在孔位修正过程中，通过基准孔孔位偏差推断待制孔孔位偏差的补偿算法是孔位修正的关键技术，国内外****对此进行了深入的研究。Zhu等[6]根据基准孔的偏差向量构造双线性误差平面，实现了待制孔理论位置的线性插值补偿，在小曲率工件制孔时该方法可以提高孔位精度。毕运波等[7]引入了法矢信息，提出了一种插值Coons曲面误差补偿法，采用直线和曲线拟合误差曲面，提高了飞机机身段对接部位的制孔精度。王青等[8]提出了一种基于孔边距约束和Shepard插值的孔位修正方法，该方法使用孔边距偏差修正约束孔位，使用Shepard插值方法修正其余孔位，保证了制孔边距。严秋白[9]针对双基准孔，提出通过基准孔获得待制孔理论位置和实际位置之间转换的方法，保证了机翼壁板较高的孔位精度。石循磊等[10]忽略飞机外形，提出一种基于Kriging模型插值的孔位修正策略，建立Kriging模型，通过基准孔位偏差推算出待制孔偏差进行误差补偿，该方法能够预测待制孔标准误差进而指导增添新的基准孔。综上所述，现有孔位修正方法主要分为3类：①曲线或曲面拟合插值方法，仅适用于飞机壁板、机身等小曲率部件孔位修正，对于大曲率和复杂曲率部件，该方法难以满足孔位精度要求，并且会出现制孔位置精度不均匀的问题；②转换矩阵方法，对孔位排布和基准孔数目有严格要求，适用范围小；③数学模型插值方法，能够适应多种类型部件，但为了保证较高的孔位精度，需增加基准孔数量，严重影响制孔效率。
针对上述问题，本文提出了一种基于遗传算法的插值Coons曲面孔位修正方法。与传统插值曲面法不同的是，该方法首先从飞机曲面构造角度出发，利用制孔区域边角4个基准孔构造双线性Coons误差曲面孔位补偿模型；其次，通过制孔区域内的基准孔对误差曲面形状进行约束，使拟合的双线性Coons误差曲面与实际制孔区域偏差最小，以提高待制孔误差补偿向量计算精度；最后，利用误差曲面模型计算所有待制孔的误差补偿向量，将其补偿到理论位置，满足了飞机装配的制孔位置精度要求。
1 误差曲面模型的构建 1.1 问题描述 在实际制孔中，即使是在机器人精确定位的情况下，由于零部件制造误差和安装误差的客观存在，误差会随着尺寸链的积累最终反映在孔位上，表现为实际孔位和理论孔位的偏差，如图 1所示。若直接采用离线编程系统输出的理论孔位进行制孔操作，会存在与实际应制孔位置的偏差，无法满足飞机装配的孔位精度要求[11]。利用基准孔位置偏差，推算待制孔的位置偏差，是目前常用的孔位补偿方法。在飞机零部件预装配过程中，采用人工方式制出预连孔并连接，为了不增加人工工作量、提高装配效率，可将预连孔定义为基准孔。因此在孔位补偿时，选择制孔区域边界附近的预连孔为边角基准孔，通过基准孔的偏差向量计算待制孔偏差，实现对待制孔的理论位置的补偿。
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| 图 1 理论曲面和实际曲面偏差 Fig. 1 Deviation of theoretical surface and actual surface |
| 图选项 |
从图 1可以明显地看出，待制孔的孔位偏差和待制孔与基准孔之间的位置有关，与基准孔距离越近，受其影响越大。因此，采用合理的方法定义待制孔与边角基准孔的位置关系是提高孔位精度的关键。基于平面的双线性插值补偿方法是比较传统的孔位修正方法，而实际上，飞机外形曲面主要由二次曲面、三次曲面等构成，待制孔偏差随着基准孔偏差的变换呈现非线性变换，采用平面构造误差模型函数会限制算法的应用范围。本文将从曲面构造的角度建立误差模型，采用双线性Coons曲面拟合制孔区域误差曲面，实现基准孔和待制孔位置关系的精确定义，从而计算出理论孔位和实际孔位的偏差。
1.2 误差曲面模型建立
1.2.1 Ferguson参数三次曲线拟合 曲线拟合是曲面拟合的基础，飞机零部件曲面本质上是由无数条曲线所构成，因此选择合理的曲线拟合方式对制孔区域曲面的精确拟合至关重要。考虑到Ferguson参数三次曲线既可生成带有拐点的平面曲线，又能生成空间中次数最低的参数多项式曲线，保证了制孔区域曲线的多样性，进而将其应用于制孔区域曲线[12-13]。
美国波音公司的Ferguson(1963)首先引入参数三次方程，在飞机设计中用于曲线和曲面的定义。参数三次曲线段用幂基表示为
 | (1) |
切矢为
