李博华^1,2, 裴玉奎^2,3,4
1. 清华大学 电子工程系, 北京 100084;
2. 清华大学 北京信息科学与技术国家研究中心, 北京 100084;
3. 清华大学 宇航技术研究中心, 北京 100084;
4. 深圳清华大学研究院, 深圳 518057

收稿日期：2019-02-25
基金项目：国家自然科学基金资助项目（91538202，91338103）
作者简介：李博华(1993-), 女, 博士研究生
通信作者：裴玉奎, 副研究员, E-mail:peiyk@tsinghua.edu.cn

摘要：单载波超宽带（SC-UWB）系统存在长时延密集多径，严重影响系统性能。传统信道均衡方法的均衡效果不够理想，而传统分集方法的硬件复杂度高且数据冗余量大。该文提出一种单载波频域均衡（SC-FDE）与时域分数级分集联合设计方法，以对抗超宽带（UWB）系统的复杂密集多径。该方法在发端为两个或多个信息支路配备一个分集支路；收端先进行SC-FDE，然后将信息支路和分集支路得到的均衡结果进行基于后验概率的分集合并或低复杂度的等增益分集合并，最终恢复出原始数据。该方法具有单天线、低冗余的特点，仅需1.5倍或更低倍数的分集，即可取得良好的分集增益。仿真结果表明：在误码率为10^-3下，该方法与SC-FDE相比有3 dB的分集增益。
关键词：单载波超宽带(SC-UWB)密集多径单载波频域均衡(SC-FDE)时域分数级分集后验概率低复杂度
Time domain fractional diversity method in single-carrier ultra-wideband systems
LI Bohua^1,2, PEI Yukui^2,3,4
1.Department of Electronic Engineering, Tsinghua University, Beijing 100084, China;
2.Beijing National Research Center for Information Science and Technology, Tsinghua University, Beijing 100084, China;
3.Tsinghua Space Center, Tsinghua University, Beijing 100084, China;
4.Research Institute of Tsinghua University in Shenzhen, Shenzhen 518057, China


