, 于广, 王立平, 姜楠清华大学 机械工程系, 精密超精密制造装备及控制北京市重点实验室, 北京 100084
收稿日期：2019-06-09
基金项目：国家科技重大专项（2016ZX04004-004）
作者简介：张云(1974—), 男, 副研究员。E-mail:zhangyun@tsinghua.edu.cn
摘要：针对数控转台可靠性高、寿命长、失效样本数据少的情况，采用基于性能退化数据的可靠性评估方法进行研究。在试验过程中通过测量转台不同角度回转精度的性能退化量扩充试验数据，根据试验数据计算得出数控转台的伪失效寿命值。为了提高转台可靠性评估结果的准确率，采用虚拟增广原理扩展试验数据，再对扩展试验数据采用数学方法进行分析。结果表明：该方法可对数控转台的可靠性进行评估，得到数控转台的可靠度、失效分布密度函数和预期平均寿命等可靠性指标。该方法节省了试验成本与时间。
关键词：数控转台单子样性能退化数据虚拟增广可靠性
Performance degradation data based NC rotary table reliability predictions using a single sample
ZHANG Yun
, YU Guang, WANG Liping, JIANG NanBeijing Key Laboratory of Precision/Ultra-Precision Manufacturing Equipment and Control, Department of Mechanical Engineering, Tsinghua University, Beijing 100084, China
Abstract: Reliability evaluations of numerical control (NC) rotary tables are limited by their good reliability, long lives and few samples. This paper presents a reliability evaluation method based on performance degradation data for NC rotary tables. The test data is expanded by measuring the performance degradation of a rotary table at different angles to calculate a pseudo-life for the rotary table. The accuracy of the rotary table reliability evaluation is improved using the virtual augmentation principle to expand the test data with the virtual augmented samples analyzed mathematically. The results show that this method can be used to determine various reliability indexes such as the reliability, failure distribution density function and predicted average life of NC rotary tables. This method significantly reduces the test costs and time.
Key words: numerical control (NC) rotary tablesingle sampleperformance degradation datavirtual augmentationreliability
数控转台的可靠性影响着机床整机的性能。由于数控转台结构复杂，在工作中频繁转动，常会出现如漏油、分度定位不准、平台锁紧不稳等问题，因此需要研究提高转台可靠性的技术。传统的可靠性试验方法耗费时间久、经费需求高，已经不能适应可靠性技术的发展。因此，基于性能退化数据的可靠性评估方法应运而生。
基于性能退化数据的可靠性评估方法一般可分为基于性能退化量分布法、基于伪失效寿命分布法和基于随机系数分布法等。Lu等基于疲劳裂纹增长数据并利用Monte Carlo法得到非线性随机系数模型，推断出产品的伪失效时间[1]；Nelson研究了基于性能退化关系的寿命分布[2]；Meeker等研究了性能退化加速模型，分析了加速变量对性能退化速率的影响[3]；Chen等通过估计产品的退化轨迹模型，外推获得产品的失效寿命[4]；陈振珩等对线性函数模型、指数函数模型和幂函数模型等基于试验性能退化数据的常用退化轨迹数学模型进行了深入分析[5]；蒋喜等对基于伪失效寿命分布的电主轴极小子样可靠性问题进行了分析与探讨[6]；马小兵等利用幂函数拟合电子产品的退化轨迹[7]; 邓爱民等研究了基于产品性能退化轨迹与基于性能退化量分布的可靠性评估方法[8]。
