姜宇
中国西安卫星测控中心 宇航动力学国家重点实验室, 西安 710043
收稿日期：2019-03-09
基金项目：中国博士后科学基金特别资助项目（2018T110092）
作者简介：姜宇(1983-), 男, 副研究员。E-mail:jiangyu_xian_china@163.com

摘要：该文以小行星2867 Steins为例，研究了质量瘤的变化对小天体平衡点的位置、拓扑类型和稳定性的影响。考虑了单层相似质量瘤、单层球形质量瘤、多层相似质量瘤和多层球形质量瘤等4种质量瘤的情形。发现质量瘤的存在可能会引起平衡点稳定性和拓扑类型的变化。对于小行星2867 Steins来说，无质量瘤和有质量瘤情形的体外平衡点E4的拓扑类型和稳定性不同，前者对应的该平衡点是不稳定的，拓扑类型为Case 5；而后者对应的该平衡点是稳定的，拓扑类型为Case 1。相比无质量瘤情形，有质量瘤情形的体外平衡点的质心距更大，而体内平衡点的质心距更小。如果质量瘤位置、密度和体积基本相同，则质量瘤的形状变化对平衡点位置的影响可以忽略不计，同时质量瘤的形状变化对平衡点的拓扑类型和稳定性没有影响。该结果有助于理解内部结构的变化对小行星引力场环境的影响，可为小行星探测任务的引力场重构、轨道设计与任务可靠性分析提供参考。
关键词：质量瘤小天体地壳质量分布小天体结构相对平衡小行星
Positions and stability of equilibrium points of minor celestial bodies with mascon
JIANG Yu
State Key Laboratory of Astronautic Dynamics, China Xi'an Satellite Control Center, Xi'an 710043, China

Abstract: This paper investigates the influence of a variety of mascon properties on the positions, topological conditions, and stability of the equilibria of minor bodies with application to asteroid 2867 Steins. Four types of mascon models are considered, the single-layer similar mascon, single-layer spherical mascon, multi-layer similar mascon, and multi-layer spherical mascon. The results show that the mascon may change the stability and topological conditions of the equilibrium points. For asteroid 2867 Steins, the topological condition and stability of external equilibrium point E4 differ between the mascon and the non-mascon cases. If the asteroid has no mascon, E4 is unstable and the topological condition is Case 5. If the asteroid has a mascon with the assumed density, E4 is stable and the topological condition becomes Case 1. The mascon case has larger distances between the external equilibrium point and the center-of-mass than the non-mascon case and smaller distances between the inner equilibrium point and the center-of-mass. If the position, density, and volume of two mascons are essentially the same, the shape has little effect on the equilibrium point position and no influence on the topological condition and stability of the equilibrium point. This study provides further understanding of the influence of the internal asteroid structure on the gravitational field around asteroids and provides a reference for gravitational field reconstruction, orbit design, and reliability analyses of asteroid exploration missions.
Key words: masconcrusts of minor celestial bodiesmass distributionstructure of minor celestial bodiesrelative equilibriaasteroid
小天体内部可能存在质量瘤^[1-2]，即密度比周围区域更大的部分。质量瘤的大小和形状会影响小天体的引力场，使得小天体的引力势、引力、甚至平衡点^[3]的位置和稳定性发生变化。Chanut等^[4]研究了小行星216 Kleopatra^[5]、433 Eros^[6]、4179 Toutatis^[7]和4769 Castalia^[8]存在质量瘤时的引力势，发现质量瘤存在情况下，引力势发生变化，且这种变化与质量瘤的形状有关。Aljbaae等^[9]根据不同的质量瘤模型计算了小行星21 Lutetia的平衡点位置和特征值，指出不同质量瘤模型对应的平衡点位置和特征值不同。然而，质量瘤的存在与质量瘤的不同对平衡点的稳定性、拓扑类型、平衡点位置的移动方向、平衡点有效势的Hessian矩阵的惯性指数的影响规律，由于可能涉及到大尺度比双小行星系统的稳定性、小行星尘埃与颗粒物质的运动特征，还是一个未解决的问题。
本文主要关注质量瘤的存在、质量瘤的形状、多层质量瘤等特征对小天体引力场中平衡点的稳定性和拓扑类型的影响。小行星2867 Steins^[10-12]是少数航天器造观测过的小行星之一，具有基于图像生成的较为精确的多面体模型外形数据^[13]，该外形数据包含10 242个顶点和20 480个小三角形。此外，该小行星的引力场中有5个平衡点，这和大多数小行星的平衡点个数相同。该小行星外形不规则，自旋周期为6.05 h，具有较为准确的外形模型数据，一端较宽，而另一端较尖。因此，本文以该小行星为例进行研究。图 1给出了不考虑质量瘤时小行星2867 Steins的有效势在赤道面的等高线图与平衡点在赤道面的投影。

