, 邵宗义 清华大学 工程物理系, 北京 100084
收稿日期：2018-11-05
基金项目：国家重点研发计划（2018YFB0905500）
作者简介：魏鲲鹏(1991-), 男, 博士研究生
通信作者：戴兴建, 副研究员, E-mail:daixj@tsinghua.edu.cn
摘要：飞轮存储动能正比于其转动惯量和角速度平方，使用碳纤维复合材料可有效提高转子线速度，而通过波纹管连接圆筒的多节式飞轮转子设计，不仅便于增大转动惯量，而且考虑到波纹管弯曲刚度对转子固有频率的影响，可实现在较低转速下过临界，增大工作转速范围。该文针对渐变铺层的碳纤维波纹管，通过轴向施力法测量其静态弯曲刚度，建立对应的有限元模型，计算不同载荷下线性和考虑几何非线性的弯曲刚度，并模拟不同下铺层的弯曲刚度。研究结果表明：波纹管弯曲刚度与载荷是非线性关系，载荷较大时测量值与理论值数量级一致，弯曲刚度随铺层数增多、轴向铺层比增加而增大，且受铺层次序影响。
关键词：飞轮储能碳纤维波纹管弯曲刚度有限元铺层
Measurements and finite element analyses of the bending stiffness of laminated carbon fiber bellows
WEI Kunpeng, DAI Xingjian
, SHAO ZongyiDepartment of Engineering Physics, Tsinghua University, Beijing 100084, China
Abstract: The kinetic energy stored in a flywheel depends on its rotational inertia and linear velocity. The use of carbon fiber composite materials can effectively improve the rotor speed and increasing the rotor length can increase its rotational inertia. Furthermore, multi-section flywheel rotors formed by connecting tubes through bellows enables the rotor to pass through critical frequencies at low speeds, which increases the working speed range. This paper studies the bending stiffnesses of variable thickness carbon fiber bellows with the static bending stiffness measured by the axial force method. A finite element model was then used to predict the linear and geometric nonlinear bending stiffness for various loads and various laminates. The research indicates that bending stiffness variation is nonlinear with the load, with the measured stiffness being of the same order of magnitude as the theoretical values for large load. The simulations also show how the thickness, angle and stacking sequence of the laminate affect the bending stiffness.
Key words: flywheel energy storagecarbon fiber bellowsbending stiffnessfinite elementlaminate
波纹管应用领域广泛, 不同波纹管间形状、功能、性能差异很大[1-2]，本文研究的波纹管应用于高速储能飞轮转子。飞轮储能系统具有功率密度高、能量密度大、充放电快、无容量退化和环境污染小等优点，目前在混合动力发电系统、电网调频、车辆制动再生、卫星姿控、高功率脉冲电源、不间断电源等领域有良好应用前景，但储能容量、自放电率等性能有待提高[3-5]。
提高飞轮储能量主要从提高转子线速度和增加转子转动惯量两方面入手[6]。金属飞轮转子设计经过多年发展已较为成熟，但纤维增强复合材料比强度高、比模量大、抗疲劳性好，通过合理的铺层设计可满足飞轮转子在不同方向上对强度、刚度的要求可达到更高线速度，目前国内外已有多类复合材料飞轮的研究[7-10]。增加飞轮转子长度可使其转动惯量增大，但随着长度增加，升速过程中转子的转动频率会遇到转子作为弹性体振动时的固有频率[11]。为了避开该共振区，本文提出了一种细长飞轮转子结构，如图 1所示，采用多节式转子设计，即通过波纹管连接圆筒，利用波纹管的低弯曲刚度来降低转子固有频率，实现较低转速下过临界，如图 2所示。因波纹管弯曲刚度直接影响转子固有频率，是重要性能指标，需要加以研究。
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| 图 1 两节式飞轮转子示意图 |