产品的性能退化是其内部机理与外部环境共同作用下性能发生变化的一种物理或者化学过程。这一过程中变化积累到相当数量时就会出现损伤，当损伤达到失效阈值后，就会导致产品失效。基于可靠性试验性能退化量的分析方法在记录试验样本在试验中不同时刻的性能特征数据的基础上，通过统计分析来估计产品的可靠性。显然，通过该方法得到的数据比基于失效寿命数据的方法多很多，因此该方法比基于失效寿命数据的可靠性评估方法更准确。并且，由于该方法在样本失效前就已经对其可靠性进行了评估，因而很大程度地减少了试验的费用和时间。本文采用伪失效寿命分布法对数控转台可靠性试验得到的退化数据进行分析，并利用所提方法对数控转台的可靠性进行了评估。
1 性能退化量数学统计模型Lu等于1993年提出了基于性能退化数据分析的通用数学模型[1]，
| $y_{i j}=D\left(t_{i j}, \alpha, \beta_{i}\right)+\varepsilon_{i j}.$ | (1) |
当产品的性能下降到失效阈值Df时，如果发生故障，则故障时间T为产品的退化轨迹D(t)达到失效阈值Df所用的时间。在一般情况下，产品的性能退化数学模型难以通过物理失效分析的方法获得。因此，一般情况下，利用试验数据根据现有的数学模型来拟合得到最优的退化模型，是较为通用的处理办法。
1.1 常用的性能退化轨迹数学模型常见的性能退化轨迹数学模型如下：
| $\begin{array}{l}1)线性退化模型:y(t) = \alpha \cdot t + \beta ;\\2)幂函数模型:y(t) = \beta \cdot {t^a};\\3)指数模型:y(t) = \beta \cdot {{\rm{e}}^{a \cdot t}};\\4)对数模型:y(t) = \alpha \cdot \ln t + \beta ;\\5){\rm{Lloyd - Lipow}}模型:y(t) = \alpha - \beta /t.\end{array}$ | (2) |
1.2 建立性能退化轨迹数学模型的流程首先，将可靠性试验性能退化数据与常见的数学模型进行拟合，然后使用误差平方和(SSE)估计其拟合优度，从而建立产品的退化轨迹模型。数学表达式为
| ${\rm{SSE}} = \sum\limits_{i = 1}^n {{{\left( {{x_i} - \bar x} \right)}^2}} .$ | (3) |
产品性能退化轨迹模型建立的流程如图 1所示。
 |
| 图 1 建立各应力水平下的退化轨迹模型的流程 |
| 图选项 |
2 单子样样本可靠性评估2.1 伪失效寿命分布法的基本原理基于伪失效寿命分布法的性能退化数据可靠性评估原理是把试验得到的性能退化数据作为时间的函数，使用性能退化轨迹数学模型表示产品的伪失效寿命值与施加的应力大小的关系[6]。该方法的基本步骤如下[9]：
步骤1??对试验样本连续地进行性能退化试验，记录性能变化数据，根据国家相关标准、工程经验等确定产品性能退化失效阈值Df。
步骤2??运用非线性最小二乘法将步骤1得到的性能退化数据与常用的性能退化数学模型拟合，得到拟合优度最好的退化轨迹数学模型，求出模型中的未知参数。
步骤3 ??根据步骤2中获得的性能退化轨迹数学模型，并结合步骤1中确定的产品性能退化失效阈值Df，使用外推法得出可靠性试验样本的伪失效寿命。
步骤4??对得到的伪失效寿命数据进行分布假设检验。对于机械产品而言，通常假设其寿命分布服从Weibull分布、正态分布或者对数正态分布。
步骤5??选定样本数据的寿命分布后，采用其对应的可靠性评估方法评估产品的可靠性。
2.2 虚拟增广样本法的基本原理虚拟增广样本法的立论依据为：虚拟增广后的样本平均值应该等于初始样本试验数据的平均值，并且其标准差同样等于类似件的标准差[10-12]。其数学表达式为
| $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{{\sum\limits_{i = 1}^n {{T_i}} }}{n} = \bar T, }\\{\frac{{\sum\limits_{i = 1}^n {{{\left( {\bar T - {T_i}} \right)}^2}} }}{{n - 1}} = {\sigma ^2}.}\end{array}} \right.$ | (4) |
3 基于伪失效寿命分布的数控转台单子样可靠性评估对某型号的数控转台样品实施850 h的性能退化可靠性试验，并测量得到其不同角度的精度误差退化数据。部分试验数据详见表 1。
表 1 数控转台回转精度误差退化试验数据(部分)[13]
| t/h | 精度误差退化量/(″) | |||
| θ=30° | θ=45° | θ=60° | θ=75° | |
| 50 | 8.5 | 9.0 | 2.0 | 5.0 |
| 100 | 11.5 | 2.0 | 7.0 | 3.5 |
| 150 | 10.5 | 0.5 | 8.5 | 2.5 |
| 200 | 7.0 | 6.0 | 5.5 | 7.0 |
| 250 | 7.5 | 6.0 | 2.5 | 7.5 |
| 300 | 2.0 | 2.0 | 6.5 | 10.0 |
| 350 | 2.5 | 1.5 | 9.0 | 10.0 |
| 400 | 4.0 | 6.0 | 7.5 | 13.5 |
| 450 | 7.0 | 11.0 | 12.0 | 17.0 |
| 500 | 12.0 | 17.0 | 20.5 | 22.5 |
| 550 | 14.5 | 17.0 | 19.0 | 23.0 |
| 600 | 30.5 | 39.0 | 42.0 | 44.5 |
| 650 | 24.0 | 34.0 | 38.5 | 40.5 |
| 700 | 27.0 | 39.5 | 41.5 | 41.5 |
