城市中交通是整个城市有序运行的基础^[1-2]，包括无人驾驶、无人机快递等各种新型用途。其中，载体准确的速度信息对于交通的安全至关重要。由于全球定位系统(GPS)的多普勒观测值仅需要单频接收机便可实时获取，可利用其测速具有时效性强、成本低廉且精度较高等优点^[3]。然而，为了最大程度地获得GPS测速的潜在精度，不仅需要考虑多普勒观测值测速的详细数学模型，还要顾及各种误差的影响。充分了解这些误差的来源及其特征，对于误差建模及提高速度估计精度至关重要^[4]。特别是在城市峡谷中，由于建筑物等对GPS信号的遮挡及玻璃幕墙与汽车表面等对信号的反射，造成多路径效应。其中，多路径效应包括多路径干扰和非视距(Non-Line-of-Sight, NLOS)接收2种情况。多路径干扰指接收机同时接收到GPS信号的直射信号与反射信号，非视距接收指接收机只能接收反射信号而没有直射信号^[5]。这些信号都会对多普勒观测值造成一定的影响，进而影响速度的准确计算。
关于GPS测量速度, 国内外已作了一些试验或模拟试验^[6-9]。这些研究结果表明，利用GPS多普勒观测量，在理想情况下，速度测量精度最高可达mm/s级别。不过，这些文献没有讨论各种误差对速度测量的影响。关于多普勒测速误差分析，国内外相关文献也对其进行分类与讨论^[10-14]，但是几乎都是简单地将多路径误差当成随机噪声，这一简单粗糙的划分已不满足目前各应用对GPS多普勒测速的精度需求。因此，对多路径导致的多普勒频移误差进行系统有效的分析迫在眉睫。
本文首先从多普勒频移产生的原因入手，通过运动学理论分析，构建了接收机、反射点与卫星整体运动与多普勒频移误差关系模型。然后分别进行讨论分析，结果表明，多普勒频移误差与卫星观测向量、反射点切线法向量、接收机运动速度及反射点运动速度有关。最后通过不同场景的数据对分析结果进行验证。实验结果验证了理论分析的正确性。为将来进一步消除或者抑制多路径效应导致的速度误差提供了思路与理论支撑。
1 多路径效应对多普勒频移的影响 1.1 多普勒频移及速度计算原理 根据多普勒效应，当GPS接收机载体和卫星之间存在相对运动时, 接收机接收到的GPS载波信号频率, 与卫星发射的载波信号的频率是不同的, 其间的频率差值称为多普勒频移^[15]。计算公式为

(1)

式中：f^s为卫星的信号发射频率；f_r为接收机接收到的卫星信号频率；f_d为多普勒频移。多普勒频移的大小与接收机和卫星之间距离的变化率有关。若假设为接收机与卫星之间的距离变化率，c为光速，理论上，则有式(2)成立^[15]:

(2)

多普勒频移f_d可以由GPS接收机直接获得，由接收机产生的原始多普勒频移得出的速度是瞬时速度。实验将直接采用GPS接收机输出的原始多普勒观测值进行单点测速。
在地心地固坐标系中，根据GPS单点定位的数学模型, 对站星伪距进行微分, 可得到如下微分方程^[11]：

(3)

式中：“·”为向量内积；ρ_j为站星伪距；为第j颗卫星到接收机的伪距变化率；和分别为该卫星对应电离层和对流层时间延迟的变化率；为多路径效应对该卫星信号导致的误差；r_r和分别为载体的位置和速度向量；r^s和分别为GPS卫星的位置和速度向量；和分别为接收机和第j颗卫星的钟速；为观测引入的噪声变化率。其中卫星的速度、卫星钟速都可以由导航电文直接得出。由于实际计算时测速时间间隔较短，电离层和对流层时间延迟的变化率、观测噪声的数值非常微小，可以忽略不计。如果多路径效应带来的影响也可以忽略，则式(3)实际只有4个未知数, 即载体的三维速度和接收机钟速。因此，理论上如果可以观测到4颗或4颗以上的GPS卫星, 利用最小二乘法原理, 就可以解出上述的4个未知数, 从而得到载体的三维速度和接收机钟漂。
1.2 非视距接收对多普勒频移的影响 由1.1节可知，想得到准确的载体速度，关键是得到不包含各种误差的准确伪距变化率，而伪距变化率是由观测到的多普勒频移计算而来，因此分析多普勒频移的误差有着重要的意义。根据物理多普勒效应定义：波在波源与观察者接收时频率变高，而在波源与观察者远离时接收频率变低^[16]。因此，多普勒频移直接反映出波源与观察者之间的相对速度，也就是波源速度与观察者的速度分别在波源与观察者之间连线(波的传播方向)上投影的矢量和，如图 1所示。因此，要测得准确的多普勒频移的前提是波的传播方向不发生变化。当GPS信号载波传播方向不改变时，可以认为接收机测得的多普勒频移较为准确。在不考虑其他误差影响时，多普勒频移如下^[17]：

