, 刘卫东2,3, 苟斐斐1,2, 罗莉涛1,21. 中国科学院大学, 北京 100190;
2. 中国科学院渗流流体力学研究所, 河北 廊坊 065007;
3. 中国石油勘探开发研究院廊坊分院, 河北 廊坊 065007
2015年07月09日 收稿; 2016年03月24日 收修改稿
通信作者: 张春华 E-mail: bless10@163.com
摘要: 为确定低渗透岩心速度敏感性实验的合理注入流量，基于喉道半径及其分布建立新的不等径毛细管数学模型，并应用有限差分方法对模型求解.模拟过程中，选取3块低渗透率岩心，模拟微粒释放、表面沉积和微粒堵塞等3种因素对岩心渗透率的影响；选取7块低渗透率岩心，模拟注入流量设置对岩心临界流量判断的影响.模拟结果表明，微粒释放和微粒沉积是低渗透岩心渗透率伤害的主要原因；渗透率越低，渗透率伤害越显著，桥堵和卡堵对渗透率伤害越大；当岩心渗透率为（0.1~1）×10-3 μm2，执行标准中注入流量时，临界流量判断结果偏大，建议在0.1 mL/min前添加1或2个流量点.
关键词: 等径毛细管速敏临界流量低渗透注入流量
Reasonable injection flow rate for low permeability core velocity sensitivity experiment
ZHANG Chunhua1,2
, LIU Weidong2,3, GOU Feifei1,2, LUO Litao1,2 1. University of Chinese Academy of Sciences, Beijing 100190, China;
2. Institute of Porous Flow & Fluid Mechanics, University of Chinese Academy of Sciences, Langfang 065007, Hebei, China;
3. Langfang Branch of Research Institute of Petroleum Exploration & Development, Langfang 065007, Hebei, China
Abstract: In order to study available injection speeds in velocity sensitive experiment for low permeability cores,a capillary model is built based on pore throat radius and distribution,and the finite difference method is used to resolve the equations.The effects of particle release, surface deposition, and particle plugging of three different kinds of low permeability cores on permeability damage are simulated.The influences of different injection solutions for ultralow permeability cores on critical speed are also simulated. Simulation results show that particle release and particle deposition are the primary damage mechanisms for low permeability cores.The lower the permeability of cores, the more remarkable the permeability damage and the stronger the effects of the bridge plug and singlehole blockage on the permeability damage. For the core with permeability smaller than 1×10-3 μm2, the injection solution according to SYT5358-2010 is not reasonable and two points should be added under 0.1mL/min. The model results provide a theoretical foundation for injection solution in velocity sensitive experiment for low permeability cores.
Key words: capillary bundle modelvelocity sensitivecritic flow ratelow permeabilityinjection flow rate
流速敏感性是指因流体流动速度变化引起储层岩石中微粒运移从而堵塞喉道，导致储层岩石渗透率变化的现象.通过速敏评价实验可以判断开始发生速敏现象的临界流速，其大小对确定油井合理产能及注入速度具有重要意义.目前，岩心速敏实验主要参考SYT 5358—2010《储层敏感性流动实验评价方法》(以下简称标准)，因为标准主要适用于气测渗透率大于1×10-3 μm2的碎屑岩储层岩样，对气测渗透率小于1×10-3 μm2的岩样没有说明，所以小于1×10-3 μm2的低渗透岩心进行速敏实验时，有的参考标准执行(标准中注入流量：0.1，0.25，0.5，0.75，1，2，3，4，5，6 mL/min)，有的按照自己的理解设定注入流量，如吴亚红等[1]流量设置为0.05，0.07，0.09，0.12，0.15，0.18，0.21，0.25，0.3 mL/min，吴小斌等[2]流量设置0.099 2，0.245，0.492，0.506 mL/min，谢娜等[3]流量设置为0.019，0.036，0.068，0.098，0.115，0.131 mL/min.不同的人注入流量不一样，得到的结论也不同，影响对储层客观的认识和评价，因此超低渗透岩心的速度敏感性实验的注入流量设置研究十分必要.
国内外许多****通过实验[4-6]或者数值模拟方法[7-9]对流体微粒运移进行了广泛研究.早期数值模拟方法主要建立在渗透率与孔隙度的关系式基础上.最新研究成果表明，低渗透储层渗流能力与孔隙半径关联性较差，主要受平均喉道半径及其分布形态的控制[10-11].因此本文根据岩心平均喉道半径及其分布建立新的不等径毛细管数学模型，分析特低、超低渗透岩心速敏伤害规律及注入流量对临界流量判断的影响.
