目前对雷达LPI性能评估的研究主要集中在截获因子上面。文献[3]使用Schleher截获因子，表征截获距离和发现距离的比值。文献[4]通过分析电子支援系统和雷达的动态博弈，给出一套LPI性能评估体系。文献[5]着重分析了雷达波形域的特征，将相对熵和波形截获因子加权进行评价。文献[6-7]构建了一套仅从自身辐射性能出发，不依赖于敌方截获接收机探测能力的评估指标。文献[8]应用一种改进的直觉模糊算法对雷达LPI性能进行评价。然而专家在打分的过程中可能会存在意见不一致或犹豫不决的情况，针对该问题，文献[9]首次提出犹豫模糊集(Hesitant Fuzzy Set, HFS)理论，该理论自提出后得到了广泛的应用，尤其是在多属性决策评估等领域[10-12]，HFS可以综合考虑定性和定量指标，以专家赋予评估值的方式整合指标信息得到评估结果。为了获取所有待评价方案的排序结果，文献[13]首次将逼近理想解排序(Technique for Order Preference by Similarity to an Ideal Solution, TOPSIS)[14]理论与犹豫模糊集相结合，用待评价方案与正负理想解之间的贴近度来衡量方案的优劣。但由于评价指标的权重信息未知，很难精确反映雷达波形域LPI性能。
指标权重的确定方法包括主观赋权法、客观赋权法。本文从决策数据出发，在考虑专家评价意见的基础上综合属性和方案2个角度构建指标权重优化模型，并运用改进萤火虫算法(Improved Firefly Algorithm, IFA)来求解最优指标权重，从而获得评价指标的最优权重值，在此基础上，利用TOPSIS犹豫模糊集理论解决雷达波形域LPI性能评估问题，给出待测雷达波形域LPI性能的排序结果。
1 基于TOPSIS的犹豫模糊理论 1.1 犹豫模糊决策矩阵 若方案集为A={A1, A2, …, An}，指标集为X={X1, X2, …, Xm}，则第i个方案Ai关于指标X的犹豫模糊集可以表示为
 | (1) |
式中：hAi(xj)表示第i个方案Ai在第j个指标xj下可能的隶属度，由一个犹豫模糊元素hij表示，且hAi(xj)={γ∣γ∈hAi(xj), 0≤γ≤1}，i=1, 2, …, n，j=1, 2, …, m。γ在本文中表示专家的原始评估值，则犹豫模糊决策矩阵可以表示为
 | (2) |
下一步需要对犹豫模糊决策矩阵进行规范化处理。雷达波形域LPI性能评估的目的是为隐身波形的设计和功率管控策略提供指导依据，因此需要从严判定，在评估过程中宁可打分较低，在此基础上，本文选用悲观原则[15]对矩阵进行规范化处理，即添加最小值到犹豫模糊元素，使得每个元素包含的数值个数相等。此外，根据选取的指标特征不同，将指标分为效益型和成本型2种，效益型指标是指评估值越大越好；成本型指标是指评估值越小越好。本文统一将成本型指标的评估值转化为效益型指标的评估值，则犹豫模糊元素hij可以表示为
 | (3) |
1.2 基于TOPSIS的犹豫模糊集 在规范化犹豫模糊决策矩阵确定之后，若通过各种犹豫模糊集成算子来集成，可能会丢失大量信息[16]，故而使用TOPSIS方法来度量方案的优劣。这种方法通过计算每一种方案与正负理想解之间的距离来衡量方案的好坏，如果某方案距离正理想解越近，离负理想解越远，则该方案更优。
具体计算过程如下，若正理想解为A+, 负理想解为A-，其定义式分别为
 | (4) |
 | (5) |
将犹豫模糊元素中的数值降序排列，令σ:(1, 2, …, n)→(1, 2, …, n)为一个排列，则hijσ(q)表示hij中第q大的值。
若每个犹豫模糊元素的长度为l，指标xj的权重为ωj(此处ωj的求解过程将在1.3节中阐述)，则各方案与正理想解和负理想解之间的距离分别为
 | (6) |
 | (7) |
式中：hj+和hj－分别为指标xj约束下的正负理想解集合，即
 | (8) |
式中：0≤c(Ai)≤1, i=1, 2, …, n，c(Ai)越大，说明距离正理想解越近，离负理想解越远，即该种雷达的波形域LPI性能越好。
1.3 指标权重的优化模型 本文指标权重的确定主要从属性和方案2个角度来构造目标函数。若每一种方案在某属性的约束下评估值差异很大，则说明该属性在评价过程中扮演着十分重要的作用，其权重必然更大[17]，由此可以构建权重优化模型M1:
 | (9) |
式中：d1(ωj)为从属性角度考虑的权重目标函数，ωj为指标xj的权重；hijσ(q)表示hij中第q大的值；hkjσ(q)表示hkj中第q大的值。
用得分值s(hij)来表征hij的大小：
 | (10) |