| 800 | 23.0 | 36.5 | 42.0 | 41.5 |
| 850 | 28.0 | 39.0 | 39.0 | 42.5 |
表选项
3.1 试验样本的伪失效寿命利用最小二乘法将试验获得的数据分别与线性退化模型、幂函数模型、指数模型、对数模型和Lloyd-Lipow模型等常见的退化轨迹数学模型进行拟合，拟合结果如图 2所示。同时，获得试验数据与各数学模型拟合后的SSE及参数值，如表 2所示。
 |
| 图 2 \begin{array}{c} E(t)=\hat{\eta} \Gamma(1+1 / \hat{m})= \\ 1732.4 \times 0.947 \mathrm{h}=1640.6 \mathrm{h}\end{array} |
| 图选项 |
表 2 样本数据与各数学模型拟合后的误差平方和及参数值
| 拟合函数 | θ=30° | θ=45° | θ=60° | θ=75° | |||||||||||
| SSE | α | β | SSE | α | β | SSE | α | β | SSE | α | β | ||||
| 线性模型 | 599.9 | 0.029 | 1.138 | 803.8 | 0.054 | -6.952 | 702.1 | 0.057 | -5.955 | 454.0 | 0.061 | -5.341 | |||
| 幂函数模型 | 577.1 | 1.322 | 3.918×10-3 | 597.6 | 1.784 | 0.269×10-3 | 579.8 | 1.561 | 1.269×10-3 | 404.6 | 1.383 | 4.346×10-3 | |||
| 指数模型 | 494.1 | 2.27×10-3 | 4.432 | 765.4 | 2.988×10-3 | 3.693 | 758.8 | 2.726×10-3 | 4.883 | 644.9 | 2.534×10-3 | 5.972 | |||
| 对数模型 | 943.8 | 6.807 | -26.01 | 1 770.0 | 13.71 | -63.42 | 1 548.3 | 15.29 | -70.31 | 1 253.5 | 16.45 | -75.24 | |||
| Lloyd-Lipow模型 | 1 237.9 | 16.47 | 652.5 | 2 896.5 | 22.47 | 1 386 | 2 687.1 | 26.41 | 1 771 | 2 569.4 | 28.79 | 1 906 | |||
表选项
从图 2的4幅分图中明显可以看出，4组数据的变化趋势具有高度的相似性，说明该数控转台的可靠性试验数据具有较强的可信度。
根据表 2中SSE的大小，可得到试验样本各角度回转精度的最优退化轨迹数学模型，表达式如下：
| $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{y_{30}}(t) = 4.432 \cdot {{\rm{e}}^{0.002271 \cdot t}}, }\\{{y_{45}}(t) = 0.0002697 \cdot {t^{1.784}}, }\\{{y_{60}}(t) = 0.001269 \cdot {t^{1.561}}, }\\{{y_{75}}(t) = 0.004346 \cdot {t^{1.383}}.}\end{array}} \right.$ | (5) |
失效阈值有相对失效阈值和绝对失效阈值。结合使用方的需求以及工程经验，本文选择绝对失效阈值作为数控转台回转精度的失效阈值，并令绝对失效阈值为2′，根据式(5)可求出30°、45°、60°、75°的退化伪失效寿命分别为1 453、1 466、1 540、1 626 h。
3.2 伪失效寿命虚拟增广样本的确定虚拟扩展节3.1获得的数控转台试验样本伪失效寿命数据。为了获得更好的试验估计结果，虚拟增广后的样本容量应该大于10。本文令增广后的样本容量为11，也就是将初始样本容量从n=1虚拟扩展至n′=11。
假设数控转台的失效分布函数为Weibull分布，然后对伪失效寿命数据进行虚拟扩展。取节3.1计算结果的均值作为伪失效寿命的均值
| $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{1}{{11}}\sum\limits_{i = 1}^{11} {{T_i}} = \bar T, }\\{\frac{{\sum\limits_{i = 1}^{11} {{{\left( {\bar T - {T_i}} \right)}^2}} }}{{11 - 1}} = {\sigma ^2}.}\end{array}} \right.$ | (6) |
3.3 数控转台可靠性评估3.3.1 伪失效寿命虚拟增广样本分布假设图检验常见的失效寿命数据分布形式有正态分布、对数正态分布和Weibull分布。利用这3种分布对样本的伪失效寿命进行分布假设图检验，以检验假设的分布函数的拟合优度，如图 3所示。
 |
| 图 3 虚拟增广样本分布假设检验概率图 |
| 图选项 |
在分布假设概率图中，如果得到直线，则说明数据服从该分布假设。由图 3的检验结果可知：伪失效寿命数据均大致分布在一条直线上，可以认为伪失效寿命的虚拟增广样本同时服从这3种分布。
