, 缪柏其 中国科学技术大学管理学院, 合肥 230026
2019年5月29日 收稿; 2019年7月10日 收修改稿
基金项目: 国家自然科学基金（71671171）资助
通信作者: 王天雄，E-mail:wangtix@mail.ustc.edu.cn
摘要: 金融市场之间相关性的研究一直备受重视。金融危机等极端事件的发生增加了市场之间的尾部相关性。TailCoR模型是一种新的度量尾部相关性的方法，它将相关性分解为线性和非线性两种成分，该模型在小样本下表现良好。为刻画金融市场之间的动态相关性，提出动态TailCoR模型，并基于动态TailCoR模型将相关性分解为动态线性和动态非线性相关系数，其中动态线性相关系数基于DCC-GARCH模型进行估计，将动态TailCoR除以动态线性相关系数的余下部分定义为动态非线性相关系数。最后，基于动态TailCoR模型研究国内4家大型银行股价收益率的尾部相关性，发现尾部相关性在两个时间段出现显著上升，分别是2008年和2015—2016年初，并且尾部相关性的上升主要是由非线性相关性引起的。本文提出的方法能够用于动态非线性相关性的度量，可在组合投资和风险度量等方面获得应用。
关键词: 尾部相关性非线性相关TailCoR模型银行
Dynamic TailCoR model and empirical research in financial markets
YE Wuyi, WANG Tainxiong
, MIAO Baiqi School of Management, University of Science and Technology of China, Hefei 230026, China
Abstract: The research on the correlation between financial markets has been valued by scholars. The occurrence of extreme events such as financial crisis increases the tail correlation between markets. The TailCoR model is a new method for measuring the tail correlation, which decomposes the correlation into linear and nonlinear components and performs well in small samples. In order to describe the dynamic correlation between financial markets, we propose dynamic TailCoR model, and decompose the correlation into dynamic linear and nonlinear correlation coefficients based on the dynamic TailCoR model. The dynamic linear correlation coefficient is estimated based on DCC-GARCH. The remainder of the dynamic TailCoR divided by the dynamic linear correlation coefficient is defined as the dynamic nonlinear correlation coefficient. Finally, based on the dynamic TailCoR model, the tail correlation of the stock returns of the four large domestic banks is studied. It is found that the tail correlations increase significantly in two periods, namely, in 2008 and from 2015 to early 2016, and the tail correlation rise is mainly caused by the nonlinear correlation. The research methods proposed in this paper give dynamic nonlinear correlation metrics, which can be well applied in investment and risk measurement.
