, 张彬彬 清华大学 机械工程系, 精密超精密制造装备及控制北京市重点实验室, 北京 100084
收稿日期：2018-08-08
基金项目：国家科技重大专项（2017ZX04002001，2013ZX04000030）
作者简介：于振洋(1995-), 男, 硕士研究生
通信作者：吴军, 副教授, E-mail:jhwu@tsinghua.edu.cn
摘要：该文针对传统太阳能聚光器二轴跟踪机构刚度低、能量消耗大等问题，提出一种具有驱动冗余的并联式太阳能聚光器跟踪机构，并研究其动力学建模方法及能量消耗。首先基于跟踪机构的运动学模型，利用虚功原理推导其动力学模型；然后规划跟踪机构跟踪太阳运动轨迹，并分析其跟踪太阳运动过程中驱动力变化以及能量消耗；最后比较该驱动冗余并联跟踪机构与其对应的非冗余跟踪机构在相同运动条件下的驱动力以及能量消耗。仿真分析结果表明：该文提出的跟踪机构具有高刚度、低能耗的优点。
关键词：跟踪机构并联机构驱动冗余动力学能量消耗
Energy consumption of a two-axis solar tracker with redundantly actuated parallel mechanism
YU Zhenyang, WU Jun
, ZHANG BinbinBeijing Key Lab of Precision/Ultra-precision Manufacturing Equipment and Control, Department of Mechanical Engineering, Tsinghua University, Beijing 100084, China
Abstract: The traditional two-axis solar tracker with serial mechanism has low stiffness and large energy consumption. To overcome these disadvantages, a two-axis solar tracker with redundantly actuated parallel mechanism is proposed and its energy consumption is investigated. Based on the kinematic model of the two-axis solar tracker, the dynamic model is derived by using the principle of virtual work. By taking Beijing as a sample city where the tracker is placed, the trajectory planning of the tracker is investigated. The driving force and energy consumption of the solar tracker and its corresponding nonredudnant counterpart in spring equinox are compared. The proposed solar tracker has high stiffness and low energy consumption.
Key words: solar trackerparallel mechanismactuation redundancydynamic modelenergy consumption
随着石油、煤炭等传统能源的日渐枯竭以及传统能源带来的环境污染问题，太阳能等可再生能源受到越来越多的关注。太阳能发电是解决人类面临能源问题的有效方法，太阳能发电主要有光伏发电和光热发电2种方式。无论光伏发电还是光热发电，都需要利用跟踪机构(太阳能电池板或聚光镜固定在跟踪机构上)实时跟踪太阳运动[1-3]。跟踪机构通常是一台自动化机械手。
基于跟踪机构的机械特性，可以将跟踪机构分为单轴跟踪机构和两轴跟踪机构。单轴跟踪机构结构简单，只能实现一个方向的太阳跟踪，跟踪效果相对较差。两轴跟踪机构能够实现2个方向的太阳运动跟踪，始终保证太阳光垂直入射到聚光器镜面上，实现太阳光的高效吸收，因此两轴跟踪机构在太阳能发电系统中得到了广泛的应用[4-6]。目前的两轴跟踪机构通常是基于串联机构设计的。一般串联两轴跟踪机构有一个竖直转轴和一个水平转轴，竖直转轴固定在地面上，用来支撑整个跟踪机构的载荷，并驱动跟踪机构完成太阳方位角的跟踪，水平转轴安装在竖直转轴顶端，实现太阳高度角的跟踪。虽然这种跟踪机构原理简单，但是刚度较低[7-8]。此外，由于大型太阳能聚光镜结构尺寸及重量大，再加上风沙等外载荷影响，往往需要设计一个重型跟踪机构以获得较高的刚度来支撑聚光镜。因此，需要安装大功率激励来驱动跟踪机构，导致系统不能以最优功率运行，能量消耗巨大。
