华中科技大学博士研究生入学考试《随机过程》考试大纲

一．概率论部分 （ 30% ）：

1. 随机事件和概率

（1）随机事件和样本空间的概念 ， 随机事件的关系和运算

（2）事件的概率定义（包括古典型概率，几何型概率）及其计算

（3）条件概率的定义 ，事件的独立性定义

2．一维随机变量及其分布

（1）随机变量定义 ， 分布函数定义及性质

（2）离散型随机变量

① 离散型随机变量的定义和分布列

② 几种典型的离散型随机变量：两点分布 ，二项分布 ， 泊松分布 ， 几何分布

（3）连续型随机变量

① 连续型随机变量的定义

② 概率密度函数的性质

③ 几种典型的连续型随机变量： 均匀分布 ， 指数分布 ， 正态分布

（4） 随机变量函数的分布

3． 二维随机变量及其分布

（1）二维随机变量的定义

（2）边缘分布 ，条件分布 ，随机变量的独立性

（3）二维随机变量函数的分布

4． 数字特征

（1）随机变量的数学期望

（2）随机变量的方差

（3）协方差和相关系数

（4）协方差矩阵

二．随机过程部分（70%） ：

1．随机过程的基本概念与基本类型

（1）随机过程的基本概念

（2）随机过程的分布律和数字特征

① 求解随机过程的一维、二维分布函数 （ 或者 概率密度函数 ）

② 数字特征 ：均值函数m_x(t) ， 方差函数 D_x(t) ，协方差函数 C_x(t₁, t₂) ，相关函数R_x(t₁, t₂) ，特征函数 g_x(u) = E{ exp( j•u•x(t) ) }

2．平稳随机过程（宽平稳）

（1）平稳随机过程的定义 ，根据定义判断随机过程是否平稳

（2）平稳随机过程的相关函数性质

3．平稳随机过程的谱分析（宽平稳）

（1）平稳过程的总能量 ，平均功率 ，平均功率谱密度 （以下均简称 ： 谱密度） 三者的定义 ；以及这三者之间的关系

（2）谱密度的性质

① 平稳过程的谱密度与相关函数是对应的傅里叶变换

（3）平稳过程通过线性系统的分析

输入X（t）是平稳过程 ,

① 均值函数 ：m_y(t) = m_x(t) * h(t) = 常数

② 相关函数 : R_y(t , t +τ) = R_x(t , t +τ)* h(τ) * h(-τ)

= R_x(τ)* h(τ) * h(-τ)

③ 综合① 、② ，输出Y（t） 也是平稳过程

④ 功率谱密度 ：S_y(ω ) = S_x(ω ) · |H(jω)|²

4．马尔柯夫链

（1）马尔柯夫链的定义

（2）一步转移概率 ，一步转移概率矩阵 P ；

k步转移概率 ，k步转移概率矩阵 P^(k) ;

及其关系 ： P^{(k) =} P^k

（3）马尔柯夫链遍历性的判断和平稳分布的求解

5．泊松过程

（1）泊松过程的定义

（2）泊松过程的基本性质 P 40

6．正态过程

（1）正态过程的定义

（2）正态过程的基本性质

① 正态过程的一维分布是正态分布

② 正态过程的二维分布是 二维正态分布 ，

③ 根据均值函数m_x(t) , 相关函数R_x(t₁, t₂) 能确定有限维分布