岩石破碎机理的微差爆破最佳延时控制

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本站小编哈尔滨工业大学/2019-10-24

岩石破碎机理的微差爆破最佳延时控制

楼晓明^1,2 , 周文海¹ , 简文彬³ , 郑俊杰⁴

(1.福州大学紫金矿业学院,福州350116;2.福州大学爆炸技术研究所,福州350116; 3.福州大学环境与资源学院,福州350116; 4.华中科技大学土木工程与力学学院,武汉430074)

摘要:

为探究微差爆破最佳的孔间起爆延期时间，从岩石破碎机理出发，将应力波和爆生气体能量综合作用方式作为研究载体，结合波动学理论、热力学理论以及断裂力学理论，推导出应力波和爆生气体作用下的运动和动力学方程、破坏范围、作用时间和传播速度的数学公式.在此基础上，运用推导出的物理参数对哈努卡耶夫提出的延时控制半经验公式进行修正，得出了微差爆破延期时间选取的理论模型.最后，结合某露天矿进行不同段别高精度澳瑞凯雷管组合的微差爆破实验，结果显示此次试验爆破后效果最佳延期时间为25 ms，而将该地质条件的力学参数代入推导得出的最佳延期理论模型，得出延期时间为24 ms左右，说明该理论模型与本次实验结果较为吻合.

关键词: 微差爆破应力波爆生气体破碎机理延时控制

DOI：10.11918/j.issn.0367-6234.2017.02.025

分类号:O382⁺.1

文献标识码:A

基金项目:国家自然科学基金(41072232)；福建省自然科学基金(2011J01310)

Millisecond blasting optimal time delay control based on rock breaking mechanism

LOU Xiaoming^1,2, ZHOU Wenhai¹, JIAN Wenbin³, ZHENG Junjie⁴

（1.College of Zijin Mining, Fuzhou University, Fuzhou 350116, China; 2.Institute for Explosive Technology,Fuzhou University, Fuzhou 350116, China; 3.College of Environment and Resources,Fuzhou University,Fuzhou 350116, China; 4.School of Civil Engineering and Mechanics, Huazhong University of Science and Technology, Wuhan 430074, China）

Abstract:

In order to study the optimal delay time of inter blasthole of millisecond blasting, which is calculated through stress wave and explosive gas energy, an detonation gas motion equation and a dynamic equation are proposed, which is consisted of detonation gas destruction scope, time, and the mathematical model of velocity. Specifically, many theories, such as rock broken theory, wave theory, theory of fracture mechanics, thermodynamics theory and theory of fracture mechanics are utilized during formula derivation. Moreover, after correcting the semi-empirical formula from previous study, a theoretical model of millisecond blasting's delay time is established. As a result, the calculated optimal delay time is 25 ms after inserting the rock mechanical properties. By contrast, the experiment of delayed-detonation combination in different period, reveals that the optimal delay time is 24 ms, which is consistent with the theoretical result.

Key words: millisecond blasting stress wave explosive gas crushing mechanism time delay control

楼晓明, 周文海, 简文彬, 郑俊杰. 岩石破碎机理的微差爆破最佳延时控制[J]. 哈尔滨工业大学学报, 2017, 49(2): 158-163. DOI: 10.11918/j.issn.0367-6234.2017.02.025. 复制到剪切板

LOU Xiaoming, ZHOU Wenhai, JIAN Wenbin, ZHENG Junjie. Millisecond blasting optimal time delay control based on rock breaking mechanism[J]. Journal of Harbin Institute of Technology, 2017, 49(2): 158-163. DOI: 10.11918/j.issn.0367-6234.2017.02.025. 复制到剪切板

基金项目国家自然科学基金(41072232)；福建省自然科学基金(2011J01310) 通讯作者楼晓明(1972-)，男，博士，副教授，331261323@qq.com 文章历史收稿日期: 2015-05-13

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岩石破碎机理的微差爆破最佳延时控制
楼晓明^1,2, 周文海¹, 简文彬³, 郑俊杰⁴
1. 福州大学紫金矿业学院，福州350116;
2. 福州大学爆炸技术研究所，福州350116;
3. 福州大学环境与资源学院，福州350116;
4. 华中科技大学土木工程与力学学院，武汉430074

