, 陈恳1 1. 清华大学 机械工程系, 北京 100084;
2. 南方科技大学 机械与能源工程系, 深圳 518055
收稿日期：2018-11-05
基金项目：国家自然科学基金资助项目(U1613206)
作者简介：兰箭(1983-), 男, 博士研究生
通信作者：付成龙, 副教授, E-mail:fucl@sustc.edu.cn
摘要：上楼垂直地面反力决定着人体质心在垂直方向上的运动，与垂直方向上的平均行走速度、初速有密切的联系。该文建立了上楼行走垂直方向模型，提出了连续周期行走约束，给出了垂直地面反力表达式，研究了其最大值的影响因素，建立了垂直方向初速与垂直地面反力参数、水平方向平均速度之间的数学关系，并对不同上楼速度下的垂直地面反力最大值变化情况进行了预测。用光学运动捕捉系统和六维力台进行了不同速度下的上楼行走测试，测试结果表明：预测结论较准确，上楼低速行走时更加接近水平行走，为使垂直地面反力最大值变化较小，随着行走速度的增加，垂直方向初速增加。
关键词：上楼行走不同行走速度垂直方向初速垂直地面反力最大值
Vertical ground reaction forces at various speeds during stair climbing
LAN Jian1, Hyunjun Park1, FU Chenglong2
, CHEN Ken11.Department of Mechanical Engineering, Tsinghua University, Beijing 100084, China;
2.Department of Mechanical and Energy Engineering, Southern University of Science and Technology, Shenzhen 518055, China
Abstract: The vertical ground reaction force determines the movement of the center of mass of the human body in the vertical direction during stair climbing. The vertical reaction force is closely related to the average vertical speed and the initial vertical speed. This paper presents a human stair climbing model that is used to derive the constraint for continuous climbing from the key factors influencing the maximum vertical force. The model gives mathematical expressions for the initial vertical speed, vertical force and the average horizontal speed. The model gives the change in the maximum vertical ground reaction force for various stair climbing speeds. Stair climbing tests were performed at various speeds using a motion analysis system and force platform. The tests verify the model accuracy with the results showing that the motion characteristics at low stair climbing speeds are closer to those of level walking than at high speeds and the initial vertical speed increases with increasing average horizontal speed to reduce the maximum vertical ground reaction force.
Key words: stair climbingdifferent walking speedsinitial vertical speedmaximum vertical ground reaction force