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| 图 2 两类转子弯曲示意图 |
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目前国内外关于波纹管的刚度研究多集中于各向同性材料波纹管的轴向、扭转刚度[12-13]，见诸报道的各向异性材料波纹管弯曲刚度的研究很少。修筑等[14-15]考虑壁厚变化，使用函数描述壁厚变化趋势，实现对刚度公式修正。沈祖培等[16-17]讨论了轴向刚度和弯曲刚度的关系，提出利用轴向刚度近似求解弯曲刚度的公式，但适用范围值得讨论。碳纤维波纹管工作状态下其半波位移大于壁厚，属于大挠度，必须考虑几何非线性；波纹管弯曲时，可能局部受压、局部受拉，有必要考虑材料非线性；如果设计不合理导致高速旋转情况下分层，甚至会涉及状态非线性[18-19]。同时任意铺层使得拉剪、弯扭和拉弯耦合效应复杂, 解析求解困难，故通过有限元法来研究碳纤维波纹管的弯曲刚度[20-22]。
本文实现了渐变铺层碳纤维波纹管的静态弯曲刚度测试，并建立对应的有限元模型，在考虑几何非线性下进行求解，对有限元计算结果和实验测量结果进行比较，并基于有限元法模拟了不同铺层对弯曲刚度的影响。
1 几何结构本文研究波纹管选用T700碳纤维预浸料，单层厚度为0.1 mm，波纹段处采用手工缠绕铺层方式，通过钢质阴阳模工艺成型。该波纹管工作时处于高速旋转状态，需综合考虑刚度、强度设计，目前铺层设计的剖面图、半波示意图如图 3所示，0代表环向铺层，90代表轴向铺层。直管段外径150.0 mm，厚度2.0 mm，铺层方式为[0/±45/0/90]4，中间为厚薄渐变的波纹段，铺层复杂，最薄处仅0.5 mm，铺层方式为[0/±45/0/90]；波纹段处波峰、波谷曲率半径均为5.0 mm。
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| 图 3 波纹管结构示意图 |
| 图选项 |
T700单向带力学性能如表 1所示。
表 1 T700单向带力学性能
| 参数 | 数值 |
| 密度 | 1.65 g/cm3 |
| X向弹性模量 | 115.0 GPa |
| Y向弹性模量 | 6.4 GPa |
| Z向弹性模量 | 6.4 GPa |
| XY面剪切模量 | 6.0 GPa |
| YZ面剪切模量 | 6.0 GPa |
| XZ面剪切模量 | 6.0 GPa |
| XY面Poisson比 | 0.28 |
| YZ面Poisson比 | 0.34 |
| XZ面Poisson比 | 0.28 |
表选项
2 测量试验2.1 原理波纹管弯曲刚度通常用波纹管两端施加的弯曲力矩与弯曲角度的比值来表征。目前波纹管弯曲刚度测试方法分为轴向施力法、水平支撑法和静态激振法，其中轴向施力法操作最简单，测量精度较高[23]。本文使用此法测试碳纤维波纹管弯曲刚度。
轴向施力法原理如图 4所示，在波纹管两侧安装半径为R的同心夹板，固定下夹板，沿轴向偏圆心r处在上夹板处施加力F，其效果相当于在圆心施加力F并在端面施加弯曲力矩M，测量过施力点的直径上A、B两点各自的轴向位移差ZA、ZB，便可计算端面弯曲角度θ，进而得到弯曲刚度Kθ，如式(1)—(2)所示。
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| 图 4 测量原理图 |
| 图选项 |
| $\theta \approx \tan \theta=\frac{\left|Z_{{B}}-Z_{{A}}\right|}{2 R}, $ | (1) |
| $ K_{\theta}=\frac{M}{\theta} \approx \frac{2 F r R}{\left|Z_{B}-Z_{A}\right|}. $ | (2) |
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| 图 5 试验装置图 |
| 图选项 |
3 有限元建模为了简化复合材料波纹管模型，作以下假设：碳纤维材料为正交各向异性且无缺陷，各层间紧密贴合且预应力为零。纤维缠绕薄壁结构的有限元分析大多采用壳体单元或轴对称实体单元，注意到波纹段处厚薄渐变特性，如果使用三维实体单元建立有限元模型，需对每一层分别建模，难度、计算量都会很大，因此使用三维壳单元SHELL281。根据实际铺层定义不同的截面，用一系列壳单元所组成的曲面来描述波纹管壳体，减少几何形状的离散误差，而且通过引入0厚度层保证了纤维层的断层和连续，如图 6所示。
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| 图 6 铺层示意图 |
| 图选项 |
由于在波纹段区域壳单元厚度快速变化，必须使用足够多的单元，波纹管1/8有限元模型如图 7所示。使用三维实体单元SOLID186对上下夹板建模。实体单元与壳单元因自由度不同而不能直接连接，通过多点约束算法在单元连接处实现节点自由度的耦合，整体有限元模型如图 8所示。
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| 图 7 波纹管局部有限元模型 |
| 图选项 |
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| 图 8 整体有限元模型 |
| 图选项 |
