doi:10.12202/j.0476-0301.2019276齐宗会¹,
汪晖²,
刘永平^3,,
1.天津商业大学宝德学院， 300384，天津
2.天津师范大学数学科学学院， 300387，天津
3.北京师范大学数学科学学院， 100875，北京
基金项目:国家自然科学基金资助项目（11871006）

详细信息

通讯作者:刘永平（1955-），男，教授，博士. 研究方向：函数逼近论. e-mail：ypliu@bnu.edu.cn

中图分类号:O174.41

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出版历程

收稿日期:2019-10-22
网络出版日期:2021-01-09
刊出日期:2020-12-01

An extension of the sharp Wirtinger inequality

Zonghui QI¹,
Hui WANG²,
Yongping LIU^3,,
1. Boustead College, TianJin Commerce University, 300384, Tianjin, China
2. Department of Mathematics, Tianjin Normal University, 300387, Tianjin, China
3. Department of Mathematics, Beijing Normal University, 100875, Beijing, China



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摘要
摘要:给出了一类精确的华林不等式：设$a \leqslant {x_1} < {x_2} < \cdots < {x_r} \leqslant b$，则对任给满足条件$f({x_1}) = f({x_2}) = \cdots = $$ f({x_r}) = 0$的函数$f \in W_q^r[a{{\rm{,}}}b]$，有${\left\| f \right\|_p} \leqslant C(p{{\rm{,}}}q){(b - a)^{r + {1 / p} - {1 / q}}}{\left\| {{f^{(r)}}} \right\|_q}{{\rm{,}}}\;\;1 \leqslant p{{\rm{,}}}q \leqslant \infty $．首先，基于拉格朗日插值的积分型余项公式，将$C(p{{\rm{,}}}q)$的计算转化为一个积分算子的范数；其次，将$C(1{{\rm{,}}}1)$和$C(\infty {{\rm{,}}}\infty )$的值转化为2个显式积分表达式，并将$C(2{\rm{,}}2)$的值转化为计算一个希尔伯特-施密特算子的最大特征值；最后，用一个例子说明．
关键词:拉格朗日插值/
L_p-范数/
特征值/
华林不等式
Abstract:In this study, we give a sharp Wirtinger inequality ${\left\| f \right\|_p} \text{≤} C(p{\rm{,}}q){(b - a)^{r + {1 / p} - {1 / q}}} {\left\| {{f^{(r)}}} \right\|_q}{{\rm{,}}}\;\; 1 \text{≤} p{{\rm{,}}} q \text{≤} \infty .$ For an arbitrary $f \in W_q^r[a{{\rm{,}}}b]$ with $f({x_1}) = f({x_2}) = \cdots = f({x_r}) = 0$,$a \text{≤} {x_1} {\text{＜}} {x_2}{\text{＜}} \cdots {\text{＜}} {x_r} \text{≤} b$．From integral type remainder of Lagrange interpolation, we refer computation of $C(p{{\rm{,}}}q)$ to the norm of an integral operator. We refer values of $C(1{{\rm{,}}}1)$ and $C(\infty {{\rm{,}}}\infty )$ to two explicit integral expressions and value of $C(2{{\rm{,}}}2)$ to computation of maximum eigenvalue of a Hilbert-Schmidt operator．An example was then given to show our method．
Key words:Lagrange interpolation/
L_p-norm/
eigenvalue/
Wirtinger inequality