1 速敏伤害机理速敏实验一般用地层水作为注入水，因此忽略黏土膨胀对渗透率的影响，渗透率的伤害主要由于岩心内部微粒的释放、表面沉积和堵塞造成.微粒从孔隙壁面启动前，必须克服微粒和周围介质之间阻力和阻力矩[12-16].一旦微粒发生运移，大部分微粒会重新滞留在岩心内部，少量微粒因流体携带作用流出岩心.微粒滞留主要有以下几种机理[7, 17-19].一是表面沉积，释放的微粒在重力、静电力等作用下重新在孔喉壁面沉积，如果释放的微粒大部分随流体流出岩心，则毛细管半径变大，渗透率变大，如果微粒大部分沉积在岩心内部，会在沉积位置使局部毛细管半径减小，导致渗透率变差.二是单孔堵塞，如果释放的微粒半径相当于孔喉半径或大于孔喉半径将会直接堵塞孔喉，使网络连通性变差.三是形成桥堵，当流体中微粒达到一定浓度时，多个微粒通过架桥方式在孔喉处发生堵塞.根据BarKman和Davidson[20]对悬浮物在多孔介质渗流过程的研究结果，对于直径为d的悬浮颗粒和直径为D的孔喉，当10d<D时颗粒可以自由通过孔喉，3d<D<10d时颗粒在孔喉处可形成桥堵，3d>D时颗粒可形成卡堵.
2 不等径毛细管模型由于低渗透岩心渗流能力主要受平均喉道半径及其分布形态控制[10-11]，岩心内部孔喉结构用半径不相等的一系列毛细管束表示[12, 21-22]，单根毛细管内流体的流动遵循泊肃叶定律，毛细管管径尺寸与实际孔径尺寸大小相当并服从一定的分布规律[21]，毛细管束模型和真实岩心孔隙体积相等，外观尺寸相等.
2.1 单根毛细管的有效半径假设半径为ri的毛细管内任意时刻微粒浓度为Ci，则微粒遵守连续性方程
| $ - v\frac{{\partial {C_i}}}{{\partial x}} + D\frac{{{\partial ^2}{C_i}}}{{\partial {x^2}}} + R = \frac{{\partial {C_i}}}{{\partial t}},$ | (1) |
| $R = \frac{{\partial {C_{i,r}}}}{{\partial t}} - \frac{{\partial {C_{i,t}}}}{{\partial t}}.$ | (2) |
| $\frac{{\partial {C_i}}}{{\partial t}} = {K_t}{C_i}\left( {\alpha + v} \right),$ | (3) |
| ${C_i}{|_{t = 0}} = {C_m},$ | (4) |
毛细管壁面微粒的释放速率与孔壁剪切力(τ-τc)和孔隙表面处沉积微粒浓度成正比[23]，则
| $\frac{{\partial {C_{i,r}}}}{{\partial t}} = {K_r}\left( {{C_m} - {C_i}} \right)\left( {\tau - {\tau _c}} \right),$ | (5) |
速敏实验时，一旦岩心内部微粒被水动力启动，对流成为影响微粒启动、沉积和堵塞的主要因素，此时扩散项可以忽略，将式(2)—式(5)代入式(1)得
| $\begin{array}{l} - v\frac{{\partial {C_i}}}{{\partial x}} + {K_r}\left( {{C_m} - {C_i}} \right)\left( {\tau - {\tau _c}} \right) - \\\;\;{K_t}{C_i}\left( {\alpha + v} \right) = \frac{{\partial {C_i}}}{{\partial t}}.\end{array}$ | (6) |
| $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{C_i}{|_{t = 0}} = 0}\\{{C_i}{|_{x = 0}} = 0}\\{{C_i}{|_{x = L}} = {w_i}}\end{array},} \right.$ |
由牛顿内摩擦定律和泊肃叶方程，半径ri的毛细管壁面剪切应力为
| $\tau = \mu \frac{{{\rm{d}}v}}{{{\rm{d}}r}} = \frac{{{P_i} - {P_o}}}{{2L}}{r_{i,\max }},$ | (7) |
孔隙中的微粒主要受水流动力、举升力、重力和范德华力作用[12, 15-18]，当微粒的力矩不平衡时，微粒发生迁移，微粒启动的条件为[12, 15-16]
| ${F_{\rm{d}}}{L_{\rm{d}}} + {F_{\rm{l}}}{L_{\rm{n}}} \ge \left( {{F_{\rm{e}}} + {F_{\rm{g}}}} \right){L_{\rm{n}}},$ | (8) |
岩心内部微粒质量和平均粒径分布服从下面统计模型[24]