 | (2) |
式中: v∈[0, 1]；a0、a1、a2、a3为待定矢量。给定曲线的首末端点P1、P2和切矢P′1、P′2，Ferguson参数三次曲线可以表示为
 | (3) |
式中:
1.2.2 双线性Coons曲面拟合 Coons曲面是在飞机曲面构造中被广泛应用的曲面，Coons曲面采用插值2个参数方向2组边界曲线的构造方法，并且曲线可以是任意类型参数曲线，因而采用Coons曲面构造方法可以构造出各种类型的制孔区域曲面片[14]。曲面拟合过程如图 2所示，首先在一对v边界之间由线性插值构造u向直纹面，类似地，在一对u边界之间构造另一v向直纹面。图中：Q(u, v)、R(u, v)和S(u, v)表示拟合过程的空间曲面。为了拟合出要求的曲面，把两直纹面进行迭加，而迭加导致多出了连接边角点的插值平面。最后，将平面减去，得到所要求得的双线性Coons曲面：
 | (4) |
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| 图 2 双线性Coons曲面拟合过程 Fig. 2 Process diagram of bilinear Coons surface fitting |
| 图选项 |
式中: u、v∈[0, 1]为区域内任意一点相对于边角点的空间坐标; P1、P2、P3和P4为边界控制点坐标。
1.2.3 误差曲面拟合 由上述分析可知，补偿理论坐标的关键在于基于基准孔误差推算待制孔误差补偿向量，即准确地定义出基准孔与待制孔之间的位置关系。显然，基准孔与待制孔之间的位置关系是基于其所处的飞机零部件曲面确定的，若能拟合出符合飞机零部件曲面的模型即可实现基准孔与待制孔之间的位置关系的精确定义，进而准确计算出待制孔理论孔位与实际孔位偏差。
基于Ferguson参数三次曲线和双线性Coons曲面可精准地拟合出飞机零部件制孔区域的曲线和曲面，采其拟合方式进行制孔区域曲面的构造。假定理论数模的制孔区域边界为三次曲线，即
 | (5) |
实际工件制孔区域边界为
 | (6) |
则误差曲线可以表示为
 | (7) |
式中: A0、A1、A2、A3、B3、B2、B1、B0为参数曲线的系数。
由于制孔区域4条边界曲线均为Ferguson参数三次曲线，因此误差曲面函数仍可以采用双线性Coons曲面进行构造。由式(1)~式(4)可得，制孔区域误差曲面模型函数：
 | (8) |
式中: u、v为待制孔相对于边角基准孔的空间坐标，将待制孔理论坐标投影到式(4)，可得该待制孔在u、v方向的坐标。根据上述误差曲面模型定义方式可明显地看出，4个边角基准孔应覆盖制孔区域，从预连孔中选取基准孔时应注意。
2 误差曲面模型的求解 在实际应用过程中，利用Ferguson参数三次曲线和双线性Coons曲面构造出来的误差曲面模型服从实际制孔曲面，因而将通过误差曲面模型计算出的误差补偿向量补偿到理论制孔坐标可实现孔位精度的提高。在式(8)构建的误差曲面模型中，边界误差曲线可表示为
 | (9) |
类似地，可得到其余3条误差曲线ΔP(1, v)、ΔP(u, 0)、ΔP(u, 1)。其中，边角基准孔的误差向量ΔP1、ΔP2、ΔP3、ΔP4可通过实际检测的坐标和理论坐标对比得到，而边角基准点切矢P′1、P′2、P′3、P′4则需要进一步求解。端点切矢可表示为
 | (10) |
式中: τ1、τ2、τ3、τ4为单位切矢(即切矢方向)；x1、x2、x3、x4为切矢模长。因此，切矢将分为方向和模长2部分进行求解。
2.1 切矢方向求解 在Ferguson参数三次曲线拟合时，需要端点切矢信息，仅靠制孔区域边角4个基准点坐标无法定义切矢，因此将边角基准点法矢信息引入曲线拟合中。已知基准点坐标P1、P2、P3、P4和法矢n1、n2、n3、n4，图 3为切矢计算示意图。设向量AB和n1构造的平面为α，np为平面α的法向量，则A点的单位切矢为
 | (11) |
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| 图 3 单位切矢计算示意图 Fig. 3 Schematic diagram of unit tangent vector calculation |
| 图选项 |
同理，可以得到B、C、D三点的单位切矢τ2、τ3、τ4。