Keywords: tail correlationnonlinear correlationTailCoR modelbanks
经过2007—2010年的金融危机和2009—2012年的欧债危机，越来越多的****开始重视极端事件和尾部相关的研究。尾部相关的增加可能是由于线性相关性(当皮尔逊相关系数不等于0时)，也可能是由于一些非线性相关性引起的。关于尾部相关性的度量，学术研究涉及较多，但是对于其中的线性相关性和非线性相关性分解的研究并不多见。Poon等[1]提出，相比于线性不相关的投资组合，非线性相关的证券投资组合有着更厚的尾部分布。因此投资决策不仅取决于投资者的风险偏好，也取决于投资者对线性和非线性风险的偏好。
经典统计学通过线性相关系数刻画相关性，然而非线性相关在金融研究中十分常见，并且往往在危机时快速上升，引发严重后果。一般情况可以通过Granger因果检验对非线性相关关系进行研究，但由于无法对相关性的强弱给出准确的度量，不能适用于一些定量的风控模型。
近些年的研究中，****更加关注相关系数的动态变化，DCC-GARCH是一种常用的研究动态线性相关系数的模型。DCC-GARCH模型从ARCH模型等一步步发展过来，Engle[2]提出ARCH模型，对时间序列的条件方差进行建模，历史的随机扰动项和当前的条件方差符合函数关系，这一模型对普遍存在异方差的金融时间序列建模效果较好。Bollerslev[3]在此基础上提出更一般的GARCH模型，GARCH模型中的条件方差是过去条件方差和随机扰动项的函数。随后Engle[4]提出DCC-GARCH模型，简化随时间变动的条件协方差矩阵的计算方法，并且得到不同变量之间动态时变的相关系数。
在尾部相关性的研究中，一个经常使用的方法是使用Copula模型和极值理论。该方法主要分为两步，第1步是假设分布的尾部渐近收敛速度为指数形式(边缘分布和联合分布都要满足)，第2步是使用极值Copula模型。Copula函数不限定边缘分布的形式，可以将用于反映相依关系的Copula函数和边缘分布分开研究，并可以研究变量之间的非线性、非对称的相关关系。Embrechts等[5]将Copula模型引入金融领域，迅速得到应用。Patton[6]构建动态Copula模型，基于ARMA模型的思想，假定Copula模型中的参数满足类似ARMA模型的演化形式。Rodríguez等[7]使用Copula模型，对各国股票市场指数之间的相关性进行研究。Copula模型虽然有以上诸多优点，但依然需要认识到它的局限性，Straetmans等[8]指出Copula在构建模型的时候需要假定变量服从于某种未知的分布，并且在估计时依赖对这个分布的参数估计，这不可避免地需要进行复杂的最优化，并且有些情形难以计算，造成一定的局限性。国内也有很多****对尾部相关性的理论和应用进行研究。史道济和关静[9]利用Logistic条件模型和GEV条件模型分析1992—1999年沪深股市日内收盘价的对数利润数据。韦艳华和张世英[10]建立Copula-GARCH模型，对上海证券交易所各种指数收益率进行条件相关性研究。张明恒[11]利用Copula联结函数、混合分布和Jacob矩阵，构造多金融资产风险价值的Copula计量方法。
Ricci和Veredas[12]提出TailCoR模型，提供了研究尾部相关关系的一个新思路。TailCoR模型解决了Copula模型的一些局限性，比如不依赖于特定的分布，不需要最优化，在小样本下的性质表现良好。除刻画尾部相关性外，TailCoR模型在椭圆分布的假定下，可以直接将模型中的尾部相关系数分解成线性和非线性两部分(线性部分和非线性部分两个因式的乘积组成完整的尾部相关系数)，这有利于分析尾部相关性变化的原因，比如分析尾部相关性增加是由线性还是非线性相关性的上升引起的。文献[12]基于TailCoR模型分析美国和欧洲的大型商业银行股价收益率的尾部相关性，发现尾部相关性在2008年金融危机和欧债危机期间上升，更具体地，在2008年金融危机期间，线性和非线性相关性都有所上升，而在欧债危机期间，主要是非线性相关性的上升导致整体尾部相关性的上升。Geraci等[13]则基于TailCoR模型，研究卖空与股价变动的相关性。