上楼行走是一项重要的经常性运动，人们的日常生活或多或少地与上楼行走相关，探索和研究上楼行走的规律和机理，可预防上楼损伤，并为上楼行走存在困难和障碍者提供指导和帮助。以往许多****对上楼行走进行了测试和研究，这些研究虽然侧重点不同，比如，有的侧重于上楼坡度的不同[1]，有的针对年龄变化产生的影响[2-3]，有的对比不同的行走路况[4]，有的比较上楼和下楼[5]，有的仅针对上楼运动[6]，但都仅限于关节角度测试、关节力矩和关节功率计算等方面[1-6]。文[7]对不同年龄阶段、不同楼梯坡度的地面反力进行了测试研究，但其测试速度为测试者自己选定的速度，并未研究地面反力与上楼行走速度的关系。人体质心垂直方向初速是上楼行走的一个重要参数，在很大程度上影响着上楼行走垂直地面反力，然而该参数一直未能得到研究[1-7]。上楼行走时，人体质心在垂直方向只受重力和垂直地面反力，而重力是确定的，人体质心在垂直方向的运动变化仅决定于垂直地面反力。因此，当设定行走速度，并给出垂直地面反力表达式时，即可建立各种速度下垂直地面反力与人体质心垂直方向运动的数学关系，研究各种速度下的垂直地面反力特性。
1 上楼行走模型1.1 模型模型的建立：以人体质心为研究对象，研究的方向为垂直方向，该方向上质心只受重力和垂直地面反力。研究的时间段为一侧脚触地到对侧脚触地，即一步，也是半个步态周期，时间段为-0.5βT~0.5(T-βT)，β为支撑期，T为步态周期；其中一侧脚触地到对侧脚离地为双腿支撑期，时间段为-0.5βT~0.5(βT-T)，此时垂直方向地面反力包括双腿垂直地面反力Fy(t+0.5T)和Fy(t)；从对侧脚离地到对侧脚触地为单腿支撑期，时间段为0.5(βT-T)~0.5(T-βT)，此时垂直方向地面反力仅有单腿垂直地面反力Fy(t)。垂直方向瞬时速度以vy表示，水平方向瞬时速度以vx表示，相应地，垂直方向平均速度以vy表示、水平方向平均速度以vx表示，并以vx代表上楼行走速度。上楼行走垂直方向受力与时间区分如图 1所示。
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| 图 1 上楼行走垂直方向受力与时间区分 |
| 图选项 |
1.2 连续周期行走约束在连续周期行走条件下，每一步质心在垂直方向的初速v0y与末速vty均相等。初速指一侧脚触地时刻质心的速度(研究的起始时刻点)，末速指对侧脚触地时刻质心的速度(研究的结束时刻点)。
一步内，在垂直方向上，对人体质心，由动量定理有：
| $\begin{array}{c}\left( {\int_{ - 0.5\beta T}^{0.5(T - \beta T)} {{F_y}} (t){\rm{d}}t + \int_{ - 0.5\beta T}^{0.5(\beta T - T)} {{F_y}} (t + 0.5T){\rm{d}}t} \right) - \\mg\frac{T}{2} = m\left( {{v_{{\rm{t}}y}} - {v_{0y}}} \right).\end{array}$ | (1) |
| $\begin{array}{c}\int_{ - 0.5\beta T}^{0.5(T - \beta T)} {{F_y}} (t){\rm{d}}t + \int_{ - 0.5\beta T}^{0.5(\beta T - T)} {{F_y}} (t + 0.5T){\rm{d}}t = \\mg\frac{T}{2}.\end{array}$ | (2) |
| $\begin{array}{c}{F_y}(t) = \\\left( {\frac{{3\pi mg}}{{4\beta (3 + q)}}} \right)\left( {\cos \frac{{\pi t}}{{\beta T}} - q\cos \frac{{3\pi t}}{{\beta T}} + p\sin \frac{{2\pi t}}{{\beta T}}} \right).\end{array}$ | (3) |
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| 图 2 凹陷参数对垂直地面反力的影响 |
| 图选项 |
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| 图 3 峰值对称参数对垂直地面反力的影响 |
| 图选项 |
上面给出了q的取值范围，p的取值可以由Fy(t)≥0的条件获得。对式(3)，令τ=πt/βT，由-0.5βT≤t≤0.5βT，可知-0.5π≤τ≤0.5π，垂直地面反力可表示为
| $\begin{array}{c}{F_y}(\tau ) = \\\left( {\frac{{3\pi mg}}{{4\beta (3 + q)}}} \right)(\cos \tau - q\cos 3\tau + p\sin 2\tau ).\end{array}$ | (4) |
| $\cos \tau-q \cos 3 \tau+p \sin 2 \tau \geqslant 0.$ | (5) |