收稿日期: 2015-05-13
基金项目: 国家自然科学基金(41072232)；福建省自然科学基金(2011J01310)
通讯作者: 楼晓明(1972-)，男，博士，副教授，331261323@qq.com

摘要: 为探究微差爆破最佳的孔间起爆延期时间，从岩石破碎机理出发，将应力波和爆生气体能量综合作用方式作为研究载体，结合波动学理论、热力学理论以及断裂力学理论，推导出应力波和爆生气体作用下的运动和动力学方程、破坏范围、作用时间和传播速度的数学公式.在此基础上，运用推导出的物理参数对哈努卡耶夫提出的延时控制半经验公式进行修正，得出了微差爆破延期时间选取的理论模型.最后，结合某露天矿进行不同段别高精度澳瑞凯雷管组合的微差爆破实验，结果显示此次试验爆破后效果最佳延期时间为25 ms，而将该地质条件的力学参数代入推导得出的最佳延期理论模型，得出延期时间为24 ms左右，说明该理论模型与本次实验结果较为吻合.
关键词: 微差爆破    应力波    爆生气体    破碎机理    延时控制
Millisecond blasting optimal time delay control based on rock breaking mechanism
LOU Xiaoming^1,2, ZHOU Wenhai¹, JIAN Wenbin³, ZHENG Junjie⁴
1. College of Zijin Mining, Fuzhou University, Fuzhou 350116, China;
2. Institute for Explosive Technology, Fuzhou University, Fuzhou 350116, China;
3. College of Environment and Resources, Fuzhou University, Fuzhou 350116, China;
4. School of Civil Engineering and Mechanics, Huazhong University of Science and Technology, Wuhan 430074, China

Abstract: In order to study the optimal delay time of inter blasthole of millisecond blasting, which is calculated through stress wave and explosive gas energy, an detonation gas motion equation and a dynamic equation are proposed, which is consisted of detonation gas destruction scope, time, and the mathematical model of velocity. Specifically, many theories, such as rock broken theory, wave theory, theory of fracture mechanics, thermodynamics theory and theory of fracture mechanics are utilized during formula derivation. Moreover, after correcting the semi-empirical formula from previous study, a theoretical model of millisecond blasting's delay time is established. As a result, the calculated optimal delay time is 25 ms after inserting the rock mechanical properties. By contrast, the experiment of delayed-detonation combination in different period, reveals that the optimal delay time is 24 ms, which is consistent with the theoretical result.
Key words: millisecond blasting    stress wave    explosive gas    crushing mechanism    time delay control
合理的微差爆破延期时间能改善爆破效果、降低成本^[1].因此，众多学者对基于岩石破碎机理的微差爆破延时控制进行了研究.陈士海等^[2]指出，起爆过程中先爆药包为后爆药包提供补充自由面，使得岩体裂隙侧边受到巨大的水平压力，建议此时起爆后爆药包，爆后效果最佳；Yamamoto等^[3]指出爆破过程中岩体位移与抵抗线成函数关系，并给出每米抵抗线需时间5~7 ms；Mogi等^[4]提出先爆药包应力波传到后爆药包，在应力波作用的同时起爆后爆药包，此时两者振动波存在时差以及速度差，岩块相遇时会产生相互碰撞形成补充破坏，爆破效果最佳，并给出最佳延期时间为15~50 ms；李洪涛等^[5]通过研究等效峰值能量对建筑物爆破振动影响，指出峰值速度可作为最佳延期时间判断指标；凌同华等^[6]通过小波变换时能密度分析，将波段分层重构和分辨分解来探究最佳延时控制；Lu等^[7]通过研究爆破过程中振动波引起岩体质点模型结构响应规律，探究最佳延期时间.

爆破振动波信号属于离散型随机不稳定元素，利用振动波能量、频谱等作为载体研究微差爆破延时控制存在诸多不便和不准确性；再者，国内外基于岩石破碎机理研究微差爆破延时控制虽给出了半理论、半经验公式，但该成果多以炸药爆炸过程中释放的某一主要能量作用方式为主(应力波或者爆生气体)，缺乏全面性和科学性.爆破破岩过程是应力波和爆生气体二者综合作用结果，本文从爆破机理理论出发，以爆炸过程能量综合作用方式和破坏形式为基础，采用理论号实验相结合的方法，对理论推导模型进行实验验证，探究最佳延期控制时间.