2.2 切矢模长求解
2.2.1 切矢模长对误差曲面的影响 由计算机辅助几何设计学可知，在拟合参数曲线时，不仅要考虑矢量的方向，还要考虑矢量的模长[15]。如图 4所示，分别为首末端点坐标和切矢方向相同、切矢模长分别为0.1~10的7条曲线。由图可知，当切矢模长为0.1时，曲线平缓，中间段趋于直线；随着切矢模长逐渐增加，曲线渐丰；当切矢模长增长为5时，曲线丰满程度进一步增加，且曲线具有较大曲率；当切矢模长增长为10时，曲线由钝变锐，若进一步增大，可能会出现尖点现象。因此，当端点和切矢方向确定时，切矢模长是影响曲线及曲面几何形状的关键因素，即随着切矢模长的增大，曲线由扁平变得丰满直至尖锐，进而使曲面由平坦变得凸起。
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| 图 4 切矢模长对曲线丰满程度的影响 Fig. 4 Influence of tangent vector length on the fullness of curves |
| 图选项 |
2.2.2 基于遗传优化算法的切矢模长求解 由2.2.1节分析可知，切矢模长对误差曲面形状有重要影响，确定合理的切矢模长是保证孔位精度的关键。在误差曲面模型中，4个切矢模长最优解随机分布在约束范围内，无法准确将其搜索到。而遗传算法在求解问题时，不需要目标函数梯度等信息来确定搜索方向，可以遍历切矢模长约束范围求解出最优值，并且遗传算法可以实现带有复杂约束的单目标或多目标函数问题的求解[16-17]。因此，遗传算法适用于误差曲面切矢模长的求解，其流程如图 5所示，算法主要步骤如下：
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| 图 5 遗传算法求解切矢模长流程 Fig. 5 Genetic algorithm for computing the tangent vector modulus length |
| 图选项 |
步骤1 ?产生初始种群。设计变量是设计过程中用来调整和优化的独立变量，可以表达出目标函数，根据上述分析选取切矢模长为设计变量。在常见的遗传算法工具箱中，初始种群的产生都需要变量上下界约束，根据经验值取[0, 1.0]为变量范围。再初始化种群，即算法中给出随机问题的一组解，按照给出的适应度函数选择出适应度高的个体组成初始种群{x1, x2, …, xn}。
步骤2 ?适应度函数。根据曲面构造原理可知，拟合的误差曲面与制孔区域曲面越接近，修正后的孔位精度越高，且误差曲面随着切矢模长的变化而变化。由于4个边角基准孔信息无法确定理想的切矢模长，因而以制孔区域内基准孔的孔位误差为优化目标。已知基准孔理论与实际误差向量ΔPi+4，根据误差曲面模型函数式(8)可得此误差曲面模型下的误差补偿向量ΔPi+4(x1, x2, x3, x4)，且ΔPi+4与ΔPi+4(x1, x2, x3, x4)相差越小，误差曲面越接近制孔区域曲面。根据上述分析，目标函数定义为
 | (12) |
步骤3 ?终止条件。由于存在产品制造误差、机器人定位误差等无法避免的随机系统误差，因此即使是最优的解，孔位误差值也无法完全消除，即无法预测目标函数收敛值。并且运算结果可能会短时间稳定在局部最优解。因此，本文选择完成一定数量的计算代数Ni作为终止条件，并进行多次运算寻找较合适的计算代数。
由式(12)可知，目标函数与制孔区域内基准孔紧密相关，且目标函数数量由基准孔数量决定，因而制孔区域内基准孔的排布将影响切矢模长的求解。在紧固件孔位排布设计过程中，孔间距和孔排距有严格的要求，为了避免对孔位排布的破坏，基准孔将从待制孔中选取。由上述分析可知，基准孔位置和基准孔数量影响切矢模长的求解，而制孔区域内待制孔数量较多，无法确定最优基准孔方案。因此，将通过试验对影响规律进行研究，依据大量试验结果，确定最优的基准孔排布方案，即在此方案基础上可实现最高孔位精度。
通过遗传算法对切矢模长优化求解后，可确定误差曲面函数ΔP(u, v)，利用ΔP(u, v)实现对待制孔误差补偿向量的计算，完成对理论制孔坐标的补偿。在误差曲面模型建立过程中，采用双线性Coons曲面既可拟合出简单曲面又可拟合出双曲度复杂曲面，使方法通用性增加。且本文方法通过遗传优化模型调节双线性Coons曲面的切矢模长，使方法适用于多种曲率曲面，保证了误差补偿向量计算精度，进一步提高孔位精度。