TailCoR模型假定尾部相关系数是静态的，不随时间变化。要想观察TailCoR的动态变化，可以基于滑窗(比如一个季度)的方法进行刻画，在每个窗宽内得到一个TailCoR值，观察其随时间的变化趋势。由于TailCoR计算过程中，需要计算样本分位数，这就导致窗宽不能取得过短，因此基于滑窗的TailCoR模型对尾部相关性的刻画就不是很准确，而动态TailCoR模型可以解决这个问题。目前还没有****基于TailCoR模型研究国内金融资产的尾部相关性。本文以TailCoR模型为基础，构建动态TailCoR模型，并进一步将尾部相关性分解成动态线性和非线性成分。在实证研究中，分别使用静态TailCoR模型和改进后的动态TailCoR模型，研究国内4家银行股价收益率之间的相关性，并分析尾部相关性随时间的变化趋势。
1 动态TailCoR模型的构建与尾部相关性的度量1.1 TailCoR模型在介绍TailCoR具体的计算公式之前，首先对TailCoR进行直观的解释。假设随机变量Xj和Xk在标准化后皮尔逊相关系数为正，那么点(Xj, Xk)出现在第1和第3象限的概率更高。存在一条穿过原点的直线θ=π/4，将所有的样本点投影到这条直线上，产生一个新的随机变量Zjk。直观理解，当两个随机变量正相关性很强，投影点会分散在整条直线上。而如果两个随机变量相关性不强，则投影点会集中在0附近。因此，可以用Zjk的上分位数和下分位数的差刻画两个随机变量的相关性强弱。
另外Zjk的上下分位数的差与尾部相关性也有关系。因为原点附近的数据对于分位数差没有影响，而尾部的数据对于分位数的差却有重要影响。图 1将上述过程展现在坐标系中，下面给出TailCoR模型的具体构建过程。
Fig. 1
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| 图 1 TailCoR模型图示 Fig. 1 Diagrammatic representation of TailCoR 图 1 TailCoR模型图示 Fig. 1 Diagrammatic representation of TailCoR --> | |
假设Xt, t=1, 2, …, T是随机向量，维度是N，Xjt和Xkt是其中两个分量，下面给出Xjt和Xkt的尾部相关的度量过程。首先将Xjt进行处理，得到
| ${Y_{jt}} = \frac{{{X_{jt}} - Q_{0.5}^j}}{{{\rm{IQR}}_\xi ^j}},$ | (1) |
将(Yjt, Ykt)在直线θ=φ上投影，得到一个新的随机变量
| $Z_t^{jk} = {Y_{jt}}\cos \varphi + {Y_{kt}}\sin \varphi .$ | (2) |
| ${\rm{IQR}}_\tau ^{jk} = Q_\tau ^{jk} - Q_{1 - \tau }^{jk},$ | (3) |
于是TailCoR定义如下
| ${\rm{ TailCoR }}_\tau ^{jk}: = {w_g}(\tau ,\xi ){\rm{ IQR }}_\tau ^{jk}{\rm{ , }}$ | (4) |
关于TailCoR模型，有如下几个性质:
1) 由定义得到，当Xjt和Xkt相互独立且服从正态分布时，wg(τ, ξ)是IQRτjk的倒数。通过该方法可以得到不同参数(τ, ξ)下的wg(τ, ξ)。文献[12]给出了常用的wg(τ, ξ)表。
2) 类似于皮尔逊相关系数，输入两个离散时间序列样本，可以得到一个TailCoR数值，表示尾部相关性。值得注意的是，TailCoR并不在[-1, 1]之间，当然也不以0为中心。实际上，由式(4)计算出的TailCoR大于1，且呈倒钟型分布。文献[12]基于蒙特卡洛模拟给出了TailCoR在不同分布下的形状。
3) 如果Xjt和Xkt服从椭圆分布(概率等值线是椭圆形状，椭圆分布十分广泛，多元正态分布、多元学生t分布、多元指数分布等都是椭圆分布)，那么TailCoR有一些性质，文献[12]进行了严格的证明，下面仅给出结论。
首先，在椭圆分布的假定下，可以证明Xjt和Xkt正相关时，最佳投影线是第1象限角平分线θ=π/4，负相关时为θ=3π/4。
其次，TailCoR可以分解成线性和非线性两部分，如下：
| ${\rm{ TailCoR }}_\tau ^{jk} = {w_g}(\tau ,\xi )w(\tau ,\xi ,\alpha )\sqrt {1 + \mid {\rho _{jk}}\mid } .$ | (5) |
TailCoR可以看成两个因式相乘，其中一个因式是
容易看出TailCoR模型有以下几个优点。第一，TailCoR计算过程简单，不涉及复杂的方程求解和最优化；第二，在椭圆分布的假定下，TailCoR可以分解为线性和非线性两部分，便于分析TailCoR变化是线性相关性上升导致的还是非线性相关性导致的；第三，模型并没有假定原数据的分布情况，适用面更广。
