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华南理工大学2014年博士2476数值分析考试大纲

华南理工大学 免费考研网/2014-04-25


2476数值分析考试大纲
一、误差与数值算法设计若干原则
误差的基本概念:误差来源与分类,截断误差,舍入误差,绝对误差、相对误差和误差限,有效数字。
函数计算误差分析:一元函数误差估计,四则运算误差估计。
数值算法设计应遵循的若干原则:简化计算步骤以节省计算量(秦九韶算法),减少有效数字的损失(避免相近数相减),选择数值稳定的算法。

二、插值方法
插值问题的基本概念:插值问题的提法,插值多项式的存在唯一性,
Lagrange插值:线性插值与抛物插值,n次Lagrange插值,插值余项公式。
Newton插值:均差的概念与性质,Newton插值公式及其余项,差分的概念与性质,等距节点的Newton插值公式。
Hermite插值:两点三次Hermite插值及其余项,n点Hermite插值,非标准Hermite插值及其余项。
分段低次插值:Runge现象,分段线性插值,分段三次Hermite插值。
三次样条插值:三次样条函数与三次样条插值,构造三次样条插值的三弯矩方法。

三、曲线拟合与函数逼近
正交多项式:函数内积、欧几里德范数,正交函数序列,正交多项式,Legendre多项式。
曲线拟合的最小二乘法:最小二乘拟合问题的提法,最小二乘拟合问题的解法,非线性拟合问题(指数模型、双曲线模型),最小二乘法的其他应用(算术平均、超定方程组)。
连续函数的最佳平方逼近:最佳平方逼近问题的提法,最佳平方逼近的解法,基于正交函数的最佳平方逼近,利用Legendre多项式作最佳平方逼近。

四、数值积分与数值微分
数值求积基本概念:数值求积公式基本形式,插值型求积公式,代数精度。
Newton-Cotes求积公式:Newton-Cotes公式一般形式,梯形公式和Simpson公式及其余项,数值稳定性。
复化求积公式:复化梯形公式,复化Simpson公式,复化公式的余项,复化公式的收敛性。
Gauss型求积公式:Gauss型求积公式的概念(最高代数精度、插值型),Gauss点的特性,Gauss-Legendre求积公式,Gauss公式的余项、稳定性。
Romberg算法:二等分过程梯形公式的递推关系,Richardson外推加速法,Romberg算法。
数值微分公式:基于Taylor展开的数值微分公式,基于插值的数值微分公式。

五、线性代数方程组的直接解法
三角形方程组的解法:前推、回代过程。
Gauss消去法:顺序Gauss消去法,列主元Gauss消去法。
直接三角分解法:矩阵三角分解,直接三角分解法。
追赶法与平方根法:解三对角方程组的追赶法,解对称正定方程组的平方根法。
向量和矩阵的范数与谱半径:向量范数,矩阵范数,矩阵谱半径。
扰动误差分析:条件数,病态方程组。

六、线性代数方程组的迭代解法
迭代法的基本思想:迭代法的基本概念,基本型迭代公式。
Jacobi迭代与Gauss-Seidel迭代:Jacobi迭代,G-S迭代。
迭代法收敛性分析:收敛性充要条件,收敛性充分条件,收敛速度。
SOR法:SOR法迭代公式,SOR法收敛性条件。

七、方程求根
基本概念与二分法:基本概念,求根的主要思想,二分法。
不动点迭代法:不动点迭代法,不动点迭代法的收敛性定理,局部收敛性,收敛速度与收敛阶。
Newton迭代法:Newton迭代法,Newton迭代法的收敛性,重根的处理,应用举例(如求方根、应用于代数方程等特殊方程)。
迭代过程的加速方法:Aitken加速方案,Steffensen迭代法。

八、常微分方程初值问题数值解法
数值解的概念:数值解的概念,数值解法的特点(步进式)。
Euler方法与局部截断误差:Euler公式,隐式Euler公式,梯形公式,改进的Euler公式,局部截断误差与方法的阶。
Runge-Kutta方法:2阶Runge-Kutta公式,3阶、4阶Runge-Kutta公式(经典4阶Runge-Kutta公式)。
单步法的收敛性与稳定性:单步法的收敛性,单步法的绝对稳定性。
线性多步法:线性多步法一般形式,线性多步法的构造,几个重要的线性多步法。
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