Abstract: Long delays and dense paths seriously affect the performance of single-carrier ultra-wideband (SC-UWB) systems. Traditional channel equalization methods are not sufficient for these systems and the traditional diversity methods are very complex with excessive data redundancy. This paper presents a joint design method for single-carrier frequency domain equalization (SC-FDE) with time domain fractional diversity to improve the complex multipath characteristics of ultra-wideband (UWB) systems. At the transmitting end, this method uses one diversity branch for two or more information branches. At the receiving end, the system first performs the SC-FDE and then combines operations based on the posterior probabilities combination or the low complexity equal gain combination of the equalization results obtained by the information branches and the diversity branch. The system then finally recovers the original information. This time domain fractional diversity method has outstanding performance with a single antenna and low redundancy. The system needs only 1.5 or less applications of the diversity mode and obtains excellent diversity gains. Simulations show that this scheme has a 3 dB diversity gain over the SC-FDE scheme for a bit error rate of 10^-3.
Key words: single-carrier ultra-wideband (SC-UWB)dense multipathsingle-carrier frequency domain equalization (SC-FDE)time domain fractional diversityposterior probabilitylow complexity
超宽带(ultra-wideband，UWB)技术具有低功率谱密度、高带宽、高空间复用度和高吞吐率的特点，可满足人们对高速无线通信的需求^[1-2]。其中，单载波超宽带(single-carrier ultra-wideband，SC-UWB)系统是清华大学无线多媒体通信课题组提出的一种UWB通信方案。相对于无载波体制的脉冲超宽带(impulse-radio ultra-wideband，IR-UWB)系统，SC-UWB系统可支持超高速率的通信；相对于多载波体制的多带正交频分复用(multi-band orthogonal frequency division multiplexing，MB-OFDM)系统，SC-UWB系统的峰均功率比更低，射频、模拟集成较为容易，更有利于低成本单片化实现^[3]。因此，SC-UWB系统在高速无线总线等领域具有广阔的应用前景^[4-5]。
然而，SC-UWB系统存在复杂多径干扰和深度频率选择性衰落，符号间干扰(inter symbol interference，ISI)的延伸可达数十个符号，远超过一般的无线信道^[6]。SC-UWB系统的主要挑战在于严重的密集多径信道大幅降低了系统性能。
传统方法通常采用均衡的手段来解决多径问题，比如时域线性均衡(linear equalization，LE)、判决反馈均衡(decision feedback equalization，DFE)、最大似然序列检测(maximum likelihood sequence estimation，MLSE)均衡和单载波频域均衡(single-carrier frequency domain equalization，SC-FDE)。然而，LE均衡器对UWB这种长时延多径信道，均衡效果很差。为提高均衡效果，只能不断增加滤波器抽头的数量，从而增加了LE均衡电路的复杂度^[7]。DFE均衡器虽然效果较好，但是其电路结构不适合高吞吐率通信^[8]。MLSE均衡是一种最佳符号序列估计算法，然而其复杂度和信道的时延长度成指数关系，对于多径数目较大的UWB信道，均衡的复杂度往往难以承受^[9]。SC-FDE基于快速Fourier变换(FFT)，复杂度仅与多径时延的对数成正比。由于其性能相对较好且复杂度较低，因此SC-FDE在SC-UWB系统中得到广泛应用^[10]。
虽然SC-FDE可消除ISI并提高系统的性能，但同样因为UWB信道频域零点的存在，SC-FDE线性均衡处理依然面临着均衡后噪声增加的问题，均衡效果依然不够理想。于是，现有很多工作通过分集合并技术来进一步提高信道的抗衰落性能。其中，文[11]提出了基于频域均衡(frequency domain equalization，FDE)的多天线空间分集方式。然而，多天线方式造成了多组射频前端，显著增加了功耗和硬件成本，无法满足无线总线系统小体积、低复杂度的需求。文[12]提出利用UWB自身的频域分集特性，对数据块多次扰序发送实现时域分集。此方法虽然无需复杂的多天线技术，但依然成倍地增加了发送数据块的数量，无法满足无线总线系统高速低冗余的需求。
针对以上问题，本文提出UWB系统中时域分数级分集方法。此方法无需多天线、多射频等传统复杂度较高的硬件分集处理，也不需要成倍增加分集支路的数量，仅需1.5倍或更低倍数的分集方式，即可获得良好的分集增益，大大提高SC-UWB系统的性能。
1 系统模型在UWB系统中，为实现数据传输速率的灵活调节，且提高系统的抗多径性能，本文提出SC-FDE与时域分数级分集联合设计方法，其整体系统框图如图 1所示。

图 1 时域分数级分集的简化系统框图

图选项

图 1所示系统是基于块传输调制的通信系统。发射端不断以数据块的形式发送各数据支路，数据块之间相互独立地进行传输和处理。
如图 1所示，将每n+1(n=2, 3, 4, …)个数据块视为一个基本的处理单元。在发送端，这n+1个数据块在时域上依次发送。其中，前n路是原始数据支路，称为信息支路x_i(i=1, 2, …, n)。第n+1路是用于分集的冗余数据支路，称为分集支路x_n+1。分集支路是所有信息支路按位异或得到的，以获得时域分集。因此，本方法的分集倍数为(n+1)/n。
在接收端，经过UWB信道后接收到的n+1个数据块为y_i(i=1, 2, …, n, n+1)。为初步降低系统的ISI，首先将接收到的所有数据块分别进行SC-FDE，可得到时域恢复数据s_i(i=1, 2, …, n, n+1)。随后，为降低系统残留的ISI，进一步提高抗多径性能，分别由第i(i=1, 2, …, n)路信息支路s_i求出其发送数据x_i的后验概率p′(x_i)，并由除第i路之外的n-1路信息支路s_j(j∈1, 2, …, n, j≠i)和第n+1路分集支路s_n+1联合求出第i路发送信号的后验概率p″(x_i)。将后验概率p′(x_i)和p″(x_i)作最大比合并，便可得到第i路信号的最终后验概率p(x_i)，根据p(x_i)便可恢复出原始信息支路的数据${\hat x_i}$。由此，本文所提方法基于后验概率进行分集合并，获得了分集处理增益。此外，本文还提出了低复杂度的分集合并算法。
可见，本文所提的时域分数级分集方法不需要成倍发送数据，仅需1.5倍或更低倍数的分集方式，即可获得良好的分集增益，大大提高SC-UWB系统抗密集多径的性能。
2 单载波频域均衡信道均衡是UWB系统初步降低ISI的首要措施。本文所提的时域分数级分集方法可以与多种均衡算法相结合。然而，在UWB信道下，SC-FDE比其他均衡方式具有更低的复杂度和更好的抗多径性能，因此本文采用SC-FDE作为UWB系统的信道均衡方法。图 2所示为SC-FDE的基本框图。