在TailCoR模型的计算过程中，需要对式(3)中取投影后的随机变量Ztjk的分位数进行计算。如果基于分位数回归模型对分位数进行估计，则分位数仍然随着外生解释变量而变化，由此可以得到动态TailCoR的估计。
1.2 非参数分位点回归模型为了对TailCoR进行动态建模，需要基于非参数分位点回归模型对分位点进行动态估计。假定解释变量是一维，被解释变量和解释变量之间满足下面的方程
| ${Y_i} = g\left( {{X_i}} \right) + {u_{\xi i}},$ | (6) |
| ${Q_\xi }(Y\mid X = x) = g(x).$ | (7) |
| $\hat a = {\min _a}\left\{ {\sum\nolimits_{i = 1}^n {{\rho _\xi }} \left( {{Y_i} - a} \right){K_h}\left( {{X_i} - x} \right)} \right\},$ | (8) |
最小化式(8)所得到的a与解释变量X=x相关，记为
1.3 动态TailCoR模型将式(2)中的Ztjk作为被解释变量，引入外生变量Rt作为解释变量，进行非参数分位数回归
| ${Z_t^{jk} = {g_1}\left( {{R_t}} \right) + {u_\tau },}$ | (9) |
| ${Z_t^{jk} = {g_2}\left( {{R_t}} \right) + {u_{1 - \tau }}.}$ | (10) |
基于非参数分位数回归模型可以得到分位数的非参数估计
| ${\hat Q_\tau ^{jk}\left( {Z_t^{jk}} \right) = {{\hat g}_1}\left( {{R_t}} \right),}$ | (11) |
| ${\hat Q_{1 - \tau }^{jk}\left( {Z_t^{jk}} \right) = {{\hat g}_2}\left( {{R_t}} \right).}$ | (12) |
| ${{\rm{IQR}}_\tau ^{jk}\left( {{R_t}} \right) = {{\hat g}_1}\left( {{R_t}} \right) - {{\hat g}_2}\left( {{R_t}} \right),}$ | (13) |
| ${{\mathop{\rm TailCoR}\nolimits} _\tau ^{jk}\left( {{R_t}} \right) = {w_g}(\tau ,\xi ){\mathop{\rm IQR}\nolimits} _\tau ^{jk}\left( {{R_t}} \right).}$ | (14) |
动态TailCoR模型可以依照式(5)进行分解，需要计算出线性和非线性相关性其中一个。Engle等[4]提出DCC-GARCH模型，简化了随时间变动的条件协方差矩阵的估计方法，并且得到了不同变量之间动态时变相关系数。基于DCC-GARCH模型可以得到动态线性相关系数的估计，进而得到动态非线性相关系数，下面给出具体的过程。
假定有k个资产，信息假定为独立同分布的白噪声过程，服从均值为0、协方差矩阵为Ht的多元正态分布，模型设定如下：
| ${{r_t} = {\mu _t} + {e_t},}$ | (15) |
| ${{e_t}\mid {\Omega _t} \backsim N\left( {{\mathit{\boldsymbol{0}}},{\mathit{\boldsymbol{H}}_t}} \right),}$ | (16) |
| ${{\mathit{\boldsymbol{H}}_t} = {\mathit{\boldsymbol{D}}_t}{\mathit{\boldsymbol{R}}_t}\mathit{\boldsymbol{D}}_t^\prime .}$ | (17) |
| ${\mathit{\boldsymbol{R}}_t} = {\left( {\mathit{\boldsymbol{Q}}_t^*} \right)^{ - 1}}{\mathit{\boldsymbol{Q}}_t}{\left( {\mathit{\boldsymbol{Q}}_t^*} \right)^{ - 1}},$ | (18) |