| $\left\{\begin{array}{ll}{-0.5(1+3 q) \leqslant p \leqslant 0.5(1+3 q), } & {0 \leqslant q \leqslant 0.2}; \\ {-2 \sqrt{q(1-q)} \leqslant p \leqslant 2 \sqrt{q(1-q)}, } & {0.2 \leqslant q \leqslant 1}.\end{array}\right.$ | (6) |
| $\begin{array}{*{20}{c}}{{F_y}(t + 0.5T) = }\\{\left( {\frac{{3\pi mg}}{{4\beta (3 + q)}}} \right) \cdot \left( {\cos \frac{{\pi (t + 0.5T)}}{{\beta T}} - } \right.}\\{q\cos \frac{{3\pi (t + 0.5T)}}{{\beta T}} + p\sin \frac{{2\pi (t + 0.5T)}}{{\beta T}}).}\end{array}$ | (7) |
| $\frac{\mathrm{d} F_{y}(\tau)}{\mathrm{d} \tau}=0.$ | (8) |
| $\begin{array}{c}{(-12 q) \sin ^{3} \tau+(-4 p) \sin ^{2} \tau+} \\ {(9 q-1) \sin \tau+2 p=0}.\end{array}$ | (9) |
p、q确定时，(cosτ-qcos3τ+psin2τ)的取值范围是确定的，由式(4)可知，Fymax与β成反比。由式(4)中τ的取值范围和三角函数的性质可知，当q不变时，p的绝对值相等，Fymax也相等。
当β确定时，即可讨论Fymax随p、q的变化情况。图 4为β=0.62(由于水平行走支撑期约为0.6[10]，上楼行走步幅小，支撑期适当增大)、0≤q≤1时，Fymax随p、q变化的等高线图，图中粗实线为式(6)形成的p、q约束边界条件，粗实线内的曲线即为Fymax的可能取值。
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| 图 4 垂直地面反力最大值随峰值对称参数和凹陷参数的变化等高线图 |
| 图选项 |
由图 4可知，当q一定时，p的绝对值越小，Fymax越小；当p一定时，Fymax随q先减小，后增大。在q=0.556、|p|=0.9937时，Fymax取得最大值为22.07m，此时Fymax较大；在p=0、q=0.2时，Fymax取得最小值为10.14m。综上所述，p的绝对值越小越好，q不宜过大，在p=0、q=0.2附近，Fymax能取得较小的值。
图 4为β=0.62时垂直地面反力最大值的取值情况，对于行走，β的最小临界值为0.5，可求出Fymax的最大值为27.37m。
3 垂直地面反力变化情况分析与预测3.1 垂直地面反力参数与初速的关系垂直方向上作用于质心的外力产生的速度分为两段，在双腿支撑期(-0.5βT≤t≤0.5(βT-T))为vFey1(t)，在单腿支撑期(0.5(βT-T)≤t≤0.5(T-βT))为vFey2(t)，表达式分别为
| $v_{F_{e y} 1}(t)=\int_{-0.5 \beta T}^{t} \frac{F_{y}(\tau)+F_{y}(\tau+0.5 T)-m g}{m} \mathrm{d} \tau, $ | (10) |
| $\begin{array}{*{20}{c}}{{v_{{F_{ey}}2}}(t) = }\\{\int_{ - 0.5\beta T}^{0.5(\beta T - T)} {\frac{{{F_y}(\tau ) + {F_y}(\tau + 0.5T) - mg}}{m}} {\rm{d}}\tau + }\\{\int_{0.5(\beta T - T)}^t {\frac{{{F_y}(\tau ) - mg}}{m}} {\rm{d}}\tau .}\end{array}$ | (11) |
| $\begin{array}{*{20}{c}}{{{\bar v}_{{F_{ey}}}} = }\\{\left( {\int_{ - 0.5\beta T}^{0.5(\beta T - T)} {{v_{{F_{ey}}1}}} (t){\rm{d}}t + \int_{0.5(\beta T - T)}^{0.5(T - \beta T)} {{v_{{F_{ey}}2}}} (t){\rm{d}}t} \right)/(0.5T).}\end{array}$ | (12) |
| $v_{0 y}=\overline{v}_{y}-\overline{v}_{F_{e y}}.$ | (13) |
| $\overline{v}_{y}=\overline{v}_{x} \frac{H}{D}.$ | (14) |