| ${\rm{f}}\left( {{r_{\rm{d}}} < \overline {{r_{{\rm{d}}i}}} } \right) = \frac{{m\left( {{r_{\rm{d}}} < \overline {{r_{{\rm{d}}i}}} } \right)}}{{{m_T}}} = {\left( {\frac{{\overline {{r_{{\rm{d}}i}}} }}{{{r_{{\rm{d}}\max }}}}} \right)^{\left( {3 - \overline D } \right)}},$ | (9) |
假设岩心在给定注入流量条件下进行流动实验，经过时间T达到平衡状态，在单位体积半径为ri的毛细管内部微粒净沉积质量为
| $\sum\nolimits_{n = 0}^{n = T} {\left( {C_{i,t}^n - C_{i,r}^n} \right){\rm{\cdot}}\pi {\rm{\cdot}}r_i^2} = {\rho _{\rm{P}}}{\rm{\cdot}}\pi \left( {{r_i} - \delta t} \right){\rm{\cdot}}\delta t.$ | (10) |
| $\delta {t_i} = \frac{{\sum\nolimits_{n = 0}^{n = T} {\left( {C_{i,t}^n - C_{i,r}^n} \right){\rm{\cdot}}{r_i}} }}{{{\rho _{\rm{P}}}}},$ | (11) |
| ${r_{i,{\rm{eff}}}}{\rm{ = }}{r_i} - \delta t,$ | (12) |
2.2 未堵塞毛细管数量2.2.1 微粒桥堵引起毛细管数量减少当微粒体积浓度达到一定值时，微粒在孔喉处可能会发生架桥堵塞，为引入微粒桥堵对渗透率的影响，假设发生桥堵概率P与流动悬浮液中微粒浓度成正比，当微粒浓度为零时，单根毛细管不发生堵塞，当微粒浓度达到最大时，单根毛细管一定发生堵塞，半径ri毛细管内部发生桥堵概率P表示为
| $P = {{\rm{e}}^{\left( {{C_i} - {C_m}} \right)}} - \frac{{\left( {{C_i} - {C_m}} \right)\left( {{C_i} - {{\rm{e}}^{ - {C_m}}}} \right)}}{{{C_m}}},$ | (13) |
| ${N_{i,{\rm{bp}}}} = {N_i}{\rm{\cdot}}P,$ | (14) |
2.2.2 单孔堵塞引起毛细管数量的减少当启动的颗粒尺寸与孔隙喉道大小相当或大于孔隙喉道时，将发生单孔堵塞.堵塞毛细管数量Ni, sp用堵塞孔喉颗粒的总体积与临界尺寸的单一颗粒体积之比来估算[25-26].
| ${N_{i,{\rm{sp}}}}{\rm{ = }}\left( {{q_i}{f_d}\int\limits_0^t {\frac{{{C_i}{\rm{dt}}}}{{{\rho _{\rm{P}}}}}} } \right)/\left( {\frac{{\pi {d^3}}}{6}} \right){\rm{\cdot}}{10^4},$ | (15) |
2.2.3 未堵塞毛细管数量由于把岩心看成由一系列不同大小管径组成的平行管束模型[12, 20-21]，管径尺寸与实际孔喉大小相当，实际储层喉道尺寸和数量分布符合一定的分布规律，管径数量的概率密度函数采用对数正态分布
| $f\left( {{r_i}} \right) = \frac{1}{{{r_i}\sigma \sqrt {2\pi } }}{{\rm{e}}^{\frac{{{{\left( {\ln {r_i} - \overline \mu } \right)}^2}}}{{2{\sigma ^2}}}}}$ | (16) |
根据不等径毛细管孔隙体积和岩心孔隙体积相等，得到约束条件
| $AL\phi = \sum {\pi r_i^2{\rm{\cdot}}{L_{\rm{e}}}{\rm{\cdot}}N\left( {{r_i}} \right){\rm{\cdot}}{{10}^{ - 8}}} ,$ | (17) |
根据式(16)和式(17), 得不等径毛细管半径总的毛管数为
| $N = \sum {N\left( {{r_i}} \right)} = {10^8}{\rm{\cdot}}\frac{{A\phi }}{{\sum {\pi r_i^2f\left( {{r_i}} \right)\varsigma } }},$ | (18) |