式中：d2(ωj)为从方案角度考虑的权重目标函数。用加权法线性叠加上述2个模型，可得模型M3：
 | (11) |
式中：a和b表示决策者的偏好度，当a=1, b=0时，说明决策者更加偏重属性信息在权重确定过程中的作用，此时的模型就是M1；同理。当a=1, b=0时，模型为M2，此时决策者更加关注方案对权重的影响。
2 利用IFA求解指标权重 萤火虫算法具有简单易行、迭代次数少、寻优精度高的特点[18]。但是原始算法在进行到后期的时候，容易陷入局部最优, 因此本文将混沌理论[19]应用于算法当中，提出一种改进萤火虫算法，方便求解1.3节中的优化模型。
萤火虫的相对亮度为
 | (12) |
式中：I0为萤火虫的最大发光亮度，M3中的目标函数值越大，则萤火虫自身亮度越强；λ为光强吸收系数；dxy为萤火虫x和y之间的间隔距离。
萤火虫之间的吸引度为
 | (13) |
式中：β0为萤火虫的最大吸引力。当萤火虫y被x吸引之后，位置会发生移动，其位置更新公式为
 | (14) |
式中：ry(n)、rx(n)分别为萤火虫y和x当前所在位置；ry(n+1)为萤火虫y位置更新后所处的位置；α∈[0,1]为步长因子；rand∈[0, 1]为服从均匀分布的随机因子，最后一项α(rand-0.5)为扰动项。
将混沌理论引入萤火虫算法，选出一部分精英萤火虫，对其进行混沌优化，先用Tent映射得到其混沌序列，再将所得到的混沌序列映射回原优化空间。在解决局部寻优问题之后，再设法提高搜索精度，对扰动项也进行处理，得到新的位置更新公式：
 | (15) |
 | (16) |
 | (17) |
式中：λ(t)和α(t)为混沌序列，t为迭代次数。IFA对属性权重的优化流程如图 1所示。
 |
| 图 1 利用IFA求解指标权重流程图 Fig. 1 Flowchart of solving indicator weight by IFA |
| 图选项 |
3 雷达波形域评估指标的建立 雷达波形域LPI性能评估指标的选取，是正确进行评估的关键。指标的选取应该遵循系统性、差异性、可测性的原则。基于此，本文以脉冲体制的雷达为例，从脉间信息和脉内信息2个方面，分别选择时宽带宽积、工作比；脉内瞬时相位、瞬时幅度、瞬时频率来评估雷达波形域LPI性能。如图 2所示，上述5个指标从脉内和脉间2个方面入手，综合考虑了雷达信号的截获特征，具有一定的逻辑关系，因此符合系统性的原则；且能从不同角度客观反映雷达波形信息，在实际应用中也方便量测，具有很强的可操作性，所以也满足差异性和可测性的原则。
 |
| 图 2 波形域评估指标结构 Fig. 2 Structure of waveform domain evaluation indicator |
| 图选项 |
3.1 脉间信息 1) 时宽带宽积C1：脉冲压缩体制的雷达可以获得较大的时宽带宽积，一般来说时宽带宽积越大，意味着可在同样分辨率下发射较低峰值功率的大时宽信号，其LPI性能更好。
2) 工作比C2：若脉冲重复周期为Tr，信号脉宽为τ，则工作比τ/Tr表示雷达发射时间与总时间的比值，若雷达工作比增大，说明单位时间内发射的脉冲数增多，更易被敌方截获。因此，小的工作比有利于提高信号LPI性能。
3.2 脉内信息 信号脉内特征可以用瞬时相位C3、瞬时幅度C4和瞬时频率C5来表示。从截获概率上来说，脉内信号特征越复杂，越不容易被敌方发现识别[20]。以线性调频信号和二相编码信号为例，应用Winger-Ville变换将脉内信号的瞬时信息提取出来，如图 3、图 4所示，这里设置参数如下：线性调频信号采样频率1 000 MHz，载波频率100 MHz，调制斜率为50；二相编码信号采用7位巴克码[1 1 1 0 1 0 1]，采样频率100 MHz，载波频率10 MHz，码宽0.5 μs。可以看出二相编码信号的脉内特征更为复杂，LPI性能更优。
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| 图 3 LFM信号脉内信息 Fig. 3 LFM signal inter-pulse information |
| 图选项 |
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| 图 4 二相编码信号脉内信息 Fig. 4 Two-phase coded signal inter-pulse information |
| 图选项 |