| $\begin{array}{*{20}{c}}{{v_{0y}} = {{\bar v}_x}\frac{H}{D} + Tg((12 + 6p + 4q)(\beta - 1) + }\\{6\cos (\pi /2\beta )(q - 1) + 6p{{\cos }^2}(\pi /2\beta ) - }\\{\qquad 8q{{\cos }^3}(\pi /2\beta )/(8(q + 3)).}\end{array}$ | (15) |
在vx分别取低速0.35和0.45 m·s-1，中间速度0.55 m·s-1，高速0.65和0.75 m·s-1时，楼梯高度为H=0.15 m、宽度D=0.3 m，设β=0.62时，由式(15)可得
| $\begin{array}{c}{\overline{v}_{x}=0.35 \mathrm{m} / \mathrm{s}}, \\ {p=\left(1.100+0.270 v_{0 y}\right) q+\left(0.811 v_{0 y}-0.349\right)}, \end{array}$ | (16) |
| $\begin{array}{c}{\overline{v}_{x}=0.45 \mathrm{m} / \mathrm{s}}, \\ {p=\left(1.069+0.347 v_{0 y}\right) q+\left(1.042 v_{0 y}-0.441\right)}, \end{array}$ | (17) |
| $\begin{array}{c}{\overline{v}_{x}=0.55 \mathrm{m} / \mathrm{s}}, \\ {p=\left(1.030+0.425 v_{0 y}\right) q+\left(1.274 v_{0 y}-0.557\right)}, \end{array}$ | (18) |
| $\begin{array}{c}{\overline{v}_{x}=0.65 \mathrm{m} / \mathrm{s}}, \\ {p=\left(0.984+0.502 v_{0 y}\right) q+\left(1.506 v_{0 y}-0.696\right)}, \end{array}$ | (19) |
| $\begin{array}{c}{\overline{v}_{x}=0.75 \mathrm{m} / \mathrm{s}}, \\ {p=\left(0.930+0.579 v_{0 y}\right) q+\left(1.737 v_{0 y}-0.858\right)}, \end{array}$ | (20) |
第一种情况：假设上楼行走在各种速度下均接近水平行走，由于水平行走垂直方向初速[11-14]v0y < 0 m·s-1，因此，在vx分别为0.35、0.45、0.55、0.65、0.75 m·s-1时，均取v0y=0 m·s-1，代入式(16)—(20)，可得式(21)—(25)，式(21)—(25)在图 5上为“1-0.35”至“1-0.75”5条直线。“1-0.35”的表示方法说明：“1”表示第一种情况，“-0.35”表示vx为0.35 m·s-1，“1-0.45”至“1-0.75”表示方法相同。
| $\overline{v}_{x}=0.35 \mathrm{m} / \mathrm{s}, ~~~ p=1.100 q-0.349, $ | (21) |
| $\overline{v}_{x}=0.45 \mathrm{m} / \mathrm{s}, ~~~ p=1.069 q-0.441, $ | (22) |
| $\overline{v}_{x}=0.55 \mathrm{m} / \mathrm{s}, ~~~ p=1.030 q-0.557, $ | (23) |
| $\overline{v}_{x}=0.65 \mathrm{m} / \mathrm{s}, ~~~ p=0.984 q-0.696, $ | (24) |
| $\overline{v}_{x}=0.75 \mathrm{m} / \mathrm{s}, ~~~ p=0.930 q-0.858. $ | (25) |
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| 图 5 两种情况的5种速度下凹陷参数、峰值对称参数之间的关系直线及二者之间的边界约束曲线 |
| 图选项 |
由图 5可知，“1-0.35”至“1-0.75”5条直线非常分散，导致了垂直地面反力最大值的取值区间差异较大，这是由于不同行走速度下，垂直方向初速均相等且较小(均等于0 m·s-1)造成的。比较式(16)—(20)可知，水平方向平均速度越大时，p、q关系直线的斜率和对p轴的截距随垂直方向初速的增加就越快。当水平方向平均速度变大时，若垂直方向初速不变或者变小，则各种速度下得到的p、q关系直线就越分散，若垂直方向初速也变大，则各种速度下得到的p、q关系直线就越集中，垂直地面反力最大值的差异就可能越小。因此，随着水平方向平均速度的增加，垂直方向初速也增加时，可使垂直地面反力最大值变化小。