1 多形式爆炸能释放理论模型的确定在应力波和爆生气体综合作用破坏过程中，应力波主要以动力破坏形式为主，而爆生气体则为准静态破坏.起爆过程中应力波使岩体产生裂纹裂隙，将原始损伤扩大加剧裂隙扩展；随之爆生气体渗入裂隙，进一步贯穿，扩大破坏范围，导致岩块脱离母岩.

1.1 应力波作用数学模型 1.1.1 应力波运动方程药包起爆后，应力波首先对炮孔产生破坏，进入径向压缩阶段.应力波的高压高能使围岩粉碎，催使岩石裂纹裂隙扩展，形成粉碎区，其运动方程可以直接从变形状态方程导出^[8].

$\frac{1}{{{c^2}}}\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {t^2}}} = \frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {\gamma ^2}}} + \frac{1}{r}\frac{{\partial u}}{{\partial r}} - \frac{u}{{{\gamma ^2}}}.$ (1)

式中：c为弹性纵波的传播速度，$c = \sqrt {\left( {\lambda + 2u} \right)/\rho } = \sqrt {\left( {1 - \upsilon } \right)E/\left( {1 + \upsilon } \right)\left( {1 - 2\upsilon } \right)\rho } $；λ、u分别为常数；v为介质泊松比；E为弹性模量；ρ为密度.

以逐孔微差爆破为例，假设炮孔中心为O、半径为r，则位移u是时间t′的函数方程.其中$t' = \left( {t - \frac{{r - R}}{C}} \right)$，u可表示为时间t′~t时刻以及半径r的孔间应力状态方程.具体受力图和运动方程如下：

$u\left( {r,t} \right) = v\left[ {r,t - \frac{{r - R}}{C}} \right].$

令$\left[ v \right] = u\left( {r,t} \right) = v\left[ {r,t - \frac{{r - R}}{C}} \right] \equiv v\left( {r,t'} \right)$，即[v]为u(r, t′)的函数.对时间t和半径r求偏导数并结合式(1)，得

$\begin{array}{l}\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {t^2}}} + \frac{1}{r}\frac{{\partial u}}{{\partial t}} - \frac{u}{{{\gamma ^2}}} = \frac{{{\partial ^2}\left[ v \right]}}{{\partial {r^2}}} - \frac{2}{c}\frac{{{\partial ^2}\left[ v \right]}}{{\partial r\partial t'}} + \frac{1}{{{c^2}}}\frac{{{\partial ^2}\left[ v \right]}}{{\partial {{t'}^2}}} + \\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\frac{1}{r}\left[ {\frac{{\partial \left[ v \right]}}{{\partial r}} - \frac{1}{{{c^2}}}\frac{{\partial \left[ v \right]}}{{\partial t'}}} \right] - \frac{{\left[ v \right]}}{{{r^2}}} = \\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\frac{1}{{{c^2}}}\frac{{{\partial ^2}\left[ v \right]}}{{\partial {{t'}^2}}} - \frac{2}{c}\frac{{{\partial ^2}\left[ v \right]}}{{\partial r\partial t'}} + \frac{1}{r}\frac{{\partial \left[ v \right]}}{{\partial r}} - \\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\frac{1}{{rc}}\frac{{\partial \left[ v \right]}}{{\partial t'}} - \frac{{\left[ v \right]}}{{{r^2}}},\end{array}$ (2)

而波动方程又适合于[v]，故$\frac{1}{{{c^2}}}\frac{{{\partial ^2}\left[ v \right]}}{{\partial {{t'}^2}}} = \frac{{{\partial ^2}\left[ v \right]}}{{\partial {r^2}}} + \frac{1}{r}\frac{{\partial \left[ v \right]}}{{\partial r}} - \frac{{\left[ v \right]}}{{{r^2}}}$可变形并化简为