图 1 (网络版彩图)小行星2867 Steins的有效势在赤道面的等高线图与平衡点在赤道面的投影

图选项

1 小天体质量瘤模型的构建小天体的质量瘤模型采用多面体模型来构建，对于同小天体外形相似的质量瘤，则通过将小天体多面体模型缩小来建立质量瘤的模型；对于球形的质量瘤，则直接生成球体形状即可。小天体几何外形模型^[14]计算如下：

$\begin{array}{l}U = \frac{1}{2}G\sigma \sum\limits_{c \in {\rm{ edges }}} {{\mathit{\boldsymbol{r}}_e}} \cdot {\mathit{\boldsymbol{E}}_e} \cdot {\mathit{\boldsymbol{r}}_e} \cdot {L_e} - \\\frac{1}{2}G\sigma \sum\limits_{f \in {\rm{ faces }}} {{\mathit{\boldsymbol{r}}_f}} \cdot {\mathit{\boldsymbol{F}}_f} \cdot {\mathit{\boldsymbol{r}}_f} \cdot {\omega _f}.\end{array}$

(1)

其中：U为引力势的大小，G为Newton引力常数，σ为小天体的体密度，r_e和r_f分别为以小天体固连坐标系作为参考的从场点到边e和面f的矢量，E_e和F_f分别为定义在边和面上张量参数，L_e为积分因子，ω_f为以场点为参考的有符号角，·为张量内积。对于n层相互嵌套的质量瘤来说，其引起的有效势为

$U = \sum\limits_{k = 1}^{n + 1} {{U_k}} .$

(2)

其中：U_k (k=1, 2, …, n)为从外至内的第k层质量壳体，U_n+1为最内层的质量瘤。
对于单层质量瘤，认为质量瘤内部密度均匀分布。对于多层质量瘤，假定依次嵌套，每一层的密度相等。质量瘤的质心仍在原小天体质心处。图 2为与小行星2867 Steins具有相似外形的质量瘤模型，其中质量瘤大小为小行星的0.3倍，与小行星外形相似，质量瘤质心在原小行星质心处，质量瘤的密度为其余部分密度的2.0倍。图 3为上述小行星2867 Steins单层相似质量瘤模型的各向视图，图中对小行星2867 Steins外部形状做了半透明处理，以便更好地观察内部质量瘤。

图 2 (网络版彩图)小行星2867 Steins单层相似质量瘤模型

图选项

图 3 小行星2867 Steins单层相似质量瘤模型的各向视图

图选项

2 单层质量瘤对平衡点的影响在小行星具有单层质量瘤情况下，分析有效势的分布以及平衡点的位置、稳定性、拓扑类型的变化。分2种情况研究，即单层相似质量瘤和单层球形质量瘤。平衡点的位置通过寻找有效势(见式(3))的梯度为零的点来计算，平衡点的特征值通过式(4)计算，有效势的梯度通过式(5)计算。平衡点的拓扑类型记号按照文^[3]的定义，即Case 1对应3对相异的纯虚特征值±iβ_k(β∈R⁺, i=$\sqrt { - 1} $, k=1, 2, 3)；Case 2对应2对相异的纯虚特征值和1对实特征值±iβ (β∈R⁺, i=$\sqrt { - 1} $), ±α(α∈R⁺)；Case 5对应1对纯虚特征值和4个共轭的复特征值±iβ (β∈R⁺, i=$\sqrt { - 1} $), ±σ±iτ(σ, τ∈R⁺, i=$\sqrt { - 1} $)。