针对传统两轴跟踪机构存在的刚度低和能量消耗大等问题，一些研究人员提出利用并联机构开发跟踪机构。相比串联机构，在负载相同的情况下并联机构有更小的重量，因此具有刚度高和惯性低的特点，如果利用并联机构开发太阳能聚光器跟踪机构将会克服串联跟踪机构的这些缺点[9-10]。索并联机构作为一种典型的并联机构，已经在FAST项目中得到了成功的应用，充分展现了并联机构惯量低的特点[11]。但是，现有的并联跟踪机构存在自由度数过多、工作空间达不到工程应用需求等问题[12-13]。
本文提出一种具有低能量消耗、大工作空间的RR-3UPS(R表示转动副，U表示虎克副，P表示移动副，S表示球副)驱动冗余并联二轴太阳能聚光器跟踪机构，并研究其动力学及能量消耗。在对跟踪机构进行运动学建模的基础上，利用虚功原理建立其动力学模型；规划跟踪机构跟踪太阳的运动轨迹，分析其跟踪太阳运动过程中的驱动力变化以及能量消耗。进一步，比较了该驱动冗余并联跟踪机构与其对应的非冗余RR-2UPS跟踪机构在相同运动条件下的驱动力以及能量消耗。
1 运动学分析1.1 跟踪机构描述图 1为本文提出的RR-3UPS冗余并联跟踪机构，由静平台、动平台、立柱、第一分支、第二分支和第三分支组成。立柱下端与静平台固定，上端通过两个串联的R副与动平台连接；第一、第二和第三分支均为主动支链，分别通过虎克铰和球副与静平台和动平台连接。该跟踪机构有3个驱动分支，但是具有2个转动自由度，因此为驱动冗余跟踪机构。
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| 图 1 RR-3UPS跟踪机构三维图 |
| 图选项 |
1.2 坐标系及坐标变换矩阵图 2为跟踪机构的运动学模型，首先以静平台与立柱交点为坐标原点O建立静坐标系O-XYZ，沿立柱竖直向上为Z轴，从O点指向第三分支的U副中心点Q3为Y轴，X轴由右手螺旋法则确定。然后，以立柱上的2个R副转轴的交点o为原点，建立动坐标系o-xyz，垂直于动平台平面向上为z轴，从o点指向第三分支球副中心点P3为y轴，x轴由右手螺旋法则确定。动坐标系o-xyz相对于静坐标系O-XYZ的旋转变换矩阵为
| ${\bf{ro}}{{\bf{t}}_{\rm{m}}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{\rm{c}}\alpha }&{ - {\rm{s}}\alpha {\rm{c}}\beta }&{{\rm{s}}\alpha {\rm{s}}\beta }\\{{\rm{s}}\alpha }&{{\rm{c}}\alpha {\rm{c}}\beta }&{ - {\rm{c}}\alpha {\rm{s}}\beta }\\0&{{\rm{s}}\beta }&{{\rm{c}}\beta }\end{array}} \right].$ | (1) |
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| 图 2 运动学模型 |
| 图选项 |
其中：α、β分别表示动平台绕z轴、x随动轴的旋转角度；cα、sα分别表示cosα和sinα；文中随后出现的正弦与余弦函数都将作类似简化。
最后以各个UPS支链U副的中心点Qi为坐标原点建立支链坐标系Qi-xiyizi，U副中心Qi指向球副中心Pi为yi轴，U副第二转动轴线方向向量为xi轴，zi轴由右手螺旋法则确定。第i分支支链坐标系Qi-xiyizi相对于静坐标系O-XYZ的旋转变换矩阵为
| $\begin{array}{*{20}{c}}{{\bf{ro}}{{\bf{t}}_i} = }\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{\rm{c}}{\zeta _i}{\rm{c}}{\gamma _i}}&{ - {\rm{c}}{\zeta _i}{\rm{s}}{\gamma _i}{\rm{c}}{\psi _i} + {\rm{s}}{\zeta _i}{\rm{s}}{\psi _i}}&{{\rm{c}}{\zeta _i}{\rm{s}}{\gamma _i}{\rm{s}}{\psi _i} + {\rm{s}}{\zeta _i}{\rm{c}}{\psi _i}}\\{{\rm{s}}{\gamma _i}}&{{\rm{c}}{\gamma _i}{\rm{c}}{\psi _i}}&{ - {\rm{c}}{\gamma _i}{\rm{s}}{\psi _i}}\\{ - {\rm{s}}{\zeta _i}{\rm{c}}{\gamma _i}}&{{\rm{s}}{\zeta _i}{\rm{s}}{\gamma _i}{\rm{c}}{\psi _i} + {\rm{c}}{\zeta _i}{\rm{s}}{\psi _i}}&{ - {\rm{s}}{\zeta _i}{\rm{s}}{\gamma _i}{\rm{s}}{\psi _i} + {\rm{c}}{\zeta _i}{\rm{c}}{\psi _i}}\end{array}} \right].}\end{array}$ | (2) |
1.3 运动学逆解基于图 2的运动学模型，可得矢量环约束方程