半径为ri的毛细管初始毛细管数量为Ni=N·f(ri)，Ni, np表示半径为ri毛细管未堵塞的毛细管数量，则发生桥堵和卡堵后，未堵塞的毛细管数量为
| ${N_{i,{\rm{np}}}}{\rm{ = }}{N_i} - {N_{i,{\rm{bp}}}} - {N_{i,{\rm{sp}}}}.$ | (19) |
| ${q_i} = {10^{ - 8}} \times \frac{{\pi r_{i,{\rm{eff}}}^4\Delta P}}{{8\mu {L_{\rm{e}}}}},$ | (20) |
毛细管内总流量为所有半径ri毛细管内流量和对应的毛细管数量的乘积
| $Q{\rm{ = }}\sum {{q_i}{\rm{\cdot}}{N_{i,{\rm{np}}}}} .$ | (21) |
| $K = {10^3}{\rm{\cdot}}\frac{{\mu LQ}}{{A\Delta P}},$ | (22) |
联立式(19)—式(22)，渗透率与有效半径和连通毛细管数量关系式
| $K = \frac{\pi }{{8A\varsigma }}\sum\nolimits_i^N {r_{i,{\rm{eff}}}^4{\rm{\cdot}}{N_{i,{\rm{np}}}}} .$ | (23) |
对半径ri的毛细管内微粒连续方程，式(6)是一阶拟线性偏微分方程，采用Lax-Friedrichs格式进行差分
| $\begin{array}{l}C_j^{n + 1} = \left( {0.5 + \lambda v/2} \right)C_{j + 1}^n + \left( {0.5 - \lambda v/2} \right)C_{j - 1}^n - \\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\Delta t\left[ {{K_r}\left( {\tau - {\tau _{\rm{c}}}} \right) + {K_t}\left( {\alpha + v} \right)} \right]C_j^n + \\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\Delta t{K_r}\left( {\tau - {\tau _{\rm{c}}}} \right){C_m}.\end{array}$ | (24) |
| $\begin{array}{l}C_{r,j}^{n + 1} = C_{r,j}^n + {K_r}\Delta t\left( {\tau - {\tau _{\rm{c}}}} \right)\left( {{C_m} - C_j^n} \right),\\C_{t,j}^{n + 1} = C_{t,j}^n + {K_t}C_j^n\left( {\alpha + v} \right)\Delta t.\end{array}$ |
| ${D_{vn}} = \frac{{\left| {{K_n} - {K_i}} \right|}}{{{K_i}}} \times 100\% ,$ | (25) |
Table 1
 表 1 模拟参数表Table 1 Simulation parameters
| 表 1 模拟参数表Table 1 Simulation parameters |
4.1 微粒释放对渗透率的影响令表面释放系数Kr=2.5，表面沉积系数Kt=0，堵塞管子数Np=0，模拟微粒释放对岩心渗透率的影响，结果如图 1所示.从图 1可以看出，渗透率伤害率与注入流量呈较好的线性关系，注入流量越大，渗透率伤害率越大；岩心渗透率越低，渗透率伤害率越大.这是因为内部微粒脱离孔喉表面，孔喉有效半径变大，岩心渗透能力增强，渗透率变大.在注入流量为6 mL/min时，0.52×10-3μm2岩心的渗透率增加40%, 5×10-3μm2岩心的渗透率增加3.7%，25×10-3μm2岩心的渗透率仅增加0.7%.
Fig. 1
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图 1 微粒释放对渗透率的影响 Fig. 1 Influence of particle release on permeability | |
4.2 表面沉积对渗透率的影响令表面释放系数Kr=2.5，堵塞管子数Np=0，沉积系数Kt=0.01，为了方便观察表面沉积对渗透率的影响，将模拟结果和图 1数据进行差值计算，结果如图 2所示.从图 2可以看出，注入流量越大，渗透率伤害率越大，岩心渗透率降低.当注入流量为6 mL/min时，0.52×10-3μm2岩心的渗透率降低41.07%, 5×10-3μm2岩心的渗透率降3.72%，25×10-3μm2岩心的渗透率降低0.73%.