| $\begin{array}{*{20}{c}}{{\mathit{\boldsymbol{Q}}_t} = \left( {1 - \sum\limits_{m = 1}^M {{\alpha _m}} - \sum\limits_{n = 1}^N {{\mathit{\boldsymbol{\beta }}_n}} } \right)\mathit{\boldsymbol{\bar Q}} + }\\{\sum\nolimits_{m = 1}^M {{\alpha _m}} \left( {{\varepsilon _{t - m}}\varepsilon _{t - m}^\prime } \right) + \sum\limits_{n = 1}^N {{\beta _n}} {\mathit{\boldsymbol{Q}}_{t - n}}.}\end{array}$ | (19) |
DCC-GARCH模型可以通过两步来估计：第1步，估计每一个资产的单变量GARCH模型的参数；第2步，使用第1步中的标准化残差来估计动态条件相关系数。基于DCC-GARCH模型估计出相关系数矩阵
| $w(\tau ,\xi ,\alpha ,t) = \frac{{{\mathop{\rm IQR}\nolimits} _\tau ^{jk}\left( {{S_t}} \right)}}{{\sqrt {1 + \left| {{{\hat \rho }_{jk,t}}} \right|} }}.$ | (20) |
2 实证研究2.1 数据和描述性分析银行业务同质性较强，危机期间走势更加趋同，本文对银行股价收益率的相关性进行研究。样本方面，选择工商银行、中国银行、建设银行和招商银行，样本时间段为2008年1月2日到2018年6月29日(共2 553 d)。
本文希望观察尾部相关性在极端行情下的变化，所以希望样本覆盖较长区间，农业银行上市时间较晚，并不符合这一条件。选择招商银行的原因，除上市时间较长以外，股份制银行和4大行在业务模式、投资者类型等方面存在区别，有必要研究在极端市场环境下，股份制银行与4大行股价之间相关性如何变化。
在研究动态TailCoR模型时，本文引入上证综合指数的月度历史波动率作为解释变量，具体计算方法将在动态TailCoR的计算中进行介绍。
按照以下步骤进行实证研究：首先，进行描述性统计；其次，计算整个样本范围内的静态TailCoR以及相应的线性和非线性部分；再次，计算分段TailCoR，窗口宽度设定为半年，计算每个时间段的TailCoR及其线性和非线性部分，观察尾部相关性随时间的变化；最后，使用实际波动率作为外生变量计算出动态TailCoR，基于椭圆分布下的分解，先使用DCC-GARCH模型获得动态线性相关性系数，后获得动态非线性尾部相关性系数。
首先，对4家银行收益率进行描述性统计，并判断是否服从正态分布，结果见表 1。
Table 1
 表 1 4家银行收益率的描述性统计量和SW检验Table 1 Descriptive statistics and SW test of the yields of the four banks
| 表 1 4家银行收益率的描述性统计量和SW检验Table 1 Descriptive statistics and SW test of the yields of the four banks | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
从表 1可以看出，招商银行收益率的标准差高于另外3家大型国有商业银行，股价波动性更高。且4家银行的收益率序列的峰度大于3，偏度大于0，显示出尖峰和右偏的特点。在SW检验的结果中，4个银行的p值均小于0.01，因此4个银行的收益率并不服从正态分布。后面将基于TailCoR模型测量和分析4个银行的尾部相关性。
2.2 4家银行间的静态TailCoR根据上文中TailCoR的定义，容易得到静态TailCoR的计算步骤。在相关系数的估计方面，我们有所调整。Lindskog等[14]利用椭圆分布的几何性质，得出Kendall相关系数在椭圆分布族下不变。因此用样本Kendall相关系数来估计，结果稳健，公式如下
| ${\hat \rho _{jk}} = \sin \left( {\frac{{\rm{ \mathsf{ π} }}}{2}{{\hat \kappa }_{jk}}} \right),$ | (21) |
下面给出静态TailCoR的计算步骤，以及线性和非线性部分的分解，计算过程如下：
第1步，对Xjt和Xkt进行标准化，然后得到投影点Ztjk，并计算投影点的分位点差
第2步，选择适当的系数wg(τ, ξ)，计算出
| $\widehat {{\rm{TailCoR}}}_\tau ^{jk} = {w_g}(\tau ,\xi )\widehat {{\rm{IQR}}}_\tau ^{jk};$ | (22) |