对上述有限元模型施加如下边界条件：对上夹板施加偏心轴向力，同时约束下夹板底面轴向位移。静力学分析分别采用线性和非线性计算，其中非线性分析仅考虑几何非线性, 引入应力刚化效应。
4 结果与分析4.1 测试结果进行4组共10次弯曲试验，将位移、力数据处理后绘制了弯曲角度与力矩图和力矩与弯曲刚度图，分别如图 9和10所示。观察图 9，弯曲角度随力矩增大而增大，忽略小力矩下的数据，两者之间大致为线性。观察图 10，发现波纹管的弯曲刚度随着载荷增大呈现非线性变化：在0~50 N·m区间内，弯曲刚度随力矩增大而增大，但增幅逐渐减小；在50~120 N·m区间内，弯曲刚度趋于平稳，分布在9.0~14.0 kN·m/rad之间。取50~120 N·m内弯曲刚度数据分析，其均值为11.3 kN·m/rad，若忽略明显高于其他3组的C组数据，均值为10.4 kN·m/rad。
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| 图 9 弯曲角度与力矩图 |
| 图选项 |
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| 图 10 力矩与弯曲刚度图 |
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4.2 有限元结果使用ANSYS软件分别计算了力矩为30、60、90和120 N·m时线性和非线性变形，90 N·m时非线性变形如图 11所示，计算出弯曲刚度为10.6 kN·m/rad。根据有限元计算结果绘制图 12，观察发现考虑几何非线性后弯曲刚度小于线性结果12.1 kN·m/rad，且弯曲刚度随力矩增大而减小。
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| 图 11 轴向变形图 |
| 图选项 |
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| 图 12 不同力矩下的弯曲刚度 |
| 图选项 |
4.3 讨论比较通过试验和有限元法得到的弯曲刚度，发现两者仅在力矩大于50 N·m时一致，且考虑几何非线性得到的结果与试验符合更好，两者之间误差小于15%；而力矩小于50 N·m时，试验测得的弯曲刚度远小于有限元结果。在整个力矩区间上，弯曲刚度测试结果是先增大后趋于平稳，而有限元结果是随力矩增大而减小，两者趋势并不一致，说明仅考虑波纹管的几何非线性不能很好地描述试验结果。经分析，误差来源包括：试验波纹管成品与设计存在偏差，例如波纹段剖面在环向厚度不一，导致同组波纹管刚度存在波动，不同组间偏差更大；有限元计算过程未考虑材料非线性因素，碳纤维波纹管弯曲时局部拉压同时存在，受力状态复杂，导致计算和试验间产生偏差；试件轴向切面可能不平整，导致加载开始阶段夹板和试件接触不够紧密，测量弯曲角度偏大，使实验计算弯曲刚度偏小，而随着力矩增大，夹板和试件接触逐渐紧密，此时试验计算弯曲刚度接近有限元计算结果；试验机在试验力较小时测量误差较大等。
4.4 铺层厚度分析研究人员阐释了波纹管的壁厚对轴向刚度的影响[13-15]，本文为了研究壁厚对弯曲刚度的影响，按[0/±45/0/90]n铺层设计，下标n为连续重复层的层数，分别建立了0.5、1.0、1.5和2.0 mm等壁厚设计的波纹管有限元模型，计算分析了90 N·m力矩下的弯曲刚度，结果如图 13所示，发现层数越多，弯曲刚度越大，两者之间近似成平方项关系。
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| 图 13 不同厚度下弯曲刚度 |
| 图选项 |
4.5 铺层角度、次序分析研究不同铺层方式对弯曲刚度影响，主要关注铺层角度和铺层次序。以1.0 mm等厚度波纹管为例，暂不考虑铺层方式的合理性，计算不同铺层设计在90 N·m下线性弯曲刚度，结果如表 2所示(组4铺层设计的下标s表示对称)，发现铺层方式直接影响弯曲刚度。比较前4组，随着轴向铺层增加，弯曲刚度逐渐增大，全环向铺层的弯曲刚度仅有全轴向的1/3左右；比较组3、5发现，[45/-45]5铺层弯曲刚度小于[0/90]5铺层。比较组6、7发现，铺层次序也会影响弯曲刚度。实际设计铺层时不仅要考虑刚度，还需要考虑结构强度、稳定性等因素。
表 2 不同铺层下弯曲刚度
| 组号 | 铺层设计 | 弯曲刚度/(kN·m·rad-1) |
| 1 | 全环向0 | 5.7 |
| 2 | 全轴向90 | 17.0 |
| 3 | [0/90]5 | 15.2 |
| 4 | [0/90/0/90/0]s | 13.1 |
| 5 | [45/-45]5 | 8.7 |
| 6 | [0/45/90/-45/0]2 | 10.5 |
| 7 | [0/45/-45/0/90]2 | 12.6 |
表选项
5 结论本文采用轴向施力法测量厚薄渐变碳纤维波纹管的弯曲刚度，发现弯曲刚度随载荷增大非线性变化，载荷较大后弯曲刚度趋于平稳，在50~120 N·m内弯曲刚度均值为10.4 kN·m/rad。建立上述波纹管的有限元模型，在不同载荷下分别计算线性和非线性下变形，发现考虑几何非线性得到的弯曲刚度更接近试验值。通过有限元法分析等壁厚模型的厚度、铺层角度和次序对弯曲刚度影响，发现铺层层数对弯曲刚度的影响是决定性的，弯曲刚度随铺层数增多而增大；铺层角度对弯曲刚度的影响很大，弯曲刚度随轴向铺层比增加而增大；在铺层数和铺层各向角度比相同时，铺层次序也会影响弯曲刚度。
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