| ${\mathit{\boldsymbol{h}}_0} = {\mathit{\boldsymbol{b}}_i} + {q_i}{\mathit{\boldsymbol{w}}_i} - {\mathit{\boldsymbol{a}}_i},i = 1,2,3.$ | (3) |
根据式(3)可得第i分支长度:
| ${q_i} = \left\| {{\mathit{\boldsymbol{b}}_i} - {\mathit{\boldsymbol{h}}_0} - {\mathit{\boldsymbol{a}}_i}} \right\|,i = 1,2,3.$ | (4) |
| ${\mathit{\boldsymbol{w}}_i} = \frac{{{\mathit{\boldsymbol{b}}_i} - {\mathit{\boldsymbol{h}}_0} - {\mathit{\boldsymbol{a}}_i}}}{{{q_i}}},i = 1,2,3.$ | (5) |
| ${{\mathit{\boldsymbol{\dot a}}}_i} = {\bf{\dot ro}}{{\bf{t}}_{\rm{m}}}{{\mathit{\boldsymbol{a'}}}_i} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - {r_i}{\rm{c}}{\varphi _i}{\rm{c}}\alpha c\beta }&{{r_i}{\rm{c}}{\varphi _i}s\alpha {\rm{s}}\beta }\\{ - {r_i}{\rm{s}}{\varphi _i}{\rm{s}}\alpha c\beta }&{ - {r_i}{\rm{s}}{\varphi _i}c\alpha {\rm{s}}\beta }\\0&0\end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\dot \alpha }\\{\dot \beta }\end{array}} \right] = {\mathit{\boldsymbol{J}}_{{\rm{a}}i}}\dot X.$ | (6) |
对式求导可得
| $0 = {{\dot q}_i}{\mathit{\boldsymbol{w}}_i} + {q_i}{\omega _i} \times {\mathit{\boldsymbol{w}}_i} - {{\mathit{\boldsymbol{\dot a}}}_i},i = 1,2,3.$ | (7) |
| ${{\dot q}_i} = \mathit{\boldsymbol{w}}_i^{\rm{T}}{{\mathit{\boldsymbol{\dot a}}}_i} = {\mathit{\boldsymbol{J}}_i}\mathit{\boldsymbol{\dot X}},i = 1,2,3.$ | (8) |
然后把各驱动杆长度写成向量形式
| $\mathit{\boldsymbol{\dot q}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\dot q}_1}}\\{{{\dot q}_2}}\\{{{\dot q}_3}}\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{\mathit{\boldsymbol{J}}_1}}\\{{\mathit{\boldsymbol{J}}_2}}\\{{\mathit{\boldsymbol{J}}_3}}\end{array}} \right]\mathit{\boldsymbol{\dot X}} = \mathit{\boldsymbol{J\dot X}}.$ | (9) |
| ${\mathit{\boldsymbol{\omega }}_i} = \frac{1}{{{q_i}}}{\mathit{\boldsymbol{w}}_i} \times {{\mathit{\boldsymbol{\dot a}}}_i} = {\mathit{\boldsymbol{J}}_{\omega i}}\mathit{\boldsymbol{\dot X}},i = 1,2,3.$ | (10) |
| $\left[ {{\mathit{\boldsymbol{w}}_i} \times } \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}0&{ - {w_{iz}}}&{{w_{iy}}}\\{{w_{iz}}}&0&{ - {w_{ix}}}\\{ - {w_{iy}}}&{{w_{ix}}}&0\end{array}} \right].$ |
 |
| 图 3 UPS分支模型 |
| 图选项 |
两条支链角速度相同，而速度不同。首先分析第一支链的质心Ti，在静坐标系下可表示为
| ${\mathit{\boldsymbol{t}}_i} = {t_i}{\mathit{\boldsymbol{w}}_i},i = 1,2,3.$ | (11) |