$\frac{\partial }{{\partial r}} \cdot \frac{1}{r}\frac{{\partial \left( {u,r} \right)}}{{\partial r}} = - \frac{1}{{rc}}\frac{\partial }{{\partial r}}\left( {r,\frac{{\partial \left[ v \right]}}{{\partial t'}}} \right) + \frac{1}{{rc}}\frac{{\partial \left[ v \right]}}{{\partial t'}}.$ (3)

将式(3)对孔内任意位置积分可得:

$\begin{array}{l}\int_R^r {\frac{\partial }{{\partial r}}} \cdot \frac{1}{r}\frac{{\partial \left( {u,r} \right)}}{{\partial r}}{\rm{d}}r = \frac{1}{r}\frac{{\partial \left( {u,r} \right)}}{{\partial r}} - {\left[ {\frac{1}{r}\frac{{\partial \left( {u,r} \right)}}{{\partial r}}} \right]_R} = \\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\frac{1}{r}\frac{{\partial \left( {u,r} \right)}}{{\partial r}} - \frac{{{u_R}}}{R} + {\left( {\frac{{\partial u}}{{\partial r}}} \right)_{r = R'}}.\end{array}$ (4)

$\begin{array}{l} - \frac{2}{c}\int_R^r {\frac{1}{r}} \frac{\partial }{{\partial r}}\left( {r,\frac{{\partial \left[ v \right]}}{{\partial t'}}} \right){\rm{d}}r = - \frac{2}{c}\left[ {{{\left( {\frac{{\partial \left[ v \right]}}{{\partial t'}}} \right)}_r} - {{\left( {\frac{{\partial \left[ v \right]}}{{\partial t'}}} \right)}_R}} \right] - \\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\frac{2}{c}\int_R^r {\frac{1}{r}} \frac{{\partial \left[ v \right]}}{{\partial t'}}{\rm{d}}r{\rm{ = }}\frac{2}{c}{\left( {\frac{{\partial \left[ v \right]}}{{\partial t'}}} \right)_R} - \\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\frac{2}{c}\int_R^r {\frac{1}{r}} \frac{{\partial \left[ v \right]}}{{\partial t'}}{\rm{d}}r,\end{array}$ (5)

Figure 1
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图 1 炮孔受力 Figure 1 Free body diagram of blasthole

在时间$t < \frac{{r - R}}{c}$处，应力波暂未到达r点，故$\frac{{\partial \left[ v \right]}}{{\partial t'}} = 0$，结合式(4)、(5)，将式(3)积分可得：

$\begin{array}{l}{u_r} = R \cdot {u_R} + \left[ {\frac{{{u_R}}}{R} + {{\left( {\frac{{\partial u}}{{\partial t}}} \right)}_R} + {{\left( {\frac{{\partial \left[ v \right]}}{{\partial t'}}} \right)}_R}} \right] \cdot \frac{{{r^2} - {R^2}}}{2} - \\\;\;\;\;\;\;\frac{1}{c}\int_R^r {r{\rm{d}}r} \int_R^r {\frac{1}{\xi }} \frac{{\partial \left[ v \right]}}{{\partial t'}}{\rm{d}}\xi {\rm{.}}\end{array}$ (6)

爆破为动力学过程，故式(6)静力平衡可省去，而孔内扰动位移项极小，也可忽略.即整个应力波作用过程岩石位移只取决于时间先于(r-R/c)的速度${\left( {\frac{{\partial \left[ v \right]}}{{\partial t'}}} \right)_R}$所引起的孔壁位移.由此式(6)可转化为

$u\left( {r,t} \right) = \frac{1}{c}{\left( {\frac{{\partial \left[ v \right]}}{{\partial t'}}} \right)_R} \cdot \left[ {\left( {{r^2} - {R^2}} \right)/2} \right].$ (7)

1.1.2 应力波应力方程假设在弹性范围内研究应力波破岩，可用Hooke定律并结合式(7)求解动应力方程^[9]：

$\left\{ \begin{array}{l}{\sigma _r} = \frac{E}{{c\left( {1 + \gamma } \right)\left( {1 - 2\gamma } \right)}}{\left[ {\frac{{\partial \left[ v \right]}}{{\partial t'}}} \right]_R}\left[ {1 + \left( {1 - 2\gamma } \right)\frac{{{R^2}}}{{{r^2}}}} \right],\\{\sigma _\theta } = \frac{E}{{c\left( {1 + \gamma } \right)\left( {1 - 2\gamma } \right)}}{\left[ {\frac{{\partial \left[ v \right]}}{{\partial t'}}} \right]_R}\left[ {1 - \left( {1 - 2\gamma } \right)\frac{{{R^2}}}{{{r^2}}}} \right].\end{array} \right.$ (8)

式中：σ_r为径向动应力, σ_θ为切向动应力.

