，并且估计该分布计算的期望值。贝叶斯变分推理是一个很好的选择，变分推理将推理任务转化为了优化问题，然后使用梯度下降法解决该优化问题。但是不可避免地，它也面临着梯度下降方法的缺点。另一种变分推理的方法是基于变分目标的随机优化，其中噪声梯度由变分分布的蒙特卡洛样本计算。这种算法计算了变分自由能（ELBO）的梯度，然而，随机优化和蒙特卡洛方法仍存在一定的不确定性，梯度下降方法也难以实现快速学习。Pseudo-inverse learners(PILs)是一种用伪逆学习(PIL)算法训练的前馈神经网络，最早可追溯到1995年。PIL是我们首次提出的一种非梯度下降学习方法，相比于经典的梯度下降学习算法，其主要优点在于计算代价更低，计算速度更快，不要求激活函数可微分。PIL尤其是在小规模计算，例如边缘计算研究领域的表现更为明显。然而，PIL多用于确定性学习问题。
因此，为解决目前在深度学习中网络结构难以确定，基于随机梯度下降的学习算法带来的不确定性问题，我们提出了一种称为为贝叶斯伪逆学习（BPIL）的近似协同学习（Approximated Synergetic Learning --ASL）的方案，将不确定学习转化为确定性学习。
在所提出的BPIL算法中，我们将后验概率密度函数设为：
其中
是一种伪逆学习器，比如MLP-PIL。论文中提出的BPIL中，采用SLS（协同学习系统）的框架，子系统的模型使用概率模型，并且用PIL方法代替梯度下降算法。在该方法中，假设Z是隐变量，
属于一类分布，设Z的元素被划分为M个不相交的群，用
表示，其中
，然后q分布对这些组进行因式分解，这种分解形式在物理学中被称为平均场理论，将平均场理论用于变分推理中，即：
是一个非参数核密度分布：
在该方法中，不确定性问题用概率模型表示，然后采用ASL方法来实现概率模型转换，使用PIL来训练BPIL，并且使用ASL方法导出的正则化超参数估计公式：
我们认为多层感知器（MLP）是堆叠的自动编码器加上一个单层分类器。在学习处理中，引入辅助层构造自编码器，在获得编码器连接权值矩阵后，将该辅助层(解码器)丢弃，编码器的输出发送到PIL分类器。采用我们提出的伪逆学习自编码算法（PILAE），不需要用户设置学习参数。更为重要的贡献是在BPIL框架下，构建深度神经网络的基础模块是非可微分构件。下图给出了搜索深度神经网络（NAS）最优体系结构的过程。利用训练数据构造自编码器，利用验证数据确定超参数，包括隐神经元数和权值衰减正则化参数。测试数据用于计算网络输出精度，从而判断该学习者是否满足给定的任务要求。如果达到任务要求，网络将停止生长并退出训练处理。否则，网络增长一层，以这种方式实现动态网络结构优化。这种深度网络结构优化的策略可用到自动机器学习中去，为破解深度学习中的网络拓扑结构设计难的困境迈出了重要的一步。
使用该算法在MNIST数据集和Fashion-MNIST数据集中与传统的算法和其他优化算法做了对比实验，分类的精确度对比如下:
可以看到BPIL在分类中有更好的表现。时间的对比图如下：
相比于传统的BP算法，BPIL的计算代价大大减少，并且BPIL和其他优化算法相差不多，在几秒到几十秒的差距内，但却提高了精度。
上述研究成果于2021年6月在线发表在人工智能领域期刊《IEEE Transactions on Cybernetics》，题为《Bayesian Pseudoinverse Learners: From Uncertainty to Deterministic Learning》。该论文的第一作者单位与通讯作者单位均为北京师范大学，第一作者为人工智能学院的尹乾副教授，通讯作者为系统科学学院的郭平教授。该研究得到了科技创新2030—“新一代人工智能”重大项目课题的资助（(No. 2018AAA0100203）。
原文链接：https://doi.org/10.1109/TCYB.2021.3079906