| ${\mathit{\boldsymbol{v}}_{{\rm{t}}i}} = {t_i}{\mathit{\boldsymbol{w}}_i} \times {\mathit{\boldsymbol{\omega }}_i} = {\mathit{\boldsymbol{J}}_{{\rm{t}}i}}\mathit{\boldsymbol{\dot X}},i = 1,2,3.$ | (12) |
接下来分析第二支链质心Si，在静坐标系下可表示为
| ${\mathit{\boldsymbol{s}}_i} = \left( {{q_i} - {s_i}} \right){\mathit{\boldsymbol{w}}_i},i = 1,2,3.$ | (13) |
| ${\mathit{\boldsymbol{v}}_{{\rm{s}}i}} = {{\dot q}_i}{\mathit{\boldsymbol{w}}_i} + \left( {{q_i} - {s_i}} \right){\mathit{\boldsymbol{w}}_i} \times {\mathit{\boldsymbol{\omega }}_i} = {\mathit{\boldsymbol{J}}_{{\rm{s}}i{\rm{v}}}}\mathit{\boldsymbol{\dot X}},i = 1,2,3.$ | (14) |
第一、第二支链角速度与对应分支角速度相同
| ${\mathit{\boldsymbol{\omega }}_{{\rm{t}}i}} = {\mathit{\boldsymbol{\omega }}_{{\rm{s}}i}} = {\mathit{\boldsymbol{\omega }}_i},i = 1,2,3.$ | (15) |
最后联立式(12)和式(15)可以得到第一支链广义速度
| ${\mathit{\boldsymbol{v}}_{{\rm{t}}i}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\mathit{\boldsymbol{\dot t}}}_i}}\\{{\mathit{\boldsymbol{\omega }}_{{\rm{t}}i}}}\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{\mathit{\boldsymbol{J}}_{{\rm{t}}i{\rm{v}}}}}\\{{\mathit{\boldsymbol{J}}_{{\rm{ \mathsf{ ω} }}i}}}\end{array}} \right]\mathit{\boldsymbol{\dot X}} = {\mathit{\boldsymbol{J}}_{{\rm{t}}i}}\mathit{\boldsymbol{\dot X}},i = 1,2,3.$ | (16) |
对式求导得到第i分支第一支链广义加速度映射方程
| ${{\mathit{\boldsymbol{\dot v}}}_{{\rm{t}}i}} = {\mathit{\boldsymbol{J}}_{{\rm{t}}i}}\mathit{\boldsymbol{\ddot X + }}{{\mathit{\boldsymbol{\dot J}}}_{{\rm{s}}i}}\mathit{\boldsymbol{\dot X}},i = 1,2,3.$ | (17) |
| $\begin{array}{*{20}{c}}{{\mathit{\boldsymbol{v}}_{{\rm{s}}i}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\mathit{\boldsymbol{\dot s}}}_i}}\\{{\mathit{\boldsymbol{\omega }}_{{\rm{s}}i}}}\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{\mathit{\boldsymbol{J}}_{{\rm{s}}i{\rm{v}}}}}\\{{\mathit{\boldsymbol{J}}_{{\rm{ \mathsf{ ω} }}i}}}\end{array}} \right]\mathit{\boldsymbol{\dot X}} = {\mathit{\boldsymbol{J}}_{{\rm{s}}i}}\mathit{\boldsymbol{\dot X}},}\\{{{\mathit{\boldsymbol{\dot v}}}_{{\rm{s}}i}} = {\mathit{\boldsymbol{J}}_{{\rm{s}}i}}\mathit{\boldsymbol{\ddot X + }}{{\mathit{\boldsymbol{\dot J}}}_{{\rm{s}}i}}\mathit{\boldsymbol{\dot X}},i = 1,2,3.}\end{array}$ | (18) |