3.3.2 虚拟增广样本分布假设K-S检验假设概率图是一种较为直观和简便的检验数据分布的方法，但是假设概率图并不是严格意义上的检验方法，通常需要与其他检验方法联合使用。本文借助MATLAB软件对得到的数控转台伪失效寿命虚拟增广样本分别用正态分布、对数正态分布和Weibull分布进行Kolmogorov-Smienov(K-S)检验，以获得其拟合优度，结果见表 3。
表 3 分布假设K-S检验结果
| h | p | k | c | |
| Weibull分布 | 0 | 0.999 7 | 0.095 2 | 0.391 2 |
| 对数正态分布 | 0 | 0.968 0 | 0.137 2 | 0.391 2 |
| 正态分布 | 0 | 0.969 7 | 0.136 4 | 0.391 2 |
表选项
表 3中：h=0为接受假设，h=1代表拒绝假设；p是服从假设的分布函数的检验值，其值越高代表接受假设的概率越高；k是Kolmogorov-Smienov检验的观测值；c是决定k是否显著的临界值，当k < c时表示接受假设，反之就表示拒绝假设。
由表 3的K-S检验结果可以看出，该数控转台可靠性试验的伪失效寿命虚拟增广样本数据同时服从正态分布、对数正态分布和Weibull分布，且服从Weibull分布的概率最高，因此本文选择Weibull分布作为伪失效寿命虚拟增广样本数据的最优分布函数。
3.3.3 虚拟增广样本的可靠性评估依据Weibull分布试验数据可靠性分析方法，利用求极值参数的最佳线性无偏估计(best linear unbiased estimator, BLUE)法，可得到该样本的极值分布参数分别为：
| $\begin{array}{*{20}{l}}{\hat \mu = \sum\limits_{i = 1}^{11} D (n, r, j)\ln {T_{(j)}} = 7.4573, }\\{\hat \sigma = \sum\limits_{i = 1}^{11} C (n, r, j)\ln {T_{(j)}} = 0.7998.}\end{array}$ |
由以上的分析过程可以得到该数控转台试验样本的相关可靠性指标如下：
1) 给定时间t，试验样本的可靠度R(t)为
| $\begin{array}{l}R(t)=\exp \left(-\left(\frac{t}{\hat{\eta}}\right)^{\hat{m}}\right)= \\\exp \left(-1.6247 \times 10^{-4} t^{1.17}\right).\end{array}$ | (7) |
 |
| 图 4 数控转台可靠度曲线(表 1数据) |
| 图选项 |
2) 失效概率密度函数为
| $\begin{aligned}&f(t)=\frac{\hat{m}}{\hat{\eta}}\left(\frac{t}{\hat{\eta}}\right)^{\hat{m}-1} \exp \left(-\left(\frac{t}{\hat{\eta}}\right)^{\hat{m}}\right)=\\&\text { 1. } 9 \times 10^{-4} t^{0.17} \cdot \exp \left(-1.624 t^{1.17}\right).\end{aligned}$ | (8) |
 |
| 图 5 数控转台失效概率密度函数曲线(表 1数据) |
| 图选项 |
由图 4和5可知，该数控转台初始使用时，性能下降较快，这是由于初始使用时转台处于性能磨合期。待磨合一段时间，转台进入性能稳定期后，性能下降趋势变得平缓，符合一般机械产品的性能下降规律。
3) 失效率函数λ(t)为
| $\lambda(t)=\frac{f(t)}{R(t)}=1.9009 \times 10^{-4} t^{0.17}.$ | (9) |
 |
| 图 6 数控转台失效率曲线(表 1数据) |
| 图选项 |
由图 6可知：该数控转台的失效率随着使用时间的增加而增加，当它运行达到8 000 h时，失效率为8.759 6×10-4，代表每10 000台数控转台运行8 000 h后大约有8~9个出现失效。可见，该数控转台的可靠性较高。
4) 预期平均寿命为
| $\begin{array}{*{20}{c}}{E(t) = \hat \eta \Gamma (1 + 1/\hat m) = }\\{1732.4 \times 0.947{\rm{h}} = 1640.6{\rm{h}}{\rm{.}}}\end{array}$ | (10) |
4 结论基于性能退化数据的方法评估产品可靠性的关键是如何建立性能参数退化轨迹数学模型。基于物理失效的方法是建立退化轨迹数学模型较为精确的途径，但通常不容易实现。使用现有的数学模型对试验数据进行拟合是最常用且较合理的方法。本文针对数控转台高可靠性单子样样本可靠性评估比较困难的情况，探讨了基于伪失效寿命分布的可靠性评估方法的原理和流程，根据可靠性试验数据结合虚拟增广理论评估了数控转台的可靠性。研究结果表明：本文方法可获得该数控转台的可靠度、失效概率密度函数、失效率和预期平均寿命等可靠性相关指标及曲线；该数控转台初始使用时，性能下降较快，这是由于处于性能磨合期，进入性能稳定期后，转台性能下降趋势变得平缓，符合一般机械产品的性能下降规律。此外，由于本文只有一个试验样本，此种情况下只能用该试验数据近似替代类似件的试验平均值，因此可在获得其他数据后对试验数据进行修正。
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