| $\hat w(\tau ,\xi ,\alpha ,t) = \frac{{\widehat {{\rm{IQR}}}_\tau ^{jk}}}{{\sqrt {1 + \left| {{{\hat \rho }_{jk}}} \right|} }}.$ | (23) |
Table 2
表 2 4家银行收益率之间的TailCoRTable 2 TailCoR between the yields of the four banks
| 表 2 4家银行收益率之间的TailCoRTable 2 TailCoR between the yields of the four banks | ||||||||||||||||||||||||||||||
由表 2可以看出，4家银行之间的10个TailCoR都接近2，说明它们之间的相关关系很类似。在表 3和表 4中，将TailCoR进行分解，观察线性部分ρ和非线性部分w(0.95, 0.75, α)的情况。
Table 3
表 3 4家银行收益率的线性相关系数
| 表 3 4家银行收益率的线性相关系数 | ||||||||||||||||||||||||||||||
Table 4
表 4 4家银行收益率之间的尾部非线性相关系数Table 4 Tail nonlinear correlation coefficients between the yields of the four banks
| 表 4 4家银行收益率之间的尾部非线性相关系数Table 4 Tail nonlinear correlation coefficients between the yields of the four banks | ||||||||||||||||||||||||||||||
Kendall相关系数矩阵与皮尔逊相关系数矩阵十分接近。对于线性相关性，大型商业银行之间相关性更强，招商银行与之偏弱。对于非线性相关性，各家银行相关性比较接近，招商银行和中国银行的非线性相关性更高。
接下来，观察尾部相关性随时间的变化，可以采用分段TailCoR模型来处理。将窗宽设定为半年，样本时间分为21个时间段，分别计算各个时间段的TailCoR，以观察尾部相关性如何随时间变化。
首先将4家银行的分段TailCoR显示在一个轴上，然后分别画出3家大型国有商业银行相互的TailCoR以及招商银行与大型国有商业银行之间的TailCoR，具体如图 2所示。
Fig. 2
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| 图 2 分段TailCoR Fig. 2 Segmented TailCoR 图 2 分段TailCoR Fig. 2 Segmented TailCoR --> | |
在2014年下半年牛市启动和2015年下半年牛市破灭的时候，3家大型国有商业银行的尾部相关性出现快速上升。而招商银行与其他3家大型银行之间的尾部相关性在牛市启动时快速上升，但是2015年泡沫破灭时相关性上升并不明显。下面比较4家银行TailCoR的线性和非线性成分的变化图，如图 3所示。
Fig. 3
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| 图 3 分段TailCoR分解 Fig. 3 Segmented TailCoR decomposition 图 3 分段TailCoR分解 Fig. 3 Segmented TailCoR decomposition --> | |
从图 3可以看出，动态线性相关系数在整个样本区间上变化幅度较小，尾部相关性的快速上行主要由非线性部分贡献。具体来看，非线性相关系数在正常状况下为3附近，极端情况下快速上行至5~6，推动尾部相关性出现明显抬升。
由分段TailCoR可以得到以下几条结论：第一，TailCoR总体上是稳定的，在2014年下半年和2015年下半年迅速增长；第二，大型商业银行的TailCoR值波动更大，招商银行与其他3家大型国有商业银行之间的TailCoR相对稳定，在2014年下半年牛市启动的时候招商银行和大型银行的尾部相关性较强，但是在2015年股灾的时候相关性上升并不明显；第三，TailCoR中的线性部分波动小且趋势较弱，TailCoR的快速上升主要由非线性相关性上升导致。
2.3 4家银行间的动态TailCoR下面将引入外生变量，构建动态TailCoR模型。在动态TailCoR模型中，外生变量的选择较为灵活，只要外生变量能够较好地解释Ztjk的分位点，便可以得到动态TailCoR的估计。
Ramchand和Susmel[15]通过SWARCH模型，得出当美国股票市场波动剧烈时，它与其他市场间的相关性会显著上升。市场波动率会对尾部相关性产生影响，因此本文选用市场历史波动率作为外生变量。