图 2 单载波频域均衡(SC-FDE)的结构

图选项

下面简单介绍SC-FDE方法。设系统的每个数据块包含M个数据符号，发端经调制之后的输入信号为x(k), k=0, 1, …, M－1。将x(k)的后P个符号复制到整个输入信号x(k)之前，作为长度为P的循环前缀(cyclic prefix, CP)，可得

${x_{{\rm{cp}}}}\left( k \right) = \left\{ \begin{array}{l}x\left( {k + M} \right),\;\;\;\;\;k = - P, - P + 1, \cdots , - 1;\\x\left( k \right),\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;k = 0,1, \cdots ,M - 1.\end{array} \right.$

(1)

其中CP作为块传输的保护间隔以克服数据块之间的干扰，同时保持了信道的循环扩展特性。一般而言，CP的长度应大于多径信道的最大时延。UWB系统中，为降低冗余开销，CP的长度一般小于M+P长度的20%。
经过多径信道和Gauss白噪声之后，收端接收到的信号为y_cp(k), k=－P, …, 0, 1, …, M－1。删除CP，得到y(k), k=0, 1, …, M－1。因为CP将线性卷积转化为循环卷积，所以有：

$\begin{array}{*{20}{c}}{y\left( k \right) = h\left( k \right) \otimes x\left( k \right) + n\left( k \right),}\\{k = 0,1, \cdots ,M - 1.}\end{array}$

(2)

其中：?表示循环卷积，h(k)表示等效基带多径信道的冲激响应，n(k)表示基带Gauss白噪声的采样值。
随后，对接收信号y(k)作FFT变换得到频域数据：

$Y\left( k \right) = \sum\limits_{i = 0}^{M - 1} {y\left( i \right){{\rm{e}}^{ - 2{\rm{ \mathsf{ π} }}ki/M}}} ,k = 0,1, \cdots ,M - 1.$

(3)

因为时域信号的卷积等同于频域信号的乘积，所以可采用单抽头除法操作完成FDE处理。根据最小均方误差(minimum mean squared error，MMSE)准则的FDE输出为：

$S\left( k \right) = \frac{{{H^ * }\left( k \right)Y\left( k \right)}}{{{{\left| {H\left( k \right)} \right|}^2} + \frac{1}{{{\rm{SNR}}}}}},k = 0,1, \cdots ,M - 1.$

(4)

其中：H(k)是信道估计模块估计出的多径信道的频域响应，(·)^*表示复数共轭，SNR表示UWB信道的信噪比，M代表FFT点数。
完成FDE后，将频域数据S(k)作FFT逆变换(IFFT)变回到时域数据得：

$\begin{array}{*{20}{c}}{s\left( k \right) = \frac{1}{M}\sum\limits_{i = 0}^{M - 1} {S\left( i \right){{\rm{e}}^{{\rm{j2 \mathsf{ π} }}ki/M}}} = x\left( k \right) + n'\left( k \right),}\\{k = 0,1, \cdots ,M - 1.}\end{array}$

(5)

s(k)是对发端输入信号x(k)的均衡估计值，n′(k)表示均衡的时域估计误差。
可见，SC-FDE均衡器理论上无需时域LE均衡器的无限长滤波器抽头，在频域仅需有限长度的单抽头即可。同时，SC-FDE使用矩阵快速算法(FFT和IFFT)均衡信道，系统的计算复杂度仅和块长度的对数成正比。因此，SC-FDE的复杂度较低，仅为O(M log₂M)，非常适合在UWB密集多径信道中使用。
3 时域分数级分集的分集合并方法在保证SC-UWB系统小体积和高速传输的前提下，本节提出时域分数级分集方法，以进一步提升系统的抗多径性能，其分集倍数仅为(n+1)/n。具体来说，发端借鉴物理层网络编码^[13-14]的思想，将多路数据通过异或的方式合并成一路分集支路；收端分别由分集支路和信息支路求得信息支路的后验概率，并将两个后验概率进行基于后验概率的最大比合并，可最终恢复出原始数据，并获得分集处理增益。此外，本节还给出了收端低复杂度的等增益分集合并方法。
3.1 发端分数级分集传输结构本小节以1.5倍分集为例，给出时域分数级分集中发端分集传输方法，即图 1中的信息支路数n=2、分集支路数为1的情况。当信息支路数n＞2，即采用更小的分集倍数时，其发端传输过程与下述处理一致。1.5倍分集的发端分集传输过程如图 3所示。