3 试验验证与结果讨论 为了验证孔位修正算法的有效性，搭建了机器人孔位检测试验平台，如图 6所示，平台由Rapidscan(双目视觉检测系统)、激光跟踪仪、库卡KR-500机器人和试验工件组成。筒状零部件作为航空航天零部件的典型结构，其上2个基准孔之间的连线在表面的投影有直线、二次曲线及三次曲线，将大曲率筒状工件用作试验件能够保证试验结果的可靠性。为了消除机器人制孔误差的影响，大曲率筒状工件的基准孔与待制孔采用3D打印技术进行加工，并将工件安装在指定位置。
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| 图 6 试验平台 Fig. 6 Experimental platform |
| 图选项 |
3.1 孔位修正试验验证
3.1.1 理论制孔坐标获取 试验工件三维数模如图 7所示，其中A1、B1、C1、D1为该制孔区域的边角基准孔，待制孔1~15均匀分布在制孔区域内。数模上的理论坐标和法矢作为机器人制孔依据，通过离线编程系统将其提取并输出。本文试验件制孔区域基准孔理论坐标和法矢如表 1所示。
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| 图 7 试验工件孔位分布 Fig. 7 Distribution map of hole positions of test pieces |
| 图选项 |
表 1 边角基准孔理论坐标及法矢 Table 1 Theoretical coordinate and normal vector of corner reference holes
| 基准孔 | (x, y, z) /mm | 法矢 |
| A1 | (44.721, 89.443, 20) | (0.447 2, 0.894 4, 0) |
| B1 | (76.022, 64.967, 20) | (0.760 2, 0.649 7, 0) |
| C1 | (76.022, 64.967, -20) | (0.760 2, 0.649 7, 0) |
| D1 | (44.721, 89.443, -20) | (0.447 2, 0.894 4, 0) |
表选项
3.1.2 实际制孔坐标获取 为了验证本文所提出的基于遗传算法的插值Coons曲面方法的补偿效果，需要知道实际制孔坐标，将补偿后的坐标与实际制孔坐标进行对比，可实现对算法补偿效果的验证。
首先，双目视觉检测系统对试验工件进行扫描，借助激光跟踪仪得到试验工件的点云数据；采用SA (Spatial Analyzer)软件进行点云数据处理，该软件具有自动特征提取、多种坐标系拟合以及与激光跟踪连接等功能。其次，将点云数据导入SA软件中，通过对已加工孔边缘进行特征提取，拟合出圆心位置，得到实际制孔坐标；最后，建立工件坐标系，输出工件坐标系下的实际制孔坐标。对比理论坐标和实际坐标，得到孔位偏差分别如表 2、表 3所示，基于第1、2节所提出的孔位修正方法，构建误差曲面模型、计算误差补偿向量，补偿理论制孔坐标。
表 2 边角基准孔孔位偏差 Table 2 Position deviation of corner reference holes
| 基准孔 | Δx /mm | Δy /mm | Δz /mm |
| A1 | -1.702 | 0.517 | -0.049 |
| B1 | -0.691 | 0.858 | -0.203 |
| C1 | -0.624 | 0.809 | -0.402 |
| D1 | -1.82 | 0.712 | -0.161 |
表选项
表 3 待制孔孔位偏差 Table 3 Position deviation of hole to be drilled
| 孔号 | Δx /mm | Δy /mm | Δz/mm |
| 1 | -1.518 | 0.702 | -0.098 |
| 2 | -1.509 | 0.694 | -0.148 |
| 3 | -1.65 | 0.832 | -0.259 |
| 4 | -1.528 | 0.796 | -0.233 |
| 5 | -1.318 | 0.754 | -0.133 |