$V(\mathit{\boldsymbol{r}}) = - \frac{1}{2}(\mathit{\boldsymbol{\omega }} \times \mathit{\boldsymbol{r}})(\mathit{\boldsymbol{\omega }} \times \mathit{\boldsymbol{r}}) + U(\mathit{\boldsymbol{r}}), $

(3)

$\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{\lambda ^2} + {V_{xx}}}&{ - 2\omega \lambda + {V_{xy}}}&{{V_{xz}}}\\{2\omega \lambda + {V_{xy}}}&{{\lambda ^2} + {V_{yy}}}&{{V_{yz}}}\\{{V_{xz}}}&{{V_{yz}}}&{{\lambda ^2} + {V_{zz}}}\end{array}} \right| = 0, $

(4)

${\nabla ^2}V = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{V_{xx}}}&{{V_{xy}}}&{{V_{xz}}}\\{{V_{xy}}}&{{V_{yy}}}&{{V_{yz}}}\\{{V_{xz}}}&{{V_{yz}}}&{{V_{zz}}}\end{array}} \right].$

(5)

其中：V为有效势，r为相对于小行星质心的位置矢量，ω为小行星在惯性空间的自旋角速度矢量，ω为ω的大小，λ为特征值，▽为梯度算子，V_pq=$\frac{{{\partial ^2}V}}{{\partial p\partial q}}$(p=x, y, z；q=x, y, z)。
2.1 单层相似质量瘤考虑单层相似质量瘤情形，图 4为在该情形下，有效势在赤道面的等高线图与平衡点在赤道面的投影。表 1为小行星主惯量坐标系中表示的平衡点的位置坐标。对应的平衡点的拓扑类型、稳定性、平衡点有效势的Hessian矩阵的正定与否及惯性指数见表 2。与无质量瘤的情形相比，体外平衡点E4的拓扑类型和稳定性发生了变化。对于无质量瘤的情形，体外平衡点E4的拓扑类型为Case 5，且不稳定。但若小行星具有单层相似质量瘤，则体外平衡点E4的拓扑类型变为Case 1，稳定性也发生了变化，从不稳定变为线性稳定。对于无质量瘤的情形，体外平衡点E4处的有效势的Hessian矩阵非正定，正/负惯性指数为1/2；对于小行星存在单层相似质量瘤的情形，体外平衡点E4处的有效势的Hessian矩阵也是非正定的，正/负惯性指数仍然为1/2，均未发生变化。其余平衡点E1、E2、E3和E5的稳定性、拓扑类型、平衡点处有效势的Hessian矩阵的正定与否及正/负惯性指数与无质量瘤情形完全相同。与无质量瘤情形相比，含单层相似质量瘤时体外平衡点距离质心更远，而体内平衡点距离质心更近。

图 4 单层相似质量瘤模型下有效势在赤道面的等高线图与平衡点在赤道面的投影

图选项

表 1 不同内部结构模型下小行星2867 Steins平衡点的位置

(a)无质量瘤
平衡点	x/m	y/m	z/m
E1	6 024.96	-778.495	19.495 7
E2	-350.453	5 934.96	-38.949 5
E3	-6 094.43	-556.101	10.838 9
E4	-258.662	-5 912.05	-32.847 7
E5	46.521 8	11.879 1	8.628 0
(b)单层相似质量瘤
平衡点	x/m	y/m	z/m
E1	6 073.89	-776.341	18.764 3
E2	-348.756	5 987.12	-37.361 6
E3	-6 141.13	-556.405	10.473 3
E4	-258.458	-5 965.28	-31.532 5
E5	28.336 6	7.342 95	5.624 26
(c)单层球形质量瘤
平衡点	x/m	y/m	z/m
E1	6 073.89	-776.341	18.764 3
E2	-348.756	5 987.12	-37.361 6
E3	-6 141.13	-556.405	10.473 3
E4	-258.458	-5 965.28	-31.532 5
E5	28.336 6	7.342 95	5.624 26
(d)多层相似质量瘤
平衡点	x/m	y/m	z/m
E1	6 223.96	-765.573	16.871 3
E2	-341.748	6 143.79	-33.382 3
E3	-6 284.95	-555.043	9.534 56
E4	-256.666	-6 124.48	-28.272 4
E5	24.062 0	6.265 28	4.876 28
(e)多层球形质量瘤
平衡点	x/m	y/m	z/m
E1	6 223.96	-765.573	16.871 3
E2	-341.748	6 143.79	-33.382 3
E3	-6 284.95	-555.043	9.534 56
E4	-256.666	-6 124.48	-28.272 4
E5	24.062 0	6.265 28	4.876 28