图 3 时域分数级分集在发端的分集传输示意图(1.5倍分集)

图选项

设原始信源b由二进制比特0或1组成，调制后变为数据符号x。因为SC-UWB系统的发射功率非常低，所以只能采用二进制相移键控(binary phase shift keying，BPSK)或正交相移键控(quadrature phase shift keying，QPSK)这样的低阶调制方式。同样，本文所提分数级分集方法也仅适用于BPSK或QPSK调制。
如图 3所示，信息支路为数据块1和数据块2，分集支路为数据块3。若调制方式采用BPSK，则分集支路与信息支路的数据映射关系如表 1所示。
表 1 分集支路与信息支路的数据对应关系

信息支路的比特值			信息支路调制后的符号值			分集支路的比特值	分集支路调制后符号值
b1(k)	b2(k)		x2(k)	x1(k)		b3(k)	x3(k)
1	1		1	1		0	-1
1	0		1	-1		1	1
0	1		-1	1		1	1
0	0		-1	-1		0	-1

表选项






表 1中，b_i(k)表示数据块i(i=1, 2, 3)中第k(k=0, 1, …, M－1)个数据的比特值。x_i(k)表示BPSK调制后，第i次传输的数据块中第k次传输的数据符号。b₃的值可由b₁和b₂按位异或得到：

$\begin{array}{*{20}{c}}{{b_3}\left( k \right) = {b_1}\left( k \right) \oplus {b_2}\left( k \right),}\\{k = 0,1, \cdots ,M - 1.}\end{array}$

(6)

x₃的符号值由x₁和x₂的对应比特按位异或并经过BPSK调制后得到：

$\begin{array}{*{20}{c}}{{x_3}\left( k \right) = - {x_1}\left( k \right) \cdot {x_2}\left( k \right),}\\{k = 0,1, \cdots ,M - 1.}\end{array}$

(7)

从表 1和式(6)、(7)可以看出，分集支路采用异或映射方案，映射前后的数据集合是相同的。因此，分集支路调制之后的符号依然是BPSK符号，并没有额外引入其他符号，有利于保持SC-UWB系统的发端结构，发射机也不需要作出额外的调整。
此外，因为QPSK调制可看成是两路BPSK调制——共模(in-phase，I)和正交(quadrature，Q)调制，所以若调制方式采用QPSK调制，可将各数据块的数据按I路和Q路分别处理。分集支路与信息支路的比特对应关系如式(8)所示，其余过程不再赘述。

$\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ \begin{array}{l}b_3^{\left( 1 \right)}\left( k \right) = b_1^{\left( 1 \right)}\left( k \right) \oplus b_2^{\left( 1 \right)}\left( k \right),\\b_3^{\left( Q \right)}\left( k \right) = b_1^{\left( Q \right)}\left( k \right) \oplus b_2^{\left( Q \right)}\left( k \right);\end{array} \right.}\\{k = 0,1, \cdots ,M - 1.}\end{array}$

(8)

最后，对于每个数据块x_i，按照第2节的方法，加入CP建立保护间隔，以消除数据块之间的卷积拖尾。随后，将信息支路和分集支路依次经过载波调制，由单天线连续发送至信道。
本文方法仅需要为两个或多个数据支路配备一个分集支路，减少了数据的冗余量。同时，发端仅需一些异或门即可完成分集传输，有利于保持SC-UWB系统发端的简明结构和低复杂度。
3.2 基于后验概率的收端分集合并方法收端将接收到的各路数据经过SC-FDE后，进行分集合并处理，以期望进一步降低均衡后系统残留的ISI。如图 4所示，本节同样以1.5倍分集为例，给出收端基于后验概率的分集合并过程。当采用更小的分集倍数时，合并处理的流程和下述流程基本一致。