对于上证综合指数历史波动率计算如下：
| ${{r_t} = \ln {P_t} - \ln {P_{t - 1}},}$ | (24) |
| ${v = \sqrt {\frac{{\sum\nolimits_{t = 1}^T {r_t^2} }}{T}} \cdot \sqrt D .}$ | (25) |
后续将使用月频数据计算动态TailCoR，所以用每月最后一天的收盘价计算对数收益率，使用式(1)和式(2)计算出投影后的随机变量Ztjk，作为被解释变量。解释变量是上证综合指数月度历史波动率vt，分别取τ1=0.95和τ2=0.05作非参数分位数回归。
在非参数分位数回归模型中，选用正态核。对于窗宽，计算公式如下
| $h = {\left( {\frac{4}{{3n}}} \right)^{\frac{1}{5}}} \cdot \sigma ,$ | (26) |
非参数分位数回归的结果比较相似，图 4中仅展示工商银行和中国银行之间的Ztjk和上证综指历史波动率的非参数分位数回归结果。
Fig. 4
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| 图 4 工行和中行间的Ztjk和上证综指历史波动率的分位数回归结果 Fig. 4 Quantile regression results of the historical volatility of Ztjk and Shanghai composite index between ICBC and BOC 图 4 工行和中行间的Ztjk和上证综指历史波动率的分位数回归结果 Fig. 4 Quantile regression results of the historical volatility of Ztjk and Shanghai composite index between ICBC and BOC --> | |
从图 4可以看出，大多数样本的波动率小于0.4。在这一区间，两个非参数回归拟合值的差值随着波动率的上升而增加。在图像中，在波动率小于0.4的区间，τ1=0.95对应的回归曲线斜率为正，而τ2=0.05对应的回归曲线斜率为负，两者距离逐渐变大。通过非参数分位数回归，可以得到动态的IQRtjk，进而得到动态TailCoR，如图 5所示。
Fig. 5
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| 将工商银行与工商银行、中国银行、建设银行和招商银行之间的TailCoR取均值，得到工商银行TailCoR的曲线，其余类推。 图 5 4家银行之间的动态TailCoR Fig. 5 Dynamic TailCoR between the four banks 图 5 4家银行之间的动态TailCoR Fig. 5 Dynamic TailCoR between the four banks --> | |
由图 5可以看出，在2008—2009年，4家银行的TailCoR均处于最高位置，这一阶段对应2008年股市泡沫破灭的过程。而静态TailCoR这一时间段，只有小幅度上升。在2014年下至2015年下，动态TailCoR出现了一个波峰，而静态TailCoR在2014年下、2015年下出现双峰。
下面基于DCC-GARCH模型，计算动态线性相关系数。首先，需要使用GARCH模型对边缘分布进行估计，这里使用GARCH(1, 1)模型来拟合。模型如下：
| ${{r_{i,t}} = \mu + {\sigma _t}{\varepsilon _t},}$ | (27) |
| ${\sigma _t^2 = \omega + \alpha {\varepsilon _{t - 1}} + \beta \sigma _{t - 1}^2.}$ | (28) |
将原数据标准化(减去均值再除以标准差)后，基于极大似然方法进行参数估计，表 5给出GARCH(1, 1)模型的估计结果，并给出了一些参数在不同置信度下的显著性检验结果。将GARCH(1, 1)中的参数估计结果代入DCC-GARCH模型中，可以得到DCC-GARCH模型的参数估计结果，具体见表 6。
Table 5
表 5 4家银行股票收益率GARCH(1, 1)模型参数估计结果Table 5 Estimation results of the GARCH(1, 1) model parameters of the four banks' stock returns