| 6 | -1.207 | 0.716 | -0.134 |
| 7 | -1.235 | 0.941 | -0.056 |
| 8 | -1.365 | 1.021 | -0.488 |
| 9 | -1.276 | 0.806 | -0.282 |
| 10 | -1.151 | 0.948 | -0.201 |
| 11 | -0.732 | 0.674 | 0.064 |
| 12 | -0.874 | 0.793 | -0.152 |
| 13 | -0.87 | 0.757 | -0.08 |
| 14 | -0.935 | 0.877 | -0.303 |
| 15 | -0.833 | 0.871 | -0.274 |
表选项
3.1.3 实际制孔坐标仿真 在机器人自动制孔过程中，基准孔作为孔位修正的基础需提前制出，而制孔区域内的基准孔要依据试验结果进行规划，因此在实际制孔前需要先进行试验确定最优的基准孔排布方案，导致了工作量的增加。本文尝试通过仿真获取实际制孔坐标，同样采用第1、2节所述方法进行孔位修正，将仿真数据和实际检测数据孔位修正结果进行对比，若两者结论相同，则说明仿真数据设置合理，即可以通过仿真数据来确定合理的基准孔排布。
在工件安装时，会因变形和位置偏移而产生孔位误差；在基准孔检测过程中，也会产生孔位检测误差，且该误差服从正态分布。根据上述分析对理论孔位添加安装误差和检测误差，使理论孔位产生偏移，偏移后的坐标为实际制孔坐标，如图 8所示。
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| 图 8 孔位仿真 Fig. 8 Hole position simulation |
| 图选项 |
3.2 结果分析 分别采用双线性插值法、插值Coons曲面法和基于遗传算法的插值Coons曲面法，对待制孔的理论坐标进行修正，修正后的孔位误差如图 9和表 4所示。由图 9可知，相比于孔位修正前，3种方法皆大幅降低孔位误差；采用基于遗传算法的插值Coons曲面法修正后每个孔位误差都小于插值Coons曲面法；双线性插值法虽产生最小孔位误差，但孔位误差极不均匀。由表 4、表 5可知，采用基于遗传算法的插值Coons曲面法修正后平均孔位误差为0.195 6 mm，而采用双线性插值法和插值Coons曲面法平均孔位误差分别为0.325, 0.259 2 mm；从仿真数据孔位修正结果来看，3种方法修正后平均孔位误差分别为0.281, 0.324, 0.35 mm。因此，基于遗传算法的插值Coons曲面法具有更高的孔位精度。由上述分析可明显地得出，相比于双线性插值法和插值Coons曲面法，基于遗传算法的插值Coons曲面法计算更为复杂，所需计算时间增加。在本试验中，3种方法计算15组数据所用时间分别为1.57, 1.78, 2.15 s，可见计算效率并未发生大幅度下降，为了提高制孔位置精度而导致计算效率小范围的下降是可接受的。
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| 图 9 3种孔位修正方法孔位精度对比图 Fig. 9 Comparison of hole position accuracy of three hole position correction methods |
| 图选项 |
表 4 孔位修正后的孔位误差对比 Table 4 Comparison of hole position errors after hole position correction
| 类型 | 孔位误差范围/mm | 平均值/mm |
| 孔位修正前 | [0.997, 1.866] | 1.476 2 |
| 双线性插值法 | [0.0314, 0.703] | 0.325 |
| 插值Coons曲面法 | [0.105, 0.608] | 0.259 2 |
| 基于遗传算法的插值Coons曲面法 | [0.058 2, 0.487] | 0.195 6 |
表选项
表 5 仿真数据孔位修正后结果对比 Table 5 Comparison of results after hole position correction of simulation data