图 4 时域分数级分集在收端基于后验概率的合并过程(1.5倍分集)

图选项

图 4中，输入信号s₁、s₂和s₃分别是信息支路x₁、x₂和分集支路x₃经过第2节所述的SC-FDE后输出的均衡估计值。本节主要解决两个问题：
问题1??如何利用分集支路的均衡估计值s₃和其余信息支路的均衡估计值s₂/s₁得到目标信息支路x₁/x₂的分集估计值？
问题2??如何将问题1求得的分集估计值与目标信息支路的均衡估计值有效地进行分集合并，并求得目标信息支路的最终估计值${\hat x_1}/{\hat x_2}$，以获得更大的分集处理增益？
本节利用基于后验概率的分集合并方法解决以上两个问题。由式(4)可见，在MMSE SC-FDE中，当H(k)很小，频域估计值S(k)受噪声的干扰较大，导致S(k)的值不准确。但式(5)将频域数据作IFFT变换得到时域数据，每一个时域数据s(k)都是由所有的频域数据通过不同的线性运算生成的，n′(k)在k=0, 1, …, M－1中的任意一点具有各异的噪声。因此，本文将SC-FDE后的数据块s视为发送的数据块x经过随机噪声加噪后的输出。
为了求解方便，本节将s₁、s₂和s₃视为输入数据块x₁、x₂和x₃经过信噪比为SNR的独立Gauss信道后的输出数据块。调制方式采用BPSK调制(若调制方式为QPSK调制，则将I路和Q路分别按下述方法处理)，则s₁、s₂和s₃服从Gauss分布：

$\begin{array}{*{20}{c}}{p\left( {{s_i}\left( k \right)\left| {{x_i}\left( k \right) = + 1} \right.} \right) = }\\{\sqrt {\frac{{{\rm{SNR}}}}{{2{\rm{ \mathsf{ π} }}}}} \exp \left\{ { - \frac{{{\rm{SNR}}}}{2}{{\left( {{s_i}\left( k \right) - 1} \right)}^2}} \right\},}\\{i = 1,2,3,\;\;\;\;\;k = 0,1, \cdots ,M - 1;}\end{array}$

(9)

$\begin{array}{*{20}{c}}{p\left( {{s_i}\left( k \right)\left| {{x_i}\left( k \right) = - 1} \right.} \right) = }\\{\sqrt {\frac{{{\rm{SNR}}}}{{2{\rm{ \mathsf{ π} }}}}} \exp \left\{ { - \frac{{{\rm{SNR}}}}{2}{{\left( {{s_i}\left( k \right) + 1} \right)}^2}} \right\},}\\{i = 1,2,3,\;\;\;\;\;k = 0,1, \cdots ,M - 1.}\end{array}$

(10)

若发送数据x中+1和-1服从均匀分布，则可求得图 4中x₁、x₂和x₃的均衡后验概率为：

$\begin{array}{*{20}{c}}{p'\left( {{x_i}\left( k \right) = + 1} \right) = p'\left( {{x_i}\left( k \right) = + 1\left| {{s_i}\left( k \right)} \right.} \right) = \frac{{p\left( {{s_i}\left( k \right)\left| {{x_i}\left( k \right)} \right. = + 1} \right)}}{{p\left( {{s_i}\left( k \right)\left| {{x_i}\left( k \right)} \right. = + 1} \right) + p\left( {{s_i}\left( k \right)\left| {{x_i}\left( k \right)} \right. = - 1} \right)}} = }\\{\frac{{\exp \left\{ { - \frac{{{\rm{SNR}}}}{2}{{\left( {{s_i}\left( k \right) - 1} \right)}^2}} \right\}}}{{\exp \left\{ { - \frac{{{\rm{SNR}}}}{2}{{\left( {{s_i}\left( k \right) - 1} \right)}^2}} \right\} + \exp \left\{ { - \frac{{{\rm{SNR}}}}{2}{{\left( {{s_i}\left( k \right) + 1} \right)}^2}} \right\}}} = \frac{1}{{1 + \exp \left\{ { - 2{\rm{SNR}} \cdot {s_i}\left( k \right)} \right\}}},}\\{i = 1,2,3,\;\;\;\;k = 0,1, \cdots ,M - 1,}\end{array}$