| 表 5 4家银行股票收益率GARCH(1, 1)模型参数估计结果Table 5 Estimation results of the GARCH(1, 1) model parameters of the four banks' stock returns | ||||||||||||||||||||||||||||||
Table 6
表 6 4家银行股票收益率DCC-GARCH模型参数估计结果Table 6 Estimation results of the DCC-GARCH model parameters of stock returns of the four banks
| 表 6 4家银行股票收益率DCC-GARCH模型参数估计结果Table 6 Estimation results of the DCC-GARCH model parameters of stock returns of the four banks |
根据上述估计结果，代入DCC-GARCH模型中，可以得到动态线性相关系数，如图 6所示。
Fig. 6
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| 图 6 工商银行和中国银行间动态线性相关系数 Fig. 6 Dynamic linear correlation coefficient between ICBC and BOC 图 6 工商银行和中国银行间动态线性相关系数 Fig. 6 Dynamic linear correlation coefficient between ICBC and BOC --> | |
4家银行的动态线性相关系数走势相对平稳。到目前为止，通过引入非参数分位点回归模型，得到4家银行间的动态TailCoR，之后通过DCC-GARCH模型估计出动态线性相关系数。通过动态TailCoR和动态线性相关系数可以得到动态非线性相关部分，如图 7所示。
Fig. 7
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| 图 7 4家银行间动态非线性相关系数 Fig. 7 Dynamic nonlinear correlation coefficients between the four banks 图 7 4家银行间动态非线性相关系数 Fig. 7 Dynamic nonlinear correlation coefficients between the four banks --> | |
可以看到动态非线性相关系数和动态TailCoR走势十分类似，可以认为4家银行间的TailCoR主要由非线性部分贡献。总体来看大型国有商业银行之间的TailCoR趋势性十分一致，在极端行情下尾部非线性相关系数更高，而极端情况下招商银行和其他3家大型国有商业银行的尾部相关性偏低，尾部相关性较小。
通过对动态TailCoR模型的分析，可以得到如下的结论：
第一，尾部相关性变化的原因主要是非线性相关部分，分段TailCoR模型和动态TailCoR模型都支持这一结论。在2008年和2014—2016年股票市场波动率加大时，尾部相关性上升主要是非线性部分上升导致。
第二，TailCoR在牛市启动和市场开始崩溃时会快速上升，其余时间保持稳定。
第三，中国工商银行，中国银行和中国建设银行的尾部相关性变化一致，在极端的市场条件下，尾部相关系数会显著增加。但是，招商银行与3大国有商业银行之间的尾巴相关性相对稳定。
3 结论在模型构建时，本文借鉴文献[12]提出的TailCoR模型，通过非参数分位点回归模型对模型中的分位点进行建模，得到时变的TailCoR，定义为动态TailCoR模型。
在样本服从椭圆分布的假定下，TailCoR可以进行分解，其中一部分包含皮尔逊相关系数，定义为线性相关部分，余下部分定义为非线性相关部分。本文通过DCC-GARCH模型得出动态线性相关系数，之后通过动态TailCoR和动态线性相关系数得到动态非线性相关系数。
在实证研究中，选取工商银行、中国银行、建设银行和招商银行在2008年1月至2018年6月29日的股价日收盘价收益率数据，通过原TailCoR模型、分段TailCoR模型和动态TailCoR模型，描绘4家银行股价的尾部相关性及其随时间的变化，得到以下结论：第一，尾部相关性主要是非线性部分贡献；第二，TailCoR代表的尾部相关性，在市场剧烈变动时上升，其余时间保持稳定；第三，工商银行、中国银行和建设银行的尾部相关性十分一致，并且上升十分迅速，而招商银行和3家大型国有商业银行的尾部相关性相对较低。
参考文献
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