2.2 动力学模型使用虚功原理对机构的动力学进行分析，首先分析动平台、第一、二、三分支、驱动部分的广义力，然后建立虚功方程，从而求解得到驱动力。在实际应用中，太阳能聚光镜与动平台固联，可按一个刚体分析，作用在点o的广义力表示如下：
| ${\mathit{\boldsymbol{Q}}_{\rm{s}}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{\mathit{\boldsymbol{f}}_{\rm{s}}}}\\{{\mathit{\boldsymbol{n}}_{\rm{s}}}}\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - {m_{\rm{s}}}{{\mathit{\boldsymbol{\dot v}}}_{\rm{s}}} + {m_{\rm{s}}}g + {\mathit{\boldsymbol{f}}_{\rm{d}}}}\\{ - {\mathit{\boldsymbol{I}}_{\rm{s}}}\mathit{\boldsymbol{\dot \omega }} - \mathit{\boldsymbol{\omega }} \times \left( {{\mathit{\boldsymbol{I}}_{\rm{s}}}\mathit{\boldsymbol{\omega }}} \right) + {\mathit{\boldsymbol{r}}_{{\rm{sc}}}} \times \left( {{m_{\rm{s}}}g} \right) + {\mathit{\boldsymbol{n}}_{\rm{d}}}}\end{array}} \right].$ | (19) |
作用在第i分支第一支链质心上的力和力矩为
| $\begin{array}{*{20}{c}}{{\mathit{\boldsymbol{Q}}_{{\rm{t}}i}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{\mathit{\boldsymbol{f}}_{{\rm{t}}i}}}\\{{\mathit{\boldsymbol{n}}_{{\rm{t}}i}}}\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - {m_{{\rm{t}}i}}{{\mathit{\boldsymbol{\dot v}}}_{{\rm{t}}i{\rm{c}}}} + {m_{{\rm{t}}i}}\mathit{\boldsymbol{g}}}\\{ - {\mathit{\boldsymbol{I}}_{{\rm{t}}i{\rm{c}}}}{{\mathit{\boldsymbol{\dot \omega }}}_{{\rm{t}}i}} - {\mathit{\boldsymbol{\omega }}_{{\rm{t}}i}} \times \left( {{\mathit{\boldsymbol{I}}_{{\rm{t}}i{\rm{c}}}}{\mathit{\boldsymbol{\omega }}_{{\rm{t}}i}}} \right) + {\mathit{\boldsymbol{r}}_{{\rm{t}}i{\rm{c}}}} \times \left( {{m_{{\rm{t}}i}}\mathit{\boldsymbol{g}}} \right)}\end{array}} \right]}\\{\left( {i = 1,2,3} \right).}\end{array}$ | (20) |
同理可得，作用在第二支链质心上的力和力矩为Qsi = [fsi nsi]T，形式与第一支链相同，不展开介绍，其中msi、rsic、Isic分别表示第二支链的质量、质心位置和转动惯量。
最后分析驱动部分，设3个杆的驱动力为F1、F2、F3，可得广义驱动力
| ${\mathit{\boldsymbol{Q}}_{\rm{q}}} = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{F_1}}&{{F_2}}&{{F_3}}\end{array}} \right]^{\rm{T}}}.$ | (21) |
| $\left( {\mathit{\boldsymbol{v}}_{\rm{s}}^{\rm{T}}{\mathit{\boldsymbol{Q}}_{\rm{s}}} + \sum\limits_{i = 1,2,3} {\mathit{\boldsymbol{v}}_{{\rm{t}}i{\rm{c}}}^{\rm{T}}{\mathit{\boldsymbol{Q}}_{{\rm{t}}i}}} + \sum\limits_{i = 1,2,3} {\mathit{\boldsymbol{v}}_{{\rm{s}}i{\rm{c}}}^{\rm{T}}{\mathit{\boldsymbol{Q}}_{{\rm{s}}i}}} + {{\mathit{\boldsymbol{\dot q}}}^{\rm{T}}}{\mathit{\boldsymbol{Q}}_{\rm{q}}}} \right){\rm{d}}t = 0.$ | (22) |