第二种情况：根据以上对垂直方向初速对p、q关系直线集中程度影响的讨论，取特殊情况下的垂直方向初速，即
| $p=1.147 q-0.207.$ | (26) |
根据以上讨论和分析，可进行以下预测：
1) 各种行走速度下，垂直地面反力的最大值变化较小。
2) 基于预测1，垂直方向初速可能存在2种不同的情况：①低速行走时接近水平行走，即垂直方向初速在0 m·s-1附近，随着行走速度的增加，垂直方向初速增加(大于0 m·s-1)，以保持各种行走速度下的p、q关系直线更加集中，从而使垂直地面反力最大值变化较小。②各种行走速度下，垂直方向初速均等于或接近垂直方向平均速度，p、q关系直线完全重合或近似重合，垂直地面反力最大值取得较小值且变化小甚至不变，此时各种行走速度下均偏离水平行走(垂直方向初速均大于0 m·s-1)。
4 实验测试4.1 测试环境设计四阶实验专用楼梯，尺寸为每个台阶宽度D为0.3 m、高度H为0.15 m、长为1 m，用包含8个Raptor-4摄像头的光学运动捕捉系统(Motion Analysis)采集人体上楼运动轨迹，用置于楼梯的三块六维力台(bertec force platform)测试垂直地面反力。实验环境如图 6所示。
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| 图 6 上楼行走实验测试环境 |
| 图选项 |
4.2 测试过程测试对象为10个年龄在(25.5±3.9)岁、身高在(171±6.5)cm、体重为(65±12)kg的健康男性青年，均无行走障碍和疾病。
测试过程：设置5种上楼水平行走速度，分别为0.35、0.45、0.55、0.65、0.75 m·s-1，速度用节拍器控制。人体测量模型为Helen-Hayes全身模型。静态测试前，测量人体身高和体重。静态测试时，贴29个mark点，然后拿下踝关节和膝关节内侧的4个mark点，进行动态测试。动态测试开始前先活动5 min，在平地或楼梯上自由行走，一是适应实验环境，二是检测mark点是否粘贴牢固，三是查看实验设备是否正常工作。休息5 min后，开始测试，每组速度测试10次，正式记录前先适应2次，做完一组，休息5 min，再进行下一组测试，直至测试完毕。
4.3 实验数据的计算人体质心坐标采用文[15]的质量模型计算。
支撑期β为一步的时间与一步内双腿支撑的时间之和再与步态周期T的比值，均可根据力台数据来判断和计算。
实际水平方向平均速度vx和垂直方向平均速度vy，可计算如下：
| $\overline{v}_{x}=\frac{D_{\mathrm{COM}}}{0.5 T}, $ | (27) |
| $\overline{v}_{y}=\frac{H_{\mathrm{COM}}}{0.5 T}.$ | (28) |
垂直方向初速由式(10)—(13)根据实际测试数据进行计算。由于人体质量存在差异，直接用力台测试的数据不便于比较，因此将测试得到的垂直地面反力除以实验对象质量，得到以N·kg-1为单位的力的数据。
4.4 实验数据的选取数据选择的原则应当满足设定的条件，同时兼顾能收集到每一位实验者每一组速度下的数据，具体为：根据连续周期行走约束，选取的数据应当满足式(2)，然而严格满足条件的实验数据较少，因此，按照以下公式将条件适当放宽：
| $\begin{array}{c}9.70 \le \\\frac{{\int_{ - 0.5\beta T}^{0.5(T - \beta T)} {{F_y}} (t){\rm{d}}t + \int_{ - 0.5\beta T}^{0.5(\beta T - T)} {{F_y}} (t + 0.5T){\rm{d}}t}}{{0.5Tm}} \le 9.90.\end{array}$ | (29) |
| $0.5 \overline{v}_{x}-0.05 \leqslant \overline{v}_{y} \leqslant 0.5 \overline{v}_{x}+0.05.$ | (30) |
不同于水平行走可以用测力跑台准确控制行走速度，上楼行走虽然用节拍器控制了行走节奏，但实际上测试对象很难准确地走出设定的5种速度，因此，将实际水平行走速度范围为：(0.35±0.05)、(0.45±0.05)、(0.55±0.05)、(0.65±0.05)、(0.75±0.05)m·s-1的测试数据分别视作设定的0.35、0.45、0.55、0.65、0.75 m·s-1这5种速度下的数据。由于测试中，2名测试对象存在丢点的问题，最后选取了8位测试者的数据，具体为：0.35 m·s-1行走速度的数据20组、0.45 m·s-1行走速度的数据20组、0.55 m·s-1行走速度的数据20组、0.65 m·s-1行走速度的数据19组、0.75 m·s-1行走速度的数据12组。
4.5 测试结果图 7为垂直地面反力最大值与人体质量的比值A随水平方向平均速度vx的变化情况，对应vx的5种取值，Fymax的平均值依次为10.52、11.24、12.07、11.96、12.01 N·kg-1，由图可知，高速情况下，垂直地面反力最大值与人体质量的比值相对更加分散，可能是由于测试者平时上楼行走时，一般很少走高速的原因。