(11)

$p'\left( {{x_i}\left( k \right) = - 1} \right) = p\left( {{x_i}\left( k \right) = - 1\left| {{s_i}\left( k \right)} \right.} \right) = 1 - p'\left( {{x_i}\left( k \right) = + 1} \right),\;\;\;\;\;i = 1,2,3,\;\;\;\;k = 0,1, \cdots ,M - 1.$

(12)

其中：p′(x_i(k)=+1)和p′(x_i(k)=－1)称为x_i(k)的均衡后验概率，它们分别表示已知均衡后数据s_i(k)的条件下，发送端传输的数据符号x_i(k)为+1或-1的概率。
进一步，根据表 1的对应关系，可由第3路分集支路的均衡估计值s₃和第2路信息支路的均衡估计值s₂求得第1路信息支路x₁的分集后验概率为：

$\begin{array}{*{20}{c}}{p''\left( {{x_1}\left( k \right) = + 1} \right) = }\\{p\left( {{x_1}\left( k \right) = + 1\left| {{s_2}\left( k \right),{s_3}\left( k \right)} \right.} \right) = }\\{p'\left( {{x_2}\left( k \right) = + 1} \right)p'\left( {{x_3}\left( k \right) = - 1} \right) + }\\{p'\left( {{x_2}\left( k \right) = - 1} \right)p'\left( {{x_3}\left( k \right) = + 1} \right),}\\{k = 0,1, \cdots ,M - 1;}\\{p''\left( {{x_1}\left( k \right) = - 1} \right) = }\\{p\left( {{x_1}\left( k \right) = - 1\left| {{s_2}\left( k \right),{s_3}\left( k \right)} \right.} \right) = }\\{1 - p''\left( {{x_1}\left( k \right) = + 1} \right),}\end{array}$

(13)

$k = 0,1, \cdots ,M - 1.$

(14)

其中：p″(x₁(k)=+1)和p″(x₁(k)=－1)称为x₁(k)的分集后验概率，它们分别表示已知均衡后数据s₂(k)和s₃(k)的条件下，发送端传输的数据符号x₁(k)为+1或-1的概率。
同理，可求第2路信息支路x₂的分集后验概率：

$\begin{array}{*{20}{c}}{p''\left( {{x_2}\left( k \right) = + 1} \right) = }\\{p'\left( {{x_1}\left( k \right) = + 1} \right)p'\left( {{x_3}\left( k \right) = - 1} \right) + }\\{p'\left( {{x_1}\left( k \right) = - 1} \right)p'\left( {{x_3}\left( k \right) = + 1} \right),}\\{k = 0,1, \cdots ,M - 1;}\end{array}$

(15)

$\begin{array}{*{20}{c}}{p''\left( {{x_2}\left( k \right) = - 1} \right) = 1 - p''\left( {{x_2}\left( k \right) = + 1} \right),}\\{k = 0,1, \cdots ,M - 1.}\end{array}$

(16)

随后，根据全概率公式，可由分集后验概率和均衡后验概率求出最终后验概率：

$\begin{array}{*{20}{c}}{p\left( {{x_i}\left( k \right) = + 1} \right) = }\\{\frac{{p'\left( {{x_i}\left( k \right) = + 1} \right) + p''\left( {{x_i}\left( k \right) = + 1} \right)}}{2},}\\{i = 1,2,\;\;\;\;k = 0,1, \cdots ,M - 1;}\end{array}$

(17)

$\begin{array}{*{20}{c}}{p\left( {{x_i}\left( k \right) = - 1} \right) = }\\{\frac{{p'\left( {{x_i}\left( k \right) = - 1} \right) + p''\left( {{x_i}\left( k \right) = - 1} \right)}}{2},}\\{i = 1,2,\;\;\;\;k = 0,1, \cdots ,M - 1.}\end{array}$

(18)