表选项






表 2 不同内部结构模型下小行星2867 Steins平衡点的拓扑类型、稳定性、惯性指数

(a)无质量瘤
平衡点	Case	稳定性	有效势Hessian矩阵	惯性指数
E1	2	U	N	2/1
E2	1	LS	N	1/2
E3	2	U	N	2/1
E4	5	U	N	1/2
E5	1	LS	P	3/0
(b)单层相似质量瘤、单层球形质量瘤、多层相似质量瘤、多层球形质量瘤
平衡点	Case	稳定性	有效势Hessian矩阵	惯性指数
E1	2	U	N	2/1
E2	1	LS	N	1/2
E3	2	U	N	2/1
E4	1	LS	N	1/2
E5	1	LS	P	3/0
注：LS—线性稳定; U—不稳定; P—正定; N—非正定。

表选项






2.2 单层球形质量瘤考虑单层球形质量瘤情形，其中质量瘤为球形，质量瘤半径为小行星平均半径的0.3倍，即0.789 27 km。质量瘤质心在原小行星质心处，质量瘤的密度为其余部分密度的2.0倍。图 5为在单层球形质量瘤情形下，有效势在赤道面的等高线图与平衡点在赤道面的投影。体外平衡点E4的拓扑类型、稳定性以及有效势的Hessian矩阵的正定与否及正/负惯性指数与单层相似质量瘤情形的平衡点E4完全相同，即相对于无质量瘤情形的平衡点E4发生了变化。而平衡点E1、E2、E3和E5的稳定性、拓扑类型、平衡点处有效势的Hessian矩阵的正定与否及正/负惯性指数与无质量瘤情形完全相同。

图 5 单层球形质量瘤模型下有效势在赤道面的等高线图与平衡点在赤道面的投影

图选项

单层球形质量瘤和单层相似质量瘤的平衡点E1的坐标对比见表 3。二者只在第12位有效数字上有差别。可见，在密度相同、体积接近的情况下，质量瘤的形状对于平衡点的位置、稳定性、拓扑类型的影响极小，这是因为：质量瘤距离体外平衡点较远；而对于体内平衡点来说，质量瘤形状的差异部分到体内平衡点的距离比体内平衡点到质心的距离大，导致质量瘤形状的不同对于体内平衡点的影响也小。
表 3 平衡点E1的坐标值对比

结构模型	x/m	y/m	z/m
单层球形质量瘤	6 073.892 668 652 48	-776.341 694 237 721	18.764 320 264 373 0
单层相似质量瘤	6 073.892 668 652 46	-776.341 694 237 878	18.764 320 264 401 4
多层球形质量瘤	6 223.960 689 471 24	-765.573 990 659 757	16.871 333 106 664 2
多层相似质量瘤	6 223.960 689 471 25	-765.573 990 659 755	16.871 333 106 697 6