| 类型 | 孔位误差范围/mm | 平均值/mm |
| 孔位修正前 | [1.745, 2.655] | 2.215 |
| 双线性插值法 | [0.129, 0.693] | 0.324 |
| 插值Coons曲面法 | [0.205, 0.477] | 0.35 |
| 基于遗传算法的插值Coons曲面法 | [0.132, 0.437] | 0.281 |
表选项
由于基准孔的位置和数量对孔位精度有重要影响，需对其位置和数量进行研究。采用5个基准孔，且边角基准孔保持不变，分别将15个待制孔作为调节误差曲面切矢模长的约束基准孔，进行基准孔位置对孔位精度影响的试验，试验结果如图 10所示。从图中2条误差曲线可以清晰地看出，制孔区域内不同位置基准孔的孔位精度相差较大。在1~5号、6~10号、10~15号待制孔中，3号、8号、13号居中，具有更高的孔位精度，而1号、5号、11号等靠近边界，孔位精度较低；在3号、8号、13号中，位于中心的8号孔具有最高的孔位精度；并且2条误差曲线都具有较大的极差，证实了基准孔位置对孔位精度的重要影响。由图 10可知，孔位精度几乎都是随着区域内基准孔靠近中心位置而增大的。当基准孔靠近中心时，基准孔之间分布更为均匀，使拟合的误差曲面更加符合制孔区域曲面，进而提高了孔位精度，因此在规划基准孔时，基准孔之间应均匀分散。
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| 图 10 基准孔位置对孔位误差的影响 Fig. 10 Effect of reference hole position on hole position error |
| 图选项 |
为了说明基准孔数量对孔位精度的影响，取相同边角基准孔，增加基准孔数量进行试验，试验结果如图 11所示。由图中2条曲线可知，基准孔从较小数量开始增加时孔位误差下降比较快，此后下降较平缓，而基准孔增加至7个后，甚至有孔位误差增大的情况，且继续增加基准孔也难以实现孔位误差的大幅下降。制孔区域内基准孔为误差曲面约束点，适当增加约束点数量，可使误差曲面更符合实际制孔曲面，从而提高孔位精度；当基准孔过多时，可能会产生过约束，约束点之间相互限制难以实现将每个孔的误差最小化，无法进一步降低孔位误差。另外，增加基准孔的数量会增加预装配工作量和基准检测时间，进而影响制孔效率，因此，确定最优的基准孔数量是实现制孔精度和制孔效率平衡的关键。由上述分析可知，对于本文，4个边角基准孔和3个区域内基准孔为最优方案。
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| 图 11 基准孔数量对孔位误差的影响 Fig. 11 Effect of the number of reference holes on hole position error |
| 图选项 |
从图 10、图 11中可以明显的看出，检测数据和仿真数据在进行孔位修正后具有相同的试验结果，由此说明通过仿真得出的实际孔位数据是合理的。综上所述，在自动化制孔前，可以采用仿真数据来确定最优的基准孔排布。
4 结论 1) 针对飞机零部件自动装配过程中理论制孔孔位和实际制孔孔位存在偏差的问题。提出了一种新的孔位修正方法，即基于遗传算法的插值Coons曲面法。该方法利用基准孔的误差向量和切矢拟合误差曲面函数，通过误差曲面函数推算待制孔误差补偿向量，对理论孔位进行修正。在拟合误差曲面时，采用双线性Coons曲面拟合方式，并且引入遗传算法求解误差曲面的最优切矢模长，使误差曲面更符合制孔区域曲面，提高了实际制孔孔位精度，解决了现有孔位修正方法应用在大曲率零部件制孔时所导致的孔位精度较低的问题。
2) 试验结果表明，基于遗传算法的插值Coons曲面法可显著提高孔位精度。与孔位修正前相比，基于遗传算法的插值Coons曲面法将孔位误差降低了86.75%；与双线性插值法和插值Coons曲面法相比，孔位误差分别降低了3.5%~10%。
3) 研究了基准孔位置和基准孔数量对孔位精度的影响。试验结果表明，当边角基准孔确定后，通过基准孔之间均匀分散的排布和增加基准孔皆能提高孔位精度，最优基准孔排布方案可通过仿真数据的孔位修正结果得到。
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