将式(9)、式(16)和式(18)—(21)，代入式(22)可得
| ${{\mathit{\boldsymbol{\dot X}}}^{\rm{T}}}\left( {\mathit{\boldsymbol{J}}_{\rm{S}}^{\rm{T}}{\mathit{\boldsymbol{Q}}_{\rm{s}}} + \sum\limits_{i = 1,2,3} {\mathit{\boldsymbol{J}}_{{\rm{t}}i}^{\rm{T}}{\mathit{\boldsymbol{Q}}_{{\rm{t}}i}}} + \sum\limits_{i = 1,2,3} {\mathit{\boldsymbol{J}}_{{\rm{s}}i}^{\rm{T}}{\mathit{\boldsymbol{Q}}_{{\rm{s}}i}}} + {\mathit{\boldsymbol{J}}^{\rm{T}}}{\mathit{\boldsymbol{Q}}_{\rm{q}}}} \right) = 0.$ | (23) |
| ${\mathit{\boldsymbol{Q}}_{\rm{q}}} = - {\left( {{\mathit{\boldsymbol{J}}^{\rm{T}}}} \right)^ + }\left( {\mathit{\boldsymbol{J}}_{\rm{S}}^{\rm{T}}{\mathit{\boldsymbol{Q}}_{\rm{s}}} + \sum\limits_{i = 1,2,3} {\mathit{\boldsymbol{J}}_{{\rm{t}}i}^{\rm{T}}{\mathit{\boldsymbol{Q}}_{{\rm{t}}i}}} + \sum\limits_{i = 1,2,3} {\mathit{\boldsymbol{J}}_{{\rm{s}}i}^{\rm{T}}{\mathit{\boldsymbol{Q}}_{{\rm{s}}i}}} } \right).$ | (24) |
太阳的赤纬角，指太阳直射地球的直射点的纬度，可近似计算[13]太阳的赤纬角如下：
| $\delta = - 23.45\cos \left( {\frac{{365\left( {n + 10} \right) \times 2{\rm{ \mathsf{ π} }}}}{{365}}} \right).$ | (25) |
地球每小时转动15°，以逆时针为正，正午时刻为0°，则太阳的时角为
| $H = 15\left( {12 - h} \right).$ | (26) |
太阳的单位方向向量在天球坐标系中表示如下:
| $\begin{array}{*{20}{c}}{{\mathit{\boldsymbol{V}}_{{\rm{sun}}}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{\rm{c}}H}&{ - {\rm{s}}H}&0\\{{\rm{s}}H}&{{\rm{c}}H}&0\\0&0&1\end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1&0&0\\0&{{\rm{c}}\delta }&{ - {\rm{s}}\delta }\\0&{{\rm{s}}\delta }&{{\rm{c}}\delta }\end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}0\\1\\0\end{array}} \right] = }\\{{{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - {\rm{s}}H{\rm{c}}\delta }&{{\rm{c}}H{\rm{c}}\delta }&{{\rm{s}}\delta }\end{array}} \right]}^{\rm{T}}}.}\end{array}$ | (27) |
| ${\mathit{\boldsymbol{V}}_{{\rm{bj}}}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1&0&0\\0&{{\rm{c}}\mathit{\Phi }}&{ - {\rm{s}}\mathit{\Phi }}\\0&{{\rm{s}}\mathit{\Phi }}&{{\rm{c}}\mathit{\Phi }}\end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}0\\1\\0\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}0\\{{\rm{c}}\mathit{\Phi }}\\{{\rm{s}}\mathit{\Phi }}\end{array}} \right].$ | (28) |