应力波作用过程中动态剪应力可由式(8)求得：

$\tau = \frac{{{\sigma _r} - {\sigma _\theta }}}{2} = \frac{E}{{c\left( {1 + \gamma } \right)}}\frac{{{R^2}}}{{{r^2}}}{\left( {\frac{{\partial \left[ v \right]}}{{\partial t'}}} \right)_R},$ (9)

由式(9)可知，当r=R时动态剪应力最大，即孔壁处最大，取最大值为τ_max, 即

${\tau _{\max }} = \frac{E}{{c\left( {1 + \gamma } \right)}}{\left( {\frac{{\partial \left[ v \right]}}{{\partial t'}}} \right)_R}.$ (10)

炸药爆炸后，孔壁岩石质点产生位移并传递给相邻质点，质点产生的径向位移和环向位移导致外岩层出现切向和经向应变；在爆炸载荷作用下，炮孔岩层质点受到向外冲量，使得σ_r变为拉应力.岩石抗压强度远远大于抗拉强度，使岩块产生径向和环向裂隙；${\left( {\frac{{\partial \left[ v \right]}}{{\partial t'}}} \right)_R}$表示应力波导前速度，当应力波传到r处，才受到动应力作用，此刻动应力大小取决于时间t=(r-R/c)处的速度.如果时间小于或者大于该值，说明应力波还未到达或者已经经过r处，此时该处动应力为零.

1.1.3 应力波破岩条件为研究方便，同样选取逐孔微差爆破为对象，假设爆破过程中应力波产生的破坏区域半径为A，根据岩体强度破坏准则可知，若破坏为径向动拉应力破坏，破坏条件为

${\left( \sigma \right)_{\max }} = \left[ {{\sigma _b}} \right],$ (11)

式中, [σ_b]为岩石的单轴抗拉强度.

将式(8)代入式(11)可得：$\frac{E}{{c\left( {1 + \gamma } \right)\left( {1 - 2\gamma } \right)}}{\left( {\frac{{\partial \left[ v \right]}}{{\partial t'}}} \right)_R}.\left[ {1 + \left( {1 - 2\gamma } \right)\frac{{{R^2}}}{{{A^2}}}} \right] = \left[ {{\sigma _b}} \right],$故

$A = R\sqrt {\frac{{\left( {1 - 2\gamma } \right)c\rho {{\left( {\frac{{\partial \left[ v \right]}}{{\partial t'}}} \right)}_R}}}{{\left( {1 - \gamma } \right) - c\rho {{\left( {\frac{{\partial \left[ v \right]}}{{\partial t'}}} \right)}_R}}}} ,$ (12)

同样，若应力波破坏为切向动应力破坏，破坏条件为

${\tau _{\max }} = \left[ {{\tau _b}} \right],$ (13)

式中, [τ_b]为岩石的抗剪切强度.

将式(8)代入式(13)可得：$\frac{E}{{c\left( {1 + \gamma } \right)}}\frac{{{R^2}}}{{{A^2}}}{\left( {\frac{{\partial \left[ v \right]}}{{\partial t'}}} \right)_R} = \left[ {{\tau _b}} \right]$，此时：

$A = R\sqrt {\frac{{\left( {1 - 2\gamma } \right)c\rho {{\left( {\frac{{\partial \left[ v \right]}}{{\partial t'}}} \right)}_R}}}{{\left( {1 - \gamma } \right)\left[ {{\sigma _b}} \right]}}} .$ (14)