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| 图 7 垂直地面反力最大值与人体质量的比值随水平方向平均速度的变化 |
| 图选项 |
图 8为垂直方向初速v0y随水平方向平均速度vx的变化情况，趋势是随着vx的增加，v0y增加，采用散点图，在于体现变化的趋势，对应vx的5种取值，v0y实测平均值分别为：-0.045 6、-0.003 8、0.074 3、0.220 2、0.282 8 m·s-1。高速(vx为0.65 m·s-1、0.75 m·s-1)情况下有部分数据的垂直方向初速在垂直方向平均速度附近，其余垂直方向初速均小于垂直方向平均速度。
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| 图 8 垂直方向初速随水平方向平均速度的变化 |
| 图选项 |
图 9为支撑期β随水平方向平均速度vx的变化情况，将β在5种水平方向平均速度下的实测平均值再取平均为0.632 6，与理论推导中设定的值相差不大。由图 9可知，随着行走速度的增加，β减小，按照节2.2的讨论，垂直地面反力最大值Fymax与β成反比，即高速情况下Fymax更容易变大。因此，高速情况下垂直方向初速更接近垂直方向平均速度，以使Fymax变化小。测试中发现，对于不同测试对象，vx相同时，β是有差别的，尤其在高速行走时，有时β较大、v0y较小，垂直地面反力最大值变化也不大。
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| 图 9 支撑期随水平方向平均速度的变化 |
| 图选项 |
5 讨论对图 7中5种速度下的实测平均A再取平均值为11.56 N·kg-1，5种速度下的实测平均A分别偏离该平均值的绝对百分比为：9.00%、2.77%、4.41%、3.46%、3.89%，变化的幅度不大，即验证了节3.2预测1。
由图 8可知，低速(vx为0.35 m·s-1、0.45 m·s-1)时，垂直方向初速v0y的实测平均值小于0，即与水平行走相似，利用了水平行走特性，随着行走速度的增加，垂直方向初速v0y的实测平均值增加，从而逐渐偏离水平行走。将水平方向平均速度vx的5个取值、支撑期β对应的5个实测平均值、垂直方向初速v0y对应的5个实测平均值、楼梯的高度H、楼梯的宽度D、步态周期T=2D/vx分别代入式(15)，并将得到的5个式子用图 10表示，由图 10可知，各种速度下的p、q关系直线比较集中。由此，上楼行走的实测情况符合节3.2预测2的情况2。
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| 图 10 当垂直方向初速为实测值时，5种速度下凹陷参数、峰值对称参数的关系直线 |
| 图选项 |
1) 关于理论模型。
理论上要想精确地表达垂直地面反力曲线需要较多的项数，但是项数越多，参数就越多，导致无法进行分析；式(3)是对垂直地面反力的近似表达，只保留了主要的项，略去了许多小项，只有几个有限的参数，便于分析。实际垂直地面反力曲线往往并非规则的曲线，式(3)对某些垂直地面反力曲线的表达存在误差，甚至曲线的峰值也有偏差，基于式(3)的推导不是完全精确的，但是，式(3)保留了主要的项，因此能够对趋势进行分析。
2) 关于实验数据。
高速行走时收集到的数据较少，原因主要有：
(1) 实验条件的限制。由于实验场所的限制，实验用楼梯台阶数量少，只有4阶、3个力台。台阶数量少，即行走的步数少，有时可能尚未进入连续周期行走状态，测试已结束，由此导致满足要求的实验数据少。3个力台的测试条件，实验者从第1个力台触地到第2个力台触地，没有双腿支撑期的力的数据，从第3个力台触地到第4个台阶触地，已经开始减速，只有在第2个力台触地到第3个力台触地，能同时包括双腿支撑期和单腿支撑期，可形成完整的一步，且处在行走的中间时段，即一组实验只能得到一组数据。
(2) 上楼行走速度难以准确控制。水平行走测试速度范围较宽，最大可达2 m·s-1[11-14]，而且可用测力跑台准确控制，而上楼行走速度范围较窄，当速度在0.8 m·s-1左右时，已接近于跑，行走速度还只能以节拍器粗略控制。日常生活中，上楼行走速度一般较低，高速行走情况较少，测试中个别测试对象最大速度甚至达不到0.70 m·s-1，大于此速度的测试数据较少，满足连续周期行走要求的数据更少，因此高速情况下选取的数据量较少。
6 结论本文从理论上对不同上楼速度下的垂直地面反力最大值进行了分析与预测，并进行了试验测试验证，测试结果表明：预测结论较准确，上楼低速行走时更加接近水平行走，为使垂直地面反力最大值变化较小，随着行走速度的增加，垂直方向初速增加。
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