上述评估指标中，C1和C2是可以根据雷达设计指标计算出来的，属于定量指标；脉内瞬时相位C3、幅度C4、频率C5根据不同的波形和噪声，能提取出不同的结果，属于定性指标。因此需要使用HFS作为工具，汇总不同指标信息，进而整体评估雷达波形域LPI性能。另外，5种指标的类型总结如下：C2属于成本型指标；C1、C3、C4和C5属于效益型指标。本文将所有指标统一规范化处理为效益型指标，以便于根据式(4)、式(5)提取出正负理想解，从而准确计算贴近度函数。
4 基于IFA-HFS的雷达波形域LPI性能评估过程 在实际评估过程中，专家因为知识背景和所学专业的不同，往往在评估过程中存在意见不一致的情况，这更符合当前日趋复杂的应用环境。因此本文选用基于IFA优化指标权重的犹豫模糊集来评估雷达波形域的LPI性能，具体评估过程如下：
步骤1??组织专家对待测雷达匿名评价，若各位专家打分相同，则相同结果只出现一次。汇总形成犹豫模糊决策矩阵。
步骤2??将指标统一转换为效益型指标，并根据悲观原则规范化处理犹豫模糊决策矩阵。
步骤3??根据规范化犹豫模糊决策矩阵计算各犹豫模糊元素得分值和偏离度值，并根据式(11)得到指标权重优化函数。在不同a、b值的约束下用IFA求解最优指标权重。
步骤4??根据式(4)、式(5)从规范化犹豫模糊决策矩阵中得到正负理想解，并利用式(6)、式(7)算得每一种雷达距离正负理想解的距离di+和di-。
步骤5??根据式(8)计算待评估雷达的贴近度，对待评估雷达的波形域LPI性能排序，得到评估结果。
5 雷达波形域LPI性能评估算例分析 以美军的4种雷达为例，评估其波形域LPI性能，验证提出的评估算法，待评估雷达参数见表 1。
表 1 雷达波形域基本参数 Table 1 Basic radar waveform parameters
| 雷达型号 | AN/APQ-7 | AN/APG-66 | AN/ASG-14 | AN/APS-10 |
| 名称 | 机载轰炸瞄准雷达 | 火力控制雷达 | 搜索测距雷达 | 机载搜索雷达 |
| 波段 | X | X | X | X |
| 体制 | 脉冲 | 脉冲多普勒或顺序波瓣转换 | 脉冲 | 脉冲 |
| 脉冲重复频率/Hz | 400, 800, 1 600 | 900 | 1 000±25 | 405, 810 |
| 脉冲宽度/μs | 0.75, 0.4, 2 | 0.85 | 1, 0.5 | 0.8, 2.2 |
表选项
步骤1??邀请专家们对4种雷达的波形域LPI性能进行评估，专家给出每一种雷达在不同指标下的评估值，从而得到犹豫模糊决策矩阵，如表 2所示。
表 2 犹豫模糊决策矩阵 Table 2 Hesitant fuzzy decision matrix
| 雷达型号 | C1 | C2 | C3 | C4 | C5 |
| AN/APQ-7 | [0.8, 0.5, 0.4, 0.3, 0.1] | [0.9, 0.4, 0.1] | [0.3, 0.2, 0.1] | [0.6, 0.3] | [0.9, 0.7, 0.6] |
| AN/APG-66 | [0.8, 0.7, 0.6, 0.1] | [0.6, 0.5, 0.4] | [0.8, 0.7, 0.6, 0.5, 0.3] | [0.4, 0.3] | [0.8, 0.7, 0.6, 0.4] |
| AN/ASG-14 | [0.8, 0.7, 0.2, 0.1] | [0.9, 0.7, 0.6, 0.5] | [0.8, 0.7, 0.6, 0.4, 0.1] | [0.9, 0.8, 0.6, 0.5] | [0.5, 0.3] |
| AN/APS-10 | [0.5, 0.4] | [0.8, 0.7, 0.6, 0.4] | [0.8, 0.2, 0.1] | [0.9, 0.8, 0.7, 0.6, 0.4] | [0.5, 0.4, 0.3, 0.1] |
表选项
步骤2??为简便起见，将雷达型号用Ai, i=1, 2, 3, 4代替。根据式(3)将5种指标统一转化为效益型指标；再根据悲观原则将原矩阵进行规范化处理，结果如表 3所示。
表 3 规范化犹豫模糊决策矩阵 Table 3 Normalized hesitant fuzzy decision matrix
| 方案 | C1 | C2 | C3 | C4 | C5 |
| A1 | [0.9, 0.7, 0.6, 0.5, 0.2] | [0.9, 0.6, 0.1, 0.1, 0.1] | [0.3, 0.2, 0.1, 0.1, 0.1] | [0.6, 0.3, 0.3, 0.3, 0.3] | [0.9, 0.7, 0.6, 0.6, 0.6] |