表选项






3 多层质量瘤对平衡点的影响本节研究小行星具有多层质量瘤情况下，有效势的分布以及平衡点的位置、稳定性、拓扑类型的变化。分多层相似质量瘤和多层球形质量瘤2种情况进行研究。
3.1 多层相似质量瘤考虑多层相似质量瘤情形，设计2层质量瘤。其中2层质量瘤均与小行星外形相似，内质量瘤的尺寸为小行星的0.3倍，外质量瘤的大小为小行星的0.6倍，质量瘤质心在原小行星质心处，内质量瘤的密度为小行星原密度的2.0倍，外质量瘤的密度为小行星原密度的1.3倍。由内向外，物质密度依次为原小行星密度的2.0倍、1.3倍和1.0倍。图 6为小行星2867 Steins多层相似质量瘤建模。图 7为小行星2867 Steins多层相似质量瘤模型有效势在赤道面的等高线图与平衡点在赤道面的投影。与无质量瘤情形相比，含多层相似质量瘤的小行星体外平衡点距离质心更远，而体内平衡点距离质心更近。与单层质量瘤相比，多层相似质量瘤情形对应的小行星2867 Steins体外平衡点与质心距离更大，而体内平衡点与质心距离更小。此外，各平衡点的拓扑类型、稳定性以及有效势的Hessian矩阵的正定与否及正/负惯性指数与单层质量瘤情形的相应情况相同。

图 6 小行星2867 Steins的多层相似质量瘤模型

图选项

图 7 多层相似质量瘤模型下有效势在赤道面的等高线图与平衡点在赤道面的投影

图选项

3.2 多层球形质量瘤考虑多层球形质量瘤情形，设计2层均为球形的质量瘤。内质量瘤的半径为小行星平均半径的0.3倍，外质量瘤的半径为小行星平均半径的0.6倍，即内外质量瘤的半径分别为0.789 27和1.578 54 km。2层质量瘤的质心都在原小行星质心处，内质量瘤的密度为小行星原密度的2.0倍，外质量瘤的密度为小行星原密度的1.3倍。图 8为小行星2867 Steins多层球形质量瘤建模。图 9为小行星2867 Steins多层球形质量瘤模型有效势在赤道面的等高线图与平衡点在赤道面的投影。根据表 1可见，多层球形质量瘤情形下，该小行星的5个平衡点的位置坐标与多层相似质量瘤情形下的对应平衡点坐标在保留6位有效数字情况下完全相同。以平衡点E1为例，多层球形质量瘤和多层相似质量瘤的平衡点E1的坐标值对比见表 3。二者只在第13位有效数字上有差别。各平衡点的拓扑类型、稳定性以及有效势的Hessian矩阵的正定与否及正/负惯性指数与此前的3种不同质量瘤模型下的相应情况相同。

图 8 多层球形质量瘤模型的+z轴视图

图选项

图 9 多层球形质量瘤模型下有效势在赤道面的等高线图与平衡点在赤道面的投影

图选项

4 结论该文分析了质量瘤对小天体引力场中平衡点的影响，选取小行星2867 Steins为例进行计算。考虑了4种质量瘤的情形，即单层相似质量瘤、单层球形质量瘤、多层相似质量瘤和多层球形质量瘤情形。发现存在质量瘤后，体外平衡点E4的拓扑类型从Case 5变为Case 1，从不稳定变为线性稳定。相比无质量瘤情形，有质量瘤情形的体外平衡点的质心距更大，而体内平衡点的质心距更小。单层相似质量瘤和单层球形质量瘤对应的平衡点的位置坐标几乎完全相同，差别只体现在第12位有效数字上。多层相似质量瘤和多层球形质量瘤对应的平衡点的位置坐标几乎完全相同，差别只体现在第13位有效数字上。在质量瘤位置、密度和体积基本相同的情况下，质量瘤的形状变化对平衡点位置的影响可以忽略不计，同时质量瘤的形状变化对平衡点的拓扑类型和稳定性没有影响。本文的研究有助于理解质量瘤大小、形状和层数等内部结构的变化对小行星引力场环境的影响，这种影响会进一步影响小行星表面碎石、颗粒、以及尘埃物质的表面迁徙，也会影响小行星附近的小月亮、碎石、颗粒等的运动；有助于探究小行星表面形状变化和双小行星系统的形成与演化机理；也有助于分析小行星内部质量瘤、缝隙、以及容积密度等参数不确定性对引力场重构和任务轨道设计的影响。

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