(4)

图 1 多普勒频移示意图 Fig. 1 Schematic of Doppler frequency shift

图选项

式中：λ为载波波长；I为卫星在接收机处的单位观测向量。
当载体运行在城市峡谷等恶劣环境时，由于周围复杂环境的影响，GPS接收机可能只接收到反射信号而没有直射信号，形成了非视距接收情况。当非视距接收情况发生时，GPS载波信号已经经过1次以上的反射而改变了其传播方向，从而可能会对接收机接收到的多普勒频移产生误差。假设卫星信号只经过1次反射便到达接收机。如图 2所示，假设反射点的速度为v，反射点处切面的单位法向量为F_n，卫星速度为，载体速度为，所有矢量均为地心地固坐标。该问题等价于反射点不动，将反射点的速度反方向分别矢量加到卫星与接收机速度矢量上。即卫星与接收机等价速度为

(5)

(6)

图 2 非视距接收多普勒效应 Fig. 2 NLOS received doppler effect

图选项

式中：和分别为卫星和接收机的等价速度。
进一步，接收机接收到信号的多普勒效应等价于以反射点切面对称面中的镜像接收机接收到的多普勒频移。设接收机的镜像等价速度为，从而接收机接收到的多普勒频移为

(7)

式中：f′_d为接收机接收到的反射信号的多普勒频移。因为镜像位置与载体真实位置距离一般很小，所以可以近似2个地方卫星的单位观测向量相等，由式(4)~式(7)可得

(8)

可以看出，反射信号的多普勒频移与直射信号的多普勒频移具有一定的差值。考虑到一般无线电的入射向量即I与反射点切面法向量不垂直，可以得到如下推论：
1) 当反射点静止时，接收机也静止时，非视距接收信号的多普勒频移与直射信号保持一致，因此不产生误差。
2) 当反射点静止时，接收机运动，当且仅当接收机速度与反射点切面法向量垂直时，误差为0。接收机以其他方向运动时都会导致一个与接收机速度相关的误差。
3) 当反射点运动时，接收机静止，当且仅当反射点速度与反射点切面法向量垂直时，误差为0。反射点以其他方向运动时会导致一个与反射点速度相关的误差。
4) 当反射点运动时，接收机也运动，当且仅当接收机与反射点速度的矢量差与反射点切面法向量垂直时，误差为0。其他情况下误差不为0，其大小与接收机与反射点速度的矢量差在反射点切面法向量上的投影有关。
1.3 多路径接收对多普勒频移的影响 当接收机同时接收到卫星的直射信号与一个以上的反射信号时，称为多路径效应。多路径情况比非视距接收更为复杂。文献[18-20]对此进行了详细的推导论证，最后得到结论是锁频环会倾向于锁定更强的信号，也就是说，其多普勒频移会倾向于信号更强的路径。从而有如下推论：
1) 当接收机与反射点均静止时，不管接收机锁定的是直射信号还是反射信号，其多普勒频移都是准确的。
2) 当接收机或反射点运动时，其多普勒频移存在不确定性，即可能是准确的也可能不准确。
1.4 多普勒频移误差对速度的影响 当接收机具有4颗以上卫星时，根据式(3)，可以得到如下方程组：

(9)

式中：G为卫星几何矩阵；v_x、v_y、v_z为接收机真实速度; 表示由接收机钟漂导致的距离变化率，其大小等于光速乘以接收机钟速；δv_x、δv_y、δv_z和分别为接收机在不同方向的速度和钟速误差；残余向量为接收机真实伪距率减去卫星运动速度的投影；为多普勒频移误差与随机误差。
解得接收机误差与多普勒误差之间的关系为

(10)