两向量相乘可以得到高度角的余弦
| ${\rm{c}}\theta = {\mathit{\boldsymbol{V}}_{{\rm{bj}}}} \times {\mathit{\boldsymbol{V}}_{{\rm{sun}}}} = {\rm{c}}\mathit{\Phi }{\rm{c}}\mathit{H}{\rm{c}}\delta + {\rm{s}}\mathit{\Phi }{\rm{s}}\delta .$ | (29) |
| $\left\{ \begin{array}{l}{h_{\min }} = - \frac{{\arccos \left( { - s\mathit{\Phi s}\delta \mathit{/}{\rm{c}}\mathit{\Phi c}\delta } \right)}}{{15}} + 12,\\{h_{\max }} = \frac{{\arccos \left( { - s\mathit{\Phi s}\delta \mathit{/}{\rm{c}}\mathit{\Phi c}\delta } \right)}}{{15}} + 12.\end{array} \right.$ | (30) |
3.2 跟踪机构旋转角度太阳能聚光器跟踪机构的角度在天球坐标系中应该如下计算。首先绕X轴旋转－(90°－Φ)，使得变换后的坐标系与静平台坐标系方向一致。然后完成并联机构的转动，绕Z轴旋转α，绕X轴旋转β，得到太阳能跟踪机构的方位角。
| $\begin{array}{*{20}{c}}{{\mathit{\boldsymbol{V}}_{{\rm{PKM}}}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1&0&0\\0&{{\rm{s}}\mathit{\Phi }}&{ {\rm{c}}\mathit{\Phi }}\\0&{{-\rm{c}}\mathit{\Phi }}&{{\rm{s}}\mathit{\Phi }}\end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{\rm{c}}\alpha }&{ - {\rm{s}}\alpha }&0\\{{\rm{s}}\alpha }&{{\rm{c}}\alpha }&0\\0&0&1\end{array}} \right] \cdot }\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1&0&0\\0&{{\rm{c}}\beta }&{ - {\rm{s}}\beta }\\0&{{\rm{s}}\beta }&{{\rm{c}}\beta }\end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}0\\0\\1\end{array}} \right] = }\\{{{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{\rm{s}}\alpha {\rm{s}}\beta }&{ - {\rm{s}}\mathit{\Phi }{\rm{c}}\alpha {\rm{s}}\beta + {\rm{c}}\mathit{\Phi }{\rm{c}}\beta }&{{\rm{c}}\mathit{\Phi }{\rm{c}}\alpha {\rm{s}}\beta + {\rm{s}}\mathit{\Phi }{\rm{c}}\beta }\end{array}} \right]}^{\rm{T}}}.}\end{array}$ | (31) |
| $\left\{ \begin{array}{l}\alpha = \arctan \frac{{{\rm{s}}H{\rm{s}}\delta }}{{{\rm{c}}H{\rm{c}}\delta {\rm{s}}\mathit{\Phi } - {\rm{s}}\delta {\rm{c}}\mathit{\Phi }}},\\\beta = \arccos \left( {{\rm{c}}H{\rm{c}}\delta {\rm{c}}\mathit{\Phi } + {\rm{c}}H{\rm{s}}\delta } \right).\end{array} \right.$ | (32) |
| $\begin{array}{*{20}{c}}{\dot \alpha = \frac{{{\rm{d}}\alpha }}{{{\rm{d}}H}}\dot H,\;\;\;\ddot \alpha = \frac{{{\rm{d}}\alpha }}{{{\rm{d}}H}}\ddot H + \frac{{{{\rm{d}}^2}\alpha }}{{{\rm{d}}{H^2}}}\dot H,}\\{\dot \beta = \frac{{{\rm{d}}\beta }}{{{\rm{d}}H}}\dot H,\;\;\;\ddot \beta = \frac{{{\rm{d}}\beta }}{{{\rm{d}}H}}\ddot H + \frac{{{{\rm{d}}^2}\beta }}{{{\rm{d}}{H^2}}}\dot H.}\end{array}$ | (33) |
