幅，对波长影响很小。当潜艇航速及位置改变时，自由液面及内波交界面处的兴波、速度分布有较大区别，主要表现为自由液面上兴波波幅较高、水质点速度较大，但波长较小。此外，交界面上水质点速度分布与兴波变化联系紧密。
4) 由于淡水、盐水之间的流体密度梯度较小、恢复力弱，使得内波面上的兴波尾迹对潜艇航速、位置等航行参数变化“不敏感”。
本数值模型具有较好的精度，可为密度分层流中潜艇兴波尾迹分析提供一种有效手段。同时全面地给出了潜艇在不同航行参数下在各交界面处兴起的尾迹特征，可对潜艇非声探测数据库的建立提供参考。
参考文献
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