可以看出，接收机的解算误差不仅与测量的多普勒误差有关，还与卫星的几何分布有关。当卫星的几何分布较差时，即使较小的多普勒频移误差也会产生较大的速度误差。考虑到接收机的钟的稳定度问题，接收机中所需要的各种频率都是由同一个基准频率振荡器提供。因此, 由接收机频率漂移产生的各误差在所有信号通道中是一致的^[17]。因此，在接收机的速度解算中，该项误差会被接收机钟漂所吸收(即解算的第4个未知量)，并不会对接收机速度产生影响，但是过大的基准振荡漂移可能会影响卫星信号的跟踪与捕获。
2 算例分析 为了验证第1节分析的正确性，采集了多个不同场景的GPS数据来进行分析。具体场景设置如表 1所示。实验1选择了一处开阔并且周围无移动人物或车辆地点，处于南京航空航天大学校园内。实验2位于南京航空航天大学一号楼天井处，周围也没有人员或车辆移动，如图 3(a)所示。由于天空视角极其狭窄，只有极少历元满足4颗以上卫星。实验3位于香港街道，周围可能存在车辆经过, 如图 3(b)所示。实验4为了保证数据开阔且无多路径，选用了远离地面的无人机数据，如图 3(c)所示。实验5选择了C地区峡谷车载实验数据, 如图 3(d)所示。摒弃卫星数不足的历元之后在不同场景采集的GPS数据利用多普勒频移进行速度的求解。静止状态下的参考速度为0，运动状态下的参考速度是使用高精度惯导与GNSS组合导航并且前向和后向平滑后的结果。所得到的各场景的速度误差如图 4所示。各个实验的均方根误差(Root Mean Square Error, RMSE)结果如表 2所示。
表 1 不同场景实验情况 Table 1 Tests under different scenarios

实验	载体运动状态	载体周围环境	接收机类型	有效历元数
实验1	静态	开阔地带(A地区校园)	NovAtel	36 180
实验2	静态	城市峡谷(A地区天井)	NovAtel	390
实验3	静态	城市峡谷(B地区街道)	NovAtel	38 798
实验4	动态	开阔地带(空中无人机)	Trimble	12 371
实验5	动态	城市峡谷(C地区街道)	NovAtel	3 712

表选项

图 3 部分场景实验 Fig. 3 Test photos of some scenarios

图选项

图 4 实验速度误差 Fig. 4 Velocity errors of tests

图选项

表 2 不同实验的RMSE Table 2 RMSE under different tests

实验	RMSE/(m·s-1)
	东向	北向	天向	总向
实验1	0.014	0.017	0.031	0.038
实验2	0.021	0.040	0.088	0.099
实验3	0.888	0.667	2.811	3.023
实验4	0.071	0.058	0.221	0.239
实验5	0.547	0.259	1.407	1.532

表选项






1) 对比实验1与实验2可以看出，当接收机处于静止并且周围没有移动的反射面时，开阔地带与城市峡谷中多普勒测速都能达到cm/s的精度。由于开阔地带具有更多的卫星数量与更好的几何精度因子，其精度略高于城市峡谷中结果。但是依然可以看出多路径效应并没有对实验2中的多普勒频移产生误差。
2) 对比实验2与实验3可知，实验2与实验3接收机都处于城市峡谷中，实验2的南京航空航天大学主楼天井天空视角更为恶劣。但是实验3中接收机处于B地区街头，来往的车辆产生了较为严重的多路径效应，导致了巨大的实验误差，甚至大于实验5在B地区城市峡谷中的动态实验的误差。
3) 对比实验1与实验4可得，在开阔地带周围无干扰情况下，动态实验误差(dm/s)比静态实验误差(cm/s)大了一个数量级。可以看出，动态情况下，接收机的振动导致了更大的热噪声，使得多普勒频移误差增大。
4) 对比实验4与实验5可得，在城市峡谷中GPS信号发生了更多的多路径效应。因此，在城市峡谷中的实验误差(m/s)比开阔地带的实验误差(dm/s)大了一个数量级。此外，在城市峡谷中仅靠GPS多普勒效应测速具有非常大的不可靠性，必须借助其他传感器的组合导航来减小误差。
3 结论 本文从多普勒频移形成原因入手，理论上分析了当接收机与反射点处于不同运动状态下的多普勒频移误差，并采集了多个场景下的GPS数据对分析进行了数据验证，所得结论如下：
1) 当接收机与反射点均处于静止时，无论是非视距接收信号还是多路径信号都不会对多普勒频移造成误差，因此在该条件下，利用多普勒可以测得一个相对比较高的精度结果(cm/s)。但是在开阔环境下，由于卫星的数量及几何构型更好，所得的结果会优于城市峡谷中结果。
2) 当接收机运动且没有多路径效应时，接收机也会因为载体振动导致的热噪声使得多普勒频移测得速度的误差变大(dm/s)。
3) 当多路径存在且反射点运动时，无论接收机运动或静止，多路径和非视距接收都有可能带来巨大的多普勒频移误差进而导致巨大的速度误差(m/s)，从而使得求解出的速度不具备可靠性。因此在城市峡谷中，仅靠GPS测速是不可行的，必须依靠和其他类型传感器组合导航输出结果。

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