| A2 | [0.9, 0.4, 0.3, 0.2, 0.2] | [0.6, 0.5, 0.4, 0.4, 0.4] | [0.8, 0.7, 0.6, 0.5, 0.3] | [0.4, 0.3, 0.3, 0.3, 0.3] | [0.8, 0.7, 0.6, 0.4, 0.4] |
| A3 | [0.9, 0.8, 0.3, 0.2, 0.2] | [0.5, 0.4, 0.3, 0.1, 0.1] | [0.8, 0.7, 0.6, 0.4, 0.1] | [0.9, 0.8, 0.6, 0.5, 0.5] | [0.5, 0.3, 0.3, 0.3, 0.3] |
| A4 | [0.6, 0.5, 0.5, 0.5, 0.5] | [0.6, 0.4, 0.3, 0.2, 0.2] | [0.8, 0.2, 0.1, 0.1, 0.1] | [0.9, 0.8, 0.7, 0.6, 0.4] | [0.5, 0.4, 0.3, 0.1, 0.1] |
表选项
步骤3??选取不同a, b值，得到最优指标权重如表 4所示。
表 4 不同模型参数下的最优属性权重 Table 4 Optimal attribute weights under different model parameters
| 模型中的参数(a, b) | [ω1, ω2, ω3, ω4, ω5] |
| a=1, b=0(M1) | [0.217 3, 0.232 7, 0.183 3, 0.172 8, 0.193 9] |
| a=0.7, b=0.3(M3) | [0.228 7, 0.211 3, 0.194 2, 0.186 7, 0.179 1] |
| a=0.5, b=0.5(M3) | [0.201 6, 0.218 4, 0.187 6, 0.196 1, 0.196 3] |
| a=0.3, b=0.7(M3) | [0.213 9, 0.196 1, 0.203 8, 0.189 5, 0.196 7] |
| a=0, b=1(M2) | [0.210 3, 0.189 7, 0.204 9, 0.197 4, 0.197 7] |
表选项
将M3中的d(ωj)作为萤火虫亮度的目标函数值，以a=0.5, b=0.5为例分析目标函数值与迭代次数之间的关系，如图 5所示，可以看出用IFA优化指标权重，基本在第20次左右就已经趋于稳定，收敛速度较快，能够比较迅速地得到最优指标权重。
 |
| 图 5 IFA优化指标权重的迭代过程 Fig. 5 Iterative process of indicator weights optimized by IFA |
| 图选项 |
步骤4??本文选取a=0.5, b=0.5为例进行分析，此时，指标权重为
ωj=[0.201 6, 0.218 4, 0.187 6, 0.196 1, 0.196 3]
j=1, 2, 3, 4, 5
根据式(4)、式(5)可以得到正负理想解分别为
 |
再利用式(6)、式(7)算得每一种雷达距离正负理想解的距离di+和di－分别为
 |
步骤5??根据式(8)算得待评估雷达的贴近度c(Ai)分别为
 |
由此可以得到4种雷达波形域LPI性能最终排序为A2>A3>A1>A4，即AN/APG-66>AN/ASG-14>AN/APQ-7>AN/APS-10。在本文中，波形域LPI性能最好的一款雷达是AN/APG-66。
6 结论 1) 评估方法摆脱了传统“辐射——接收”模型的限制，从发射方角度出发提取波形域LPI性能评估指标，在不掌握截获接收机性能的前提下也可以判断波形域LPI性能优劣。
2) 与传统的专家赋权相比，用IFA优化指标权重，能够使指标权重更为客观、准确。仿真结果表明，采用基于IFA求解指标权重，迭代次数快，寻优精度高。
3) 考虑了专家在打分过程中存在意见不一致或犹豫不决的现象，引入基于TOPSIS的犹豫模糊集，依据待评估雷达与正负理想解的贴近度，判断波形域LPI性能好坏，使得评估结果更加合理。
4) 评估方法可以有效得到不同雷达波形域LPI性能的排序结果，增强了波形域LPI性能评估的准确性。该评估方法为下一步雷达波形设计、隐身作战提供了理论基础。
利用犹豫模糊集作为评估工具，可以帮助专家综合定量和定性指标，统一给出评价信息，并克服专家意见不一致带来的影响。除面向雷达等单一设备的评估以外，还可以将犹豫模糊集扩展到战斗机、航空集群等搭载多种用频设备的复杂系统LPI性能评估问题中，从而充分发挥犹豫模糊集理论在处理复杂评估问题中的优势。
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