1.2 爆生气体作用数学模型 1.2.1 爆生气体压力计算应力波作用产生粉碎和裂隙的同时，爆生气体膨胀产生准静态应力场，加大裂隙区破坏范围.爆生气体膨胀过程时间极短，可假设是一种等熵绝热过程^[10]，则爆生气体在裂隙中的压力表示为

${p_0} = {p_k}{\left( {\frac{{{p_\omega }}}{{{p_k}}}} \right)^{\gamma /k}}{\left( {\frac{{{r_c}}}{r}} \right)^{2\gamma }}.$ (15)

式中: p_k为临界压力；γ为绝热指数，k为等熵指数(通常取γ=1.4，k=3)；p_ω为平均压力，p_ω=ρ₀D²/2(1+k)，D为爆速; ρ₀为炸药密度；r为炮孔直径；r_c为装药半径.

由热力学知识中气体等熵膨胀理论可得出爆生气体膨胀随时间变化的压力表达式为

$p\left( t \right) = \frac{{{p_0}}}{\varepsilon }{\left( {1 + \frac{x}{{{C_0}t}}} \right)^k}.$ (16)

式中：x为爆生气体运动范围，0≤x≤L_b，其中L_b为炮孔长度；${C_0} = \sqrt {k{p_0}\rho _1^{ - k}} $为膨胀压力，通常取1.5~2.0 Pa；ρ₁=(r/r_c)²ρ_H，其中ρ_H为破坏临界时气体密度，ρ_H=(1+k)ρ₀/k₀.

爆生气体从开始到破坏整个过程中膨胀时间可由式(16)得到：t=L_b/C₀(8^1/k-1).由于爆生气体对炮孔破坏为扩腔和致裂，而扩腔主要是对炮孔的纵向破坏，所以研究爆生气体破坏范围只考虑致裂作用.假设爆生气体作用过程中炮孔壁不动，则爆生气体膨胀压力为

$p = {p_0}\left( {\frac{{{\rm{\pi }}{r^2}}}{{{\rm{\pi }}{r^2} + 2\alpha b}}} \right)\gamma ,$ (17)

式中: b为裂隙宽度，α为裂隙长度.

故由式(16)，可将膨胀压力随时间变化表示为

$p\left( t \right) = {p_0}{\left( {\frac{Z}{{{C_0}t - H}}} \right)^\alpha }.$ (18)

逐孔爆破中，取γ=1.4，α=1.55；Z、H分别为常数，Z=0.27L_b，H=0.83L_b.

1.2.2 爆生气体破岩条件逐孔爆破中爆生气体进入裂隙时，由应力集中原理说明两相邻炮孔在直线方向所产生的破坏力最大，为研究方便，只考虑直线方向破坏.由断裂力学理论，裂隙端部强度因子只要大于岩层裂隙层面的断裂韧性，将开始破坏(见图 2, 3)，引起裂隙的进一步扩展^[3].图 2中，α₀表示应力波作用下产生的裂隙长度，α表示爆生气体作用下拓展的裂隙长度.

Figure 2
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图 2 断裂力学模型 Figure 2 The fracture mechanics pattern

从图 3可知比例系数随裂隙增大而增加，(r+α)/r>1.5时，F→1.0.由裂隙破坏标准K₁>K_IC，得出裂隙破坏条件为

Figure 3
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图 3 F值曲线 Figure 3 The F value curve

${P_0} > {K_{{\rm{IC}}}}/F\sqrt {{\rm{\pi }}\left( {r + \alpha } \right)} .$ (19)

爆生气体压力大于裂隙扩展的临界值，即驱动力$\left( {{P_C} = {K_{{\rm{IC}}}}/F\sqrt {{\rm{\pi }}\left( {r + \alpha } \right)} } \right)$，则裂隙开始扩展，反之停止扩展.