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| 图 4 跟踪机构运动轨迹 |
| 图选项 |
4 能量消耗4.1 驱动力仿真选取图 4中春分日的太阳轨迹为跟踪轨迹，代入运动学逆解式中，根据表 1中提供的参数，可以求出每个驱动杆的杆长变化，如图 5所示。可以发现，第三分支q3长度变化较小，而第一、第二分支q1、q2长度变化较大，且对称分布。
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| 图 5 驱动杆长度变化 |
| 图选项 |
接下来将轨迹代入动力学逆解式中，可得冗余机构和非冗余机构的驱动力对比，如图 6所示。为对比冗余驱动机构与非冗余机构的性能，去除本文研究机构的第三分支，使之成为二自由度二驱动的非冗余机构。两者最大驱动力都达到了80 N，但冗余机构三个分支的平均驱动力分别为30、30、11 N，而非冗余机构两分支的平均驱动力均为36 N，可见冗余机构降低了机构的平均驱动力。
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| 图 6 驱动力对比 |
| 图选项 |
表 1 机构尺寸及动力学参数表
| 参数 | 参数值 |
| r1、r2、r3/ mm | 300 |
| R1、R2/ mm | 600 |
| R3/ mm | 400 |
| θ1、φ1/(°) | －150 |
| θ2、φ2/(°) | －30 |
| θ3、φ3/(°) | 90 |
| h0、h1、h2/ mm | 600 |
| h3/ mm | 0 |
| t1、t2、t3/ mm | 200 |
| s1、s2、s3/ mm | 200 |
| mm/ kg | 70 |
| mt1、mt2、mt3/ kg | 11 |
| ms1 、ms2 、ms3 / kg | 6 |
| r's1c、r's2c、r's3c / mm | [200 0 0] |
| r's1c、r's2c、r's3c / mm | [200 0 0] |
| I'm/(kg·m2) | diag(11, 11, 1.0) |
| I't1、I't2、I't3 /(kg·m2) | diag(0.2, 2, 0.2) |
| I's1、I's2、I's3 /(kg·m2) | diag(0.1, 1, 0.1) |
表选项
4.2 功率消耗仿真每个驱动副的机械功率计算如下：
| ${p_i} = {F_i} \cdot {v_i}.$ | (34) |
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| 图 7 机械功率对比 |
| 图选项 |
图 7中存在机械功率为负的情况，表示重力做功将势能转变为动能，驱动副做负功。然而实际工况下电机功率非负，应当考虑电机的热功率。假设电机的力矩常数为KM，绕子电阻为R，当电机力矩为T时，消耗的功率表示如下：
| ${p_{{\rm{t}}i}} = {\left( {\frac{{{T_i}}}{{{K_{\rm{M}}}}}} \right)^2}R.$ | (35) |
| ${T_i} = {F_i} \cdot d/2{\rm{ \mathsf{ π} }}.$ | (36) |
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| 图 8 热功率对比 |
| 图选项 |
综合考虑机械功率和热功率，得到机构总功率如图 9所示。可以发现，正午前后冗余机构的功率变化比较平滑，而非冗余机构会出现功率的峰值。功率曲线对时间积分可以得到总的功率消耗，冗余机构为62.1 kJ，非冗余机构为79.8 kJ。冗余机构在降低平均力矩的同时，也降低了整体的功率消耗。
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| 图 9 总功率对比 |
| 图选项 |
5 结论本文提出了一种驱动冗余并联式太阳能聚光器跟踪机构，利用虚功原理建立其动力学模型，比较了该驱动冗余并联跟踪机构与其对应的非冗余跟踪机构在相同运动条件下的驱动力以及能量消耗。仿真结果表明：驱动冗余并联跟踪机构的平均驱动力小于对应的非冗余跟踪机构。能量消耗方面，虽然冗余跟踪机构的机械能消耗比其对应的非冗余跟踪机构略大，但是综合考虑机械能和热能，驱动冗余跟踪机构的能耗更低。因此，本文提出的驱动冗余跟踪机构具有小驱动力、低能耗的特点。下一步将在仿真的基础上进行尺寸优化，根据优化尺寸设计样机，通过实验进一步验证该冗余并联跟踪机构的特点。
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