其中：p(x_i(k)=+1)和p(x_i(k)=－1)称为x_i(k)的最终后验概率，它们分别表示已知数据s₁(k)、s₂(k)和s₃(k)的条件下，发送端信息支路传输的数据符号x_i(k)为+1或-1的概率。
最后，根据所得的最终后验概率进行判决：

$\begin{array}{*{20}{c}}{{{\hat x}_i}\left( k \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l} + 1,\\ - 1,\end{array}&\begin{array}{l}p\left( {{x_i}\left( k \right) = + 1} \right) > p\left( {{x_i}\left( k \right) = - 1} \right);\\其他.\end{array}\end{array}} \right.}\\{i = 1,2,\;\;\;k = 0,1, \cdots ,M - 1.}\end{array}$

(19)

${\hat x_i}\left( k \right)$是x_i(k)的最终估计值，也是系统的最终输出信号。
由此完成了收端的分集合并过程，并得到了最终的输出信号。本文发现，由于均衡后验概率和分集后验概率都是基于信噪比而求解的，因此求解最终后验概率过程其实等效于噪声最大比合并^[15]，基于后验概率的时域分数级分集合并方法也就获得了最佳的分集接收效果。
3.3 收端低复杂度分集合并方法由式(11)可见，基于后验概率的收端分集合并方法包含了指数运算，运算复杂度偏高。因此，为避免后验概率求解过程中复杂的指数运算，本节提出低复杂度的收端分集合并方法，其系统框图如图 5所示。

图 5 时域分数级分集在收端的低复杂度合并过程(1.5倍分集)

图选项

与图 4相同，在图 5中，输入信号s₁、s₂和s₃分别是信息支路x₁、x₂和分集支路x₃经过SC-FDE后输出的均衡估计值。本节同样以1.5倍分集和BPSK调制为例，解决3.2节提出的两个问题。
首先，由于异或操作具有轮换对称性，式(6)和(7)为轮换对称式，因此可由分集支路和一路信息支路的均衡估计值通过解异或求得另一路信息支路的分集估计值：

${s''_1}\left( k \right) = - {s_2}\left( k \right) \cdot {s_3}\left( k \right),\;\;\;\;k = 0,1, \cdots ,M - 1;$

(20)

${s''_2}\left( k \right) = - {s_1}\left( k \right) \cdot {s_3}\left( k \right),\;\;\;\;k = 0,1, \cdots ,M - 1.$

(21)

其中：s″₁(k)称为x₁(k)的分集估计值，s″₂称为x₂(k)的分集估计值。
然后，将信息支路的分集估计值和均衡估计值进行合并可得：

$\begin{array}{*{20}{c}}{s_i^ * \left( k \right) = \frac{{{s_i}\left( k \right) + {{s''}_i}\left( k \right)}}{2},}\\{i = 1,2,\;\;\;\;k = 0,1, \cdots ,M - 1.}\end{array}$

(22)

s_i^*(k)称为x_i(k)的最终估计值。
最后，对最终估计值进行判决得到系统的最终输出信号，

$\begin{array}{*{20}{c}}{{{\hat x}_i}\left( k \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l} + 1,\\ - 1,\end{array}&\begin{array}{l}s_i^ * \left( k \right) > 0;\\其他.\end{array}\end{array}} \right.}\\{i = 1,2,\;\;\;\;k = 0,1, \cdots ,M - 1.}\end{array}$

(23)

因为发送数据块x₁、x₂和x₃是两两相互独立的，所以经过FDE之后，均衡估计噪声n₁^′、n₂^′和n₃^′也是两两相互独立的，所以均衡估计值s₁/s₂和分集估计值s₁^″1/s₂^″可认为是x₁/x₂经过不同多径信道并均衡后得到的结果。第3路异或分集支路的引入，相当于引入随所有信息支路变化的时变信道，改变了原有的信道特性。因此，本文所提方法会带来分集处理增益。
由式(22)可看出，本节所提低复杂度分集合并过程其实是将均衡估计值和分集估计值进行等增益合并^[16]。因此，其分集合并效果要比3.2节提出的最大比合并略差, 但本节方法仅需要M个乘法器和M个加法器即可完成分集合并过程，硬件实现复杂度较低。
4 性能仿真本节对时域分数级分集方法进行仿真验证。仿真采用无视距且多径干扰很严重的UWB极端信道CM4^[6]进行性能评估。假设信道估计为完美估计。仿真中选取的CP长度为50个符号。每个数据块包含512个符号，对应于512点的FFT变换和500 MHz的UWB频带。单载波系统采用BPSK调制。
图 6给出了1.5倍分集、SNR=10 dB的条件下，MMSE SC-FDE的均衡估计值、基于后验概率求得的分集估计值和基于后验概率的分集合并后的时域残留ISI的对比。由图 6a可看出，UWB系统的ISI很难通过频域均衡器直接消除。由图 6b可看出，分集估计值的ISI比均衡估计值更严重一些，这是因为分集估计值由2个支路均衡估计值得到，相当于引入了2次噪声干扰。然而，如图 6c所示，经过分集合并后的时域残留的ISI远小于图 6a和6b的时域残留ISI，分集合并后ISI已基本被消除。