1.2.3 爆生气体运动方程爆生气体作用过程中，速度随着裂隙的变化而变化，将式(17)反推求得任意时刻裂隙瞬时长度后对时间求导，便可得到扩展速度为

$V = \frac{{\partial \alpha }}{{\partial t}} = - \frac{{{\rm{\pi }}r_b^2}}{{2b\gamma {p_0}}}{\left( {\frac{{{p_0}}}{p}} \right)^{\frac{{1 + \gamma }}{\gamma }}}\frac{{{\rm{d}}P}}{{{\rm{d}}t}}.$ (20)

将式(18)中膨胀压力对时间求导数，可得膨胀压力变化速率为

$\frac{{{\rm{d}}P}}{{{\rm{d}}t}} = - \frac{{\alpha {C_0}{P_0}}}{A}{\left( {\frac{A}{{{C_0}t - B}}} \right)^{\alpha + 1}}.$ (21)

爆生气体作用下裂隙的扩展速度可将式(18)、(20)代入式(20)求得：

$V = \frac{{{\rm{\pi }}r_b^2\alpha {C_0}}}{{2b\gamma z}}{\left( {\frac{Z}{{{C_0}t - H}}} \right)^{\frac{{\gamma - \alpha }}{\gamma }}}.$ (22)

爆生气体作用并非绝热过程，故k=3的等熵膨胀渐变转化为γ=1.4的绝热膨胀.因此r=α时扩展速度最大达到极限值V_m=πr²C₀/2bZ.取V=0.25V_m^[11]，故裂隙平均宽度为

$b = {\rm{\pi }}{r^2}{C_0}/0.76Z.$ (23)

根据爆生气体压力与裂隙扩展的临界值关系，可知裂隙是否继续发生破坏.当r_b+α/r_b＞1.5时，F→1.0，裂隙扩展停止，故止裂状态方程为

${P_m} = {K_{{\rm{IC}}}}/\sqrt {{\rm{\pi }}\left( {r + {\alpha _m}} \right)} .$ (24)

式中: P_m为裂隙停止扩展时的气体压力, α_m为总裂隙长度.将P_m和α_m代入式(17)并联立方程(23)、(24)可得爆生气体作用下最终裂隙扩展长度为

${\alpha _m} = \frac{{\left[ {{\rm{\pi }}{r^2}/\log \left( {\gamma /{P_0}} \right)} \right] - {\rm{\pi }}{r^2}}}{{2b}}.$ (25)

2 逐孔爆破最佳延期时间选取模型确立工程爆破是多种应力场综合作用过程，起爆初期以应力波破坏为主，对岩体原始裂纹裂隙进行扩展；在应力波破坏的同时，爆生气体不断膨胀对裂纹裂隙进一步扩展贯穿.部分学者^[12-14]分析指出，微差爆破过程不能单独考虑应力波或者爆生气体作用，而应当是两者综合作用的结果，但均未给出具体数学计算公式或理论模型.哈努卡耶夫^[15]提出，最佳起爆间隔时间应当是爆生气体膨胀到一定程度沿裂隙冲出，将应力波作用产生的粉碎区和裂隙区连接并扩大贯穿，使得先爆炮孔刚好形成爆破漏斗的时间点，其间隔时间半经验公式为

$T = {t_1} + {t_2} + {t_3} = \frac{{2W}}{C} + \frac{R}{{{V_t}}} + \frac{S}{{{V_a}}}.$ (26)

式中：t₁为弹性应力波传至自由面并返回时间；t₂为裂缝形成时间；t₃为破碎岩石离开母岩距离S的时间；W为最小抵抗线；C为弹性纵波速度；R为应力波破坏半径；V_t为应力波作用下裂缝扩展速度；S为爆生气体拓展的裂缝宽度；V_a为爆生气体作用下裂隙扩展速度.

文献[15]给出了延期时间选取的半经验公式，但其参量取值多以经验值为主，缺乏理论依据.本文根据上述推出的应力波和爆生气体作用有关数学公式对哈努卡耶夫半经验公式进行修正.将式(12)、(14)、(22)、(23)带入式(26)可得延期间隔时间理论模型为

$\Delta t = {t_1} + {t_2} + {t_3} = \frac{{2W}}{C} + \frac{{2A}}{{{V_t}}} + \frac{b}{V},$ (27)