Fig. 2
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图 2 表面沉积对渗透率的影响 Fig. 2 Influence of particle surface deposition on permeability | |
4.3 微粒堵塞对渗透率的影响令表面释放系数Kr=2.5，沉积系数Kt=0.01，为了方便观察堵塞对渗透率的影响，将模拟结果和图 1的差值作图，结果如图 3所示.从图 3可以看出，注入流量越大，堵塞作用对岩心渗透率伤害越大，渗透率减小.当注入流量为6 mL/min时，0.52×10-3μm2岩心的渗透率降低17.04%，5×10-3μm2 岩心的渗透率降低1.44%，25×10-3μm2岩心的渗透率降低0.27%.
Fig. 3
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图 3 桥堵和卡堵对渗透率的影响 Fig. 3 Influence of bridging and plugging on permeability | |
总结微粒释放、表面沉积和堵塞对渗透率伤害率的影响，结果如表 2所示.结果表明，表面沉积、微粒释放和堵塞对渗透率的影响程度为：表面沉积>微粒释放>堵塞，其中表面沉积和微粒释放是渗透率伤害的主要因素.渗透率越低，微粒运移对渗透率伤害越明显.这是因为渗透率越小，毛细管半径越小，微粒运移对毛细管半径影响越大.值得注意的是，模拟中的堵塞是指微粒完全堵塞喉道，导致模型中对应毛细管半径的毛细管数量的减少.
Table 2
表 2 不同因素对渗透率的影响Table 2 Effects of different mechanisms on permeability
| 表 2 不同因素对渗透率的影响Table 2 Effects of different mechanisms on permeability | |||||||||||||||||||
4.4 注入流量设置对临界流量的影响为研究低渗透岩心合理注入流量，模拟7种不同低渗透率岩心，分别用标准注入流量(记为方案1)和新的注入流量(0.025, 0.05, 0.075, 0.1, 0.25, 0.5, 0.75, 1.0, 1.5, 2.0, 3.0, 4.0 mL/min，记为方案2)，进行速敏实验.取释放系数Kr=2.5;滞留系数Kt=0.01.当注入流量为方案1时，结果如图 4所示；当注入流量为方案2时，结果如图 5所示.
Fig. 4
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图 4 方案1速敏伤害曲线 Fig. 4 Velocity-sensitive damage curve in scheme 1 | |
Fig. 5
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图 5 方案2速敏伤害曲线 Fig. 5 Velocity-sensitive damage curve in scheme 2 | |
根据渗透率变化超过20%时，前一个注入流量为临界流量，7种低渗透率岩心临界流量，判断结果如表 3所示.模拟结果表明：方案2和方案1相比，当渗透率小于等于 1×10-3μm2时，岩心编号2, 3, 4, 5的临界流量判断结果偏小，且平均减小1个间隔；而渗透率为5×10-3μm2和2.5×10-3μm2的岩心，临界流量判断结果一致；但是渗透率为0.05×10-3μm2时，临界流量判断结果偏差较大.因此，当渗透率大于1×10-3μm2时，模拟结果与标准推荐注入流量一致，当渗透率为(0.1~1)×10-3μm2时，不建议继续参考标准注入流量，建议在标准中最小流量0.1 mL/min之前添加1或2个点进行实验.
Table 3
表 3 临界流量Table 3 Critical speeds
| 表 3 临界流量Table 3 Critical speeds | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5 结论本文基于毛细管半径分布、毛细管数量分布及微粒分布，综合考虑微粒释放、表面沉积及堵塞等3种因素对渗透率的影响，建立新的不等经毛细管模型，给出渗透率伤害率的数值计算方法并进行实例仿真，分析3种因素对不同渗透率岩心渗透率伤害的影响程度以及注入流量设置对低渗透率岩心的临界流量判断的影响，得到以下两点认识：
1)模拟结果表明，表面沉积、微粒释放和堵塞对低渗透岩心渗透率伤害率影响程度为：表面沉积>微粒释放>堵塞，其中微粒释放和表面沉积是渗透率伤害的主要因素；渗透率越低，微粒运移对渗透率伤害越明显.本模型中堵塞是指孔隙完全封堵，其结果导致毛细管数量减少.
2)1×10-3μm2以上的低渗透率岩心，参考标准注入流量时，临界流量判断没有影响； 小于等于1×10-3μm2渗透率岩心，继续参考标准中注入流量进行速敏实验时，临界流量判断结果偏大，超低渗透率岩心(渗透率为(0.1~1)×10-3μm2)建议在0.1 mL/min以下添加1或2个注入点.
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