图 6 MMSE SC-FDE的频率均衡估计值、基于后验概率求得的分集估计值和基于后验概率的分集合并后的时域残留ISI的对比(1.5倍分集，SNR=10 dB)

图选项

图 7给出了1.5倍分集和1.25倍分集的误码性能，并与MMSE SC-FDE的均衡误码率(BER)进行对比。图 7中最上面3条曲线基本是平行的，且1.25倍分集的分集估计值的误码率>1.5倍分集的分集估计值的误码率>MMSE SC-FDE的均衡估计值的误码率。这是因为1.25倍分集的分集估计值相当于引入了4次噪声，1.5倍分集的分集估计值相当于引入了2次噪声，而SC-FDE的均衡估计值仅有1次噪声干扰。

图 7 基于后验概率的时域分数级分集的误码性能

图选项

就分集合并的效果而言，1.5倍分集和1.25倍分集的效果相似。相比SC-FDE，本文所提时域分数级分集方法的误码率曲线更加陡峭。在10^-2的误码率下，本文方法有大约1.5 dB的增益。在10^-3的误码率下，有大约3 dB的增益。可见，本文所提基于后验概率的时域分数级分集方法取得了良好的分集增益，大大提高了CM4信道下UWB系统的抗多径性能。
图 8和9分别给出了1.5倍分集和1.25倍分集下，低复杂度的时域分数级分集合并方法和基于后验概率时域分数级分集合并方法的误码曲线对比。在图 8中，两者的误码曲线相似。在极高信噪比下，基于后验概率的分集合并性能好于低复杂度的分集合并；而大部分情况下，前者的效果仅略好于后者。在图 9中，基于后验概率的分集合并性能要好于低复杂度的分集合并。在10^-3的误码率下，两者有大约0.5 dB的性能差异。造成这种现象的原因正如3.2节和3.3节所述，是因为基于后验概率的分集合并等效于噪声最大比合并，而低复杂度的分集合并仅采用等增益合并。

图 8 低复杂度的时域分数级分集和基于后验概率的时域分数级分集的性能对比(1.5倍分集)

图选项

图 9 低复杂度的时域分数级分集和基于后验概率的时域分数级分集的性能对比(1.25倍分集)

图选项

由图 8和9可看出，在10^-3的误码率下，相比SC-FDE，1.5倍分集的低复杂度分集合并方法有大约3 dB的分集增益。1.25倍分集的低复杂度分集合并方法有大于2 dB的分集增益。因此，本文3.3节所提的低复杂度分集合并方法是一种工程应用价值很高的方法。
5 结论SC-UWB系统中，密集长时延多径引起的符号间干扰会严重降低系统的性能。然而，传统信道均衡的效果不太理想，而传统分集的硬件复杂度高且数据冗余量较大。本文针对以上难点，提出时域分数级分集方法。它具有单天线、低冗余的特点，仅需1.5倍或更低倍数的分集，即可取得良好的分集增益。此方法在发端对多个信息支路进行异或生成一个分集支路，在收端先进行SC-FDE，然后将信息支路和分集支路得到的均衡结果进行分集合并处理，最终恢复出原始数据。对于分集合并，本文提出了基于后验概率的最大比合并和低复杂度的等增益合并两种方式。仿真结果表明，在误码率为10^-3处，本文所提方法相比于SC-FDE有3 dB的分集增益，大大提高了SC-UWB系统的抗多径性能。

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