其中：

$\begin{array}{*{20}{c}}{C = \sqrt {\lambda + 2u/\rho } = \sqrt {\left( {1 - v} \right)E/\left( {1 + v} \right)\left( {1 - 2v} \right)\rho } ;}\\{{V_t} = 0.05Cb = {\rm{\pi }}{r^2}{C_0}/0.76Z;}\\{V = \frac{{{\rm{\pi }}r_b^2\alpha {C_0}}}{{2b\gamma z}}{{\left( {\frac{Z}{{{C_0}t - H}}} \right)}^{\frac{{\gamma - \alpha }}{\gamma }}}.}\end{array}$

3 工程实例与理论计算 3.1 工程实例在青海德尔尼露采场4 278 m平台进行3次不同段别的高精度澳瑞凯雷管组合的逐孔台阶微差爆破实验，整个过程将某一爆区划分为1#区、2#区、3#区，进行肩并肩对比.采用逐孔起爆方式，孔内统一用400 ms延期雷管，3个实验区排间统一采用65 ms延期雷管、孔间分别采用17、25、42 ms雷管，即(65 ms、17 ms)、(65 ms、25 ms)、(65 ms、42 ms)组合雷管，具体爆破网络、爆区地质环境和爆后效果如图 4~8所示.

Figure 4
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图 4 爆破网络 Figure 4 Blasting network

Figure 5
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图 5 爆区地质环境 Figure 5 The geological environment of blasting area

Figure 6
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图 6 1#爆区爆后效果 Figure 6 The blasting effect chart of 1# area

Figure 7
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图 7 2#爆区爆后效果 Figure 7 The blasting effect chart of 2# area

Figure 8
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图 8 3#爆区爆后效果 Figure 8 The blasting effect chart of 3# area

从3个爆区爆后效果图可以看出，1#爆区(65 ms、17 ms)留有少量根底和大块，且塌落线不明显，爆堆不规整；2#爆区(65 ms、25 ms)爆后效果较好，无根底、大块，爆堆规整、连续、松散度较佳，有效节省了后期铲装、运输和二次爆破成本；3#爆区(65 ms、42 ms)爆后台阶垮裂、沉降以及前移效果明显，但碎岩被抛出距离较远，爆堆分散，加大了后期处理成本.故3种不同段别雷管组合爆破方案中，以孔间延期时间t=25 ms爆后效果最佳.

3.2 理论模型的计算露采场4 278 m平台岩性主要以蛇纹岩为主，具体岩石力学性质见表 1.

表 1

表 1 岩石力学性质统计 Table 1 Statistical table of rock mechanical propertys 岩石名称取样孔样品标号取样深度抗压强度/MPa 抗拉强度/MPa 抗剪断强度变形试验

天然天然 C φ 变形模量/MPa 弹性模量/MPa 泊松比

蛇纹岩ZK001 Y3 18.00 10.1 1.86 3.73 39°25′ 4.867 4.980 0.16

ZK002 Y4 35.80 35.6 2.71 7.28 34°23′ 4.575 4.188 0.26

ZK003 Y6 58.00 38.7 3.52 7.14 35°29′ 20.690 12.800 0.16

ZK004 Y8 73.30 24.3 2.46 8.05 34°23′ 5.802 5.788 0.29

表 1 岩石力学性质统计 Table 1 Statistical table of rock mechanical propertys

此次爆破实验采用深孔台阶爆破，孔间距为5 m、排间距为6 m、孔半径r=75 mm、孔深为14.5 m，岩石力学参数采用取样孔ZK001中数据为准，岩石密度ρ=2.58 g/cm³、最小抵抗线W=9 m.将参数代入式(26)计算延期时间可得Δt=t₁+t₂+t₃=23.6 ms.依据本文修正后的最佳延期时间数学模型得此次爆破方案理论上最佳延期时间为24 ms左右，说明该理论模型与本次实验结果较为吻合.

4 结论1)结合岩体破碎理论、波动学理论、热力学理论以及断裂力学理论推导出微差台阶爆破工程中应力波、爆生气体运动方程和动力学方程，以此构建出了应力波和爆生气体破坏范围、作用时间和传播速度的数学公式.

2)基于本文推出的应力波和爆生气体动力和运动方程，对哈努卡耶夫提出的微差爆破延期时间半经验公式进行了修正，理论上给出了依据爆破能量释放形式为依据的最佳延期时间数学模型.微差爆破实验证明该数学理论模型计算结果与实验效果较为吻合.

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